Title: Unidad 3
Course: Matemáticas Plus + 3 BGU

Sucesiones reales convergentes y distribuciones de probabilidad

Aplicaciones de distribuciones de probabilidad

Aristóteles dijo: “La probabilidad es lo que suele ocurrir”. No se puede predecir el futuro, pero se puede utilizar la probabilidad matemática para determinar qué tan probable es que algo  pueda o no suceder. Así, de manera inconsciente, el ser humano utiliza la probabilidad en varias facetas de su vida. Por ejemplo en el deporte, siempre hay la probabilidad de que tu equipo gane o pierda el partido. Igual sucede en los juegos de mesa, donde está presente la probabilidad de ganar o perder, e incluso en el campo de la medicina, cuando el médico determina que el enfermo necesita una cirugía, y el paciente quiere conocer el grado de éxito de la operación. La probabilidad también está presente en las primas de seguros de autos: antes de otorgar un tipo de seguro, analizan si eres un conductor responsable o no, y luego determinan la prima. Asimismo en el estado del tiempo, los meteorólogos realizan predicciones sobre la base de datos y patrones de años anteriores.

Adaptado de: https://prezi.com/jbrsljdnmaxw/aplicaciones-de-la-estadistica-y-la-probabilidad-en-la-vida/

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​
Estadística y probabilidad

  Objetivos

- O.M.5.3. Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.
- O.M.5.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- O.M.5.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿En qué aspectos de tu vida utilizas la probabilidad?
- ¿Crees qué se puede predecir el número de llamadas que tiene el Ecu 911 en un minuto? ¿Por qué?
- ¿Puedes predecir el número de mensajes que tendrás durante dos horas en tu celular?
- ¿Qué otro evento puedes predecir? Menciónalo.

Sucesiones convergentes. Límite de una sucesión

DCDD: M.5.1.59. Realizar las operaciones de suma y multiplicación entre sucesiones numéricas reales y la multiplicación de escalares por sucesiones numéricas reales aplicando las propiedades de los números reales. M.5.1.60. Identificar sucesiones convergentes y calcular el límite de la sucesión.

● Sucesiones convergentes. Límite de una sucesión

Saberes previos

¿Qué es una sucesión?

Desequilibrio cognitivo

¿Puede el límite de una sucesión ser infinito?

Simbología matemática

n → ∞ se lee "n tiende a infinito" o "n es suficientemente grande".

∞ es el símbolo infinito, no es un número real.

n ∈ ℤ^+ es un número elemento de los enteros positivos.

Antes de dar una definición formal de límite de una sucesión, se procede a dar una de tipo intuitivo que se propone en los ejemplos.

1. Se considera la sucesión numérica real (u_n) definida como
, ∀n ∈ ℕ. Se tienen las desigualdades siguientes:

es decir que para n ∈ ℤ^+ cada vez más grande, los correspondientes valores que se obtienen de la sucesión se aproximan cada vez más a cero.

Por ejemplo, para n_1 = 10^4, se tiene

para n_2 = 10^10, resulta

para es mucho más pequeño que y este, a su vez, es más pequeño que . Esta situación se expresa como sigue: u_n se aproxima a 0 conforme n → ∞, o también u_n converge a 0 conforme n → ∞, que se escribe o también

Esta última escritura se lee: "el límite de u_n es 0 cuando n tiene a ∞".

Observa que en términos de la distancia de números reales d(x, y) = |x − y| , ∀x, y ∈ ℝ, la aproximación o convergencia de u_n a 0 se compara con esta distancia y con un número 𝜀 > 0 arbitrario, cuando n ≥ n_0, siendo n_0 ∈ ℤ ^+ lo que debe determinarse. Entonces,

d(u_n ,0) = |u_n − 0| = |u_n| 𝜀 < cuando n ≥ n_0.

Por ejemplo, si 𝜀 = 10^−2 la desigualdad se verifica si se elige . En este caso, elegimos n_0 ∈ ℤ^+ que verifique esta desigualdad, por ejemplo, n_0 = 201 satisface la condición . Así, se tiene la implicación:

n > 201 ⟹ d(u_n ,0) = |u_n| < 10^−2 = 𝜀.

Decimos entonces que la sucesión (u_n), definida como , ∀n ∈ ℕ converge a 0.

Recuerda que...

Existen dos clases de sucesiones reales: las convergentes y las divergentes.

Definición. Sea (a_n) ∈ S.

Diremos que (a_n) es divergente si ella no es convergente.

Definición. Sea (a_n) ∈ S. Se dice que (a_n) es una sucesión de Cauchy si esta satisface la condición siguiente:

∀𝜀 > 0, ∃n_0 ∈ℕ, tal que

∀m,n∈ℕ, con

m,n≥n_0 ⟹ |a_n − a_m| < 𝜀.

Definición. Sea (a_n) ∈ S.

i. Se dice que (a_n) es una sucesión acotada superiormente si y solo si existe c ∈ ℝ, tal que a_n ≤ c, ∀n∈I. El número real c se llama cota superior de la sucesión (a_n).
ii. Se dice que (a_n) es una sucesión acotada inferiormente si y solo si existe c ∈ ℝ, tal que c ≤ a_n, ∀n∈I.
El número real c se llama cota inferior de la sucesión (a_n).
iii. Se dice que (a_n) es una sucesión acotada, si esta es superior e inferiormente acotada. Es decir, existe c>0, tal que |a_n| ≤ c, ∀n∈I. El número real positivo c se llama cota superior de la sucesión (a_n).

1. Consideremos la sucesión (a_n) definida como

Determinemos el límite de esta sucesión. Para n ∈ ℤ^+ dividimos numerador y denominador por n^2, tenemos

^

Utilizando un argumento similar al del ejemplo precedente (1), se tiene

^

por lo tanto, o también

Nota que

^

Para n > 55 se tiene

^

Se denota con S al conjunto de sucesiones reales definidas en I ⊆ N.

Definición. Sea (a_n) ∈ S. Se dice que (a_n) es convergente si y solo si existe L∈R que satisface la condición siguiente:

∀𝜀 > 0, ∃n_0 ∈ℕ, tal que ∀n∈ℕ, con n ≥ n_0 ⟹ |a_n − L| < 𝜀

Si (a_n) es una sucesión que converge a L, escribimos que se lee "el límite de a_n cuando n tiende a infinito es igual a L"; diremos también (a_n) tiende a L cuando n tiende a infinito, lo que escribimos

Ejercicio resuelto

1. La sucesión es acotada, pues , ∀ n ∈ ℤ^+.

Nota que la cota superior de esta sucesión es 1. Además, converge a 1, esto es, o también ^

1. La sucesión (sen(n)) es divergente. Esta es acotada; una cota superior es 1.

Recuerda la definición

Algunos resultados importantes de las sucesiones convergentes son:

1. Si (a_n) es una sucesión convergente, su límite es único.

2. Toda sucesión convergente es acotada. El recíproco, en general, no es cierto. Por ejemplo, la sucesión es acotada, pero no es convergente.

