Title: Unidad 1
Course: Matemáticas Plus + 3 BGU

Matrices reales Mmxn [ℝ]. Operaciones

Aplicaciones de matrices en la vida diaria

Nuestra vida diaria está inundada de matrices. Estas actúan como contenedores que nos permiten almacenar datos relacionados entre sí. Por ejemplo, una tabla nutricional nos da la información de energía y proteínas que una porción de alimento fortificante le aporta a nuestro organismo. En medicina, mediante una matriz, se puede ver la utilización de un medicamento y analizar así su comercialización, prescripción y uso en una población determinada. En los Juegos Olímpicos, para determinar el medallero, se utiliza una matriz en la que constan, en columnas, los países participantes y las medallas de oro, plata y bronce que cada uno obtuvo.

Estas son algunas de las aplicaciones de las matrices en el contexto en cual nos desenvolvemos.

Adaptado de: https://es.scribd.com/doc/119256851/Aplicacion-de-Las-Matrices-en-La-Vida-Diaria

Bloques curriculares
Álgebra y funciones

  Objetivos

- O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, tomar decisiones con responsabilidad social y ahorrar esfuerzos y recursos.
- O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.

Observa y contesta

- ¿Qué información matemática colocarías en una tabla para describir cada una de las imágenes de esta página?
- ¿Crees que el registro de notas de tu profesor o profesora es un ejemplo de matriz? ¿Por qué?
- ¿Dónde encuentras otros ejemplos de matrices? Enúncialos.

El conjunto de matrices M2x2 [ℝ]

DCCD: M.5.1.14. Reconocer el conjunto de matrices M_2×2 [ ] y sus elementos, así como las matrices especiales: nula e identidad.

M.5.1.15. Realizar las operaciones de adición y producto entre matrices M_2×2 [ ], producto de escalares por matrices M_2×2 [ ], aplicando las propiedades de números reales.

● El conjunto de matrices M_2x2 [ℝ]

Saberes previos

¿Cuál es la diferencia entre matriz y determinante?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué significa el elemento a_ij de una matriz?

Una matriz de 2 × 2 con coeficientes en ℝ es un arreglo rectangular de la forma , donde a_11, a_12, a_21, a_22 ∈ ℝ.

A las matrices de 2 × 2 las notaremos en forma abreviada como A = (a_ij)_2_×_2 o simplemente A = (a_ij) si no hay peligro de confusión, donde a_ij ∈ ℝ, i = 1, 2, j = 1, 2 se denominan componentes o coeficientes de la matriz. Los números enteros positivos i, j se llaman índices de la matriz. El primer índice i se utiliza para identificar las filas. Así, i = 1 designa la primera fila e i = 2 designa la segunda fila de la matriz. El índice j se utiliza para identificar las columnas de la matriz. Así, j = 1 designa a la primera columna y j = 2 designa a la segunda columna de la matriz A.

Recuerda que...

Sea A = .

La primera fila de la matriz Aes (a_11, a_12) que pertenece al espacio ℝ​^2.

Análogamente, la segunda fila de A es (a21,a22) ∈ ℝ^2.

La primera columna de A es ∈ ℝ ^2 y la segunda columna es ∈ ℝ^2.

Ejercicios resueltos

1. Las siguientes son matrices de 2 × 2: A = , B = . Los elementos de estas matrices son respectivamente los números reales a_11 = –3, a_12 = , a_21 = 1, a_22 = π; b_11 = \( \sqrt{2} \) , b_12 = , b_21 = 0, b_22 = .

2. La matriz se llama matriz nula y se nota con 0, esto es, 0 = .

3. Sea C = . Se tiene c_11 = –2, c_12 = , c_21 = 5, c_22 = –4.

La primera fila de C es el vector ; la segunda fila de C es el vector (5, –4); la primera columna de C es el vector columna ; la segunda columna de C es el vector columna .

Denotamos con M_2_×_2[ℝ] al conjunto de todas las matrices reales de 2 × 2; esto es,

M_2_×_2[ℝ] = {A = (a_ij)_2_×_2 | a_ij ∈ ℝ, i = 1, 2, j = 1, 2} .

O también,

A los elementos del conjunto M_2_×_2[ℝ] los denominaremos matrices reales de 2 × 2, o también, matrices de 2 × 2 con coeficientes en ℝ.

Recuerda que...

La definición establece que dos matrices de M_2_×_2[ℝ] son iguales si y solo si sus respectivos componentes son iguales. La negación de la igualdad de matrices en M_2_×_2[ℝ] se establece del modo siguiente: sean A = (a_ij), B = (b_ij) dos matrices de M_2_×_2[ℝ], entonces, A ≠ B ⇔ a_ij ≠ b_ij para algún índice i y j. Es decir que dos matrices de M_2_×_2 no son iguales si y solo si al menos uno de los respectivos componentes es distinto.

