Title: Unidad 6
Course: Matemáticas Plus + 3 BGU

Integración

▲ Represa de agua.

Fluidos e integrales

El cálculo integral se aplica en una gran cantidad de áreas y campos: mecánica, electricidad, electrónica, economía, arquitectura, biología, física, teoría de sistemas, investigación de operaciones, entre otros. Podemos ver que el campo de aplicación de las integrales es extenso y de gran utilidad. En fluidos y específicamente en flujos de agua se utiliza, por ejemplo, para relacionar el volumen de agua que pasa por un área dada en una unidad de tiempo o para relacionar el caudal de agua y la velocidad promedio del fluido.

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​

  Objetivos

- OG.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- OG.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- OG.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿Qué relación encuentras entre el flujo de agua de un grifo abierto en un tiempo determinado y la cantidad de agua que se recoge?
- ¿Cómo puede ser útil la matemática en el cálculo del caudal de agua de un río?
- ¿De qué manera se relaciona la matemática con el agua, las presas y las represas?

Integración indefinida o primitiva de una función

DCCD: M.5.1.64. Calcular la integral definida de una función escalonada, identificar sus propiedades cuando los límites de integración son iguales y cuando se intercambian los límites de integración.
M.5.1.67. Reconocer la derivación y la integración como procesos inversos.

● Integración indefinida o primitiva de una función

Saberes previos

¿Qué es la derivada de una función?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué relación hay entre derivar e integrar?

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

El cálculo diferencial surgió de las ideas del matemático francés Pierre Fermat, quien trató de resolver el problema del cálculo de los valores extremos (máximos y mínimos) de una función. Los esfuerzos realizados por Isaac Newton  (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) son los que permitieron ligar los problemas del cálculo del área bajo una curva y de la tangente a la gráfica de una curva en un punto dado de esta, dando lugar así al cálculo diferencial e integral.

Con el propósito de tener una idea acerca de los temas de estudio del cálculo diferencial e integral, presentamos dos problemas que originaron el desarrollo de estos temas.

Problema 1. Consideremos una función real f definida en el intervalo cerrado [a, b] de ℝ y asociemos a f el grafo G(f), esto es,

G(f) = {(x, f(x)) | x ∈ [a, b]}.

En el cálculo diferencial se estudian problemas fundamentales. Por ejemplo: hallar la ecuación cartesiana o vectorial de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto P = (x_0, f(x_0)), donde x_0 ∈ ]a, b[. Originalmente, el concepto de derivada se introdujo para resolver problemas relativos a tangentes de . Más adelante, se aplicó al cálculo de velocidades y también se aplicó al estudio de variación de la función, la razón de crecimiento. Este problema ya fue tratado con funciones cuadráticas en el primer curso de bachillerato (libro 1).

Sean h ≠ 0, P_0 = (x_0, f(x_0)), P_1 = (x_0 + h, f(x_0 + h)) ∈ G(f).

La pendiente m(h) de la recta L_h que pasa por los puntos P_0 y P_1 está definida como

con lo que la ecuación cartesiana de la recta L_h se escribe como sigue:

y – f(x_0) = m(h)(x – x_0).

El cociente con h ≠ 0 se llama cociente incremental; también es conocido como tasa de variación de la función f en el punto x_0. Por su parte, la tangente de la medida θ(h) del ángulo que forma la recta L_h y la recta que pasa por P_0 y

R = (x_0 + h, f(x_0)) está definida como

▲ Figura 6.1.

Para h > 0 se tiene x_0 + h > x_0. Nota que para h > 0 cada vez más pequeño, la recta L_h se acerca cada vez más a la recta L, lo que implica que la pendiente m(h) se aproxima cada vez más a la pendiente m de L, y esto a su vez significa que θ(h) se aproxima a θ conforme h → 0^+. En la Figura 6.1. se muestran: una porción de la gráfica de la función f, una porción de la recta L_h que pasa por P_0 y P_1, el triángulo rectángulo P_0RP_1, y la recta tangente L a la gráfica de f en el punto P_0 = (x_0, f(x_0)).

Para h < 0, x_0 + h < x_0. El punto P_1 = (x_0 + h, f(x_0 + h)) se localiza a la izquierda de P_1. Un razonamiento similar se da en el caso h > 0. Cuando la función es derivable en el punto x_0, se tiene

La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto P_0 = (x_0, f(x_0)) es el conjunto

▲ Figura 6.2.

La ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto P_0 = (x_0, f(x_0)) está definida como

Problema 2. Sea f una función real definida en el intervalo cerrado [a, b] de ℝ. Suponemos que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].

Denotamos con S la región comprendida por el eje x y la gráfica de la función f. Esto es:

S = {(x, y) ∈ ℝ^2 | 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b}.

En la Figura 6.2. se muestran regiones de dos tipos de funciones. La primera presenta discontinuidades en la función f, y la segunda, en el hecho de que la función f es continua.

Interdisciplinariedad

Matemática y otras disciplinas

En la actualidad, el cálculo diferencial e integral no solo constituye un instrumento de cálculo en las ciencias y la técnica, sino que es también un conjunto de ideas y problemas que han sido objeto de estudio como parte del pensamiento. En ese sentido, forman parte del lenguaje que facilita la expresión de leyes y principios en forma matemática. Son la base para el desarrollo de otras áreas de la matemática, la física, la química, la biología, las ciencias económicas y sociales, y las distintas ramas de la ingeniería e industria.

Integral indefinida o primitiva de una función

En temas anteriores se calcularon las derivadas de algunas funciones de los tipos que presentamos a continuación.

1. Función cuadrática

Considera f(x) = ax^2 + bx + c, ∀x ∈ ℝ, con a, b, c constantes reales a ≠ 0. La derivada de esta función está definida como

(x) = 2ax + b, ∀x ∈ ℝ.

A esta derivada se la denota también como f'(x), esto es, (x) = f'(x). Recuerda que esta derivada define una nueva función que es un polinomio de grado ≤ 1.

1. Funciones polinomiales de grado ≤ 4

p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4, ∀x ∈ ℝ,

siendo a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 ∈ ℝ fijos. La derivada de p es

​(x) = p'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3, ∀x ∈ ℝ,

que define una nueva función, o sea, un polinomio de grado ≤ 3.

