Title: Unidad 2
Course: Matemáticas Plus + 3 BGU

Operaciones con funciones y planos en R3

▲ Crucero.

Aplicaciones de vectores en R^3

Los elementos en ^3,  más aún los vectores y planos, están presentes en nuestra vida, incluso en diseños que nos parecen insignificantes o comunes como, por ejemplo, en los juegos de computadora o en las películas animadas que han sido desarrolladas con gráficos vectoriales. Estos elementos también han estado presentes en artefactos y contextos de larga data, como en el transporte aéreo o en los desplazamientos de los barcos. El aporte máximo de los vectores se da en física: en el tiro parabólico o en el estudio que se realiza al analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (por ejemplo, cuando se pretende mover una puerta).

Adaptado de: http://interrogantesconangge.blogspot.com/

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​
Geometría y medida

  Objetivos

- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.3. Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problemáticas del medio.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.

Observa y contesta

- ¿Qué dimensiones puedes observar en cada figura?
- ¿Crees que los objetos que nos rodean son tridimensionales? ¿Por qué?
- ¿En qué situaciones de tu entorno se pueden apreciar planos o rectas en el espacio? Menciónalas.

Operaciones con funciones reales

DCCD: M.5.1.25. Realizar las operaciones de adición y producto entre funciones reales, y el producto de números reales por funciones reales, aplicando propiedades de los números reales.

● Operaciones con funciones reales

Saberes previos

¿Qué es el dominio de una función?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es la definición de "función nula"?

Recuerda que...

f, g ∈ F(A) ⇒ f + g ∈ F(A), que se conoce como propiedad clausurativa. El grafo de la función f + g es el conjunto
​G(f + g) = {(x, f(x) + g(x)) | x∈A}.

Sean A ⊂ ℝ con A ≠ Ø . Denotamos con F(A) el conjunto de todas las funciones reales definidas en A. Si f ∈  F(A), se debe entender que Dom(f) = A, para cada x ∈  A, f(x) ∈ ℝ y Rec(f) ⊂ ℝ.

Sean f, g ∈  F(A). Recuerda que f y g son iguales, f = g, si y solo si se verifica f(x) = g(x), ∀ x ∈ A. La función f_0 ∈ F(A), definida como f_0 (x) = 0, ∀x ∈ A, se denomina función cero o función nula.

Adición

Definición. Sean f, g ∈ F(A). La suma de f con g se nota f + g y es la función real definida en A como

(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀ x ∈ A.

La operación adición "+" en F(A) es la función que se define como sigue:

Intervienen los siguientes elementos: f(x), g(x) ∈ ℝ y la adición "+" en ℝ, con lo que se tiene f(x) + g(x) ∈ ℝ que es el valor de la función o imagen de f + g en el punto x ∈ A.

Ejercicios resueltos

▲ Figura 2.1.

1. Sean A = [–1,1] y f , g ∈ F(A) definidos como sigue:
f(x) = x + |x| + 1, g(x) = – x – 1, x ∈ [–1,1]. Calculemos algunos valores f(x) para x ∈ [–1,1]:

Sea x ∈ [–1,1]. Si – 1 ≤ x ≤ 0, se tiene

f(x) = x + |x| + 1 = x – x + 1 = 1,

y si 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = x + |x| + 1 = x + x + 1 = 2x + 1.

Por otro lado, obtenemos algunos valores de g(x), x ∈ [–1,1]:

g(–1) = 0, g(0) = –1, g(1) = –2.

La función f + g está definida en [–1,1] como sigue:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x + |x| + 1 – x – 1 = |x| =

En la Figura 2.1. constan las gráficas de las funciones f, g y f + g.

▲ Figura 2.2.

1. Consideremos A = ℝ, f, g las funciones reales definidas como

f(x) = x^2 , g(x) = x – 2, x ∈ℝ. La función f + g se define como
(f + g)(x) = f(x) + g (x) = x^2 + x – 2, x ∈ℝ.

Calculemos algunos valores de f(x), g(x) y (f + g) (x), x ∈ℝ​.

x | f(x) = x^2 | g(x)= x – 2 | (f + g)(x) = x^2 + x –2
–2 | 1 | –4 | –3
–1 | 1/4 | –3 | –11/4
0 | 0 | –2 | –2/3
1 | 1/4 | –1 | –3/4
2 | 1 | 0 | 1

En la Figura 2.2. se muestran las gráficas de las funciones f, g y f + g.

Recuerda que...

Las propiedades de la adición de funciones son:

i. Conmutativa. Para todo

f, g ∈  F(A), f + g = g + f.

ii. Asociativa. Para todo

f, g, h ∈ F(A),
(f + g) + h = f + (g + h).

iii. Existencia de elemento neutro. Existe f_o ∈ F(A), tal que para todo f ∈ F(A),

f + f_o = f_o + f = f .

iv. Existencia de opuestos aditivos. Para cada f ∈ F(A), existe g ∈ F(A), tal que

f + g = f_o .

Esta función g se denota –f, así, g = –f.