Igualdad de matrices

Definición. Sean A = (a_ij)_2_×_2, B = (b_ij)_2_×2 \( \in \) M_2_×_2[ℝ]. Diremos que las matrices A y B son iguales, y escribiremos A = B si y solo si a_ij = b_iji = 1, 2, j = 1, 2; es decir, A = B ⇔ a_ij = b_ij, i = 1, 2, j = 1, 2.

Ejercicio resuelto

1. Sean las matrices A = , B = , se tiene que A ≠ B, pues a_22 = –2 y b_22 = 2 no son iguales a pesar de que los otros componentes coinciden.

2. Sean A = ,  B = matrices reales.

Entonces, A = B ⇔ x = 4, y = –2.

Interdisciplinariedad

Las matrices se presentan en una variedad de campos. Se aplican, por ejemplo, en la física, la química, la biología, en las distintas ramas de la ingeniería, en la economía, la administración de empresas, en sociología, en los problemas ambientales, y en las distintas ramas de las matemáticas.

▲ Túnel de números binarios.

Adición en M_2_×_2[ℝ]

Definición. Sean A = (a_ij)_2_×_2, B = (b_ij)_2_×_2 dos matrices reales.

i) Definimos la suma de las matrices A y B como sigue:

A + B = (a_ij)_2_×_2 + (b_ij)_2_×_2 = (a_ij + b_ij)_2_×_2.

ii) La operación adición “+" en M_2_×_2[ℝ] es la función definida como

Si las matrices reales A = (a_ij)_2_×_2, B = (b_ij)_2_×_2 se escriben

como A = , B = , la suma de estas dos

matrices se expresa como

Nota que la adición de dos matrices de 2 × 2 es una matriz de 2 × 2 que se obtiene sumando sus respectivos componentes.

Ejercicios resueltos

1. Sean A = , B = , entonces,

2. Sea A = con a, b, c, d ∈ ℝ. Entonces,

Recuerda que...

La adición de matrices hereda las propiedades de la adición de números reales.

Propiedades de la adición

La operación adición "+" en M_2_×_2[ℝ] satisface las siguientes propiedades:

i) Conmutativa.
Para todo A, B ∈ M_2_×_2[ℝ],
A + B = B + A.

ii) Asociativa.
Para todo A, B, C ∈ M_2_×_2[ℝ],
A + (B + C) = (A + B) + C.

iii) Existencia de elemento neutro. Existe
0 = (0)_2_×2 ∈ M_2_×_2[ℝ], tal que para todo A ∈ M_2_×_2[ℝ],
A + 0 = 0 + A = A.

iv) Existencia de opuestos aditivos.
Para cada A ∈  M_2_×_2[ℝ], existe B ∈  M_2_×_2[ℝ], tal queA + B = 0.

Esta matriz está definida como

B = (–a_ij)_2_×_2

Propiedades del producto de escalares por matrices

Sean A, B, C ∈ M_2_×_2[ℝ],
α, β ∈ ℝ. Entonces

i) α(βA) = αβA.

ii) (α + β)A = αA + βA.

iii) α(A + B) = αA + αB.

iv) 1A = A.

M_2_×_2[ℝ] es un espacio vectorial real.

Demostración de propiedades de la adición de M_2×_2[ℝ]

Demostraremos la propiedad iii. El resto queda como tarea.

Sea A = una matriz de M_2_×_2[ℝ].

iii) Existencia de elemento neutro. La matriz 0 = pertenece a M_2_×_2[ℝ] y como a_ij ∈ ℝ, se tiene a_ij + 0 = 0 + a_ij = 0, i = 1, 2, j = 1, 2. Entonces,

Conclusión: A + 0 = A. De manera similar, se prueba que 0 + A = A.

Resta de matrices

Definición. Sean A, B ∈ M_2_×_2[ℝ]. Se define la matriz A – B como

A – B = A + (–B).

Ejercicio resuelto

1. Sean A = , B = . Entonces, –B = , y

Producto de escalares por matrices

A los elementos de ℝ los denominamos escalares.

Definición. Sea λ ∈ ℝ y A = (a_ij)_2×2 ∈  M_2_×_2[ℝ]. Se define λA como:

λA = λ(a_ij)_2_×_2 = (λa_ij)_2_×_2

El producto de un número real λ por una matriz A ∈ M_2_×_2[ℝ] es otra matriz de M_2_×_2[ℝ] cuyos componentes son el producto de λ por los respectivos componentes de la matriz A.