Recuerda que...

Integrar es el proceso recíproco del de derivar. Es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que, al ser derivadas, conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo, las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x), tales que

F'(x) = ∫f(x).

La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Por ejemplo, la ecuación
y = ∫f(x)dx admite infinitas

soluciones que difieren en una constante. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra.Por ejemplo,

y = ∫f(3x^2 – 1)dx = x^3 – x + C,

válida para diversos valores enteros de la constante C. Cada una de las primitivas es la solución de la ecuación
​= 3x^2 – 1.

Tomado de: http://www.cfm.cl/~rjimenez/bioingenieria/cap4.pdf

Dada la derivada (x) = g'(x) de una función g definida en algún subconjunto A de ℝ, ¿cómo podemos recuperar la función g?

La definición de primitiva (llamada también integral indefinida de una función f) responde en parte a esta pregunta. Para simplificar la exposición, asumimos que A = [a, b]. En realidad, este conjunto A pueden ser conjuntos ]–∞, a[, ]a, ∞[, ℝ = ]–∞, ∞[, entre otros.

Definición. Una función P se dice integral indefinida de una función real f en un intervalo abierto ]a, b[ de ℝ, si y solo si P verifica

(x) = f(x), ∀x ℝ ]a, b[.

A la integral indefinida también se le denomina antiderivada o primitiva. La integral indefinida de una función dada no es única.

Se representa con el símbolo ∫​f(x)dx que se lee "integral indefinida de f(x)dx". En la integración el símbolo  ∫​ que tiene la forma de la letra S mayúscula estirada, denota o indica suma. Se tiene

∫​f(x)dx = P(x) + c, ∀x ∈ [a, b],

donde c ∈ ℝ se dice constante arbitraria. La letra x en el símbolo ∫​f(x)dx puede ser reemplazada por cualquier otra letra. Así, ∫​f(t)dt, ∫​f(s)ds, etc., y en todos los casos designa a la misma función primitiva.

Ejercicios resueltos

1. Sea f(x) = –10, ∀x ∈ ]–1, 1[. La función P definida como

P(x) = –10x + 3, ∀x ∈ ]–1, 1[ es una primitiva de f, pues

 (x) = –10 = f(x), ∀x ∈ ]–1, 1[.

La función P_1(x) = –10x – , ∀x ∈ ]–1, 1[ es también una primitiva de f ya que

(x) = –10 = f(x), ∀x ∈ ]–1, 1[.

En general, P(x) = –10x + c, ∀x ∈ ]–1, 1[, con c ∈ ℝ constante, es una primitiva de f, pues

(x) = f(x) = –10, ∀x ∈ ]–1, 1[.

Se tiene  ∫f(x)dx = ∫–10·dx = –10x + c, ∀x ∈ ]–1, 1[.

1. Considera la función real u definida como

u(s) = s^3 – 3s^2 – 5, ∀s ∈ ]–2, 4[.

Entonces, toda integral indefinida de f viene definida como

∫u(s)ds = ∫( s^3 – 3s^2 – 5) ds

= s^4 – s^3 – 5s + c, ∀s ∈ [–2, 4],

donde c ⊂ ℝ es una constante arbitraria. Nota que las derivadas de las funciones dadas por s^4, s^3, 5s, c son respectivamente 4s^4, 3s^3, 5, y 0. Luego,

(s) = (4s^3) – 3s^2 – 5 = s^3 – 3s^2 – 5 = u(s), ∀s ∈ [–2, 4].

Recuerda que...

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)]dx =

∫f(x)dx + g(x)dx.

Una primitiva de una suma de funciones es la suma de las primitivas de las funciones.

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx.

Una primitiva del producto de un número real por una función es el número real por la primitiva de la función.

Propiedades de las integrales indefinidas

1. Sean f una función real definida en el intervalo abierto ]a, b[ de ℝ; y F, G dos primitivas de f, esto es,

F(x) = k_1 + ∫​ f(x)dx, ∀x ∈ [a, b].

G(x) = k_2 + ∫​ f(x)dx, ∀x ∈ [a, b].

Entonces, F(x) – G(x) = k_1 – k_2 = c,

lo cual significa que dos primitivas de la función f difieren en una constante.

1. Sean f, g dos funciones reales definidas en el intervalo abierto]a, b[ de ℝ; y F, G dos primitivas de f, g respectivamente, λ ∈ ℝ, entonces,

F(x) = k_1 + ∫f(x)dx,
G(x) = k_2 + ∫g(x)dx,
F(x) + G(x) = ∫​ f(x)dx, + ∫g(x)dx + k_1 + k_2
          = k + ∫(f(x) + g(x))dx,
λF(x) = λ (k_1 + ∫f(x)dx)
               = λk_1 + λ ∫f(x)dx
           = c + ∫λf(x)dx,

donde k_1, k_2, k = k_1 + k_2, y c = λk_1 son constantes de integración. En otras palabras, la primitiva de una suma de funciones es la suma de las primitivas de las funciones. Una primitiva del producto de un número real por una función es el número real por la primitiva de la función.

1. Sean f una función real definida en el intervalo ]a, b[ y F una primitiva de f. De la definición de primitiva de f se tiene

(x) = f(x), ∀x ∈ ]c, d[.

Por otro lado,

F(x) = c + ∫​ f(x)dx = c + ∫ (x)dx,

con c ∈ ℝ como una constante de integración.

Integral definida. Propiedades

DCCD: M.5.1.65. Aplicar la interpretación geométrica de la integral de una función escalonada no negativa como la superficie limitada por la curva y el eje x.
M.5.1.66. Calcular la integral definida de una función polinomial de grado ≤ 4 aproximando el cálculo como una sucesión de funciones escalonadas.

● Integral definida. Propiedades

Saberes previos

¿Qué es la integral?

Desequilibrio cognitivo

¿En qué consiste el teorema fundamental del cálculo?

Propiedades

Dados n ∈ ℤ^+, v_j, w_j ∈ ℝ, j = 1, ..., n, α ∈ ℝ. Se verifican las siguientes propiedades.

i) (v_j + w_j) = v_j + w_j.

ii) (α v_j) = α ​v_j.

iii) (v_j_+1 – v_j) = v_n – v_1.

