Title: Unidad 5
Course: Matemáticas Plus + 3 BGU

Programación lineal y regresión lineal

▲ Dieta                                                                                                                                                                                          ▲ Trabajador de una fábrica.

Programación lineal y vida cotidiana
Son múltiples las aplicaciones de la programación lineal (PL). Una de ellas, por ejemplo, se da en el marketing y la publicidad. Ahí se tiene un presupuesto que debe distribuirse entre las opciones de televisión, radio, prensa escrita, y otros medios de comunicación. De igual manera, las empresas toman decisiones acerca de la cantidad de artículos que deben producir para maximizar los beneficios, sin dejar de cumplir los requerimientos establecidos. En el sector de la vigilancia de efectivos policiales, las patrullas deben ser distribuidas en las calles, de tal forma que se minimicen los tiempos de respuesta y se efectivicen las acciones. Otra de las aplicaciones de PL se da en los hospitales, cuando se necesita determinar la dieta que debe recibir cada paciente con las cantidades nutritivas mínimas y con optimización de recursos.

Como verás, la PL cobra gran importancia en nuestra vida diaria.

Adaptado de: https://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Aplicaciones_PL.pdf

Bloques curriculares
Geometría y medida
Estadística y probabilidad

  Objetivos

- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información  de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de  las fuentes de datos para comprender otras disciplinas, entender las necesidades y  potencialidades  de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentado la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad en el uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿Qué información matemática puedes deducir de cada imagen de esta página?
- ¿De qué manera la matemática puede mejorar el transporte en tu ciudad?
- ¿Cómo programarías tu tiempo para optimizar los recursos de los que dispones?

Ecuación lineal con dos incógnitas. Soluciones entera

DCCD: M.5.2.24. Aplicar la divisibilidad de números enteros, el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de un conjunto de números enteros, y la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas (con soluciones enteras no negativas) en la solución de problemas.

● Ecuación lineal con dos incógnitas. Soluciones entera

Saberes previos

¿Cuándo un número es divisor de otro?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuáles son los términos de una división?

Divisibilidad en ℤ. Aplicaciones (revisión)

Definición. Sean m, n ∈ ℤ con m ≠ 0. Se dice que m divide a n, lo cual se escribe m|n si existe k ∈ ℤ, tal que n = km. En tal caso, se dice que n se factoriza en la forma km, y que m es un divisor de n.

Definición. Sean a, b ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0.

1. Un número d ∈ ℤ^+ se dice divisor común de a y b si d|a y d|b.
2. El máximo común divisor de a y b es el número entero c ∈ ℤ^+ que verifica las condiciones siguientes:
i. c|a y c|b. ii. Si d ∈ ℤ^+ es un divisor común de a y b, entonces d|c.
​Escribiremos c = mcd(a, b).

Recuerda que...

- Se dice que dos números enteros a y b son primos entre sí, si mcd(a, b) = 1.
- Sean a, b, x ∈ ℤ no nulos. Entonces,
mcd(xa, xb) = x ∙ mcd(a, b).
- El múltiplo común de a y b se define como p ∈ ℤ^+, tal que a|p y b|p. El mínimo común múltiplo de a y b, que se denota mcm(a, b), se define como el más pequeño número entero p ∈ ℤ​^+, tal que a|p y b|p.

Ecuación lineal con dos incógnitas. Soluciones enteras no negativas

Consideramos ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma

ax + by = c,

donde a, b ∈ ℝ, tales que |a| + |b| > 0, y x, y ∈ ℝ denotan las incógnitas.

Nos interesamos ahora en la búsqueda de soluciones enteras positivas, cuando a, b ∈ ℤ es decir, en hallar m, n ∈ ℤ^+, tales que am + bn = c.

Ejercicio resuelto

1) Considerar la ecuación (x, y) ∈ ℝ^2, tal que 2x + 3y = 10. Determinar todas las soluciones enteras de esta ecuación, esto es, hallar (m, n) ∈ ℤ^2, tal que 3m + 2n = 10.

Supongamos m, n ∈ ℤ, tales que 2m + 3n = 10. Entonces, 3n = 10 – 2m. De esta igualdad se deduce que 2(5 – m) debe ser múltiplo de 3. Esto es posible si 5 – m es múltiplo de 3, o sea,5 – m = 3j para algún j ∈ ℤ. Es decir, m = 5 – 3j y, en consecuencia, 3n = 2(5 – m) = 6j, de donde n = 2j. Tenemos así,

^

Veamos algunas soluciones enteras:

j | –1 | –2 | 0 | 1 | 2
m | 8 | 11 | 5 | 2 | –1
n | –2 | –4 | 0 | 2 | 4

Las soluciones enteras están representadas en el conjunto solución

S = {(5 – 3j, 2j) | j ∈ ℤ}.

Nota que m, n son soluciones de la ecuación. En efecto,

2m + 3n = 2(5 – 3j) + 3(2j) = 10 ∀j ∈ ℤ.

Ahora nos interesamos en las soluciones positivas, es decir, en m, n ∈ ℤ^+, tales que 2m + 3n = 10.

▲ Figura 5.1. Esta es la recta L y la única solución entera positiva.

Primeramente, la recta L corta el eje x en el punto (5, 0) y al eje y

en . Luego, Para m, n ∈ ℤ^+ se deben verificar

las desigualdades 1 ≤ m ≤ 5, y 1 ≤ n ≤ 3. Resulta así,

1 ≤ m ≤ 5 ⇔ y 1 ≤ 5 – 3j ≤ 5 ⇔ –4 ≤ –3j ≤ 0 ⇔ 0 ≤ 3j ≤ 4 ⇒

Para j = 0, m = 5, n = 0 la solución no es positiva, j = 1, m = 2, n = 2 es la única solución positiva. (Ver figura 5.1).

Interdisciplinariedad

La aplicación de las ecuaciones lineales con dos incógnitas es múltiple. Por ejemplo, en el campo de la industria, las ecuaciones lineales se utilizan para determinar el número de productos a fin de obtener mayor rentabilidad, o para determinar los tiempos mínimos o máximos en la producción de ciertos artículos.

▲ Botellas plásticas.