Para cada x ∈ A, f(x) ∈ ℝ, luego –f(x) ∈ ℝ es tal que f(x) + (–f(x)) = 0. Se define la función –f como
(-f)(x) = –f(x), ∀ x ∈ A.
Se tiene f + (–f) = f_0.

Demostración propiedades de la adición de funciones

Se demuestra la propiedad conmutativa de la adición de funciones y el resto de propiedades se deja como tarea para el estudiante.

i. Sean f, g ∈ F(A). Entonces, de la definición de f + g, se tiene

(f + g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f) (x)  ∀ x ∈ A,

   y por la definición de igualdad de funciones se concluye que
   f + g = g + f.

Resta
Definición. Sean f, g ∈ F(A). Como –g ∈ F(A) y f ∈ F(A), entonces f + (–g) ∈ F A que se define como:

(f + (–g) (x) = f (x) + (–g) (x) = f (x) – g (x), ∀ x ∈ A,

y que se notará como f – g. La resta de funciones reales se define como:

f – g = f + (–g).

Producto de funciones

Definición. Sean f, g ∈ F(A). El producto de f por g se nota fg y se define como:

(fg)(x)=f(x)g(x), ∀ x ∈ A.

Los argumentos que intervienen en el producto de las funciones f y g son: Dom(f) = Dom(g) = A, para cada x ∈ A, f(x), g(x) ∈ ℝ. Luego, f(x) g(x) ∈ ℝ es la imagen de la función fg en x ∈ A que se escribe (fg) (x). Resulta fg ∈ F(A).

Se tiene la implicación: f, g ∈ F(A) ⇒ fg ∈​ F(A), que se denomina propiedad clausurativa.

1. Sean A = [0, 2] y f, g ∈ F(A) las funciones reales definidas como f(x) = 2x, g(x) = x^2, x ∈ [0, 2]. La función fg está definida como
​(fg)(x) = f (x)g (x) = 2x = x^3, x ∈ [0, 2].

▲ Figura 2.3.

Calculemos algunas imágenes (fg)(x) x ∈​ [0, 2]. Tenemos

x | f(x) = 2x | g(x) = x^2 | f(x)g(x) = x^3
0 | 0 | 0 | 0
1/2 | 1 | 1/16 | 1/16
1 | 2 | 1/4 | 1/2
2 | 4 | 1 | 4

En la Figura 2.3. se muestran las funciones f, g y fg.

▲ Figura 2.4.

1. Considera las funciones reales f, g definidas en todo ℝ como siguen:

Definamos la función fg. Si x < 0, f(x) = –x, g(x) = , entonces

En la Figura 2.4. se representan las funciones f, g y fg. Identifica a cada una de ellas.

Recuerda que...

El producto de funciones cumple con las propiedades:

i. Conmutativa. Para todo
    f, g ∈ F(A), fg = gf.

ii. Asociativa. Para todo
     f, g, h ∈ F(A), f(gh) = (fg)h.

iii. Existencia de elemento unidad. Existe 1_A ∈ F(A), definida como 1_A (x) = 1,∀ x ∈ A, tal que para todo
       f ∈ F(A), 1_A f = f .

iv. Distributiva. Para todo
      f, g, h ∈ F(A),
      f (g + h) = fg + fh.

Demostración

Se demuestra la propiedad conmutativa del producto de funciones. El resto se deja como tarea para el estudiante.

i. Sean f, g ∈ F(A). Entonces, para cada x ∈ A se tiene
    f(x), g(x) ∈ ℝ y f(x)g(x) = g(x) f(x). Luego,

(fg)(x) = f(x)g(x) = g(x) f(x) = (gf)(x), ∀ x ∈ A,

  ​y por la igualdad de funciones se concluye que fg = gf.

Producto de números reales por funciones

Definición. Sean λ ∈ ℝ, f F(A). El producto de λ por f se designa con λf y es la función definida en A como

(λf) (x) = λf(x), ∀ x ∈ A,

Intervienen los siguientes elementos: λ ∈ ℝ, f(x) ∈ ℝ y el producto de números reales "^.", de modo que λ ^. f(x) ∈ ℝ, que se escribe simplemente λf (x). Este elemento λf (x) es la imagen de la función λf en x ∈ A, así, (λf)(x) = λf(x) ∈ ℝ. Se tiene, entonces, la siguiente implicación:

λ ∈ ℝ, f ∈​ F(A) ⇒ λ f ∈ F(A).

Recuerda que...

Las propiedades del producto de escalares por funciones son las cuatro que se detallan a continuación.
Sean α, β ∈ ℝ , f, g ∈ F A.

Se verifican las siguientes propiedades:
i. α (β f) = (α β)f .
ii. α ( f + g) = α f + βg.
iii. ( α + β)f = α f + βf.
iv. 1 ^. f = f ^.

La demostración se deja como investigación para el estudiante.