Recuerda que...

Aunque el símbolo sumatorio ya fue tratado en unidades anteriores, volvemos a revisar algunos resultados importantes. Supongamos que se tiene n números reales z_1, ... z_n. A la suma z_1 + z_2 + ... z_n la expresamos en forma abreviada como z_j,
que se lee "suma de los z_j con j que varía de 1 a n". Es decir,

z_j = z_1 + z_2 + ... + z_n.

Al símbolo ∑ se le llama sumatorio; a z_j se le llama término general de la suma; j es el índice de sumación; j = 1 y j = n son los límites de sumación (esto es, j varía de 1 hasta n).

El índice de sumación se puede representar con cualquier letra minúscula, aunque se prefieren i, j, k, l.

Las expresiones más usadas en el cálculo de integrales definidas son:

1. Para todo n ∈ ℤ^+ y a ∈ ℝ, a = an. Nota que 1 = n.
2. Sea n ∈ ℕ, calculemos la suma de los n primeros números naturales:

S_n = j = 0 + 1 + 2 + ... + n.

Para j ∈ ℕ, se tiene (j + 1)^2 – j^2 = j^2 + 2j + 1 – j^2 = 2j + 1.

Por la propiedad iii), se obtiene

[(j + 1)^2 – j^2] = (n + 1)^2,

y por las propiedades i) y ii), resulta que

(n + 1)^2 = [(j + 1)^2 – j^2] = (2j + 1) = 2 j + 1 = 2 j + n + 1,

de donde,

2 j = (n + 1)^2 – n – 1 = n(n + 1),

S_n = j = 0 + 1 + 2 + ... n =

1. Calculemos la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales:

S_n = j^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + n^2.

Para j ∈ ℕ se tiene (j + 1)^3 – j^3 = j^3 + 3j^2 + 3j + 1 – j^3 = 3j^2 + 3j + 1.

Recuerda que...

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

- Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
- Cuando la función f(x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
- Al permutar los límites de una integral, esta cambia de signo.
- Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple la integración a trozos:
- Para todo punto x del intervalo [a, b] al que se aplican dos funciones f(x) y g(x), tales que f(x) ≤ g(x), se verifica que:
​

▲ Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Adaptado de: http://www.hiru.eus/matematicas/la-integral-definida

Por la propiedad iii), resulta que

[(j + 1)^3 – j^3] = (n + 1)^3,

y por las propiedades i) y ii), resulta que

(n + 1)^3 = [(j + 1)^3 – j^3] = (3j^2 + 3j + 1)

= 3 j^2 + 3 j + 1 = 3 j^2 + n(n + 1) + n,

de donde

Definición. Sea [a, b] un intervalo cerrado de, ℝ, n ∈ ℤ^+. Una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos es un conjunto de puntos que se nota τ(n) y se define como

τ(n) = {x_0, x_1, ..., x_n_–1, x_n},

donde

x_0 = a < x_1 < ... x_n_–1 < x_n = b.

Al conjunto τ(n) se le llama subdivisión del intervalo [a, b]. Escribiremos también

τ(n) = {x_j ∈ [a, b] | x_0 = a < x_1 < ... < x_n = b}.

En la Figura 6.3. se muestra una partición τ(n) del intervalo [a, b].

▲ Figura 6.3.

Los n subintervalos son [x_0, x_1], [x_1, x_2], ..., [x_n_–1, x_n],

que abreviadamente escribimos [x_j_–1, x_j], j = 1, ..., n, lo cual se lee "intervalo cerrado [x_j_–1, x_j] con j que varía de 1 a n". El intervalo [x_j_–1, x_j] se llama j-ésimo intervalo de [a, b]. Las longitudes de cada uno de los intervalos son

h_1 = x_1 – x_0, h_2 = x_2 – x_1, ..., h_n_ = x_n – x_n_–_1,

que abreviadamente escribimos h_j_ = x_j – x_j_–_1, j = 1, ..., n, que se lee "h_j_ = x_j – x_j_–_1 con j que varía de 1 a n". Se tiene entonces:

Notemos que los extremos del intervalo [a, b] pertenecen a τ(n), esto es, a, b ∈ τ(n). Además, τ(n) tiene exactamente n + 1 puntos distintos del intervalo [a, b].

Se llama partición uniforme τ(n) a la partición de [a, b] dada como

x_j = a + jh, j = 0, 1, ..., n, donde

Esta es la partición que utilizamos más adelante.

Recuerda que...

Es natural preguntarse si el símbolo de la integral definida tiene relación con la integral indefinida o primitiva, pues observamos que representan cosas totalmente diferentes. En efecto, la integral indefinida representa una familia de funciones y la integral definida representa un número.

Simbología matemática

- El símbolo tiene la forma de la letra S mayúscula estirada y denota o indica suma; el símbolo f(x)dx se lee "integral de f(x) de x = a hasta x = b" o también, "integral de f(x) sobre el intervalo [a, b]".
- En la integral definida se debe observar los siguientes elementos:

Se lee: "integral de f desde a hasta b".

Definición. Sean [a, b] un intervalo cerrado de ℝ y v una función de [a, b] de ℝ. Se dice que v es escalonada o constante a trozos en [a, b] si y solo si existe una partición τ( n) de [a, b], tal que

v(x) = c_j, x ∈ ]x_j_–1, x_j], j = 1, ..., n,

y v(x_j) está definido para cada j = 0, 1, ..., n. La partición τ(n) se llama partición asociada con la función v.

En la definición de función escalonada, observemos que la función v toma el valor constante c_j en el j-ésimo intervalo abierto ]x_j_–1, x_j], v(x_j_–1), y que v(x_j) no necesariamente tiene que tomar el valor c_j.

El dominio de la función v es el intervalo [a, b], Dom(v) = [a, b], y el recorrido de v es el conjunto:

Rec(v) = {c_1, ..., c_n} ∪ {v(x_j) | j = 0, 1, ..., n}.