3. Si (a_n) es una sucesión convergente, tal que a_n ≥ 0, ∀n∈l, entonces El límite de toda sucesión real no negativa es no negativo.

4. Toda sucesión (a_n) creciente y acotada superiormente es convergente. Por ejemplo, la sucesión es creciente y acotada superiormente por 3,

5. Toda sucesión (a_n) decreciente y acotada inferiormente es convergente. Por ejemplo, la sucesión es decreciente y acotada inferiormente por ,

Álgebra de sucesiones convergentes

Las operaciones con sucesiones convergentes se describen con los siguientes ejemplos.

1. Sea (a_n) la sucesión definida como a_n = 1 − 2^−n n∈ℕ. Se tiene que (a_n) es creciente y acotada superiormente. En efecto, n > n + 1 ⟹ 2^−(n+1) < 2^−n. Multiplicando por –1 a esta desigualdad y luego sumando 1 en ambos miembros, resulta

1 − 2^−n <1 − 2^−(n+1)⇔ a_n < a_n_+1,

o sea, la sucesión (a_n) es creciente. Como 0 < 2^−n ≤ 1, ∀n∈ℕ, se sigue que 0 ≤ 1 − 2^−n ≤ 1, ∀n∈ℕ, que muestra que (a_n) es acotada inferiormente por 0 y superiormente por 1. Además . Luego,

Sean (a_n), (b_n) las sucesiones reales definidas como

^

Calculemos En primer lugar, se tiene a_n > 0, ∀n∈ℕ.

A continuación, si dividimos numerador y denominador por n^2, tenemos

^

Por otro lado, tenemos los siguientes resultados: ^

Entonces,

^

Con estos argumentos, en el numerador y denominador de la sucesión (a_n) se tiene

^

En consecuencia, todos estos resultados se expresan como

^

Procediendo de manera muy similar a lo precedente, tenemos

^

Con todos estos argumentos,

Recuerda que...

Sean (a_n), (b_n) sucesiones reales definidas en I, λ∈ℝ. Supongamos que (a_n ), (b_n ) son convergentes a x, e, y. Entonces,

i. Si b_n ≠ 0, ∀n∈I y

es convergente, y,

ii. Si  b_n ≠ 0, ∀n∈I y la sucesión es convergente, y,

Propiedades básicas de los límites de sucesiones convergentes

1. Sean (u_n ), (v_n ) sucesiones convergentes. Entonces (u_n ± v_n) es convergente, y,
2. Sean (u_n ) una sucesión convergente y λ∈ℝ. Entonces la sucesión (λu_n ) es convergente, y,
3. Sean (u_n ), (v_n ) sucesiones convergentes, entonces la sucesión (u_n v_n) es convergente, y
4. Sean (a_n ), (b_n ) sucesiones convergentes. Si b_n ≠ 0, ∀n∈l y entonces es convergente, y
5. Sean (a_n ) una sucesión y L ∈ ℝ. Si entonces ^ El recíproco, en general, no es cierto. Por ejemplo, la sucesión (a_n ) con a_n = (–1) ^n no es convergente, mientras que |a_n| = 1, ∀n∈ℤ^+, con lo que la sucesión (|a_n|) converge a 1.

Ejercicio resuelto

Estas propiedades básicas de límites de sucesiones convergentes se conocen como álgebra de sucesiones convergentes.

Sea ^ Esta sucesión converge a 9. Pues

^

Como , entonces  y  .

Por lo tanto a_n converge a 9 cuando n → ∞.

Aplicaciones numéricas. Método de Newton-Raphson

DCCD: M.5.1.61. Conocer y aplicar el álgebra de límites de sucesiones convergentes en la resolución de aplicaciones o problemas con sucesiones reales en matemática, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas.

● Aplicaciones numéricas. Método de Newton-Raphson

Saberes previos

¿Qué propiedades cumple el cuerpo de los números racionales?

Desequilibrio cognitivo

¿Es \( \sqrt{2} \) elemento de los números racionales?

Anteriormente se explicó que el elemento √2 se comprende como el único resultado de todas las aproximaciones de √2. Así, por ejemplo,

1,414 2
1,414 213
1,414 213 5
1,414 213 561 9

Cada una de estas aproximaciones es un número racional r_m con m∈ℤ^+. ¿Cómo se puede obtener una sucesión (r_m ) de números racionales, tales que^ ?

Para el efecto, aplicamos el método de Newton-Raphson que se describe en varias etapas.

Etapa 1. Definimos la función real f en ]0, ∞[ como:

f (x) = x^2 − 2, x ∈ ]0, ∞[.

Tenemos la equivalencia

f (x) = 0 ⇔ x^2 − 2 = 0 ⇔ x^2 = 2

y como ∈ ]0, ∞[, resulta x = √2, que muestra que x = √2 es una raíz de la ecuación f(x) = 0 en ]0, ∞[:

x^2 − 2 = 0. Luego, f (x) = (x^ − √2)(x^ + √2), x ∈ ]0, ∞[.

En la Figura 3.1. se muestra una porción de gráfica de f y el punto de corte (√2, 0) de dicha gráfica con el eje x.

▲ Figura 3.1.

Etapa 2. Calculamos la derivada de la función f. Para el efecto, calculamos el cociente incremental. Sean x ∈ ]0, ∞[ , h ∈ ℝ tal que h ≠ 0 y x + h > 0. El cociente incremental de f en x está definido como

^

De la definición de la función f, tenemos

^

Así, Q(h) = 2x + h con h ≠ 0, x ∈ ]0, ∞[ , tal que x + h > 0. Nota que es decir que para |h| suficientemente pequeño, 2x + h se aproxima a 2x. A este número real lo hemos denominado derivada de f en x, y lo notamos

^ o también, f ' (x) = 2x.

En la Figura 3.2. se muestran los puntos (a, f(a)), (a + h, f(a + h)) y la recta secante L_h que pasa por estos dos puntos.

▲ Figura 3.2.