Aplicaciones

Un terreno tiene 10 000 m^2 (una hectárea) y se divide en dos partes: una para producción de pastos, y otra para producción de verduras y hortalizas. Para el efecto, el terreno se divide en lotes de 200 m^2, destinados a verduras y hortalizas, y de 500 m^2 para pastizales. ¿Cuántos lotes para pastos y cuántos para verduras y hortalizas pueden obtenerse?

Designamos con x el número de lotes para verduras y hortalizas (VH), con lo que el área destinada a este propósito es 200x. Por su parte, y es el número de lotes para pastos (P) y su área es 500y. Entonces

200x + 500y = 10 000,

y dividiendo por 100, resulta

2x + 5y = 100, de donde 5y = 100 – 2x.

De esta igualdad, si y ∈ ℤ, el número entero 5 es múltiplo de 5, luego, el lado derecho de la igualdad precedente 100 – 2x = 2(50 – x) debe ser divisible por 5, esto es, x = 5j con j ∈ ℤ. Así,

5y = 100 – 2x = 100 – 2(5j) = 10(10 – j),

y de esta se obtiene y = 2(10 – j), j = 1, 2, ..., 9.

Nota que 10 – j ≥ 1, entonces, j < 9.

Así, j = 1, 2, ... 9 son soluciones enteras positivas.

​En la siguiente tabla se muestran las soluciones:

j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
x | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35
y | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 | 6

Problema de la programación lineal. Conjunto de soluciones factibles

DCCD: M.5.2.25. Reconocer un subconjunto convexo en ℝ^2 y determinar el conjunto de soluciones factibles, de forma gráfica y analítica, para resolver problemas de programación lineal simple (minimización en un conjunto de soluciones factibles de un funcional lineal definido en ℝ​^2).

● Problema de la programación lineal. Conjunto de soluciones factibles

Saberes previos

¿Cómo identificas un punto del plano cartesiano?

Desequilibrio cognitivo

En un problema de programación lineal, ¿las variables que intervienen pueden ser negativas? Explica.

Las variables que intervienen en los problemas de programación lineal son no negativas. Escribimos x ≥ 0, y ≥ 0, para cada una de estas variables, y las asociamos a un subconjunto de ℝ^2. Así,

S_1 = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y ≥ 0}; S_2 = {(x, y) ∈ ℝ^2 | x ≥ 0};

Representación gráfica:

▲ Figura 5.2. S_1 representa un semiplano que se extiende del eje x hacia arriba, según la dirección del eje y. | ▲ Figura 5.4. S_2 representa un semiplano que se extiende del eje y hacia la derecha, según la parte positiva del eje x. | ▲ Figura 5.4. El conjunto S_3 = S_1 ∩ S_2 es S_3 = {(x, y) ∈ ℝ^2 | x ≥ 0, y ≥ 0}, y representa la intersección de los dos semiplanos.

Recuerda que...

- Consideramos el sistema de coordenadas cartesianas y lo denotamos con
ℝ​ ^2 = {(x, y) | x, y ∈ ℝ}
e identificamos cada punto del plano con un par ordenado (x, y) ∈ ℝ^2.
- El conjunto de soluciones factibles siempre se determina en el primer cuadrante.

Ejercicios resueltos

1. Considerar las desigualdades

Determinemos gráficamente el conjunto de soluciones factibles.

Las condiciones x ≥ 0, y ≥ 0 muestran que las soluciones factibles son no negativas. Comenzamos con la ecuación (x, y) ∈ ℝ^2, tal que 2x + 5y = 6.

Hemos visto que el conjunto L = {(x, y) ∈ ℝ^2 | 2x + 5y = 6}

representa una recta de pendiente m = – y corta a los ejes en los puntos A = (3, 0) y B =

El conjunto

representa un semiplano que se extiende de la recta L hacia abajo.

▲ Figura 5.5.

En la Figura 5.5. se muestra este conjunto de puntos que satisfacen las desigualdades (a), (b) y (c) y al que denotamos con S. Nota que S está determinado por la región triangular de vértice 0, A y B.

2. Considerar el conjunto de restricciones: ^

Determinemos gráficamente el conjunto S.

Asociada con la restricción x + 3y ≤ 9, tenemos el conjunto

L_1 = {(x, y) ∈ ℝ^2 | x + 3y = 9},

que representa una recta de pendiente m_1 = – y que corta al eje x en el punto (9, 0) y al eje y en el punto (0, 3).

La restricción x + 3y ≤ 9 representa el semiplano S_1 que se extiende bajo la recta L_1.

La restricción x – y ≥ 3 se asocia al conjunto

L_2 = {(x, y) ∈ ℝ​^2 | x – y = 3}, que representa una recta de pendiente m_2 = 1, y que corta al eje x en el punto (3, 0) y al eje yen el punto (0, –3). A la restricción x – y ≥ 3 se le denota con S_2 y es el semiplano que se extiende hacia arriba de L_2.

En la Figura 5.6. se muestra la recta L_1 y el semiplano S_1, mientras que en la Figura 5.7. se muestra a la recta L_2 y el semiplano S_2.

▲ Figura 5.6.

▲ Figura 5.7.

Conexiones con las TIC

Existen programas computacionales que te permiten graficar inecuaciones de primer grado y obtener la región factible. Si quieres ampliar este tema, puedes visitar el siguiente enlace:

www.mayedu.ec/matbu3/p157

Tomando en cuenta la no negatividad de las soluciones factibles y la intersección de los dos semiplanos S_1 y S_2, se obtiene la región factible que se muestra en la Figura 5.8.

▲ Figura 5.8.

Determinamos el punto B intersección de las rectas L_1 y L_2, esto es,
{ B} = L_1 ∩ L_2.

Hallamos (x, y) ∈ ℝ^2, tal que

cuya solución es x = , y = .

El conjunto S de soluciones factibles es la región poligonal de vértices

O = (0, 0), A = (3, 0), B = , C = (0, 3).

Puntos extremos y solución óptima

DCCD: M.5.2.26. Realizar un proceso de solución gráfica y analítica del problema de programación lineal, graficando las inecuaciones lineales, determinando los puntos extremos del conjunto de soluciones factibles, y encontrar la solución óptima.