Se denota con ε([a, b]) el conjunto de todas las funciones escalonadas en [a, b]. Las funciones nula 0 y unidad 𝟙 son escalonadas y están definidas como:

Luego, 0, 𝟙 ∈ ε([a, b]). La igualdad de funciones escalonadas se define en la forma habitual, esto es, f, g ∈ ε([a, b]),

f = g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ [a, b].

En el conjunto de funciones escalonadas ε([a, b]) se definen tres operaciones: adición "+" , producto de escalares por funciones escalonadas "∙", y producto de funciones escalonadas "×". Sean f, g ∈ ε([a, b]), λ∈ ℝ, se definen las funciones escalonadas f + g, λf, y fg, en la forma habitual. Así:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ [a, b],
(λ f)(x) = λf(x), ∀x ∈ [a, b], ∀λ ∈ ℝ,
( fg)(x) = f(x)g(x), ∀x ∈ [a, b].

Definición. Sean f ∈ ε([a, b]) y τ(n) una subdivisión compatible con f, esto es,

τ(n) = {x_j ∈ [a, b] | x_0 = a < x_1 < ... < x_n = b},
f(x) = c_j, x ∈ ]x_j_–1, x_j], j = 1, ..., n.

La integral definida de f sobre [a, b] se nota f(x)dx, o, en forma abreviada, f, y se define como el número real:

f = ​c_jh_j, h_j = x_j – x_j_–1 para j = 1, ..., n.

La suma

c_1h_1 + c_2h_2 + ... + c_nh_n

se expresa como c_jh_j o también como c_j(x_j – x_j_–1), que se lee "suma de j = 1 hasta n de c_jh_j" o "de c_j(x_j – x_j_–1)". Así,

f(x)dx = c_1h_1 = c_j(x_j – x_j_–1) = c_1h_1 + c_2h_2 + ... + c_nh_n =

c_1(x_1 – x_0) + c_2(x_2 – x_1) + ... + c_n(x_n – x_n_–1).

Notemos que el cálculo de f se reduce a calcular la suma c_1h_1 + c_2h_2 + ... + c_nh_n que requiere únicamente de los elementos básicos de suma y multiplicación de números reales.

Sean a, b ∈ ℝ, tales que a < b y f la función real definida en el intervalo cerrado [a, b]. En el cálculo de integrales definidas de funciones

escalonadas se introdujo el símbolo p(x)dx que se lee "integral definida desde a hasta b de la función escalonada p".

Recuerda que...

Primer teorema fundamental del cálculo integral
​Si f es una función continua en [a, b], entonces la función F definida por

F(x) = f(t)dt es continua en [a, b] y satisface que F'(x) = f(x).

Segundo teorema fundamental del cálculo integral

Si f es una función continua en [a, b], entonces
f(x)dx = F(b) – F(a),
donde F es cualquier primitiva de f en el intervalo [a, b].

Definición

i) Se dice que (p_n) es una sucesión de funciones escalonadas definidas en [a, b], si y solo si para cada n ∈ ℤ^+, p_n es una función escalonada en [a, b]. Esto es, p_n ∈ ε([a, b]).

ii) Sea f una función real definida en [a, b]. Se dice que la sucesión de funciones escalonadas (p_n) converge a f, si y solo si se verifica

p_n(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

Sea f una función real definida en el intervalo [a, b].

El símbolo p(x)dx se lee "integral definida desde a hasta b de la función real dada como f(x) por dx". La integral de funciones reales que se definen a continuación se conoce en la literatura como integral de Riemann. Para facilitar la comprensión, la siguiente definición de integral definida es una simplificación de la definición de integral de Riemann a una clase de funciones continuas f.

Definición. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b]. Se dice que f es

integrable en [a, b], que se escribe f(x)dx, si y solo si existe una sucesión de funciones escalonadas (p_n) definidas en [a, b], tales que

En tal caso, f(x)dx = p_n(x).

Recuerda que...

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

1. Si a > b, entonces
f(x)dx = – f(x)dx.
2. Si f(a) existe, entonces
f(x)dx = 0.
3. Si k es una constante cualquiera, entonces
k dx = k(b – a).
4. Si la función f es integrable en [a, b] y k es una constante arbitraria, entonces
kf(x)dx = k f (x)dx.
5. Si las funciones f y g son integrables en [a, b], entonces f ± g también es integrable en [a, b] y
[f(x) ± g(x)] =
f(x)dx ± g(x)dx.

Propiedades de las integrales definidas

1. Sean f una función real definida en el intervalo [a, b] de ℝ, y F una primitiva de f, esto es,

F(x) = k + ∫f(x)dx, ∀x ∈ [a, b].

Entonces,

f(x)dx = F(b) – F(a).

1. Sean f, g dos funciones reales definidas en el intervalo [a, b] de ℝ, F, G dos primitivas de f, g respectivamente, y λ ∈ ℝ, entonces,

F(x) = k_1 + ∫f(x)dx,

G(x) = k_2 + ∫g(x)dx,
(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx
= (F(x) + G(x))

λf(x)dx = λ f(x)dx = λ F(x) ,

donde k_1, k_2 son constantes de integración. En otras palabras, la integral definida de una suma de funciones es la suma de las integrales definidas. La integral definida del producto de un número real por una función es el número real por la integral definida de la función.

1. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b] de ℝ, entonces,

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, ∀c ∈ ]a, b[.

1. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b], y F una primitiva de f. Se supone que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].

Entonces, f(x)dx = F(x) ≥ 0.

1. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b]. Se supone que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].

Entonces, f(x)dx ≤ f(x)dx, ∀[c, d] ⊂ [a, b].

1. Sean f, g dos funciones reales definidas en el intervalo [a, b] de ℝ. Se supone que

f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b],

y entonces, f(x)dx ≤ ​g(x)dx.

1. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b], entonces,

| f(x)dx | ≤ | f(x) | dx.

Recuerda que...

El primer y el segundo teorema del cálculo integral permiten encontrar la integral indefinida y definida de ciertas funciones a partir de ciertas reglas como las siguientes:

∫kdx = kx + C.
∫x^ndx = + C, n ≠ –1.
∫dx = ln|x| + C.

∫e^xdx = e^x + C.

∫sen(x)dx = –cos(x) + C.

∫cos(x)dx = sen(x) + C.