La ecuación cartesiana de la recta secante L_h está definida como sigue:

(x, y) ∈ ^2 tal que ^ con h ≠ 0,

o también

(x, y) ∈ ^2 tal que y − f(a) = Q(h)(x − a) con h ≠ 0,

Cuando |h| es suficientemente pequeño, lo cual escribimos |h| → 0 y se lee "|h| tiende a cero", la recta secante L_h se vuelve la recta tangente L a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) cuya ecuación cartesiana es:

(x, y) ∈ ^2 tal que y − (a) = f ' (a)(x − a) = 2a(x − a).

(Ver unidad 4 libro 1)

Interdisciplinariedad

Matemática e Historia

El método de Newton es conocido también como método de Newton-Raphson o método de Newton-Fourier. Es un algoritmo que permite encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una ecuación.

▲ Isaac Newton (1643-1727).

Etapa 3. Método de Newton-Raphson

Sea x_0 ∈ ]0, ∞[. A este punto x_0 lo elegimos como una aproximación de √2 y como un elemento de ℚ^+. Tracemos la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (x_0, f(x_0)). La ecuación cartesiana de esta recta es

(x, y) ∈ℝ^2 tal que y − f(x_0) = f'(x_0) (x − x_0)

y corta al eje x en el punto (x, 0). O sea, para y = 0 se tiene

^

De la definición de la función f y la derivada f ' tenemos

^

A este punto x lo notamos con x_1 así,

^

Volvemos a repetir el proceso. La recta tangente a la gráfica de f en el punto (x_0, f(x_0)) tiene como ecuación cartesiana

(x, y) ∈ℝ^2 tal que y − f(x_1) = f'(x_1) (x − x_1)

la cual corta al eje x en el punto (x_2 ,0) con x_2 , que se obtiene como sigue: para y = 0, se tiene

^

A este elemento x lo notamos x_2. Así,

^

En la Figura 3.3. se muestran una porción de gráficas de la función f, de la recta tangente L a la gráfica de f en el punto (x_0, f(x_0)) y su intersección con el eje x, de la recta tangente L_1 a la gráfica de f en el punto (x_1, f(x_1)) y el punto de intersección con el eje x.

▲ Figura 3.3.

Conexiones con las TIC

El valor aproximado de √2 en una calculadora de bolsillo con 9 cifras luego del punto decimal es 1,414 213 562.

Nota que cada aproximación x_m de √2 es un número racional que a su vez es aproximado con nueve cifras luego del punto decimal.

El resultado que da una calculadora de bolsillo es el que mejor podemos obtener como aproximación de √2. En un computador, en cambio, podemos calcular aproximaciones con un número mayor de cifras decimales.

Continuando con este proceso m veces, tenemos

^

con x_m ya calculado. De esta manera hemos construido una sucesión de números racionales (x_m) que se aproxima a √2. La sucesión (x_m) construida como

^

se conoce como método de Newton para el cálculo de la raíz de la ecuación f(x_m) = 0 que en este caso es x = √2. Veamos algunos resultados numéricos.

Elegimos x_0 = 1,5 como aproximación inicial. Entonces

^

Observamos que x_1 es una aproximación de √2. Calculemos x_2:

^

Vemos que x_2 es una aproximación de √2. Calculemos x_3:

^

que es aproximación de √2. Calculemos x_4:

^

Repetimos nuevamente el proceso de cálculo:

^

El valor aproximado de √2 en una calculadora de bolsillo con 9 cifras luego de la coma decimal es 1,414 213 562.

El procedimiento de cálculo que acabamos de describir se aplica para el cálculo de √a con a > 0.

Conexiones con las TIC

Para ampliar tus conocimientos sobre el método de Newton-Raphson a fin de terminar la solución de una ecuación algebraica por aproximaciones, puedes acceder al siguiente enlace:

www.mayedu.ec/matbu3/p83

Ejercicios resueltos

1. Aplicando el método de Newton, calcular aproximaciones de √10 . Para ello, se considera una aproximación inicial de √10: x_0 = 3,1. Se tiene a = 10, y

^

Un valor aproximado de √10 obtenido en una calculadora de bolsillo es 3,162 277 66.

Recuerda que...

F(A) designa el conjunto de funciones reales definidas en A. Con las operaciones de adición (suma de funciones) y producto de números reales por funciones, F(A) tiene estructura de espacio vectorial real, llamado espacio vectorial de funciones reales definidas en A.

Indaga y escribe las propiedades de la adición de funciones y del producto de números reales por funciones. Compara estas propiedades con otros espacios vectoriales.

1. Calcular un valor aproximado de √5 835,2.

Primeramente, ponemos a = 5 835,2. Observemos que (70)^2 = 4 900 y (80)^2 = 6 400, con lo que (70)^2 < a < (80)^2. A continuación, aplicamos el método de Newton. Determinemos una aproximación inicial x_0 de √a . De la observación previa, elegimos
x_0 = (70 + 80) = 75.

Luego,

^

El valor aproximado obtenido en una calculadora de bolsillo: √5 835,2 ≃ 76,388 480 81.

Sucesiones de funciones

Sea A ⊂ ℝ, A ≠ Ø. Se denota con F(A) el espacio vectorial de funciones reales definidas en A.

Definición. Sean A ⊂ ℝ, A ≠ Ø, I ⊂ N con I ≠ Ø. A toda función 𝛗 de I en F(A) se la llama sucesión de funciones.

Notación

Si 𝛗 es una sucesión de funciones, se tiene

^

donde para cada n ∈ I, f_n es una función real definida en A.

A la sucesión 𝛗 la notaremos (f_n) y diremos "sucesión de funciones definida en el conjunto A". El conjunto I se llama conjunto de índices, y f_n (x) con x ∈  A se llama término general de la sucesión (f_n).

En el estudio de las sucesiones de funciones tienen especial interés las sucesiones convergentes y particularmente la convergencia uniforme y sus propiedades.

Ejercicios resueltos

1. Sea (f_n) la sucesión de funciones reales definida por

f_n(x) = x^n, x ∈ [0,1], n = 1, 2,...

Las funciones f_1, f_2, f_3, f_4 de (f_n)se definen a continuación:

f_1(x) = x,   x ∈ [0,1],     f_2(x) = x^2,   x ∈ [0,1],

f_3(x) = x^3,   x ∈ [0,1],     f_4(x) = x^4,   x ∈ [0,1],

En las Figuras 3.4., 3.5., 3.6. y 3.7. se muestran las gráficas de las funciones f_1, f_2, f_3, f_4 .

▲ Figura 3.4.

▲ Figura 3.5.

▲ Figura 3.6.

▲ Figura 3.7.

Debido a que x^n = 0 para 0 ≤ x < 1, y 1^n = 1, se define la función f como sigue:

^

Y en consecuencia,

En la Figura 3.8. se muestra la gráfica de la función f.