Así, si A = , entonces λA = .

Ejercicio resuelto

Sean A = , B = , C = . Halla x, y ∈ ℝ, si existen,
tales que .

De las definiciones de producto de escalares por matrices, de la adición y de la igualdad de matrices se obtienen las equivalencias siguientes:

Al resolver el sistema las soluciones son x = 3, y = 2.

Recuerda que...

Matriz identidad I está dada por

ӏ = .

Matriz nula 0
Sea A ∈ M_2_×_2[ℝ] con a_ij = 0,
esto implica

A = .

Propiedades del producto de matrices
Clausurativa. Sean
A, B ∈ M_2_×_2[ℝ] ⇒ AB ∈ M_2_×_2[ℝ].

El producto de dos matrices reales de 2×2 es otra matriz de 2×2.

Asociativa. Para todo
A, B, C ∈  M_2_×_2[ℝ]
( AB)C = A(BC).

Existencia del elemento unidad. Existe una matriz

I ∈ M_2_×_2[ℝ], tal que para toda
A ∈ M_2_×_2[ℝ], AI = IA.

El producto de matrices, en general, no satisface la propiedad conmutativa.

AB ≠ BA

Conexiones con las TIC

Para reforzar este tema, puedes ingresar al siguiente enlace y mirar el video:

www.mayedu.ec/matbu3/p13

Producto de matrices

Definición. Sean A = (a_ij)_2_×_2, B = (b_ij)_2_×_2 dos matrices de M_2_×_2[ℝ].

Definimos el producto AB como la matriz C = (c_ij)_2_×_2 con

c_ij =a_i_1_ b_1_j + a_i_2_ b_2_j, i = 1, 2, j = 1, 2, esto es,

Expresemos el producto AB = C en la forma siguiente:

Los elementos c_11, c_12, c_21, c_22 se obtienen así:

Ejercicio resuelto

Calcula el producto de las matrices reales 2 × 2.

A = , B = . Sea C = (c_ij)_2_×_2 el producto AB, esto es,

C = AB = . De la definición del producto de matrices,

se tiene:

c_11 = a_11b_11 + a_12b_21 = 3 × 5 + 8 × 2 = 31; c_11 es el producto de los elementos de la primera fila de A por los elementos de la primera columna de B.

c_12 = a_11b_12 + a_12b_22 = 3 × (–4) + 8 × 6 = –12 + 48 = 36.

c_21 = a_21b_11 + a_22b_21 = (–1) × 5 + 9 × 2 = –5 + 18 = 13.

c_22 = a_21b_12 + a_22b_22 = (–1) × (–4) + 9 × 6 = 4 + 54 = 58.

Así, C = AB = .

Matrices especiales

DCCD: M.5.1.15. Realizar las operaciones de potencias de matrices M_2×2 [ℝ], aplicando las propiedades de números reales.

M.5.1.16. Calcular el producto de una matriz de M_2×2 [ℝ] por un vector en el plano, y analizar su resultado (vector y no matriz).

● Matrices especiales

Saberes previos

¿Qué es la matriz identidad?

Desequilibrio cognitivo

¿A qué es igual el producto de una matriz por su inversa?

Matriz invertible e inversa

Definición. Sea A ∈  M_2_×_2 [ℝ].

i) Se dice que la matriz A es invertible si y solo si existe una matriz B ∈ M_2_×_2 [ℝ] tal que AB = BA = ӏ.

ii) Se dice que A es singular si y solo si A no es invertible, y que A es no singular si y solo si A es invertible.
Si A es invertible su inversa se nota A^–1, es decir que, B = A^–1. Luego, AA^–1 = A^–1A = ӏ.
A la matriz A^–1 se le llama matriz inversa de A.

Recuerda que...

Sea A ∈ M_2_×_2 [ℝ]. Si A es invertible, A^–1 es única.

Se dice que A es singular si y solo si A no es invertible, y que A es no singular si y solo si A es invertible.

La potencia de matrices cumple con las propiedades de los exponentes.

- Sea A ∈ M_2_×_2 [ℝ] con A ≠ 0. Para todo m, n ∈ ℕ,
A^mA^n = A^m+n.
( A^m)^n = A^mn.
- Si A ∈ M_2_×_2 [ℝ] con A invertible, se verifican las propiedades siguientes: para todo m, n ∈ ℤ,
A^mA^n = A^m+n,
( A^m)^n = A^mn.

Ejercicio resuelto

Sean A = , B = Si: AB = BA = ӏ ⇒ B = A^–1.

AB = , AB = . Por lo tanto, B = A^–1 = .