● Puntos extremos y solución óptima

Saberes previos

¿Qué entiendes por solución óptima?

Desequilibrio cognitivo

¿Las soluciones factibles de un problema de programación lineal pueden ser negativas?

Interdisciplinariedad

Matemática y nutrición

Uno de los problemas más conocidos y difundidos de aplicación de la programación lineal se relaciona con las dietas. En términos generales, el problema consiste en encontrar la dieta que contenga los requerimientos nutricionales al menor costo posible.

▲ Dieta.

Procedimiento de solución gráfica

Ejercicios resueltos

1. La función objetivo U está definida como U = 3x + 2y, sujeta a la restricción S_1 = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y = x + 1 x ∈ [1, 3]}. Determinar y

De la definición del conjunto S tenemos la equivalencia

(x, y) ∈ S ⇔ y = x + 1; x ∈ [1, 3].

Al reemplazar y en la función objetivo U, obtenemos

U = 3x + 2y = 3x + 2(x + 1) = 5x + 2; x ∈ [1, 3].

Puesto que x ∈ [1, 3], entonces,

1 ≤ x ≤ 3 ⇔ 5 ≤ 5x ≤ 15 ⇔ 7 ≤ 5x + 2 ≤ 17 ⇔ 7 ≤ U ≤ 17.

En x = 1 se tiene y = 2 y U_0 = 3 × 1 + 2 × 2 = 7 ≤ U.

Luego, = 7, valor que alcanza en el punto (1, 2).

En forma similar, para x = 3, se tiene y = 4 y U_1 = 3 × 3 + 2 × 4 = 17 ≥ U. Luego, = 17, valor que alcanza en el punto (3, 4).

1. Sea la función objetivo C = 200x + 70y, sujeta a las restricciones

Hallar , soluciones factibles, tales que = = 200xx + 70 .

i) Determinación gráfica del conjunto de soluciones factibles

Comenzamos con las condiciones (a) y (b) que nos muestran que las soluciones factibles tienen que ser no negativas.

Analizamos la condición (c). Este conjunto representa una recta que tiene una pendiente m_1 = 0,5. Corta a los ejes del lado positivo, en el punto (0, 20), y satisface todos los puntos del semiplano que parten de la recta L_1 hacia abajo.

Analizamos la condición (d). Este conjunto es una recta que tiene una pendiente m_2 = –1,5. Sus puntos de corte con los ejes del lado positivo son , y (0, 50). La desigualdad muestra que son todos los puntos del semiplano que parten de L_2 hacia abajo.

En la Figura 5.9. se muestra el conjunto de soluciones factibles. Observamos que es una región poligonal cuyos vértices son los puntos 0, A, B, E.

▲ Figura 5.9.

ii) Vértices de la región factible

Los vértices 0, A, E están determinados así: 0 = (0, 0), A =

E = (0, 20). Nos queda determinar el vértice B. Se tiene L_1 ∩​ L_2 = {B}, es decir que es solución del sistema de ecuaciones lineales

cuya solución es y = 27,5 y x = 15. Así, B = (15; 27,5).

Simbología matemática

- : valor máximo de la función objetivo
- : valor mínimo de la función objetivo
- L_1: recta
- m: pendiente de la recta
- ∈: pertenece al conjunto

iii) Determinación del valor extremo

Calculemos C = 200x + 70y en los vértices de S.

Punto O = (0, 0), | C = 200 × 0 + 70 × 0 = 0.
Punto A = ((100)/3), 0), | C = 200 × ((100)/3) + 70×0 = 20 000/3.
Punto B = (15; 27,5), | C = 200 × 15 + 70 × 27,5 = 4 925.
Punto E = (0, 20), | C = 200 × 0 + 70 × 20 = 1 400.

Tenemos = 200 + 70 = en = , = 0, es decir,

= = , valor que alcanza en el vértice A.

Puesto que x ≥ 0, y ≥ 0, entonces C = 200x + 70y ≥ 0. Sea C > 0.

Definimos D = {(x, y) ∈ ℝ^2 | 200x + 70y = C}.

La pendiente de la recta D es m_D = – . Sea (x_0, y_0) ∈ S.

La ecuación cartesiana de la recta L que pasa por (x_0, y_0) y tiene pendiente m_D = – está definida como y – y_0 = – (x – x_0) y de esta obtenemos 20x + 7y = 20x_0 + 7y_0, y multiplicando por 10 para obtener la función objetivo, resulta

200x + 70y = 200x_0 + 70y_0.

▲ Figura 5.10.

Ponemos C_0 = 200x_0 + 70y_0 ≥ 0. Así, para (x, y) ∈ S se tiene

200x + 70y = C_0.

Para cada punto (x_0, y_0) ∈ S obtenemos una recta de ecuación cartesiana

200x + 70y = 200x_0 + 70y_0 = C_0 ≥ 0.

Particularmente para (x, y) ∈ S que yacen en la recta, se tiene

200x + 70y = C_0 ≥ 0.

En la Figura 5.10. se han trazado rectas paralelas que pasan por cada uno de los vértices. Nota que el valor máximo se obtiene en el vértice A, el más alejado de todos.

Modelización de problemas de programación lineal

DCCD: M.5.2.27. Resolver y plantear aplicaciones (un modelo simple de línea de producción, un modelo en la industria química, un problema de transporte simplificado), interpretando y juzgando la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.

● Modelización de problemas de programación lineal

Saberes previos

¿Qué es un modelo matemático?

Desequilibrio cognitivo

En la práctica, ¿para qué te sirve maximizar o minimizar recursos?

Modelo simple de línea de producción

Una planta industrial de plástico produce dos tipos de accesorios para refrigeradoras: tipo 1 y tipo 2. Para su producción, el tipo 1 requiere 3 horas/máquina por cada 100 unidades. Mientras que para su producción, el tipo 2 requiere 1 hora/máquina por cada 100 unidades. La planta dispone al mes de 120 horas/máquina.