▲ Figura 3.8.

1. Sea (f_n) la sucesión de funciones reales cuyo término general está definido como ^

Nota que f_1, f_2, f_3, f_4 son las tres primeras funciones reales definidas como a continuación se indica:

En la Figura 3.9. se muestran las gráficas de las funciones f_1, f_2, f_3, f_4 .

▲ Figura 3.9.

Debido a que ^ para x ∈ ℝ, se define la función f como sigue: f(x) = 0, x ∈ ℝ. En la Figura 3.10. se muestra la gráfica de la función f.

▲ Figura 3.10.

Para n ∈ Z^+, se tiene ^ y en consecuencia, ^

1. Sea (f_n) la sucesión definida como f_n(x) = (–1)^n + x^2, x ∈ [–1, 1].

Las funciones f_1, f_2, f_3, f_4 de (f_n) se definen a continuación:

f_1(x) = –1 + x^2 x ∈ [–1, 1], f_2(x) = 1 + x^2, x ∈ [–1, 1],

f_3(x) = –1 + x^2 x ∈ [–1, 1], f_4(x) = 1 + x^2, x ∈ [–1, 1].

En la Figura 3.11. se muestran las gráficas de las funciones f_1, f_2, f_3, f_4 .

▲ Figura 3.11.

Distribución binomial o de Bernoulli B(n, p)

DCCD: M.5.3.19. Reconocer un experimento de Bernoulli en diferentes contextos (control de calidad, análisis de datos, entre otros) y la distribución binomial en problemas de texto, identificando los valores de p y q.

M.5.3.20. Calcular probabilidades binomiales con la fórmula (o con el apoyo de las TIC), la media, la varianza de distribuciones binomiales, y graficar.

● Distribución binomial o de Bernoulli B(n, p)

Saberes previos

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué es una variable aleatoria discreta?

Interdisciplinariedad

En muchas situaciones de la vida diaria, esperamos al menos uno de dos posibles resultados determinados. Por ejemplo: al jugar tu equipo favorito un partido de fútbol, esperas que pierda o que gane. O cuando se producen ciertos artículos, estos pueden salir buenos o defectuosos. Para situaciones como estas, en las que hay dos posibles resultados, se utiliza la distribución binomial.

▲ Jóvenes jugando fútbol.

Una distribución es binomial o de Bernoulli cuando está asociada
a dos posibles resultados: éxito (p) o fracaso (q).

Ejercicio resuelto

Al lanzar un dado cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres veces el dos?

En este caso, repetimos cinco veces el experimento y en cada lanzamiento tenemos una probabilidad de 1/6 de sacar un dos, y una de 5/6 de no obtener el número dos. Por lo tanto, se trata de una distribución binomial.

La probabilidad de éxito, entonces, es: E = "sacar un 2";
La probabilidad de fracaso es: F = "no sacar un 2";

Para calcular la probabilidad de obtener en las cinco tiradas tres veces el dos, tomamos en cuenta que tenemos tres éxitos y dos fracasos. ¿De cuántas maneras se pueden obtener estos resultados? Tenemos varias opciones. Una de ellas puede ser obtener tres veces dos, en las tres primeras tiradas, y luego en las dos tiradas más sin sacar dos. Esto se puede ilustrar gráficamente así:

^

Como puedes notar, se trata de calcular de cuántas maneras se pueden ordenar tres éxitos y dos fracasos. De acuerdo con el análisis combinatorio, se tiene:

^

Como y tenemos tres éxitos, y y tenemos dos fracasos, entonces:

p(obtener 3 éxitos y 2 fracasos) = = 0,032.

La probabilidad de obtener tres números dos al lanzar cinco veces un dado es del 3,2 %.

Recuerda que...

Un experimento aleatorio sigue una distribución binomial cuando tiene estas características:

- En cada prueba del experimento son posibles dos resultados: el suceso A, al que llamaremos éxito, y su contrario , al que llamaremos fracaso.
- El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
- La probabilidad del suceso A es constante. La representamos por p y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de es 1 – p.
- El experimento consta de un número n de pruebas.
- A la variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en cada prueba, la llamaremos variable de la distribución binomial.
- Esta variable es discreta, ya que únicamente tomará los valores 0, 1, 2.......n.
- Representaremos por B(n, p) a la distribución binomial, siendo n y p los parámetros de la distribución.

Definición. Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial o de Bernoulli y se escribe como Bin (n, p) o X Ξ Bin (n, p) cuando cumple con estas características:

- La variable cuenta el número de veces que ocurre el suceso.
- Depende de dos parámetros n y p, en donde n es el número de veces que se realiza el experimento, y p es la probabilidad de que ocurra el suceso.
- La función de probabilidad de obtener k éxitos está dada por:

Nota que p es la probabilidad de éxito, q es la probabilidad de fracaso, y estas son complementarias. Es decir, q = 1 – p y p = 1 – q, por lo que basta conocer una de ellas para calcular la otra probabilidad.

En el ejemplo anterior tenemos: probabilidad de éxito: p = 1/6,        probabilidad de fracaso: q = 5/6.

Número de veces que se repite el evento: n = 5.

Éxitos por lograr: k = 3.

^

Ejercicio resuelto

Penélope es jugadora de básquet y encesta con una probabilidad de 1/3. Al cobrar tiros libres y tirar dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que enceste dos veces, una vez, ninguna?

Obtenemos los datos del problema:

Probabilidad de éxito: p = 1/3.

Probabilidad de fracaso: q = 2/3.

Número de veces que lanza la pelota: n = 2.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Penélope enceste dos veces?

k = 2,

^

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Penélope enceste una vez?

k = 1,

^

c) ¿Cuál es la probabilidad de que Penélope no enceste?

k = 0,

^

Uso de tablas de la distribución binomial

Para el cálculo de la distribución binomial existen tablas que facilitan la obtención de la probabilidad. Para usar estas tablas, es necesario conocer:

- el número de veces que se repite el experimento n;
- la probabilidad de éxito p;
- el número de éxitos k.

Ejercicio resuelto

Se lanza al aire una moneda trucada; la probabilidad de obtener cara es del 30 %. Si se lanza la moneda diez veces de manera consecutiva, ¿cuál es la probabilidad de obtener seis caras o menos?

Para este problema, los datos son: n = 10;  X = 6; p = 30 % = 0,3.

Localizamos en la columna de n el valor de 10; en la columna contigua, el valor de X = 6; y en la fila de p, el valor de 0,3. El valor de la probabilidad es donde está la intersección.

En este caso, la probabilidad de obtener seis caras o menos es de 0,989 4.