Ejercicios resueltos

Aplica las propiedades de las integrales.

1. 3x(x – 4)dx = – 3x(x – 4)dx = – (3x^2 – 12x)dx.
2. 5x^2dx = 5x^2dx = 0.
3. dx = (2 – (–2)) = (2 + 2) = 4 .
4. (2x^2 – 4x + 5)dx = 2x^2dx – 4xdx + 5dx.

Ejercicios resueltos

1. Calcula la integral definida que se propone, y verifícala con el resultado indicado.

a.

Por el teorema fundamental del cálculo se tiene:

b. 6xdx = 72.

Por el teorema fundamental del cálculo se tiene:

6xdx = |^ = 3(5)^2 – 3(1)^2 = 72.

c. (6x – 0,5)dx = 61,5 F(x) = cx + k, ∀x ∈ [0, b].

Por el teorema fundamental del cálculo se tiene:

(6x – 0,5)dx = (3x^2 – 0,5x)|^ = [3(5)^2 – 0,5(5)] – [3(2)^2 – 0,5(2)] = 61,5.

d. (4x – x^2)dx; = 2x^2 – |^ = (64 – 72) – = – .

e. (3 + 2x^2 + 5x^4)dx = 2 (3 + 2x^2 + 5x^4)dx = .

f. (5x – 2x^3)dx = 0.

Cálculo de áreas de regiones planas. Integrales de funciones polinomiales

DCCD: M.5.1.68. Aplicar el segundo teorema del cálculo diferencial e integral para el cálculo de la integral definida de una función polinomial de grado ≤ 4 (primitiva).
M.5.1.69. Resolver y plantear aplicaciones geométricas (cálculo de áreas) y físicas (velocidad media, espacio recorrido) de la integral definida, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas.

● Cálculo de áreas de regiones planas. Integrales de funciones polinomiales

Saberes previos

¿Qué noción tienes de área?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo puedes calcular el volumen de un sólido con la aplicación de integrales?

Sea b ∈ ℝ^+. En lo que sigue, las funciones reales que consideremos están definidas en el intervalo [0, b].

i) Área de una región rectangular. Sean b > 0, c > 0,

S = {(x, y) ∈ ℝ^2 | 0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ c}.

En la Figura 6.4. se muestran el intervalo [0, b], el segmento de recta de ecuación cartesiana y = c, así como la región rectangular S.

▲ Figura 6.4.

El número real positivo b es la base y el número real positivo c es la altura, de la geometría elemental, se sabe que área de S = base x altura.

Escribimos A(S) = bc. Sea f la función real definida como f(x) = c, ∀x ∈ 0, b]. Resulta que f es una función escalonada,

Se escribe cdx = cx |^ = cb, es decir, a(S) = bc = cdx.

F(x) = cx + k, ∀x ∈ [0, b], es la integral indefinida o primitiva de f.

Entonces, F(b) – F(0) = cb + k – (c × 0 + k) = bc = cx |^ .

ii) Integral definida de una función lineal restringida a [0, b].

Sea β ∈ ℝ^+ con β > 0. La función definida como f(x) = βx, ∀x ∈ [0, b] se llama función lineal restringida al intervalo [0, b]. Consideramos c ∈ ℝ^+ β = , y el conjunto

S = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x, ∀x ∈ [0, b]} .

Como b > 0, c > 0 y x ∈ [0, b], resulta que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, b].

▲ Figura 6.5.

En la Figura 6.5. se muestran el intervalo [0, b], el segmento de recta de ecuación cartesiana y = x, así como la región triangular S.

Al número real positivo b se le llama base del triángulo rectángulo y al número real positivo c se le llama altura del triángulo, de modo que el área de la región triangular es bc, lo cual se escribe a(S) = bc.

Calculemos la integral de Riemann de f.

Sea n ∈ ℤ^+, h = , x_j = jh, j = 0, 1, ..., n.

Se define la sucesión de funciones escalonadas (p_n) como sigue:

p_n(x) = f(x_j–1) = βx_j_–1 = β(j – 1)h, j = 1, ..., n.

Recuerda que...

La integral definida nos sirve para calcular el área bajo una curva
f(x)dx.
La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a, b] representa el área de la región del plano correspondiente entre la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y = 0 y las rectas x = a y x = b.

Aplicando la definición integral definida de una función escalonada, y la suma de los n – 1 primeros números naturales, se tiene:

Para n suficientemente grande, es suficientemente pequeño. Así,

Puesto que el límite existe, la integral definida de f es

Escribimos

A la integral indefinida de la función f la designamos con F(x) = x^2 + k, ∀x ∈ ℝ, siendo k ∈ ℝ. Resulta entonces que

Conexiones con las TIC

Existen muchos softwares libres que permiten obtener cálculos matemáticos, como, por ejemplo, el cálculo de la integral definida. El programa DERIVE for Windows permite realizar cálculos y manipulaciones matemáticas de carácter general.

Recuerda que...

Con respecto al cálculo de áreas, sabemos que el cálculo de algunas de ellas es sencillo (por ejemplo, cuando en geometría nos referimos al cálculo de cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, etc). Otras áreas son más complejas, y se dividen en un número finito de triángulos.

Los antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para calcular áreas de regiones (principalmente limitadas por cónicas) mediante el método de "exhaución" (Arquímedes, 287-212 a. C.). En esencia, se trata de un proceso al límite, donde la región en estudio queda encajada entre dos polígonos, uno inscrito y el otro circunscrito, cuyas áreas respectivas se pueden calcular (no muy fácilmente, valga decirlo).

Conclusión

Particularmente, si c = 0, x = 1, tenemos

iii) Integral definida de una función cuadrática restringida a [0, b]. Sea β ∈ ℝ^+ con β > 0. Consideramos la función definida como
f(x) = βx^2, ∀x ∈ [0, b]

Nos proponemos calcular la integral de Riemann de f, esto es,
βx^2dx. Para el efecto, sea n ∈ ℤ^+, h = , x_j = jh, j = 0,1, ..., n.
Se define la sucesión de funciones escalonadas (p_n) como sigue:

p_n(x) = f(x_j_–1) = βx^2_j_–1 = β(j – 1)^2h^2, j = 1, ..., n.