Potencia de matrices

Definición. Sea A ∈  M_2_×_2 [ℝ] con A ≠ 0.

i) Se define A^m recursivamente como sigue: A^0 = ӏ, A^m^+1 = A^mA,
m = 0, 1, ... .

ii) Si A es invertible, se define A^–^m = (A^–1)^m, m = 0, 1, ... .
De la definición:

A^1 = A^0+1 = A^0A = ӏA = A,   A^2 = A^1+1 = A^1A = AA,
A^3 = A^2+1 = A^2A = AAA,   A^4 = A^3+1 = A^3A = AAAA,
y así sucesivamente.

Si A es invertible, A^–1 = (A^–1)^1,   A^–2 = (A^–1)^2 = A^–1A^–^1,
A^–3 = (A^–1)^3 = A^–1A^–1A^–^1,   A^–4 = (A^–1)^4 = A^–1A^–1A^–1A^–^1,
y así sucesivamente.

Ejercicio resuelto

Sea la matriz A = , calcula A^2.

A^2 = AA = = .

Recuerda que...

Toda matriz diagonal es una matriz triangular superior e inferior:

Matrices especiales
Matriz diagonal

Definición. Una matriz real A de la forma se llama matriz

diagonal. Los elementos a_11, a_22 se llaman elementos diagonales. Las matrices diagonales se notan diag(a_11, a_22).

Ejemplo

Las siguientes son matrices diagonales: , .

Escritas con la notación, se tiene diag(1, 1), diag(0, –5).

Conexiones con las TIC

Para ampliar el conocimiento sobre el tema de matrices, puedes mirar el video que se presenta en este enlace:

www.mayedu.ec/matbu3/p17

Matriz triangular superior

Definición. Una matriz real de la forma se llama matriz

triangular superior. El elemento a_21 bajo la diagonal es siempre cero.

Ejemplo

Las siguientes matrices son triangulares superiores: , .

Matriz triangular inferior

Definición. Una matriz real de la forma se llama matriz

triangular inferior. El elemento a_12 sobre la diagonal es siempre nulo.

Ejemplo

Las siguientes son matrices triangulares inferiores: , .

Recuerda que...

Teorema.

Sean α, λ ∈ ℝ,
A, B ∈ M_2_×_2 [ℝ]. Se verifican las siguientes propiedades:

(A^T)^T = A,
(α A + λB)^T = αA^T + λB^T,
( AB)^T = B^T A^T.

Matriz transpuesta

Definición. Sea A = (a_ij)_2_×2 ∈  M_2_×_2 [ℝ]. La transpuesta de A,

denotada A^T, es la matriz A^T = (b_ij)_2_×_2 con b_ij = a_j_i, i = 1, 2, j = 1, 2.

Si A = , A^T = .

Ejercicio resuelto

1. Sea A = con x, y, u, v ∈ ℝ. Entonces, A^T = .

2. Si A = , entonces , A^T = .

Operaciones elementales con matrices

DCCD: M.5.1.17. Reconocer matrices reales de m×n e identificar las operaciones que son posibles de realizar entre ellas según sus dimensiones.

● Operaciones elementales con matrices

Recuerda que...

Sea A = (a_ij)_2_×2 ∈  M_2_×_2[ℝ].

i) Se dice que A es simétrica si y solo si cumple con la propiedad siguiente:

A^T = A.

ii) Se dice que A es antisimétrica si y solo si se verifica:

A^T = –A.

Interdisciplinariedad

Matemática
e ingeniería

La primera aplicación de matrices en ingeniería fue en el año 1934. Duncan y Collar, ingenieros aeronáuticos ingleses, publicaron el artículo “A Method for the Solution of Oscillation Problems by Matrices”.

En ingeniería de tránsito se generan matrices de información en la planificación de transporte y aforos vehiculares.

▲  Tráfico en carretera.

Sea A = ∈ M_2_×_2 [ℝ], λ ∈ ℝ, ∈ ℝ^2

1. Intercambio de dos filas de una matriz ℝ.

Sea I = la matriz identidad, y sea F_1 = .

La matriz F_1 es obtenida de I al intercambiar las dos filas de I. Se tiene que F_1 es no singular, esto es, F_1^–1 existe. Entonces

2. Producto de una fila de una matriz A por una constante λ ∈ ℝ.

Se define F_1 = ; F_2 = . Entonces

F_1A = ; F_2A = .

3. Multiplicación de una fila de una matriz A por una constante λ y suma a otra fila.

Se define E_1 = . Entonces, se obtiene el producto de λ por

la primera fila de A y se suma a la segunda fila de A del modo siguiente:

El producto de λ por la segunda fila de A y se suma a la primera fila

de A. Se define E_2 = ,

Entonces E_2A =

4. Producto de la matriz A por el vector .

Se define

Ejercicio resuelto

1. Sean A =

Recuerda que...