▲ Tabla de la distribución binomial. Tomada de: http://www-eio.upc.edu/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdf

Recuerda que...

Si tenemos una distribución binomial B(n, p) de parámetro n y p, podemos determinar lo siguiente:

Media o esperanza. Mide el número esperado de éxitos o media; está dada como μ = np.

Desviación típica. Es la medida de dispersión y mide lo alejados que están los datos de la media; está determinada por
Varianza. Es el cuadrado de la desviación típica: σ^2 = np(1 − p).

Probabilidad acumulada

Ejercicio resuelto

Una prueba de matemática está compuesta por diez preguntas de selección múltiple, cada una de ellas con cuatro respuestas, una de ellas correcta. Un estudiante contesta al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos ocho preguntas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte a lo sumo tres preguntas?

c) ¿Cuál es la media y la varianza de la distribución de probabilidad?

De acuerdo con los datos, se trata de una distribución B(n, p).

n = 10;    p = 0,25;   q = 0,75.

a) Probabilidad de acertar al menos ocho preguntas: quiere decir que puede acertar más de ocho. Calculamos cada probabilidad en la tabla.

P[X 8] = P[X = 8] + P[X = 9] + P[X =10]

                 = 0,004 + 0,000 + 0,000 = 0,004.

b) Probabilidad de acertar a lo sumo tres preguntas: quiere decir que puede acertar hasta tres preguntas. Calculamos cada probabilidad en la tabla.

P[X 3] = P[X = 0] + P[X =1] + P[X = 2] + P[X = 3]

                                = 0,056 3 + 0,187 7 + 0,281 6 + 0,250 3 = 0,775 9.

c) La media y la varianza de la distribución es:

μ = np = 10(0,25) = 2,5

σ ^2 = np(1 − p) = 10(0,25)(0,75) = 1,875.

▲ Tabla de distribución binomial. Tomada de: http://www.uv.es/~montes/nau_gran/tablas.pdf

Conexiones con las TIC

En la actualidad, las tablas para el cálculo de la distribución binomial pueden ser sustituidas por las plantillas que se presentan en Excel. En el enlace, se explica cómo construir en Excel una plantilla para calcular la probabilidad binomial: www.mayedu.ec/matbu3/p91

Distribución normal X≡N(𝜇, σ)

DCCD: M.5.3.21. Analizar las formas de las gráficas de distribuciones  normales en ejemplos de aplicación, con el apoyo de las TIC, y juzgar en contexto la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Distribución normal X≡N(𝜇, σ)

Saberes previos

¿Qué es la campana de Gauss?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuáles son algunos de los aspectos cotidianos que se pueden estudiar y que, al graficarlos, se asemejan a la forma de una campana?

Definición. Una distribución de probabilidad sigue una distribución normal de media 𝜇 y desviación típica σ, que se representa como N(𝜇, σ) cuando la representación gráfica de su función de densidad es una curva positiva continua, simétrica a la media, de máximo en la media, y que tiene dos puntos de inflexión, situados a ambos lados de la media (𝜇 − σ, 𝜇 + σ) respectivamente, y a distancia σ de ella. Es decir, toma la forma de la Figura 3.12.

▲ Figura 3.12.

Dependiendo de los valores que tomen 𝜇 y σ, la gráfica de esta función puede ser más alargada o achatada, pero siempre toma la forma de una campana, conocida como la campana de Gauss.

Propiedades

i) El área encerrada bajo la curva normal N(𝜇, σ) siempre es 1 o el 100 % de los casos.
ii) Es una distribución simétrica.
iii) Es asintótica; es decir, sus extremos nunca tocan el eje horizontal, cuyos valores tienden al infinito.
iv) En el centro de la curva se encuentran la media, la mediana y la moda.
v) Los elementos centrales del modelo son la media y la varianza.

La más importante de todas las distribuciones normales es la que tiene por media 𝜇 = 0 y σ = 1, y se denota como Z ≡ N(0, 1). Puesto que el área bajo esta curva normal es 1, se define una probabilidad de la siguiente manera:
para un valor cualquiera k, definimos la probabilidad de que la distribución Z ≡ N(0, 1) sea menor o igual que k como P(Z ≤ k) es el "área encerrada bajo la curva normal N(0, 1) desde –∞ hasta k", es decir, la parte rayada de la Figura 3.13.

▲ Figura 3.13.

Recuerda que...

- Para calcular una probabilidad con un valor mayor a 3,99, basta fijarse en que las probabilidades que corresponden a valores mayores a 3,62 tienen un valor de 0,999 9 que se aproxima a 1.
- No tiene sentido calcular probabilidades del tipo
P(Z = k). Estas siempre valen cero, pues no encierran ningún área.
- Al calcular probabilidades del tipo P(Z ≥ k), se hace uso de su complementario. Así,
P(Z ≥ k) = 1 – P(Z < k).

Uso de tablas de la distribución normal N(0, 1)

El cálculo de la distribución normal se realiza mediante valores tabulados desde 0 hasta 3,99, los cuales se  encuentran en tablas como la que se presenta en la página 97 de este texto.

Ejercicio resuelto

Calcular la probabilidad P(Z ≤ 0,46). Para ello, se siguen los siguientes pasos:

i) Buscar la parte entera y las décimas en la primera columna; en este caso, 0,46.

ii) Buscar las centésimas en la primera fila; en este caso, 0,06.

iii) El punto de intersección de la fila y la columna es la probabilidad buscada; en este caso, P(Z ≤ 0, 46) = 0,677 2.

▲ Tomada de: http://www.x.edu.uy/inet/Distribucion_Normal_ejemplos.pdf

Tipificación

En ocasiones no tenemos una distribución normal N(0, 1), sino una distribución normal N(𝜇, σ). Para el cálculo se debe realizar el proceso de tipificación de la siguiente manera:

Si X sigue una distribución N(𝜇, σ), entonces la variable sigue una distribución N(0, 1).

El paso de la variable X → N(𝜇, σ) a Z → N(0,1) se denomina tipificación de la variable X.

Ejercicio resuelto

La temperatura en Guayaquil, durante el mes de agosto, está distribuida normalmente con una media de 28,5 °C y desviación estándar de 4 °C. ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura en Guayaquil durante el mes de agosto esté por debajo de los 30 °C?

Los datos que proporciona el problema son:

𝜇 = 28,5 °C;   σ = 4 °C;   X = 30 °C.

Se trata de una distribución normal N(28,5; 4). Para poder utilizar la tabla y calcular la probabilidad, realizamos el proceso de tipificación.