Ejercicios resueltos

1. Sea f la función real definida como f(x) = x^2 + , x ∈ ℝ.

Entonces, 2f es la función definida como sigue:

Calculemos algunos valores de las funciones f y 2f.

x | f(x) = x^2 + | 2f(x) = 2x^2 + 1
–2 | 9/2 | 9
–1/√2 | 1 | 2
0 | 1/2 | 1
1 | 3/2 | 3

En la Figura 2.5. se representan gráficamente las funciones f y 2f . Identifica estas funciones.

▲ Figura 2.5.

▲ Figura 2.6.

1. Considera la función real f definida como
Para λ ∈ ℝ, la función real λf está definida como

Particularmente, para λ = – tenemos

Para para mientras que

f(1) = –1, f(2) = 4.

En la Figura 2.6. se muestran las gráficas de f y de  – f.

Composición de funciones

DCCD: M.5.1.24. Resolver y plantear aplicaciones de la composición de funciones realesen problemas reales o hipotéticos.

● Composición de funciones

Saberes previos

¿Cuál es la relación entre la composición de funciones y la función inversa?

Desequilibrio cognitivo

¿La composición de funciones cumple con la propiedad asociativa?

Recuerda que...

Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos cualesquiera, f una función de A en B, g una función de B en C.

La composición de la función g con la de f (que se nota g º f) es la función de A en C definida como:
(g º f) (x) = g (f (x)), ∀ x ∈ A

(g º f) (x) = g (f (x)).

Sea A ⊂ ℝ con A ≠ Ø, f una función real definida en A, g una función real definida en todo ℝ. La composición de la función g ○ f está definida como

(g ○ f) (x) = g (f (x)), x A.

Ejercicios resueltos

1. Sean A = [0,1], f la función definida como f(x) = sen(πx), x ∈[0,1] y g la función definida como g(x) =x^k, x ∈ℝ y k∈ℤ^+. Entonces, g ○ f es la función real definida como

(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(sen(πx)) sen^k (πx), x ∈ [0,1].

Así,

k = 2, (g ○ f)(x) = sen^2 (πx), x ∈ [0,1],

k = 5, (g ○ f)(x) = sen^5 (πx), x ∈ [0,1].

Por otro lado, f ○ g es la función real definida como

(f ○ g)(x) = f(g(x)) = f(x^k) = sen(πx^k), x ∈ [0,1].

Claramente g ○ f ≠ f ○ g.

1. Sean f, g las funciones reales definidas en [0, ∞[ como f(x) = x^2, g(x) x ∈ [0,∞[. Entonces, g ○ f y f ○ g son las funciones definidas como sigue:

En este caso, se verifica que g ○ f = f ○ g.

1. Consideremos las funciones reales definidas en el intervalo ] 0, ∞[ como

Determinemos f ○ h, h ○ f y f ○ g ○ h. Tenemos

Claramente, f ○ h ≠ h ○ f.
Determinemos f ○ g ○ h.

Interdisciplinariedad

Matemática y piscicultura

La piscicultura es una actividad que permite cultivar los ríos con especies de peces que están en vías de extinción debido a las diversas formas de contaminación del medio ambiente. La composición de funciones permite analizar situaciones como la cantidad de alimento que se requiere para una determinada piscina o cultivo.

▲ Alimentación de peces.

1. Sean f, g, h las funciones reales definidas en el intervalo ]0,∞[ como

Si la función w está definida como w(x) = , x ∈ ]0,∞[, ¿cómo se expresa w en términos de la composición de las funciones f, g, h?
La secuencia de operaciones que debe realizarse es la siguiente: sea x ∈ ]0,∞[, se calcula , y a continuación se calcula Luego se calcula Por lo tanto, la función w se expresa como w = g º h º f. En efecto, para x ∈ ]0,∞[, se tiene

En este mismo contexto, si v es la función definida en ]0,∞[ como , x ∈ ]0,∞[, ¿cómo se expresa v en términos de la composición de funciones con f, g, h?

Primero, escribimos , x ∈ ]0,∞[. Nuevamente recurrimos a la secuencia de las operaciones. Dado x ∈ ]0,∞[, calculamos x^3+1. Luego, ; a continuación, ; y finalmente, De esta secuencia, tenemos v = h ○ f ○ g ○ h. En efecto

1. El pez róbalo se alimenta del pez gobio y este último, de plancton. La población del pez róbalo se define como la función f(x), de donde x es el número de gobios presente y g(x) es la cantidad de plancton. ¿Cuál es la función que expresa el tamaño de la población del pez róbalo en función de la cantidad de plancton?

^

Ecuación vectorial y paramétrica de una recta en el espacio

DCCD: M.5.2.20. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta, y graficarlas en R^3.

● Ecuación vectorial y paramétrica de una recta en el espacio

Saberes previos

¿Por dos puntos, cuántas rectas pueden pasar?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué son los puntos colineales?

Recuerda la definición

La ecuación , ∀t ∈ ℝ se conoce como ecuación vectorial de la recta R. El vector se llama vector director de la recta R.
Las ecuaciones paramétricas de la recta R para ℝ^2 son:

Siendo = (a, b), ​ = (c, d).