- Se dice que una matriz es cuadrada si y solo si tiene el mismo número de filas que de columnas. Así, una matriz cuadrada de orden n tiene n filas y n columnas.
- Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a la formada por los elementos a_ii (es decir: a_11, a_22, ..., a_nn).
- Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir,
Traza(A) = = a_11 + a_12 + ... + a_mn.
- La adición de matrices y el producto matricial de M_n_×_n cumplen las mismas propiedades de M_2_×_2.

Producto de un escalar por una matriz M_m_×_n

Sean A = (a_ij) una matriz de orden m × n y α un número. Se define el producto del escalar α por la matriz A y se denota por αA a una matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada elemento de A por α.

αA = (α a_ij)_m_×_n

La matriz αA es, por lo tanto, una matriz de la misma dimensión que A.

El conjunto de matrices M_m_×_n[ℝ]

Una matriz de m × n con coeficientes en ℝ es un arreglo rectangular de la forma:

A las matrices de m × n las notaremos en forma abreviada como

A = (a_ij)_m_×_n. Esta expresión indica que se trata de una matriz de orden

m × n, llamada A; sus elementos se llaman a_ij.

Ejemplo

A es una matriz de 2 filas 4 columnas y B es una matriz de 2 filas y 3 columnas.

Operaciones con matrices M_m_×_n[ℝ]
Suma de matrices

Dadas dos matrices A = (a_ij) y B = (b_ij) del mismo orden m × n,

la suma se define como: A + B = (a_ij + b_ij)_m_×_n.

Ejercicios resueltos

1. Sean A = ,_ B = ∈  M_2_×_3 . Entonces

A + B = ∈ M_2_×_3.

2. Sean A = ∈ M_2_×_3 y B = ∈ M_3_×_2

A + B no está definido, las matrices son de diferente orden.

Producto de matrices

Dadas dos matrices A ∈ M_m_×_p[ℝ] y B ∈ M_p_×_n [ℝ]_ (es decir, el número de filas de B coincide con el número de columnas de A). Se llama matriz producto A·B a otra matriz C, cuyos elementos se obtienen así:

Ejercicio resuelto

no está definido.

Determinantes de órdenes 2 y 3

DCCD: M.5.1.18. Calcular determinantes de matrices reales cuadradas de orden 2 y 3 para resolver sistemas de ecuaciones.

● Determinantes de órdenes 2 y 3

Saberes previos

¿Qué entiendes por determinante?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué tipo de matrices tienen determinante?

Definición de determinante de orden dos

Sea A = una matriz de M_2_×_2[ℝ].

El determinante de A se nota con det(A) y se define como
det( A) = ad – bc.

Ejercicios resueltos

1. Sea A = . Entonces

det(A) = = 1 × (–1) – 3 × 2 = –7.

2. Sea la matriz A = . Se tiene

det(A) = = 10 × 2 – 1 × 5 = 15.

Recuerda que...

Una notación muy común del determinante de la matriz

A = es , que se lee "determinante de la matriz A".

Escribiremos  = ad – bc,

o también,

det(A) = = ad – bc.

Una estrategia para establecer el determinante de orden tres se representa en esta gráfica:

Suman:

Restan:

Definición de determinante de orden tres

Sea A = una matriz de M_3_×_3[ℝ].

El determinante de A se nota con det(A) y se calcula con la siguiente fórmula:

det(A) =

Cuyo resultado es:

det(A) = a_11a_22a_33 + a_1_2a_23a_31 + a_21a_32a_13 – a_13a_22a_31 – a_12a_21a_33 – a_11a_23a_32.

Ejercicios resueltos

a)

= 1(–2)5 + 3(–1)(–3) + 4·1·4 – [4(–2)(–3) + 1(–1)1 + 3·4·5]=

= –10 + 9 + 16 – [24 – 1 + 60] = 15 – 83 = –68.

b)

= 2·1(–3) + 0·2·4 + 5(–7)4 – 5·1·4 – 2·2·4 – 0(–7)(–3)

= –6 + 0 – 140 – 20 – 16 – 0 = –182.

Recuerda que...

Propiedades de los determinantes

Estas propiedades se extienden a todos los determinantes.