Determinamos la probabilidad para Z = 0,38 en la tabla de la página 97.

P(Z ≤ 0,38) = 0,648 0. Es decir, existe la probabilidad del 64 % de que la temperatura en Guayaquil sea menor de 30 °C.

Cálculo de probabilidades con distribución normal

▲ Figura 3.14.

a) Si k es positivo y se quiere calcular P(Z ≥ k), es decir, el área rayada de la Figura 3.14., basta encontrar el complemento de esta probabilidad. Es decir:

P(Z ≥ k) = 1 – P(Z ≤ k).

b) Si k es positivo y se quiere calcular P( Z ≤ –k), es decir el área rayada de la Figura 3.15., entonces por simetría,

P(Z ≤ –k) = P(Z ≥ k).

▲ Figura 3.15.

Esta se calcula como en el caso anterior.

p(Z ≤ –k) = p(Z ≥ k). La simetría permite reducir este caso al anterior.

c) Si k es positivo y se quiere calcular P(Z ≥ – k), es decir el área rayada de la Figura 3.16., entonces por simetría se obtiene

P(Z ≥ –k) = P(Z ≤ k).

▲ Figura 3.16.

p(Z ≥ –k) = p(Z ≤ k). La simetría permite reducir este caso al que ya está tabulado.

d) Las probabilidades comprendidas entre dos valores, P(k_1 ≤ Z ≤ k_2), es decir, el área rayada de la Figura 3.17., se calcula restando las dos áreas:

P(k_1 ≤ Z ≤ k_2) = P(Z ≤ k_2) – P(Z ≤ k_1).

▲ Figura 3.17.

Información adaptada de: http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T03.pdf

p(Z ≤ k_2 ). En la primera imagen. p(Z ≤ k_1 ) en la segunda imagen. Al restar obtenemos el área pedida.

Ejercicio resuelto

El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media 3,5 kg y una desviación típica de 0,6 kg. Calcular la probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 kg y 4 kg.

La distribución es normal, con N(3,5; 0,6); X = peso de los niños. Se pide calcular P(2,7 ≤ X ≤ 4). Tipificamos así:

^

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Estos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando una forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. Lleva el nombre del genio de la matemática Carl Friedrich Gauss, aunque quien realmente la descubrió y publicó fue Abraham de Moivre.

▲ Carl Gauss (1777 - 1855).

▲ Tabla de distribución normal. Tomado de: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dfaraco/docencia/ambientalesmat1/Normal.htm

Ejercicio resuelto

Si X es una variable aleatoria de distribución N(𝜇, σ). Hallemos P(𝜇 – 3 ≤ σ + 3).

▲ Figura 3.18.

Realizamos el proceso de tipificación:

Entonces: P(x_1 ≤ X ≤ x_2)

^

Aproximadamente el 99,72% de los valores de X están a más de las tres desviaciones típicas de la media.

Distribución de Poisson X: Ps(λ)

DCCD: M.5.3.18. Identificar variables aleatorias discretas en problemas de texto y reconocer la distribución de Poisson, como ejemplo de variables aleatorias discretas y sus aplicaciones.

● Distribución de Poisson X: Ps(λ)

Saberes previos

¿Cuál es la diferencia entre variable discreta y variable continua?

Desequilibrio cognitivo

¿Existe alguna relación entre distribución binomial
y normal?

Recuerda la definición

- La distribución
de Poisson es, junto con la distribución binomial, una de las más importantes distribuciones de probabilidad para variables discretas. Es decir, solo puede tomar valores 0, 1, 2, 3, 4, …, k.
- Utilizaremos la distribución de Poisson como una aproximación del experimento binomial, donde el número de pruebas es muy alto (n→∞), pero con probabilidad de éxito muy baja ( p→0).

Para comprender mejor esta distribución, vamos a analizar el siguiente caso. Supongamos que tenemos una tabla rectangular cuya superficie se encuentra pintada; al observarla fijamente, es posible detectar pequeños defectos. Se desea determinar la probabilidad de que aparezcan estos defectos y, para ello, se divide la superficie en otras de igual tamaño, como muestra la Figura 3.19.

▲ Figura 3.20.

Observamos que en unas zonas aparece el defecto y en otras no.
Supongamos que en cada zona solo aparece un defecto. Entonces podemos utilizar la distribución binomial para calcular la probabilidad de que en la superficie en mención aparezcan 0, 1, 2, 3, 4 defectos.

^

Ahora bien, en una zona podría aparecer más de un defecto, por lo que el cálculo es inexacto. Para corregir este error, debemos subdividir el área en varias regiones de tal manera que podamos obtener el límite de la fórmula de la distribución binomial y obtener la fórmula de Poisson.

Características de la distribución de Poisson X: Ps(λ).

La distribución de Poisson de una variable aleatoria X y parámetro se representa con la notación

X: Ps(λ).

Propiedades:

- Se aplica a una población de tamaño infinito.
- Los sucesos son independientes entre sí.
- La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
- Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito en cada ensayo es baja. Es aquí cuando se aplica la distribución de Poisson.
- El producto de np tiende a aproximarse a un valor promedio, al que lo denominamos parámetro λ.

Simbología matemática

P(X = k) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor infinito k.

λ (lambda) es la ocurrencia promedio por unidad de tiempo, volumen, área, etc.

e es la constante con valor aproximado de 2,711 828.

k es el número de éxitos por unidad.

Función de probabilidad de Poisson

La función de probabilidad de la distribución de Poisson se expresa así:

^

Algunos ejemplos de probabilidad de distribución de Poisson son:

- Número de clientes atendidos en un banco en dos horas.
- Número de personas que ingresan a una página web en una hora.
- Número de partículas de impureza en un metro cúbico de agua.
- Número de defectos en un metro cuadrado de tela.
- Número de vehículos que cruzan un semáforo en 30 segundos.

Recuerda que...

- La media µ o valor esperado en la distribución de Poisson es igual al parámetro λ.
- La varianza σ^2 en la distribución de Poisson es igual a λ.
- La desviación estándar es la raíz cuadrada de λ.

Ejercicios resueltos

1. En una fábrica de tornillos, la probabilidad de que uno de ellos salga defectuoso es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 tornillos ya fabricados salgan 5 defectuosos?

Los datos son:
p = 0,012; n = 800; λ = 800(0,012) = 9,6; k = 5,

^

La probabilidad de que haya 5 tornillos defectuosos de 800 fabricados es del 4,6 %.

1. La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de autobuses es de 0,025 por cada día de trabajo. Si la compañía trabaja 360 días del año, ¿cuál es la probabilidad de tener 4 accidentes?