El próximo mes se deben producir 3 500 refrigeradoras que utilizan el accesorio tipo 1 y 4 500 refrigeradoras que utilizan el accesorio tipo 2. La utilidad neta en la producción de una unidad del tipo 1 es $ 3,5 y del tipo 2 es $ 2,5. Determina la cantidad de unidades del tipo 1 y del tipo 2 que deben producirse mensualmente para maximizar la utilidad.

Recuerda que...

Para la solución de un problema de programación lineal, es necesaria la construcción del modelo matemático que implica dos elementos básicos: las restricciones y la función objetivo.

a) Restricciones

Designamos con a al número de unidades del tipo 1, y con b al número de unidades del tipo 2, producidas mensualmente.

Producción de una unidad de a: 0,03 h/máquina.

Producción de una unidad de b: 0,01 h/máquina.

Balance de horas/máquina: 0,03a + 0,01b ≤ 120.

Restricción de la producción de a: 0 ≤ a ≤ 3 500.

Restricción de la producción de b: 0 ≤ b ≤ 4 500.

b) Función objetivo

Denotamos con U la utilidad neta que debemos maximizar con la producción de a y b. La utilidad neta de cada unidad de a es $ 3,5, y la utilidad de cada unidad de b es $ 2,5. Por lo tanto, la función objetivo está definida como U = 3,5a + 2,5b.

De a) y b) obtenemos el siguiente modelo matemático:

máx{3,5a + 2,5b},

La restricción (c) es equivalente a 3a + b ≤ 12 000.

▲ Figura 5.11.

▲ Figura 5.12.

c) Determinación de la región de soluciones factibles y vértices

Graficamos la región de soluciones factibles que se muestra en la Figura 5.11. La región S de soluciones factibles es la región poligonal de vértices O, A, B, C y D. Los vértices O, A, D están determinados. Nos queda, entonces, obtener los vértices B y C. C es C = (2 500, 4 500), y B es B = (3 500, 1 500). Tomando en consideración las restricciones y estos últimos resultados, obtenemos la región de soluciones factibles, que se muestra en la Figura 5.12.

Calculemos U = 3,5a + 2,5b en los vértices de S.

Vemos que el valor extremo es alcanzado en el vértice C = (2 500, 4 500).

Así, Ú = 3,5 × 2 500 + 2,5 × 4 500 = 20 000.

De este resultado se concluye que deben producirse 2 500 unidades del tipo 1 y 4 500 unidades del tipo 2 para obtener un beneficio máximo de $ 20 000.

Modelo en la industria química

Posición del problema

Una industria alimenticia modifica la producción de dos artículos A y B que requieren de tres procesos dominantes: mezclado, evaporado, pasteurizado-envasado. En la tabla se muestran los tiempos que necesitan 500 unidades de cada producto y cada proceso.

Proceso | A(h) | B(h) | Disponibilidad (h)
Mezclado | 4 | 3 | 80
Evaporado | 5 | 6 | 120
Pasteurizado-envasado | 8 | 12,5 | 240

La utilidad neta de A es $ 8,5 y la de B es $ 12 por cada 500 unidades.

¿Cuál es la estrategia que se debe seguir para que la utilidad sea máxima?

Solución

Designamos con x ≥ 0 al número de 500 unidades de A, y con y ≥ 0 al número de 500 unidades de B.

a) Restricciones

Restricción del tiempo de mezclado: 4x + 3y ≤ 80.

Restricción del tiempo de evaporación: 5x + 6y ≤ 120.

Restricción del tiempo de pasteurizado-envasado: 8x + 12,5y ≤ 240.

▲ Figura 5.13.

Los vértices de la región de soluciones factibles son:

O = (0, 0), A = (20, 0),
B =
C = (4,138; 16,55),

D = (0; 19,2).

b) Función objetivo

La utilidad neta de A es 8,5x y la de B es 12y. La función objetivo U está definida como: U = 8,5x + 12y,

máxU = 8,5x + 12y.

De a) y b) se obtiene

el modelo matemático

c) Conjunto de soluciones

El conjunto de restricciones se encuentra representado en la Figura 5.13.

d) Cálculo del valor óptimo

La función objetivo está definida como U = 8,5x + 12y cuyo valor máximo es alcanzado en C.

C = (4,138; 16,55),   U = 8,5 × 4,138 + 12 × 16,55 ≈ 233,773.

De estos resultados se concluye que el jefe de planta debe producir aproximadamente 4 números de cada 500 unidades de A, y 16 números de cada 500 unidades de B para una utilidad máxima aproximada de $ 234,00.

Regresión y correlación

DCCD: M.5.3.24. Utilizar el método de mínimos cuadrados para determinar la recta de regresión en la resolución de problemas hipotéticos o reales, con apoyo de las TIC.

M.5.3.25. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en el método de mínimos cuadrados al determinar la recta de regresión en la resolución de problemas hipotéticos o reales dentro del contexto del problema, con el apoyo de las TIC.

● Regresión y correlación

Saberes previos

¿Qué significa para ti la palabra correlación?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué aspectos personales se encuentran correlacionados en tu diario vivir?

Interdisciplinariedad

Matemática y agricultura

En el ámbito de la agricultura, se puede estudiar la relación de la cantidad de fertilizante que debe aplicarse a un suelo para un tipo de cultivo, con la producción del cultivo. Por ejemplo,  en el cultivo de arroz, interesan la cantidad de fertilizante (urea) aplicado, y la cantidad de arroz. Esta clase de estudios se realizan en otros tipos de cultivos, como aquellos de cacao aromático, mango, banano, etc. En este contexto, interesan también la cantidad de suelos (área cultivable) y las mejoras de estos (por ejemplo, con maquinaria introducida), frente a la cantidad y la calidad de la producción agrícola.

▲ Agricultor.

Muchas situaciones en nuestro entorno, sean de tipo social, económico, industrial, de educación, en el sector de la salud, en el ámbito de las ingenieras, entre otros, ponen de manifiesto el estudio de la relación entre dos o más variables de interés.