1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: |A| = |A^T |.
2. Si una fila (o columna) tiene todos sus elementos nulos, el determinante es cero.
3. Un determinante que tiene dos filas o dos columnas iguales da como resultado cero.
4. Si en un determinante los elementos de una fila o columna son múltiplos de los de otra, el valor del determinante es cero.
5. Si a una fila (o columna) se le suma otra multiplicada por un escalar, el determinante no varía.
6. Si se cambian entre sí dos filas, el valor del determinante cambia de signo (análogamente con las columnas).
7. Multiplicando a todos los elementos de una fila (o columna) por α, el determinante queda multiplicado por α.
8. Sean A, B matrices cuadradas, entonces el
det(AB) = det(A) det(B).

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales

con

Sean A = ∈  M_2_×_2[ℝ], ∈ ℝ^2.

Supongamos que A es invertible, lo que es equivalente a decir que det(A) ≠ 0, esto es,

det(A) = = ad – bc ≠ 0.

Se prueba que las soluciones x e y se calculan como:

En el determinante del numerador de x reemplazamos las componentes del vector

, por los elementos

de la primera columna del determinante.

En el determinante del numerador de y reemplazamos las componentes del vector

, por los elementos

de la segunda columna del determinante.

Este método se conoce también como método de Cramer. Un proceso similar se sigue cuando los determinantes son de orden 3, 4, ... n.

Ejercicio resuelto

1. Resolver el sistema de ecuaciones lineales ,
mediante el método de Cramer.

La matriz del sistema de ecuaciones lineales es y su

determinante es = – 3 – 2 = –5. Como el determinante

es diferente de cero, sí se puede aplicar el método de Cramer.

La solución es

Sistemas de ecuaciones lineales

DCCD: M.5.1.19. Calcular la matriz inversa A^–1 de una matriz cuadrada A, cuyo determinante sea diferente a 0, por el método de Gauss (matriz ampliada) para resolver sistemas.

● Sistemas de ecuaciones lineales

Saberes previos

¿Una matriz puede escribirse como un determinante?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué condiciones debe cumplir una matriz para que tenga inversa?

Considera la matriz real de 3 × 3; y los vectores de ℝ^3.

Observa los siguientes productos:

Los resultados muestran que , , son respectivamente la primera, segunda y tercera columnas de B. Estos resultados aplicaremos para el cálculo de la matriz inversa A^–1 de la matriz invertible A.

Recuerda que...

Propiedades de la matriz inversa

- Si B y C son inversas de la matriz A, entonces B = C; por lo tanto, toda matriz tiene una y solamente una matriz inversa.
- Si A y B son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces A · B es invertible.
(A · B)^–1 =  B^–1 · A^–1.
- Si A es una matriz invertible, se cumple: A^–1 es invertible y
(A^–1)^–1 = A.
- A^n^ es invertible y (A^n)^–1 = (A^–1)^n para n ∈ ℕ.
- Para cualquier escalar λ ≠ 0, la matriz λ · A es invertible y
.

Considera el sistema de ecuaciones lineales siendo A un matriz de 3 × 3 invertible, ∈ ℝ^3 dado, el vector de incógnitas.

Por hipótesis A invertible, existe A^–1 matriz inversa de A tal que AA^–1 = A^–1A = I. Multiplicando al sistema de ecuaciones lineales por A^–1, se tienen las siguientes equivalencias:

Así,

Ponemos B = A^–1. Entonces

Que muestra que las columnas primera, segunda, tercera de A^–^1 son respectivamente soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales:

Para calcular A^–^1resolvemos los tres sistemas de ecuaciones lineales con el método de eliminación gaussiana, tratado en el libro 2.

Recuerda que...

Sea el sistema de ecuaciones lineales

donde a, b, c, d, b_1, b_2 ∈ ℝ, x, y ∈ ℝ son las incógnitas.

A = ∈  M_2_×_2 [ℝ],

∈ ℝ^2 y

∈ ℝ^2 el vector incógnita.

El producto de la matriz A por el vector se define como el vector de ℝ^2:

Luego,

Esta es la formulación matricial del sistema de ecuaciones lineales.

Ejercicio resuelto

Sea A = . Calcular A^–1. Para ello aplicamos de eliminación gaussiana y calculamos cada una de las columnas de A^–1.

Primera columna:
resolvemos el sistema de ecuaciones:

Tenemos, k_1 = , k_2 = –1, entonces:

cuya solución es z = , y = _, x = _ . Así

Segunda columna:
resolvemos el sistema de ecuaciones:

Con los mismos valores, k_1 = _, k_2 = –1 y k_4 = 4, se obtiene

cuya solución es z = , y = 0, x = . Así

Tercera columna:
resolvemos el sistema de ecuaciones:

Con los mismos valores, k_1 = _, k_2 = –1 y k_4 = 4, se obtiene

cuya solución es z = , y = , x = . Así .