Los datos son: p = 0,025 por cada día de trabajo;
n = 360;                        λ = np
λ = 360(0,025) = 9;    k = 4

^

La probabilidad de tener 5 accidentes en 360 días es del 3,37 %.

1. Supongamos que se conoce que a un hospital llegan pacientes a la sala de emergencia a razón de 5 cada 2 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 4 personas en 2 horas?
X es el número de pacientes que llegan a la sala de emergencia del hospital en 2 horas.
λ = 5; k = 4

^

La probabilidad de que lleguen a la sala de emergencias 4 personas en 2 horas es del 17,54 %.

Conexiones con las TIC

El programa GeoGebra te permite realizar algunas gráficas
de distribución estadística.
Si ingresas al siguiente enlace
www.mayedu.ec/matbu3/p102
podrás mirar el tutorial para efectuar las gráficas que se muestran a continuación.

▲ Figura 3.21.

▲ Figura 3.22.

▲ Figura 3.23.

Lectura de tablas de la distribución de Poisson

La tabla de probabilidad de Poisson permite resolver los ejercicios y problemas anteriores con mayor facilidad. Para utilizarla es necesario conocer el valor de lambda λ y el valor de X. Recuerda que X es el número de éxitos que buscamos y que X = k.

Ejercicios resueltos

1. Supongamos que X es una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson con λ = 0,9 y X = k = 3. ¿Cuál es la probabilidad de X?

Sigue estos pasos:

i) Localiza en la columna de la tabla x = 3.
ii) Localiza en la fila de la tabla λ = 0,9.
iii) Busca la intersección de los dos valores y esa es la probabilidad.

La probabilidad de X es de 0,049 4, que corresponde al 4,9 %.

1. Retomemos el problema de los pacientes de un hospital y resolvámoslo utilizando la tabla de distribución de Poisson.

Supongamos que se conoce que a un hospital llegan pacientes a la sala de emergencia a razón de 5 cada 2 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen por lo menos 3 personas en 1 hora?

X es el número de pacientes que llegan al hospital en 1 hora.
λ = 2,5.
La pregunta hace referencia a que lleguen por lo menos 3 personas, es decir que pueden llegar más. Entonces:

P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3), = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)].

Buscamos en la tabla los valores cuando
λ = 2,5 y k = 0; k = 1 y k = 2.

Obtenemos los valores

P(X ≥ 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)],
                  = 1 – [0,082 1 + 0,205 2 + 0,256 5],
                  = 0,456 1.

Conexiones con las TIC

La tabla que se muestra en esta página es una parte de la tabla completa. Si necesitas  obtener más valores, te sugerimos descargar la tabla completa del siguiente enlace:

www.mayedu.ec/matbu3/p103

Tabla de distribución de Poisson, tomada de:

http://ocw.ub.edu/admistracio-i-direccio-dempreses/estadistica-empresarial-i/fitxers/temes/TABLAS-ESTADISTICAS.pdf

Solución de problemas cotidianos

Shutterstock, (2017). 266693240

Se pide:

a) El porcentaje de los días que obtendrá premio el distribuidor “Viajes.
b) El porcentaje de los días que obtendrá premio el distribuidor “Placer.
c) ¿A qué distribuidor beneficia la decisión de la agencia?

Análisis de datos
Se trata de una distribución normal en la que para el primer caso se tiene N(290, 20) y para el segundo caso se tiene N(300, 10).

Modelización

a) Para resolver el literal a), consideramos:
X = “número de paquetes de viajes vendidos por el distribuidor Viajes' al día
N(290, 20)
Para obtener el premio, el porcentaje de días debe ser mayor o igual que 320.

Interpretación
El 6,68 % de los días obtendrá premio el distribuidor “Viajes.

Modelización

b) Para resolver el literal b), procedemos de la misma manera.
X = “número de paquetes de viajes vendidos por el distribuidor Placer' al día.
N(300, 10)

Interpretación
El 2,28 % de los días obtendrá premio el distribuidor “Placer.

c) Del cálculo de la probabilidad, se observa que el distribuidor “Viajes resulta beneficiado de la decisión de la agencia.

Agencia de viajes

1. Una agencia de viajes ofrece un premio entre los distribuidores si venden 320 o más paquetes de viajes por día. Sabemos que el número de paquetes de viajes vendidos al día por los distribuidores “Viajes y “Placer siguen una ley normal de la forma siguiente:

p Viajes y turismo.

Distribuidor | Media | Desviación típica
“Viajes | 290 paquetes de viaje | 20 paquetes de viaje
“Placer | 300 paquetes de viaje | 10 paquetes de viaje

Practica en tu cuaderno

Fuente: archivo editorial, 2017

2. El tiempo en horas empleado en elaborar un producto sigue una distribución N(10, 2). Cuál es la probabilidad de que ese producto tarde en ser elaborado:

a) menos de 6 horas.
b) entre 8 y 12 horas.

3. En una empresa se requiere contratar personal calificado. La directora de Recursos Humanos realiza una prueba de 10 ítems a los aspirantes a un puesto, teniendo en cada ítem 4 posibles respuestas, de las que solo 1 es correcta. Suponiendo que los aspirantes tienen la misma probabilidad de responder, cuál es la probabilidad de que:

a) contesten todos los ítems mal.
b) contesten al menos 4 ítems bien.
c) contesten entre 4 y 6 ítems bien.
d) contesten todos los ítems bien.
e) contesten menos de 3 ítems bien.

4. El 30 % de un determinado pueblo ve un concurso por televisión. Desde los estudios donde se realiza el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo, elegidas al azar. Cuál es la probabilidad de que, entre las 10 personas, estuvieran viendo el programa:

a) más de 8 personas.
b) algunas de las 10 personas.
c) ¿Cuál es la media y la desviación típica?

Estos problemas han sido adaptados de: http://www.estadistica.net/Aeronautica2016/ejer-distribuciones.pdf

Desafíos científicos

Desafíos científicos

Matemática y evaluación del aprendizaje

¿Qué tiene que ver la matemática con la evaluación del aprendizaje? Pues en realidad mucho, ya que al analizar la evaluación de desempeño o de aprendizaje, inmediatamente se hace referencia a un modelo normal de distribución de calificaciones.

Sin embargo, debe entenderse que el modelo normal es aplicable solo en aquellos casos en que las calificaciones deben responder a la necesidad de orden a un determinado grupo de individuos de “excelentes” a “deficientes”, situación que hace referencia a la nota obtenida, mas no a los procesos de aprendizaje que valoran y enfatizan la forma y dificultades que el estudiante tiene en el proceso.