Ejemplos

1. La evolución de los precios de mercado de computadoras (laptops, tablets, calculadoras científicas, etc.). Los fabricantes de estos productos se interesan en saber cómo producir más y cómo bajar los precios en el mercado.
2. En el amplio sector de la medicina, un equipo de médicos de un hospital está interesado en desarrollar un experimento para estudiar, en pacientes que sufren de una enfermedad particular (por ejemplo, en pacientes psiquiátricos o en pacientes con diabetes), la relación entre el tiempo de reacción a un estímulo y la dosis de un medicamento.
3. En el ámbito industrial, interesa estudiar el problema de la introducción de tecnologías y maquinaria frente a la generación de empleo, la calidad y la producción que se podrá alcanzar.
4. En educación, el interés radica en el estudio de la inversión realizada en recursos humanos, infraestructura, laboratorios, bibliotecas, etc., frente al número de bachilleres graduados y calidad de la educación, número de graduados de universidades, número de graduados en programas de maestrías y doctorados, en diversas áreas del conocimiento, y generación de empleo, entre tantos otros problemas del sector.

Los estudios de esta clase de problemas se pueden analizar e investigar mediante dos tipos de modelos matemáticos:

1. Análisis de regresión.
2. Análisis de correlación.

El análisis de regresión centra la atención en la naturaleza de relaciones entre variables, por ejemplo, cualitativas y cuantitativas, discretas y continuas. El análisis de correlación focaliza la atención en la intensidad, fuerza o resistencia de estas relaciones (fuertemente relacionadas, débilmente relacionadas).

Con frecuencia, se dispone de un conjunto de datos

S = {(x_i , y_i) ∈ ℝ​^2 | i = 1, ..., n},

en el que el dato x_i denota una observación o medida de la variable independiente x, el dato y_i es la observación o medida de la variable dependiente y, y el par ordenado (x_i, y_i) se denomina dato.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

Los conceptos de regresión y correlación fueron introducidos por el inglés Francis Galton (1822-1911) en el ámbito de la biología.

▲ Francis Galton (1822-1911).

Recuerda que...

Cuando el estudio de la relación se limita solo a dos variables, se llama procedimiento analítico de análisis de regresión simple (análisis de correlación simple). Cuando el estudio de la relación involucra tres o más variables, la técnica matemática se conoce como análisis de regresión múltiple (análisis de correlación múltiple).

Análisis de la relación entre dos variables

El análisis de la relación entre estas dos variables comienza con la construcción de un gráfico llamado diagrama de dispersión: los pares ordenados (x_i, y_i) ∈ ℝ^2; i = 1, ..., n son representados en el sistema de coordenadas rectangulares. En el eje x se representan los datos x_i, mientras que en el eje y se representan los datos y_i. Así se obtiene cada uno de los puntos (x_i, y_i).

En la Figura 5.14. se muestran diagramas de dispersión de seis conjuntos de datos; cada uno de ellos contiene catorce puntos.

Las figuras muestran una tendencia del tipo lineal, es decir, una función de la forma y = f(x) = ax + b, siendo a, b constantes reales.
Las figuras muestran una tendencia del tipo cuadrático, es decir, una función de la forma y = f(x) = ax^2 + bx + c, siendo a, b, c constantes reales.
La figura tiene una tendencia del tipo exponencial. | La figura no muestra tendencia alguna.

▲ Figura 5.14.

Recuerda que...

Una recta en el plano, no paralela al eje y es un conjunto definido como

R = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y = a + bx},

donde b ∈ ℝ es la pendiente de la recta, y a ∈ ℝ. Cuando b > 0, la recta R tiene una inclinación a la derecha; cuandob < 0, la recta R tiene una inclinación a la izquierda. Asociada a este conjunto, existe una función polinomial p de grado ≤1 de la forma

y = p(x) = a + bx, ∀x ∈ ℝ,

de modo que su grafo G(p) = R.

Supongamos que se dispone de la siguiente información:

S = {(x_i, y_i) ∈ ℝ^2 | i = 1, ..., n}.

En la Figura 5.15. se ilustra un conjunto de puntos que siguen una tendencia o apariencia de una recta, así como la gráfica de la recta de ecuación cartesiana: y = a + bx, ∀x ∈ ℝ.

▲ Figura 5.15.

Regresión lineal simple. Método de mínimos cuadrados

En el análisis de la regresión lineal simple, a las dos variables involucradas las asignamos con “x” y “y”. A la variable x se le denomina variable independiente, mientras que a la variable y se la llama variable dependiente. El análisis de la regresión se utiliza, por ejemplo, para construir una función dependiente de una o más constantes por determinar, a la que denominamos modelo matemático de predicción, en cuyo caso x se denomina variable de predicción, mientras que y se llama variable de respuesta.

En el análisis de la regresión, la variable x puede considerarse como ordinaria, esto es, no se trata de una variable aleatoria. Por su parte, la variable y es una variable aleatoria, y se supone que la media y depende de la variable independiente y.

Construimos una función que tiene la forma de un polinomio de grado ≤1 cuya gráfica se identifica con la de una recta. Con mayor precisión, se considera el problema siguiente: halla un polinomio p de grado ≤1 de la forma

y = p(x) = a + bx, ∀x ∈ ℝ,

donde a, b ∈ ℝ son calculados con el denominado método de mínimos cuadrados, cuyo algoritmo se describe a continuación.

Algoritmo

Para calcular las constantes óptimas , mediante el método de mínimos cuadrados, se requiere la siguiente información:

1. El número de puntos n ≥ 2.

2. El conjunto de datos S = {(x_i, y_i) ∈ ℝ^2 | i = 1, ..., n}.

Aplicación del método de mínimos cuadrados

1. Calcula las siguientes sumas:

^

2. Verifica z = nS_2 – S_1^2 ≠ 0.

3. Calcula la constante óptima de regresión lineal :

4. Calcula el coeficiente óptimo de regresión lineal :

Resultado: la recta del mejor ajuste, o recta en mínimos cuadrados, es la función definida como

y = p(x) = + x, ∀ x ∈ ℝ.

Simbología matemática

∑: símbolo de sumatoria

∀: símbolo que se lee "para todo"

ℝ: conjunto de los números reales

Conexiones con las TIC

Para ampliar la utilización del método de los mínimos cuadrados, puedes mirar el siguiente video:

www.mayedu.ec/matbu3/p169

^

Recuerda que...