Definición. Sean = ( a_1, a_2, a_3), = (b_1, b_2, b_3) ∈ ℝ^3 con no nulo. El conjunto R definido como representa una recta que pasa por y es paralela al vector . El vector se llama vector director de la recta R.

La ecuación se llama ecuación vectorial de la recta ℝ en la que el número real t se llama parámetro.
Nota que R ⊂ ℝ^3 y los elementos de R son puntos  = (x, y,z) ∈ ℝ^3 que se expresan en la forma para algún t ∈ ℝ.

Tenemos la siguiente equivalencia:

 ∈ R ⇔ ∃t ∈ ℝ, tal que

y su negación ∉ R ⇔ ∀t ∈ ℝ, tal que .

Ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos

Dados los puntos = ( a_1, a_2, a_3), = ( b_1, b_2, b_3) ∈ ℝ^3 con la ecuación vectorial de la recta R que pasa por estos dos puntos se deduce así: El vector director de la recta R,

 = −  = ( a_1, a_2, a_3) − (b_1, b_2, b_3) = (a_1 − b_1, a_2 − b_2, a_3 − b_3), es el vector director de la recta R. La ecuación vectorial de esta recta está definida como

 =  +  = (a_1, a_2, a_3) + t(a_1 –b_1, a_2 –b_2, a_3 – b_3), ∀t ∈ ℝ.

Analizamos las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta R a través de ejemplos.

Interdisciplinariedad

Matemática y ciencias

Las ecuaciones vectoriales y paramétricas de una recta constituyen las ecuaciones más simples que surgen en aplicaciones de ingenierías, economía y ciencias (como la física, la química o la biología). En física, por ejemplo, estas ecuaciones describen el movimiento de cuerpos en trayectorias rectilíneas.

▲ Render de un edificio en 3D.

Ejemplos resueltos

1. Sean = (2, 1, 3) y R = { = t(2, 1, 3) | t ∈ ℝ}. Sea R ⊂ ℝ^3 la representación de una recta que pasa por el origen = (0, 0, 0) y es paralela al vector . La ecuación vectorial de la recta R está definida como = t(2, 1, 3), ∀t ∈ ℝ. Algunos elementos de R son:

para t = −1, = −1(2, 1, 3) = (−2, −1, −3),

para t = 0, = 0(2, 1, 3) = (0, 0, 0) = ,

si t = −3s + 5, ∀s ∈ ℝ,

= (−3s + 5)(2, 1, 3) = (2(−3s + 5), −3 + 5, 3(−3s + 5)).

De la ecuación vectorial = t(2, 1, 3), ∀t ∈ ℝ, se obtienen las ecuaciones paramétricas.
Para el efecto, sea = (x, y,z) ∈ ℝ, existe t ∈ ℝ tal que

= (x, y,z) = t(2, 1, 3) = (2t, t, 3t),

y de la definición de la igualdad de elementos de ℝ^3, resulta

Las ecuaciones paramétricas de la recta R están definidas como

Si cambiamos el parámetro t por otro de la forma t = 2s − 5, ∀t ∈ ℝ, las ecuaciones paramétricas de la recta R se escriben como

Desde el punto de vista conjuntista,

R = {(2t, t, 3t) | t ∈ ℝ} = {(2(2s − 5), 2s − 5, 3(2s − 5)) | s ∈ ℝ}

Conexiones con las TIC

El software libre GeoGebra te permite graficar la ecuación de la recta en ℝ^3, dados un punto y un vector. Puedes ingresar al siguiente enlace para observar cómo se hace esto:

www.mayedu.ec/matbu3/p51

1. Sean = (−1, 1, 2), = (1, 2, 5). Encuentra la recta R que pasa por los puntos y . Para determinar este conjunto R, tenemos presente que ∈ R, y debemos encontrar un vector director de la recta R. Entonces,

= − = (1, 2, 5) − (−1, 1, 2) = (2, 1, 3),

con lo que R es el conjunto definido como

R = { = (−1, 1, 2) + t(2, 1, 3) | t ∈ ℝ}.

La ecuación vectorial de esta recta está definida como = (−1, 1, 2) + t(2, 1, 3), ∀t ∈ ℝ. Algunos elementos de R:

si t = −2, = (−1, 1, 2) − 2(2, 1, 3) = (−5, −1, −4),

si t = −s + 5, ∀s ∈ ℝ, = (−1, 1, 2) + (−s + 5)(2, 1, 3) = (9 − 2s, 6 − s, 17 − 3s).

De la ecuación vectorial = (−1, 1, 2) + t(2, 1, 3), ∀t ∈ ℝ, se obtienen las ecuaciones paramétricas. Sea = (x, y,z) ∈ ℝ, existe t ∈ ℝ,  tal que = (x, y,z) = (−1, 1, 2) + t(2, 1, 3) = (−1 + 2t, 1 + t, 2 + 3t),  y de la definición de la igualdad de elementos de ℝ^3 resultan las ecuaciones paramétricas que representan a la recta R

Si cambiamos el parámetro t por otro de la forma t = −5s −1, ∀s ∈ ℝ,  las ecuaciones paramétricas de la recta R se escriben como:

Desde el punto de vista conjuntista,

R = { (−1, 1, 2) + (2t, t, 3t)| t ∈ ℝ} = { (−1 + 2(5s −1), 5s, 2 + 3(5s −1)) | s ∈ ℝ}

Ecuaciones del plano

DCCD: M.5.2.21. Determinar la ecuación vectorial de un plano a partir de un punto del plano y dos vectores dirección; a partir de tres puntos del plano; a partir de una recta contenida en el plano y un punto. M.5.2.22. Determinar la ecuación de la recta formada como intersección de dos planos como solución del sistema de ecuaciones planteado por las ecuaciones de los planos.