Si bien es cierto que la distribución normal nos permite tener un aprendizaje del grupo de trabajo como docentes, esto no implica que sea el único recurso para reflexionar sobre la labor docente en el aula. Es un parámetro, pero existen otros factores que se deben tomar en cuenta al momento de realizar la evaluación del aprendizaje.

Adaptado de: http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07051997000100005

▲  Distribución normal de un ejemplo de rendimiento.

▲ Figura 3.24.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Licenciatura en Matemática

La matemática provee un lenguaje riguroso con el que pueden expresarse de manera precisa, clara y desprovista de ambigüedades
e inconsistencias, las relaciones internas de las teorías que tratan acerca de la naturaleza, de la sociedad y del comportamiento de las personas.

La matemática tiene como finalidad el estudio de las estructuras más generales del pensamiento lógico. Son características de esta, su poder de análisis y síntesis, la riqueza en conceptos, procesos y múltiples herramientas que pueden aplicarse a disciplinas tan diversas como las ingenierías, las ciencias naturales e inclusive el arte.

Los postulantes a una Licenciatura en Matemática deberán cumplir con el siguiente perfil:

- Bachiller en Ciencias o Bachillerato General Unificado.
- Manejo de herramientas informáticas.
- Capacidad para resolver problemas de índole matemática y física.
- Predisposición a la investigación; tener alto grado de hábitos de estudio.

La duración de la carrera es de ocho semestres y el campo ocupacional está relacionado con instituciones de nivel medio, así como con el ámbito de la investigación.

Adaptado de: http://www.universia.com.ec/estudios/usfq/licenciatura-matematicas/st/172789

▲  Licenciada en Matemática.

TIC

TIC

Problemas de distribución binomial con GeoGebra

La probabilidad de que al administrarle un antibiótico a cierto tipo de ave rapaz, este presente una reacción negativa es 0,05. Si la muestra de aves es 80, analiza la probabilidad de que:

1. en ningún ave haya reacción negativa;

2. haya reacción negativa en al menos 2 aves;

3. 5 aves hayan tenido reacción negativa.

Para resolver un problema de distribución binomial, una vez activado GeoGebra en el menú^ , escoge la opción: Cálculo de probabilidades.

Una vez activada esta opción, en la casilla inferior izquierda Normal ^ , da clic en el menú que se despliega y escoge la opción Binomial.

Analiza los datos del problema como la muestra n = 80 y la probabilidad p = 0,05. Ingresa en las celdas ^ . Se despliega 𝜇 y σ, la gráfica y la tabla de valores correspondiente.

Para analizar las condiciones del problema, elige una de las opciones en el ícono ^ . Para la primera pregunta, escribe

 ^ .

Se desplegará la probabilidad, la porción del gráfico que cumple la condición planteada, y en la tabla de valores se resaltará la población afectada.

Para la segunda pregunta, escoge la opción ^ y escribe

^ .

De igual manera, se desplegarán la probabilidad, el área de pertinencia y los valores sombreados.

Para la tercera pregunta, elige​ y escribe ^

^ .

Observa la zona de afección en la gráfica y en la tabla de valores.

Para apreciar otros tipos de gráficos, elige una de las opciones que se encuentra en la parte izquierda superior ^ . Presionando en el icono ^ la página donde se analizan las probabilidades se integra a la pantalla principal de GeoGebra. Antes de este procedimiento, observa la barra de trabajo. Puedes apreciar dos hojas de trabajo. Luego de esta acción, observarás una.

Practica

1. Un agente de seguros vende pólizas a 8 personas, cuya salud es buena y sus edades son las mismas. En un análisis demográfico, la probabilidad de que una persona viva 30 años o más con buena salud es . Determina la probabilidad de que, transcurridos 30 años, se encuentre(n) con buena salud:

a) toda la muestra;
b) al menos 3 personas;
c) exactamente 4 personas.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Las sucesiones en el entorno

Recursos

- Calculadora, tablet, celular, computadora con la aplicación GeoGebra.

Objetivos

- Utilizar la teoría de sucesiones para demostrar la utilidad de la matemática.
- Construir documentos y diseñar una exposición con distintos objetos que evidencien la utilidad de las
sucesiones.
- Utilizar GeoGebra para demostrar cómo se construyen sucesiones, y cuál es su comportamiento en el plano.
- Proporcionar información acerca de las sucesiones y de la sucesión de Fibonnaci en medios escritos.

Justificación

Una sucesión es una función cuyo domino son los ℤ​^+, y el recorrido es un conjunto de los reales ℝ. La medicina, la física, la economía, la cultura física y la ingeniería son algunos de los campos donde se aplica esta teoría para analizar el crecimiento de bacterias, el desarrollo de la flora, la evolución de gérmenes o virus, entre otros temas.

Una de las sucesiones más importantes es la sucesión de Fibonacci,  la cual se construye empezando por la unidad. Luego, los siguientes términos son la suma de los dos anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …).
El campo de mayor aplicación de esta sucesión matemática es la
naturaleza.

Actividades

- Formen equipos de tres estudiantes y elijan a una coordinadora
o coordinador.
- Cada integrante consultará dónde se aplican las sucesiones en forma general, y dónde se aplica la sucesión de Fibonacci en la naturaleza y la ciencia.
- Una vez realizada la investigación, los coordinadores se reunirán para seleccionar las aplicaciones que expondrá cada equipo, de tal forma que no se repita la información en los grupos.
- Cada grupo elaborará carteles explicativos de lo investigado,
y folletos para repartir entre sus compañeras y compañeros.

▲ Trabajo en equipo.

- Adquieran elementos como una piña, una alcachofa, un brócoli, una coliflor, celdas de un panal de abejas, girasoles, margaritas,
cartuchos, primaverillas, tradescantias, entre otros.
- Elaboren una feria para explicar cómo se generan las sucesiones, cómo estas se encuentran presentes en la naturaleza y cómo,
a partir de estos conceptos, la arquitectura ha podido crear hermosas edificaciones.
- Reproduzcan videos interactivos (por ejemplo: https://www.
youtube.com/watch?v=A1KwKkh-03c).
- Con el programa GeoGebra, construyan otras sucesiones y verifiquen la monotonía, dominio y recorrido.
- Elaboren un informe de los logros alcanzados en esta actividad
y un resumen de sus conclusiones.

Conclusiones

- Las sucesiones permiten resolver problemas de mayor complejidad.
- A partir de las sucesiones, se pueden demostrar fenómenos en la naturaleza y en la vida cotidiana.
- No se debe confundir el concepto de sucesiones con el de series numéricas.

En síntesis

En síntesis