En el algoritmo, para calcular las constantes de regresión lineal, se utilizó una estrategia de explicación sencilla. Sin embargo, el cálculo de estas constantes puede representarse de esta forma:

Ejercicio resuelto

Se tiene la función p definida como:

y = p(x) = 2,1 + 1,5x, ∀x ∈ ℝ.

Utilizando esta función, consideramos el conjunto de datos

S = {(1; 3,6), (1,5; 4,35), (2,1; 5,25), (2,9; 6,45), (3,2; 6,9)},

en los que se ha asignado previamente el valor de x, y se ha calculado y = p(x).

Con esta información, buscamos una función p de la forma

y = p(x) = a + bx, ∀x ∈ ℝ,

con a, b incógnitas que deben ser calculadas mediante el método de mínimos cuadrados. Aplicamos el algoritmo arriba descrito.

Se calculan las sumas S_1, S_2, R_1, R_2, anteriormente definidas. Se tiene,

S_1 = x_i = 1 + 1,5 + 2,1 + 2,9 + 3,2 = 10,7,

S_2 = x_i^2 = 1 + 2,25 + 4,41 + 8,41 + 10,24 = 26,31,

R_1 = y_i = 3,6 + 4,35 + 5,25 + 6,45 + 6,9 = 26,55,

R_2 = ​x_i_ y_i = 3,6 + 6,525 + 11,025 + 18,705 + 22,08 = 61,935.

Se calcula z = nS_2 – S_1^2 = 5 × 26,31 – (10,7)^2 = 17,06.

Se verifica que z ≠ 0.

La solución está dada como

La recta del mejor ajuste está definida como el polinomio de grado 1,

p(x) = 2,1 + 1,5x, ∀x ∈ ℝ,

del que ya teníamos conocimiento. De esta manera, verificamos que nuestros cálculos y el método empleado son correctos.

Nota que p(x) es la ecuación cartesiana de la recta a la que se le denomina recta de mejor ajuste en mínimos cuadrados.

Dependencia lineal y covarianza

DCCD: M.5.3.22. Calcular la covarianza de dos variables aleatorias para determinar la dependencia lineal (directa, indirecta o no existente) entre dichas variables aleatorias. M.5.3.23. Determinar la recta de regresión lineal que pasa por el centro de gravedad de la distribución para predecir valores de la variable dependiente, utilizando la recta de regresión lineal, o calcular otra recta de regresión intercambiando las variables para predecir la otra variable.

● Dependencia lineal y covarianza

Saberes previos

¿Cómo obtienes la media aritmética de un conjunto de datos?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué relación puede existir entre la dispersión y la media aritmética?

Se dispone del conjunto de datos: S = {(x_i, y_i) ∈ ℝ^2 | i = 1, ..., n}.

Interesa saber qué tan precisa es la función que consiste en un polinomio de grado ≤ 1, obtenido con el método de mínimos cuadrados, llamado recta de regresión, de modo que pueda ser utilizado para predecir o calcular el valor de y para un dato particular x. Más aún, interesa determinar cuándo hay una dependencia lineal entre las dos variables. Para ello, obtenemos la dispersión de valores de x_i alrededor de la media aritmética . Tomando en consideración la definición de media aritmética,

y las propiedades del sumatorio, se tiene

Recuerda que...

La covarianza es, de modo intuitivo, una especie de medida promedio de la dependencia lineal. En algunos libros, a la covarianza muestral también se le suele designar con S_xy.

Entonces, la dispersión de valores de x_i alrededor de está definida como

Nota que s_x > 0.

Definición. La covarianza muestral se denota con cov(x, y) y se define como

La covarianza puede ser positiva, cero o negativa. Tomando en cuenta las relaciones

se obtiene,

Recuerda que...

El coeficiente de regresión lineal (pendiente de la recta) se expresa como:

^

En efecto,

^

Nota que primero se ha dividido numerador y denominador por n, y luego por n – 1. Por otro lado, tenemos la constante de regresión â definida como

^

Ejercicio resuelto

Para el conjunto de datos:
S = {(1; 3,6), (1,5; 4,35), (2,1; 5,25), (2,9; 6,45), (3,2; 6,9)}, se tiene

La ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto (x, y) y tiene una pendiente está definida como

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – = (x – ),

siendo , las medias aritméticas de {x_i ∈ ℝ^2 | i = 1, ..., n} y de {y_i ∈ ℝ^2 | i = 1, ..., n}. Esta recta se llama recta de regresión. El coeficiente de regresión lineal (pendiente de la recta) se expresa como:

Correlación, regresión y predicción

Considera un conjunto de datos C = {(x_i, y_i) ∈ ℝ^2 | i = 1, ..., n}, en el que el dato x_i denota una observación o medida de la variable independiente x y el dato y_i es la observación o medida de la variable dependiente y. A este conjunto nos referiremos como la muestra C. Interesa saber qué tan fuerte es la relación entre estas dos variables. Para ello, se requiere de alguna medida que muestre la relación entre ellas. A esta medida se la conoce como coeficiente de correlación, y se la designa con la letra r.

La media aritmética y la varianza de las variables "x" y "y" están dadas como:

La covarianza cov(x, y) = S_xy de la muestra está dada como

Definición. El coeficiente de correlación r de la muestra C está definido como

Como S_xy puede ser positivo, cero o negativo, r tiene el mismo signo que S_xy. De la definición del coeficiente de correlación r, se tiene

Además: S_xy = rs_xs_y, y; – 1 ≤ r ≤ 1.

Para un ajuste lineal en mínimos cuadrados, el coeficiente está definido como

La ecuación cartesiana de la recta de regresión R está definida como

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – = (x – ),

siendo , las medias aritméticas de {x_i ∈ ℝ | i = 1, ..., n}, y de {y_i ∈ ℝ | i = 1, ..., n}.

En las Figuras 5.16., 5.17. y 5.18. se muestran conjuntos de datos con su correspondiente coeficiente de correlación.

▲ Figura 5.16.

En las figuras a) y b) (5.16.) se muestran dos conjuntos de datos correlacionados con pendientes positivas.