● Ecuaciones del plano

Saberes previos

¿Qué es un plano en el espacio?

Desequilibrio cognitivo

¿Son las ecuaciones de los planos dependientes de dos parámetros?

Recuerda que...

Los vectores generadores del plano ∏ no son únicos, lo que significa que un mismo plano ∏ puede tener una infinidad de ecuaciones vectoriales.

▲ Figura 2.7.

Ecuación vectorial del plano

Definición. Sean , , ∈ ℝ ^3 tal que , no nulos y no colineales. El conjunto ∏ definido como

∏ = { = + u + v | u, v ∈ ℝ}

se llama "plano que pasa por y está generado por los vectores y ".

La ecuación = + u + v ∀u, v∈ℝ se llama ecuación vectorial del plano ∏ en la que los números reales u, v se llaman parámetros.

Puesto que , , ∈ ℝ ^3 = + u + v ∈ ℝ ^3, ∀u, v∈ℝ, resulta que ∏⊂ ℝ^3. De la definición del conjunto ∏ se tiene la siguiente equivalencia: ∈ ∏ ⇔ ∃ u, v∈ℝ, tal que = + u + v .

Nota que para que ∈  ∏ se deben hallar dos números reales u, v, tal que tal que = + u + v .

Su negación se expresa como

∉ ∏ ⇔ ∀u,v∈ℝ, se tiene ≠ + u + v

En la Figura 2.7. se muestran los vectores , no nulos y no colineales, el vector el vector  = u + v , y el vector  = +  ∈  ∏.

Ecuación paramétrica del plano

Sean  = ( a_1, a_2, a_3), = (b_1, b_2, b_3), = (c_1, c_2, c_3), = ( x, y, z) vectores de ℝ^3, con ,  no nulos y no colineales. De la definición del plano ∏ y de la definición de las operaciones de adición y producto por escalares en ℝ^3, se tiene:

De la definición de igualdad de elementos de ℝ^3, la última igualdad se expresa como el sistema de ecuaciones lineales

que se conoce con el nombre de ecuación paramétrica del plano ∏. Los números reales u, v se llaman parámetros. De estas tres ecuaciones podemos obtener la ecuación cartesiana que representa al plano ∏, eliminando los parámetros u, v.

Dados  ,  ∈ ℝ^3, tal que  ,  no nulos y no colineales, el conjunto ∏ = { = u + v | u, v ∈ ℝ} ⊂ ℝ^3 representa un plano que pasa por el origen.

Recuerda que...

En el sistema de referencia tridimensional, tenemos tres planos mutuamente perpendiculares que se denominan plano xy, plano xz, plano yz que se denotan ∏_xy , ∏_xz , ∏_yz . Por otro lado, los vectores de ℝ​^3, definidos como:

,  son unitarios y ortogonales; es decir,

||i|| = 1, ||j|| = 1, ||k|| = 1,

Ejercicios resueltos

1. A continuación se definen los planos mutuamente perpendiculares, formados en el sistema de referencia tridimensional:

^

y de la definición de igualdad de elementos de ℝ^3, resulta a_1= x, a_2= y, a_3= 0. Así = (x, y, 0). Todo punto del plano ∏_xy tiene la tercera componente igual a cero. Asimismo, el punto del plano ∏_xz tiene la forma (x, 0, z), y el punto del plano ∏_yz tiene la forma (0, y, z). Por ejemplo, si cambiamos x por x = 2r + 3, y = –3s –1, en la ecuación vectorial del plano ∏_xy, = x + y , ∀ x, y ∈ ℝ, se obtiene

= (2r + 3) + ( –3s –1) , ∀x, s ∈ ℝ,

que es otra ecuación vectorial del plano ∏_xy .

1. Sean = (1, 1, 0), = (0, 1, 1), = (1, 0, 1). El plano ∏ que pasa por , y está generado por los vectores ,  es el conjunto definido como:

∏ = { = (1, 1, 0) + u(0, 1, 1) + v(1, 0, 1) | u, v ∈ ℝ}

Por las propiedades de la adicición y producto por escalares en ℝ^3, se tiene ∏ = { = (1 + v, 1 + u, u + v) | u, v ∈ ℝ}. Luego,

(x, y, z) ∈ ∏ ⇔ ∃u, v ∈ ℝ, tal que (x, y, z) =(1+ v, 1 + u, u + v).

De la definición de igualdad de elementos de ℝ^3 se obtienen las ecuaciones paramétricas del plano

donde u, v ∈ ℝ son los parámetros.