Entonces, aplicando la definición integral definida de una función escalonada, y la suma de los cuadrados de los n – 1 primeros números naturales, se tiene:

Para n suficientemente grande, y son suficientemente pequeños. Luego,

La integral definida de f viene dada como

Por otro lado, a la integral indefinida de la función f la designamos con

F(x) = x^3 + k, ∀x ∈ ℝ, siendo k ∈ ℝ. Resulta así que

Buen vivir

El agua necesita ser tratada para el consumo humano. El tratamiento se hace en instalaciones centralizadas que necesitan controlar flujos de agua, volúmen y tiempo de circulación. Estos cálculos se llevan a cabo por medio de la matémática y de sus herramientas (por ejemplo, el cálculo integral).

▲ Agua potable.

Conclusión

De manera general, se prueba que

Otra propiedad de las integrales definidas

Sea f una función real definida en el intervalo [a, b]. Se supone que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b],

S = {(x, y) ∈ ℝ^2 | 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b},

y que F es una primitiva de f. Entonces, el área de la región S es

a(S) = f(x)dx = F(x) |^ .

Integrales definidas de funciones polinomiales

Los resultados obtenidos en la sección precedente se extienden a cualquier intervalo cerrado [a, b]. Sea f una función real definida en el intervalo ]a, b[ y P una primitiva de f. De la definición de primitiva de f, se tiene

(x) = f(x), ∀x ∈ ]a, b[.

Por otro lado, P(x) = k + ∫​f(x)dx = k + ∫​ (x)dx.

Escribimos P(x) = P(a) + f(t)dt, ∀x ∈ a, b].

Conexiones con las TIC

Para profundizar sobre el estudio de la integral definida, puedes visitar la siguiente página:

www.mayedu.ec/matbu3/p203

1. La integral indefinida de la función f definida como
f(x) = ax + b, ∀x ∈ [c, d], es la función P dada como

P(x) = ∫(ax + b)dx = ∫axdx + ∫bdx = ax^2 + bx + k, ∀x ∈ [c, d],

donde k ∈ ℝ constante. Entonces,

P(c) = ac^2 + bc + k, P(d) = ad^2 + bc + k,
f(x)dx = P(d) – P(c) = ad^2 + bd + k – ( ac^2 + bc + k)
= a(d^2 – c^2) + b(d – c).

Este resultado se obtiene de modo similar a los tratados en la sección precedente, esto es, sea n ∈ ℤ^+, , x_j = c + jh, j = 0, 1, ... n.

Se define la sucesión de funciones escalonadas (p_n) como sigue:
p_n(x) = f(x_j_–1) = ax_j_–1 + b, j = 1, ..., n.

Entonces,

f(x)dx = p_n(x) = a(d^2 – c^2) + b(d – c).

Nota que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [–2, 3]. En la Figura 6.6 se muestra la gráfica de la porción de parábola definida por la función f y la región S.

▲ Figura 6.6.

1. Cálculo del área de una región limitada superiormente por una porción de parábola.

Sea f la función definida por

f(x) = (x – 1)^2 + 1, x ∈ ℝ, f es un polinomio de grado 2.

Consideremos la región S como el conjunto definido por

S = {(x, y) ∈ ℝ^2 | 0 ≤ y ≤ f(x), –2 ≤ x ≤ 3}. Ver Figura 6.6.

Calculemos el área de la región S. En primer lugar, una primitiva P de la función f está definida por

P(x) = ∫​( (x – 1)^2 + 1) dx = (x – 1)^3 + x + k, ∀x ∈[–2, 3],

k ∈ ℝ constante. Luego,

P(–2) = (–2 – 1)^3 – 2 + k = – + k,

P(3) = (3 – 1)^3 + 3 + k = + k, y de la definición de función

primitiva se tiene

con lo que a(S) = .

Solución de problemas cotidianos

Problema. Conexión con física

1. La aceleración a de un vehículo es la función definida en el intervalo de tiempo [t_1, t_2]  [0, ∞]. Por definición de la aceleración,

a(t) = (t), ∀t  [t_1, t_2],
siendo v la función velocidad, entonces la velocidad al instante t  [t_1, t_2] está definida como
v(t) = v(t_1) + a()d, ∀t  [t_1, t_2].

Por otro lado, la velocidad es la derivada de la función posición, designada como x(t). Así,

v(t) = (x), ∀t  [t_1, t_2].

Entonces, x(t) = x(t_1) + v()d, ∀t  [t_1, t_2].

Conocidos x(t_1), v(t_1), la velocidad es la integral definida de la aceleración, y la posición es la integral definida de la velocidad en [t_1, t_2].

Un automóvil se mueve con una velocidad

constante de 15 (54 ). Esto significa que

recorre quince metros en un segundo. El conductor observa en la vía, delante de él, un auto mal estacionado a una distancia de d metros, lo que le obliga a frenar, así que transcurridos T segundos, debe detenerse. Tenemos v(0) = 15, v(T) = 0, y la posición x(0) = 0. Para esta maniobra, el conductor tiene una infinidad de opciones. Consideremos una de ellas. En dos segundos, reduce la velocidad a la mitad y en tres segundos, se detiene, o

sea, v(2) = 7,5 , v(3) = 0 , con lo que Y = 3 s.

En el proceso de frenado, asumimos que la aceleración es un polinomio cuadrático de la forma

a(t) = c_1t^2 + c_2t + c_3 , ∀t  [0, 3],

con c_1, c_2, c_3  R por determinarse. Se tiene

v(t) = v(0) + (c_1t^2 + c_2t + c_3 )dt|

= v(0) + ^3 + ^2 + c_3 |
= 15 + t^3 + t^2 + c_3t , ∀t  [0, 3].

Entonces, 7,5 = v(2) = 15 + × 2^3 + × 2^2 + c_3 × 2.

Resulta que 16c_1 + 12c_2 + 12c_3 = –45.
Además, 0 = v(3) = 15 + × 3^3 + × 3^2 + c_3 × 3,

con lo cual 6c_1 + 3c_2 + 2c_3 = –10.