▲ Figura 5.17.

Las figuras a) y b) (5.17.) muestran dos conjuntos de datos débilmente correlacionados; es decir, no se tiene la tendencia de una recta.

▲ Figura 5.18.

Las figuras a) y b) (5.18.) muestran dos conjuntos de datos correlacionados con pendientes negativas.

Interdisciplinariedad

Matemática y economía

El concepto mismo de correlación está muy relacionado con el ámbito de la economía cuando se analiza la facturación de una empresa en un período de tiempo, y también en el análisis de cómo influye la publicidad en esta facturación.

▲ Conjunto de monedas.

Ejercicio resuelto

En un laboratorio de materiales se estudia la relación entre la deformación x medida en mm, y la dureza y del material, medida en

Se realizan cinco ensayos cuyos resultados se muestran en el conjunto C:

C = {(8; 55,7), (11; 52,1), (16; 45,8), (25; 36,0), (32; 23,9)}.

Con estos datos, se calculan los valores siguientes:

La recta de regresión está definida como

y – 42,7 = –1,289 3(x – 18,4) ⇔ y = 66,422 66 – 1,289 3x, x > 0.

Calculamos el coeficiente de correlación r:

Este resultado nos muestra que las dos variables están fuertemente correlacionadas.

Para una deformación x = 20 mm, se obtiene

y = 66,4226 6 – 1,289 3 × 20 = 40,636 6 ^

Solución de problemas cotidianos

Un problema de transporte simplificado

1. En una ciudad, hay 2 depósitos de gas, 6 restaurantes y 10 panaderías. Diariamente se entregan 8 cilindros de cada depósito de gas, y el segundo depósito siempre hace entregas a los restaurantes y a las panaderías. Los restaurantes reciben 6 cilindros de gas y las panaderías reciben 10.

El costo de transporte de un cilindro de gas del primer depósito a los restaurantes es de $ 0,75 y a las panaderías es de $ 0,65. El costo de transporte de un cilindro de gas del segundo depósito a los restaurantes es de $ 0,70 y a las panaderías es de $ 0,8. Lo que nos interesa es planificar el transporte de gas para que el costo sea mínimo.

i) Modelo matemático
Designamos con x_1 y x_2 al número de cilindros de gas del primer depósito que lleva el gas a los restaurantes y a las panaderías, respectivamente. Con v_1 y v_2 se designa el número de cilindros de gas del segundo depósito que lleva el gas a los restaurantes y a las panaderías.

De la información de las distribuidoras de gas, obtenemos:

x_1 + x_2 = 8, v_1 + v_2 = 8, x_1 + v_1 = 6,
x_2 + v_2 = 10, x_i ≥ 0, v_i ≥ 1 i = 1, 2.

Costo de transporte:
C_T = 0,75x_1 + 0,65x_2 + 0,7v_1 + 0,8v_2.

Por lo tanto, interesa minimizar el costo C_T.
mín C_T.

x_i ≥ 0, v_i ≥ 1 i = 1, 2,
x_1 + x_2 = 8, (a)
sujeto a v_1 + v_2 = 8, (b)
x_1 + v_1 = 6, (c)
x_2 + v_2 = 10. (d)

ii) Conjunto de soluciones factibles
De (c) obtenemos v_1 = 6 – x_1 y de (d),
v_2 = 10 – x_2. Como v_1 ≥ 1, v_2 ≥ 1, se sigue que
6 – x_1 ≥ 1 ⇒ x_1 ≤ 5, 10 – x_2 ≥ 1 ⇒ x_2 ≤ 9.

Reemplazando v_1 y v_2 en (b), se tiene
6 – x_1 + 10 – x_2 = 8,
x_1 + x_2 = 8,
que es idéntica a la restricción (a).

Como x_1 ≥ 0, x_2 ≥ 0, resulta que

0 ≤ x_1 ≤ 5, 0 ≤ x_2 ≤ 9, v_1 = 6 – x_1,
v_2 = 10 – x_2, x_1 + x_2 = 8 ⇒ x_2 = 8 – x_1.

Reemplacemos v_1, v_2 y x_2 en el costo C_T.

C_T = 0,75x_1 – 0,65x_2 – 0,7(6 – x_1) + 0,8(10 – x_2)
= 0,05x_1 – 0,15x_2 + 12,2
= 0,05x_1 – 0,15(8 – x_1) + 12,2 = 0,2x_1 + 11.

Puesto que 0 ≤ x_1 ≤ 5, se tiene la función
f(x) = 0,2x_1 + 11. x_1  [0, 5].

Claramente mín f(x) = 11, valor que se alcanza

en x_1 = 0. Luego vˆ_1 = 6, xˆ_2 = 8 y vˆ_2 = 2. Por lo tanto, se debe planificar la distribución de gas del siguiente modo:

Modelo de dieta

2. Dos alimentos básicos para el desayuno de niños y niñas son el pan y la leche. De estos dos alimentos, consideramos dos nutrientes importantes: la proteína y la energía (calorías). Supongamos que un pan (aproximadamente 20 g) tiene 7 g de proteína y calorías, y que una taza de leche (aproximadamente 250 cm^3) tiene 6 g de proteína y 140 calorías. El costo de un pan es $ 0,12 y el de una taza de leche es $ 0,16.

Estudia el caso con 40 panes y 40 tazas de leche al mes, y que mensualmente proporcionen al menos 300 g de proteína y 5 000 calorías.

shutterstock, (2017). 529741768

p Cilindros de gas.

x[0,5]

 | Restaurantes | Panaderías
Depósito de gas # 1 | 0 | 8
Depósito de gas # 2 | 6 | 2
Total | 6 | 10

shutterstock, (2017). 26939497

Practica en tu cuaderno

p Pan y leche.

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática en la Ingeniería Estadística

¿Cuál es el profesional que se encarga del estudio de la dinámica económica, social, política y ambiental de una sociedad? ¿Qué carrera permite estudiar cantidades masivas de información, discriminando lo subjetivo de lo real y asesorando en lo que respecta a la toma de decisiones efectivas que transformen activamente a la sociedad?