Buen vivir

El mundo real es tridimensional

Gran cantidad de los cuerpos, edificios, materiales y objetos que manipulamos a diario son subconjuntos de ℝ^3, y los vectores en ℝ^3 son necesarios para modelar la realidad.

▲ Representación en 3D de teléfono inteligente.

Ecuación cartesiana del plano

De las ecuaciones paramétricas podemos obtener la ecuación cartesiana que representa el plano ∏. Para el efecto, se deben eliminar los parámetros u y v de estas tres ecuaciones. De la primera se obtiene v = x – 1; de la segunda se tiene u = y – 1; reemplazamos en la tercera. Entonces,  z = u + v = x – 1 + y – 1= x + y – 2.

Así, x + y – z = 2. Esta es la ecuación cartesiana del plano ∏.

Tenemos así, ∏ = { = (1, 1, 0) + u(0, 1, 1) + v(1, 0, 1) | u, v ∈ ℝ}
                                  = { = (x, y, z) ∈ ℝ^3 | x + y – z = 2}

1. Sea S = { = (x, y, z) ∈ ℝ^3 | 2x – 5y + 3z = 3}, prueba que el subconjunto S de ℝ^3 representa un plano. Para el efecto, a este conjunto S lo expresamos como uno de la forma

∏ = { = + u + v | u, v ∈ ℝ}

De la definición del conjunto S se tiene:

= (x, y, z) ∈ S ⇔ 2x – 5y + 3z = 3

Primera opción. De la ecuación, obtenemos x en términos y, z, en cuyo caso tenemos:

Luego, de las operaciones de adición y producto por escalares se obtiene:

La ecuación vectorial del plano S es:

donde u, v ∈ ℝ designan los parámetros de esta ecuación. Nota que las variables x, y se han cambiado por u, v respectivamente. Además ∈ S.

Segunda opción. Obtenemos y en términos de x, z y procedemos en forma similar.

La ecuación vectorial es:

Tercera opción. Obtenemos z en términos de x, y y procedemos en forma similar. Se obtiene:

Simbología matemática

Algunos símbolos utilizados en esta unidad son:

Plano: ∏_1

Vector:

Perpendicular: ⟘

Paralelo: ||

Intersección: ∩

Subconjunto: ⊂

Conexiones con las TIC

Para conocer más acerca de la posición relativa entre planos, puedes ingresar al siguiente enlace

www.mayedu.ec/matbu3/p57

y observar el video.

Ecuación de la recta formada por la intersección de dos planos

Analizamos este tema a través de ejemplos.

1. Sean ∏_1, ∏_2, los planos definidos como

Probemos que ∏_1 ∩ ∏_2 es una recta.

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales.

De la primera ecuación se tiene x = y. Reemplazamos en la segunda, z = –x = – y, luego,

El vector director de esta recta es (2, 3, –2) ∈ ℝ^3. Nota que se ha hecho el cambio de parámetros w = , ∀ y ∈ ℝ.

1. Sean = (5, –2, 3), ℝ = {t (5, –2, 3) | t ∈ ℝ} Halla dos planos ∏_1, ∏_2, tal que R = ∏_1 ∩ ∏_2.

De la definición de la recta R se tiene

 = (x , y, z) ∈ R ⇔ ∃t ∈ ℝ tal que = t(5, –2, 3),

entonces (x , y, z) = t(5, –2, 3) = (5t, –2t, 3t) ⇔

Eliminemos el parámetro t de estas ecuaciones. De la primera, se tiene t = ; reemplazando en la segunda y tercera ecuaciones, se obtiene 2x + 5y = 0; 3x – 5z = 0, respectivamente. Se definen los conjuntos

Los conjuntos ∏_1, ∏_2 representan planos que pasan por el origen. Además, R ⊂ ∏_1, esto es, ∈ ℝ ⟹  ∈ ∏ _1. En efecto, como

= t(5, –2, 3) = (5t, –2t, 3t) ∈ ℝ

entonces = (5t, –2 t, 3t) ∈ ∏_1

La ecuación cartesiana que representa al plano ∏_1 está definida como = (x , y, z) ∈ ℝ^3 tal que 2x + 5y = 0. Luego, 2(5t) + 5(–2t) = 10t –10t = 0, que prueba que = (5t, –2t, 3t) ∈ ∏_1.

Así, R ⊂ ∏_1. De manera similar, se prueba que R ⊂ ∏_2. En conclusión, R ⊂ ∏_1. R ⊂ ∏_2. Luego, R ⊂ ∏_1. ∩ ∏_2.

Planos paralelos y perpendiculares

DCCD: M.5.2.23. Determinar si dos planos son paralelos (cuando no hay solución) o perpendiculares (si los vectores normales a los planos son perpendiculares) para resolver aplicaciones geométricas en ℝ^3.

● Planos paralelos y perpendiculares

Saberes previos

¿Cuáles son los vectores unitarios de ℝ^3?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo calculas un determinando de orden dos?