Por otro lado, a la posición del vehículo la denotamos con x(t). Cuando el conductor observa el auto mal estacionado, x(0) = 0, entonces,

x(t) = x(0) + v()d

= 15 + ^3 + ^2 + c_3 d
= t^4 + t^3 + t^2 + 15t, ∀t  [0, 3].

En tres segundos, el conductor debe detenerse y en este tiempo ha recorrido una distancia de d metros. Entonces,

d = x(3) = × 3^4 + × 3^3 + × 3^2 + 15 × 3,

de donde 27c_1 + 18c_2 + 18c_3 = 4(d – 45).

Así, resulta el sistema de ecuaciones lineales:

16c_1 + 12c_2 + 12c_3 = –45,

6c_1 + 3c_2 + 2c_3 = –10,
27c_1 + 18c_2 + 18c_3 = 4(d – 45),

cuya solución es

Como tarea se deja hallar esta solución.

Las funciones de posición, velocidad y aceleración están definidas como:

x(t) = t^4 + t^3 + t^2 + 15t, ∀t  [0, 3].

v(t) = t^3 + t^3 + c_3t + 15t, ∀t  [0, 3].
a(t) = c_1t^2 + c_2t + c_3, ∀t  [0, 3].

Si el auto mal estacionado está localizado a una distancia mayor que d metros, no existe colisión; si el auto mal estacionado está localizado a una distancia menor que d metros, existe colisión. Por ejemplo, si d = 30 m,

c_1 = , c_2 = – , c_3 = .

En el primer segundo, el auto ha recorridox(1) = 15,28 m, su velocidad es v(1) = 14,17 m/s, y su aceleración es a(1) = –4,58 m/s^2. Si el conductor no frena en el tiempo T = 3 s, el auto habrá recorrido 45 m, lo que significa que en dos segundos se habrá impactado con el auto mal estacionado.

^t

∫

dv

dt

^0

^t

c_1

3

c_2

2

∫

^0

c_1

12

c_2

6

c_3

2

^t

∫

^t_1

c_1

12

c_2

6

c_3

2

dx

dt

^t

∫

^t_1

4

3

75

2

c_1 = d – ,

c_2 = – d + ,
c_3 = d – .

m

s

m

s

40

9

735

6

305

4

8

3

c_1

12

c_2

6

c_3

2

c_1

3

c_2

2

m

s

m

s

^t

∫

^0

c_1

3

c_2

2

5

2

65

6

15

4

^t

^0

c_1

3

c_2

2

c_1

3

c_2

2

c_1

3

c_2

2

Desafíos científicos

Desafíos científicos

Matemática y Economía

"El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y la curva de la oferta, para un producto, da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como el ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q_0 artículos. El área sombreada bajo la recta y = q_0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p_0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores. El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvasp = d(q) y p = p_0. Entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma: ∫_0^q^0[d(q) – p_0]d_q, donde d_q es una función demanda con precio de equilibrio p_0 y demanda de equilibrio q_0".

"Aplicaciones a la Administración y la Economía" (s. f.).

▲  Curva de demanda

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Economía

La Economía, Demografía y Administración, entre otras carreras socioeconómicas, se enfocan en el conocimiento sobre integrales para resolver problemas y proyectar acciones sobre producción, administración de bienes, comercio exterior, reparto de ingresos en una empresa o entre una población de un determinado país.

Un aspirante a título de tercer nivel en Economía requiere cursar y aprobar las asignaturas que tratan los temas: recursos naturales, políticas públicas, economía internacional, economía financiera, optimización, entre otras.

Los economistas están involucrados en todas las actividades que se relacionen con el desarrollo económico, social, político y cultural a nivel local, nacional e internacional.

Duración de la carrera

La carrera tiene una duración de entre nueve y diez semestres, más la tesis o proyecto de graduación.

Tomado de: http://www.puce.edu.ec/economia/tramites.php

▲ Informe financiero.

TIC

TIC

Integral definida con GeoGebra

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Curvas de oferta y demanda en el mercado. Superávit

Recursos

- Modelo de situaciones de mercado
- Software (por ejemplo GeoGebra) para graficar funciones

Justificación

La importancia de estudio de las integrales tiene que ver con aplicaciones de las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado a partir de las funciones de oferta y demanda.

Objetivos

- Comprender los conceptos básicos del cálculo integral de manera natural en el manejo de integrales y en la necesidad de usarlas para encontrar la solución de problemas reales.

Actividades

- Formar equipos de trabajo, con no más de tres estudiantes.
- Analizar el problema planteado como modelo, y proponer una situación similar.
- Calcular el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas.

▲ Mercado de valores.

Función de demanda: p_1(q) = 1 000 – 0,4q^2.
Función de oferta: p_2(q) = 42q.
Los excesos de oferta y demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica.

La oferta coincide con la demanda en (q_0, p_0), es decir,
p_1(q) = p_2(q) ⇒ 1 000 – 0,4q^2 = 42q ⇒ – 0,4q^2 – 42q + 1 000 = 0
⇒ q_1 = –125 y q_2 = 20.
Como los valores de las abscisas corresponden al número de artículos ofrecidos o demandados, q_0 = 20 y, por lo tanto, p_0 = 840.

El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre
p_1(q) y la recta p = 840, entre 0 y 20, o sea,

El excedente de demanda asciende a $ 2 133,33.

El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q, entre 0 y 20, o sea,

El superávit de oferta alcanza $ 8 400.

Conclusiones

Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades, se deben cumplir las siguientes condiciones:

- Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total.
- Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas.

Tomado de: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm

En síntesis

En síntesis

Bibliografía

● Bibliografía

Apostol, T. M. (1977). Calculus (2.^a ed.). Barcelona: Editorial Reverté.

Ayres, F. Jr. (1965). Theory and Problems of Modern Algebra. Nueva York: Schaum Publisihg Co.

Barnett, R. A., Ziegler, M.R. y Byleen, K. E. (1999). College Algebra. Boston: McGrawHill.

Benalcázar, H. (2008). Curso elemental de Geometría. Quito: PDF publicado por el autor en la Facultad de Ingeniería, Universidad Central del Ecuador.

------------------- (2012a). Matemática para Bachillerato. Tomo 1. Quito: Impresión Hernán Benalcázar.