La matriz inversa .

Solución de problemas cotidianos

P

Solución de problemas

cotidianos

Matrices en la economía familiar

En economía, la matriz de Leontief (llamada también tabla de transacciones intersectoriales) permite analizar el sector productivo y el sector de consumidores.

1. Dos familias, F1 y F2, tienen los siguientes consumos de arroz y de carne:
F1: 62 lbs de arroz y 46 lbs de carne.
F2: 93 lbs de arroz y 62 lbs de carne.
Los precios fueron:
En 2015, el arroz $ 0,50, y la carne $ 2,50.
En 2016, el arroz $ 0,55, y la carne $ 2,90.
¿Cuál fue el gasto por alimentación de las familias en cada año?
Análisis de datos
La información del consumo de cada familia se determina en la matriz A:

Las filas representan a las familias, y las columnas representan los productos.
Una matriz B para los costos en cada año:

Las filas son los costos de cada producto, y las columnas son los años.
Modeliza
La matriz de Leontief manifiesta que para conocer la relación entre consumidor y producción se aplica el producto de matrices.
Interpretación
a_11: La familia 1, en el año 2015, gastó $ 146 por concepto de arroz y carne.
a_22: La familia 2, en el año 2016, gastó $ 230,95 por concepto de arroz y carne.

Actividad
Analiza los resultados obtenidos en a_12 y a_21.

▲ Compras en supermercado.

1. En cierta financiera de la banca de la ciudad de Quito se analizaron los salarios de los empleados con el propósito de revisar el porcentaje de aumento de sueldo. Los datos son: en la agencia centro hay 12 cajeros, 7 personas de administrativo y 3 de servicios varios; en la agencia norte y sur, su distribución respectiva es (10, 6, 4) y (13, 6, 5). El salario que percibe un cajero es de $ 750; el de un administrativo es de $ 1 200; y el de un empleado de servicios varios es $ 415.

Analiza los egresos mensuales por sueldos de cada agencia.
El gerente general ha considerado un aumento del 10 % para cada sector. Contesta: ¿cuál es el egreso que se genera por cada grupo de empleados y por cada agencia?

▲ Pago en efectivo.

1. Una fábrica elabora clavos de acero, hierro y madera para tres empresas diferentes. La matriz de producción del primer trimestre es:

Resuelve. Si en el segundo trimestre se duplicó la producción, en el tercero se redujo a la mitad y en el cuarto se mantuvo, ¿cuál fue la producción anual?, ¿cuál fue la producción trimestral?

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y la Ingeniería en Gestión de Transporte

¿Cuáles son los profesionales que planifican el sistema vial y la movilidad a nivel nacional y local? ¿Cómo se aplica la matemática en el análisis de un sistema vial?

Las ingenierías son las profesiones que con mayor frecuencia utilizan la matemática como herramienta

Las ingenierías son las profesiones que con mayor frecuencia utilizan la matemática como herramienta para resolver problemas. La Ingeniería en Gestión de Transporte permite aplicar modelos matemáticos y simulaciones numéricas en forma planificada y organizada, a fin de que la movilidad, el tránsito y los transportes (que a su vez implican uso de suelo, asignación de rutas y frecuencias, semaforización, señalización de vías, dinámica de peatones, control de evacuaciones, entre otros) sean de calidad.

Tomado de: ¿Dónde habitan los problemas matemáticos de la vida real?

Serie de Matemática Universitaria, Hernán Benalcázar Gómez, marzo, 2015.

▲ Ingenieros en transporte.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Ingeniería en Gestión de Transporte

La Ingeniería en Gestión de Transporte forma profesionales con sólidos conocimientos en ciencia, tecnología, investigación, operacionalidad y funcionalidad del tránsito, transporte y seguridad vial, mediante la aplicación de herramientas científicas y tecnológicas modernas, orientadas a contribuir al desarrollo socioeconómico y al mejoramiento del sistema del transporte.

El ingeniero o la ingeniera en gestión de transporte debe dominar el modelado de las diferentes formas del transporte, para garantizar así una eficiente movilidad que contribuya al desarrollo sustentable.

Los postulantes a la carrera de Ingeniería de Gestión de Transporte deben cumplir con el siguiente perfil:

- Bachiller en Ciencias o Bachillerato General Unificado
- Manejo de herramientas informáticas
- Capacidad para resolver problemas matemáticos y físicos
- Predisposición a la investigación, alto grado de hábitos de estudio

Adaptado de: http://www.espoch.edu.ec/Descargas/Pensum/EIGT_DETALLES_2013_0bee0.pdf

▲ Gestión de transporte.