Definición. Sean = (a_1 ,b_1 ,c_1), = (a_2, b_2, c_2)_ ∈ ℝ^3. El producto vectorial de por se designa con × y se define como

donde , , es la base conónica de ℝ^3.

Se designa con = x ∈​ ℝ^3.

El producto vectorial es tal que

Adicionalmente, ⟘  si y solo si

En la Figura 2.8. se muestran los vectores , y el vector

▲ Figura 2.8.

En la Figura 2.9. se muestran los vectores  , y el vector Nota que el producto vectorial no es conmutativo.

▲ Figura 2.9.

Ejercicios resueltos

1. Sean = (2, 1, −1), = (−3, 0, 2). Entonces,

1. Si = (2, 1, −1) y es colineal con , esto es = (2α, α, –α) α ∈ ℝ, α ≠ 0. Entonces,

1. Si = (5, 3, 0), = (2, 7, 0), entonces

1. Sean = (1, 0, 0), = (0, 2, 1), = (–1, 1, 2). Entonces

Luego,

Claramente, . Este ejemplo muestra que el producto vectorial no es asociativo.

Al plano ∏ podemos expresarlo en términos del producto escalar y del producto vectorial.

Interdisciplinariedad

Matemática y física

El producto vectorial, denominado también producto cruz, tiene muchas aplicaciones en la física, particularmente en situaciones prácticas de nuestra vida diaria. Si posicionas los dedos de la mano derecha con el vector _ y rotas hacia el vector , el dedo pulgar mostrará la dirección y sentido del vector normal . A esto se le conoce como regla de la mano derecha. ¿Cómo saber el giro que debe realizarse para abrir la llave de agua o para sacar un tornillo? Simple. Aplica la regla de la mano derecha.

Planos perpendiculares

Definición. Sean _1, _1, _1, _2, _2, _2 ∈ ℝ^3, tal que _1, _1, no nulos y no colineales, _2, _2 no nulos y no colineales, _1 = _1 x _1, _2 = _2 x _2,_ se dice que los planos

son perpendiculares si y solo si el vector normal _1 del plano ∏_1 es ortogonal al vector normal _2 de ∏_2. Esto es, _1 ·​ _2 = _ 0. En tal caso, se escribe ∏_1 ⟘ ∏_2, que se lee "el plano ∏_1 es ortogonal al plano ∏_2".

Planos paralelos

Definición. Sean _1, _1, _1, _2, _2, _2 ∈ ℝ^3, tal que _1, _1 no nulos y no colineales, _2, _2 no nulos y no colineales, _1 = _1 x _1, _2 = _2 x _2, se dice que los planos

son paralelos si y solo si existe c ≠ 0, tal que _2 =_ c _1, es decir, _1 y _2 son colineales. En tal caso, se escribe ∏_1 || ∏_2 , que se lee "el plano ∏_1 es paralelo al plano ∏_2".

Ejercicios resueltos

1. Consideremos los planos

∏_1 = { = (0, 0, 8) + u(1, 0, –2) + v(0, 1, 1) | u, v ∈ ℝ},

∏_2 = { = (0, –8, 0) + r(1, 2, 0) + s(0, –1, –1)| r , s ∈ ℝ}.

Probemos que los planos son paralelos. Calculamos los vectores normales:

Se tiene _2 = – _1, luego, ∏_1 || ∏_2. Más aún,
∏ _1 = ∏_2 = { = (x, y, z) ∈ ℝ^3 | 2x – y + z = 8}, que se deja como ejercicio.

1. Consideremos los planos

∏_1 = { = (x , y, z) ∈ ℝ^3 | 2x – y + z = 2},

∏_2 = { = (x , y, z) ∈ ℝ^3 | –x + 2z = 2}.

Probemos que estos planos son ortogonales o perpendiculares. Para ello, se obtienen los vectores normales y se calcula el producto escalar:

_1 = (2, –1, 1), _2 = (–1, 0, 2),

_2 · _1 = (2, –1, 1) · (–1, 0, 2) = –2 + 0 + 2 = 0,

que muestra que _2 es ortogonal a _1 . Luego, ∏_1 ⟘​_ ∏_2 .

Solución de problemas para el buen vivir

Modelo matemático de población de depredadores

1. En un bosque, un depredador se alimenta de su presa. Para las primeras 15 semanas, a partir del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de t, el número de presas en el bosque, la cual, a su vez, es una función g de t, el número de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza. Si

donde 0 ≤ t ≤ 15, haz lo siguiente:

a) Encuentra un modelo matemático que exprese la población de depredadores como una función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza.
b) Determina la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada de caza.

1. Análisis de datos

a) La población de depredadores, t semanas después del cierre de la temporada de caza, está dada por: (f º g)(t), donde 0 ≤ t ≤ 15.