------------------- (2012b). Matemática para Bachillerato. Tomo 2 y tomo 3. Quito: Preprinter (por publicarse).

Birkhoff, G. y MacLane, S. (1974). Álgebra moderna (4.^a ed.). Barcelona: Editorial Vicens-Vives.

Bolster, C.L., Boyer, C., y otros (1990). Exploring Mathematics. Glenview, Illinois: Scott Foresman & Company.

Brabant, P., Carnec, H., Nouet, M. y Seroux, R. (1990). Mathématiques. París: Editorial Bordas.

Carnec, H., Compagnon, P., Randé, B. y Seroux. R. (1991). Mathématiques. París: 1er A1 et B, Editorial Bordas.

Castro, L. (2013). Matemática. Quito: Maya Ediciones C. Ltda.

Compagnon, P., Nouet, M., Randé, B. y Seroux, R. (1991). Mathématiques. Analyse. París: 1er S y E, Editorial Bordas.

Copi, I. M. (1982). Lógica simbólica. México D. F.: Editorial C.E.C.S.A.

Diccionario Enciclopédico Ilustrado. (1994). Madrid: Cultural S. A. de Ediciones.

Fang, J. (1963). Theory and Problems of Modern Algebra. Nueva York: Editorial Shaum Publishing Co.

Gabba, P. J. (1974). Matemática para maestros. Buenos Aires: Ediciones Merymar.

Galindo, E. (2015). Estadística, métodos y aplicaciones. Quito: Prociencia Editores.

Gómez, R., Wills, D., Guarin, H. y Londoño, N. (1976). Matemática moderna estructurada (Vols. 1-6). Bogotá: Editorial Norma.

Haye, G., Nouet, M., Serra, E. y Venard, J. (1992). Mathématiques. Algèbre. Géométrie. Terminales C et E. París: Editorial Bordas.

Kalnin, R. A. (1973). Álgebra y funciones elementales. Moscú: Editorial Mir.

Keil, J. (1975). Géométrie Anlytique Plane. Namur: Editorial La Procure.

Kelley, J. L. y Richert, D. (1970). Elementary Mathematics for Teachers: San Francisco: Editorial Holden-Day.

Kostrikin, A. I. (1978). Introducción al Álgebra. Moscú: Editorial Mir.

Kuratowski, K. (1966). Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología. Barcelona: Editorial Vicens-Vives.

Kurosh, A. (1973). Cours d' Algèbre Supérieure. Moscú: Editorial Mir.

Lara, J. y Benalcázar, H. (1991). Fundamentos de análisis matemático (Vols. I-III). Quito: Editorial Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.

------------------- (2005). Fundamentos de análisis matemático (3.^a ed.). Quito: Editorial Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.

Layman, S. C. (1999). The Power of Logic. Mountain View: Editorial Mayfield Publishing Company.

Leithold, L. (1994). El cálculo (7.^a ed.). México D. F.: Grupo Mexicano Mapasa, S. A. de C. V.

Lewis, D. J. (1970). Introducción al Álgebra. Nueva York: Editorial Harper & Row Publishers Inc.

Muschla, J. A. y Muschla, G. R. (2006). Hands-On Math Projects. San Francisco: Jossey-Bass.

Niven, I. y Zuckerman, H. S. (1969). Introducción a la teoría de los números. México D. F.: Limusa Wiley, S. A.

Negro, A. y Zorio, V. (1975). Cerca de la Matemática (1). Madrid: Editorial Alhambra.

------------------- (1978). Curso de Matemáticas. Orientación universitaria. Madrid: Editorial Alhambra.

Negro, A., Pérez, S., Cacho, S. y Thio de Pol, S. (1977). Cerca de la Matemática (3). Madrid: Editorial Alhambra.

Pérez, J., Caro, V. y Obonaga, E. (1986). Matemática (Vols. 1-6). Bogotá: Editorial Pime Editores S. A.

Rice, B. J. y Strange, J. D. (1989). College Algebra with Applications. Pacific Grove: Brooks/Cole Publishing Company.

Robert H. D., Lawrence T. A. y Yelon, S. (2001). Diseño de sistemas de aprendizaje. México D. F.: Editorial Trillas.

Sáenz, R., Lara, J., Benalcázar, H. y León, H. (2003). Matemática básica (2.a ed.). Quito: Editorial Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.

Spiegel, M. R. (1956). Theory and Problems of College Algebra. Nueva York: Editorial Schaum Publishing Co.

Suppes, P. y Hill, S. (1982). Introducción a la lógica matemática. Barcelona: Editorial Reverté S. A.

Trejo, C. A. y Boch, J. E. (1973). Ciclo medio de matemática moderna. Quinto curso. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires.

Wexler, C. (1968). Geometría analítica: un enfoque vectorial. Barcelona: Editorial Montaner y Simón, S. A.

Whitesitt, E. J. (1971). Álgebra booleana y sus aplicaciones. México D. F.: Editorial CECSA.

Zemansky, M. (1967). Introducción al álgebra y análisis moderno. Barcelona: Editorial Montaner y Simón, S. A.

Webgrafía

Funciones como modelos matemáticos (s. f.), [en línea]. Departamento de Matemática de la Universidad de Sonora. Disponible en: http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/4-funciones-modelos-jl.pdf [2016, 8 de junio].

Matemática. Función cuadrática, parábolas y ecuaciones de segundo grado (2014), [en línea]. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educación. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/pdf/matematica_cuadratica_13_06_14.pdf [2016, 7 de abril].

Probabilidad (s. f.), [en línea]. Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado. Disponible en: http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T02.pdf [2016, 7 de junio].

Unidad 3: Funciones trigonométricas (s. f.), [en línea]. Colegio de Ciencias y Humanidades, UNAM. Disponible en: http://www.matepop.com.mx/phocadownload/Libros/GuiaProfesM4/Unidad3.pdf [2016, 12 de septiembre 2016].

La inclusión en la educación cómo hacerla realidad (s.f.), [en línea]. Ministerio de Educación de Perú. Disponible en: www.oei.es/historico/pdfs/educacion_inclusiva_peru.pdf [2016, 29 septiembre 2016]