TIC

TIC

Operaciones con matrices en GeoGebra

Para expresar una matriz real, en la barra de Entrada escribe la expresión A = {{2,1},{1,3}}, la cual representa a la matriz

GeoGebra permite el ingreso de cualquier matriz. Así, una cuadrada de orden 3 se escribe en la barra de Entrada con la expresión:

FórmulaTexto[{{1,0,2},{2,1,0},{3,0,1}}].

En Vista Gráfica se aprecia la nomenclatura de las matrices.

Para la suma o resta de matrices, puedes usar el esquema que sigue:

A = {{2,1},{1,3}} y B = {{6,0},{3,–2}}.

Se calcula la matriz C correspondiente a la resta de estas. Así, C = {{2,1},{1,3}}–{{6,0},{3,–2}}. Todos los datos son ingresados en la barra de Entrada.

Para el producto de escalares por matrices, considerando las mismas matrices A y B antes ingresadas, realiza la operación 2A – 3B = D. Para esta actividad, puedes usar uno de estos esquemas:

1. Digita en la barra de Entrada:
D = {2*{2, 1}, {1, 3}} –3* {{6, 0}, {3, –2}}.

En Vista Gráfica, observa el despliegue de las matrices solución.

1. Usa el comando Fórmula Texto, y digita en la barra de Entrada:
FórmulaTexto [{2*{2,1},{1,3}} –
3* {{6,0},{3,–2}}].

En Vista Gráfica se despliega la solución.

1. Definidas las matrices A y B, puedes digitar directamente la expresión 2A – 3B en la barra de Entrada y obtener la matriz resultante.

Para trabajar con potencias de matrices usando deslizadores, realiza lo siguiente:

- Escribe la matriz.
- En la barra de Entrada escribe 'potencia', se desplegará un menú, escoge la opción 'Potencia de una Matriz'.
- A continuación, debes crear un deslizador. Configúralo en función del ejemplo resuelto con incremento de 1.
- Pulsa . Observa cómo la matriz cambia de valores según la potencia.

Ejemplo resuelto:

Utiliza esta herramienta a partir de la matriz

Determina M^2;luego, M^3, M^4, M^5, ..., M^128.

Indaga una regla para M^n, n ∈ N.

Practica

- Dadas las matrices , ,
resuelve: 3A – 5B, –2B + 7A, A2 – B3.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Construyendo canastas familiares solidarias

Recursos

Materiales pertinentes a la empresa que se crea

- Materiales de índole económica: presupuesto del proyecto empresarial
- Materiales tecnológicos: calculadora, tablet, celular, computadora con la aplicación GeoGebra
- Internet

Justificación

El estudio de las matrices es tan antiguo como la existencia del ser humano. Algunos vestigios dan cuenta de cómo este llevaba un seguimiento de lo producido en forma ordenada, en casillas, con una estructura similar al de una matriz. En la actualidad, la matriz es considerada una herramienta muy importante para el álgebra, ya que permite el ordenamiento de datos y su manejo.

Objetivos

- Utilizar la teoría de matrices para generar una microempresa de canastas familiares solidarias.
- Construir matrices con diferentes tipos de canastas solidarias, con distintos tipos de productos y gramaje.
- Aplicar las operaciones de matrices para conocer los precios de cada canasta familiar.
- Generar una publicidad por medio de una red social para ofertar estos productos.

▲ Canasta básica de frutas y verduras.

Actividades

- Formen equipos de tres estudiantes y elijan a una persona como coordinadora.
- Quien coordine debe organizar los diferentes tipos de canastas que se van a ofertar (las canastas podrían contener frutas, verduras, granos, entre otros).
- En cada equipo, diseñen las matrices de las canastas que deben ser de tres tipos con diferentes pesos.
- Utilizando el software GeoGebra, determinen la matriz de los kilos totales que necesitan para sus canastas, y otra matriz de los costos.
- Elaboren las canastas; reúnanse con el resto de equipos y preparen una campaña que se difunda en una red social  o en la página del colegio. También pueden colocar afiches en las entradas de la institución o en los locales cercanos.
- Organicen una feria para la venta de sus canastas.
- Elaboren un informe utilizando diapositivas. Dicho informe debe contener: la utilidad de las matrices, la aplicación de las matrices en la construcción de su proyecto, los logros alcanzados en esta actividad, las conclusiones, y otras utilidades de las matrices.

Conclusiones

Las matrices se utilizan para clasificar valores numéricos atendiendo a criterios o variables.

Las matrices de información recolectan datos numéricos que se desprenden de una situación problema.

Las matrices se aplican en varios campos, en especial en la organización de la economía familiar.

En síntesis

En síntesis