La Ingeniería Estadística es una carrera que forma profesionales con capacidad de formular planes y propuestas de producción, publicación y distribución de información estadística. La matemática aporta una serie de herramientas fundamentales como, por ejemplo, la teoría de conjuntos, modelos probabilísticos, modelos determinísticos, entre otros, conocimientos que le permiten al profesional describir una situación del mundo real en términos matemáticos.

▲ Aplicación de la estadística en el análisis de datos.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Ingeniería en Estadística

El ingeniero o la ingeniera en Estadística es un profesional competente en actividades como análisis, investigación y consultoría en calidad, industria, investigación de mercados, seguros, minería de datos, diseño de encuestas y censos. Asimismo, tiene el conocimiento necesario para implementar técnicas y métodos estadísticos en el tratamiento de pequeños y grandes volúmenes de datos, desde su recolección y tabulación, hasta su análisis univariado y multivariado, aplicando la matemática, estadística e informática, y la formulación e interpretación de modelos que relacionen dos o más variables para tomar decisiones, efectuar pronósticos, describir situaciones o procesos, diseñar y realizar experimentos en el campo científico, industrial y social.

El campo ocupacional para esta carrera incluye lo siguiente: departamentos de estadística y control de calidad de empresas administrativas y de servicios; compañías de seguros, actuariales y empresas financieras; proyectos de gestión de calidad y optimización de recursos; empresas de investigación de mercado, sondeos y marketing; y empresas afines.

El bachiller que postula a esta carrera debe cumplir con el siguiente perfil:

- Sólidos conocimientos de matemática.
- Conocimientos básicos en informática.
- Espíritu emprendedor, capaz de resolver problemas multidisciplinarios.
- Pensamiento crítico y analítico.

Adaptado de: http://www.universia.com.ec/estudios/uce/ingenieria-estadistica/st/226368

▲ Ingeniería en Estadística.

TIC

TIC

Región factible y GeoGebra

Para determinar la región factible de una serie de restricciones, sigue los siguientes pasos.

1. Abre un documento en GeoGebra utilizando la Vista Gráfica y Vista Algebraica. En estas ventanas podrás apreciar la construcción de cada una de las restricciones planteadas en el problema.

2. Ingresa cada una de las restricciones en su escritura original (inecuaciones). En la Vista Algebraica observa que cada una es asignada por una letra.

3. Para personalizar tu tarea sobre cualquier restricción, haz clic izquierdo y escoge Propiedades. Desde este menú, puedes cambiar el color. En la opción Básico, etiqueta Visible, escoge Nombre y valor. Esta opción te permite visualizar cada una de las restricciones con su correspondiente color.

4. Con el mouse explora cada una de las regiones e identifica cuál de ellas interseca a todas las restricciones. Esta región toma el nombre de región factible (conjunto de soluciones que satisface a todo el conjunto de restricciones, y que puede ser acotado o no).

5. Para determinar la región factible con un color diferente, escribe en la barra de Entrada a c e o utiliza las letras que asignó el programa a cada restricción. Luego, para identificar los puntos de intersección de la región factible, convierte a las restricciones en ecuaciones e ingrésalas en el programa.

6. Una vez identificada la región factible, ubica el cursor en cada una de las intersecciones para conocer qué restricciones forman el punto de intersección. En la barra de Entrada escribe Interseca [a,b] o escribe Inter y se desplegará un menú con varias opciones. Escoge Interseca [<objeto>,<objeto>]. Reemplaza por las letras correspondientes a las restricciones que se intersecan.

7. Para apreciar solo la región factible, apaga cada una de las restricciones; haz clic en el botón izquierdo de cada restricción.

- Practica con ejercicios de programación lineal.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Consumo responsable de los servicios básicos

Recursos

- Materiales de oficina: cartillas, hojas, cartulinas, marcadores
- Tecnológicos: calculadora, tablet, celular, computadora con la aplicación GeoGebra
- Internet

Justificación

La regresión lineal es un análisis numérico dentro de la optimización matemática, en el que (dados un conjunto de pares ordenados llamados variable independiente y dependiente) se desea encontrar una mejor aproximación a los datos, de acuerdo con el mínimo error cuadrático. La regresión se encuentra presente en toda actividad humana. En el hogar es útil, pues permite conocer cuán responsable se es en el consumo de bienes y servicios, en la capacidad de ahorrar y prever para el futuro. Las empresas se benefician de la predicción, pues a través de ella toman decisiones acertadas de producción y ahorro, lo cual permite generar más fuentes de trabajo.

Objetivos

- Utilizar la regresión lineal para conocer el comportamiento de las variables pago de servicios básicos y el consumo de estos.
- Construir bases de datos X para el rubro de cuánto se cancela por agua, luz, teléfono o Internet; y Y para la variable de consumo.
- Generar una campaña que oriente a un consumo responsable de los servicios básicos.

Actividades

- Formen equipos de dos o tres estudiantes. Cada estudiante recopilará las cartillas de un servicio básico diferente (de al menos 6 meses atrás) de la misma vivienda.
- Generen una tabla de datos con las siguientes características: X para el rubro de cuánto se cancela y Y para el consumo (el cual se aprecia en el diagrama de barras o sectores, anexo a la cartilla).
- Utilicen GeoGebra para conocer cada una de las medidas de análisis: el promedio de consumo, la dispersión de consumo, la relación entre variables, y la recta de comportamiento.

▲ Grupo de estudiantes.

- Investiguen. Para lo relativo a consumo, ¿qué significa una recta con un ángulo de giro muy grande, muy pequeño o igual a cero?
- Analicen los resultados obtenidos y contesten: ¿Qué pendiente es la ideal en lo relativo a consumos?
- Diseñen una campaña para concienciar sobre el uso responsable de los servicios básicos, utilizando los gráficos obtenidos. Expliquen a sus compañeros y compañeras que un uso adecuado de servicios implica que otras localidades posean este servicio y se genera, así, una cultura de ahorro.

Conclusiones

La regresión lineal sirve para explorar datos y confirmar teorías.

La regresión lineal sirve para explicar el comportamiento de variables.

La regresión lineal se halla presente en todas las áreas del conocimiento.

En síntesis

En síntesis