Modeliza

La última expresión es el modelo matemático que expresa la población de depredadores.

b) La población de depredadores 11 semanas después del cierre de temporada es:

Once semanas después del cierre de la temporada de caza, la población de depredadores es 50. (Leithold, 1998)

Practica en tu cuaderno

2. Una compañía de autobuses ha adoptado la siguiente política de precios para los grupos que deseen alquilar autobuses: a los grupos que contengan un máximo de 40 personas se les cobrará una suma fija de $ 240 (4 veces $ 60). En grupos que contengan entre 40 y 80 personas, cada una pagará $ 60, menos 50 centavos por cada persona que pase de los 40. La tarifa más baja de la compañía, de $ 40 por persona, se ofrecerá a grupos que contengan 80 miembros o más. Expresa los ingresos de la compañía de autobuses como una función del tamaño del grupo.

Adaptado de: http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/4-funciones-modelos-jl.pdf

3. Una empresa que fabrica juegos hechos en madera para niños, ha estimado sus ingresos mensuales en dólares, que se pueden representar por la función I(x) = –4,2x^2 + 540x, mientras que sus gastos (también mensuales y en dólares) pueden calcularse mediante la función G(x) = 6,6x^2 + 180x + 1 050. En ambas funciones x representa la cantidad de juguetes producidas o vendidas.

a) Representa graficamente las funciones I(x) y G(x) en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.
b) A partir del gráfico, estima el número mínimo de unidades que debe fabricar la empresa mensualmente para que sus ingresos superen los gastos.
c) Si definimos el beneficio de la empresa como la diferencia entre los ingresos y gastos, es decir, I(x) – G(x), escribe la expresión del beneficio y grafícala.
d) ¿Cuál es el máximo beneficio que podría obtener la empresa?
e) ¿Qué nivel de producción de juguetes implicaría gastos extras, de tal modo que produciría beneficio negativo?

Tomado de: http://www.frcu.utn.edu.ar/archivos/material_ingreso/Unidad_3_matematica.pdf

Shutterstock, (2017). 457728049

Shutterstock, (2017). 528045364

p Autobús turístico

p Gran oso pardo.

Shutterstock, (2017). 633281795

p Juegos infantiles

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y el control de tráfico aéreo

¿Qué tiene que ver la matemática con el control de tráfico aéreo? En realidad, mucho. El control de tráfico aéreo se realiza, por lo general, desde tierra, desde donde se dirigen las operaciones de las aeronaves para que se mantenga cierta distancia lateral, vertical y longitudinal entre aviones y evitar así que se aproximen demasiado y colisionen. Entre otras actividades, este control permite un flujo de tráfico ordenado y proporciona información a los pilotos, incluyendo condiciones meteorológicas, información de navegación y avisos NOTAM, que son avisos que alertan al piloto de cualquier clase de peligro en la ruta elegida.

La navegación aérea es el arte de trasladar una aeronave desde un punto a otro en un curso deseado, conociendo en todo momento su posición. Sus funciones principales son la localización de posición, la determinación de la dirección, la medición de distancias y el cálculo de los tiempos.

Adaptado de: http://es.slideshare.net/fedecohen7/navegacin-aerea

▲ Torre de control de tráfico aéreo.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Gestión de Tránsito Aéreo

Las personas que trabajan en el control del tráfico aéreo son aquellas que vigilan todos los movimientos del avión y verifican que estos lleguen a tierra sin ningún contratiempo. Mantienen contacto visual y por radar para las operaciones de aterrizaje y despegue, y deben manejar y tener un razonamiento lógico en ^3.

Para optar por la carrera de tecnólogo en gestión de tránsito aéreo, debes analizar si tienes las siguientes competencias:

- Un gran interés por la aviación.
- La capacidad de pensar en 3D.
- Una gran capacidad de concentración.
- La capacidad de mantener la calma bajo presión.
- Habilidades en lo que respecta a las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC).
- La capacidad de tomar decisiones rápidas, en situaciones de emergencia, así como la capacidad de dar instrucciones precisas y aceptar responsabilidades.
- Dominio del idioma Inglés.

Los profesionales graduados de esta profesión pueden desarrollar sus actividades en los aeropuertos nacionales e internacionales.

http://www.educaweb.com/profesion/controlador-trafico-aereo-9/

▲ Controlador aéreo.

TIC

TIC

Ecuación de la recta R^3, en dados un punto y un vector director

Vamos a usar el programa GeoGebra para determinar la ecuación de la recta en el espacio.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Construcción de cajas

Recursos

- Materiales de papelería: cartulina, goma.
- Materiales tecnológicos: calculadora, tablet, celular, computadora con la aplicación GeoGebra instalada, Internet.

Justificación

La industria, en forma general y, de manera particular, la industria de electrodomésticos, debe diseñar cajas para empacar los artefactos eléctricos.

En cursos anteriores, los estudiantes han efectuado construcciones con moldes de cubos y de paralelepípedos. En esta unidad se construirán cajas de acuerdo con los requerimientos dados por el departamento de marketing de una empresa.

Objetivos

Construir dos modelos de cajas con igual volumen, una de ellas debe ser un cubo y la otra un paralelepípedo. Determinar las medidas exactas para cumplir con este requerimiento sobre la base de un modelo matemático.

Actividades

- Formen equipos de dos o tres estudiantes y elijan un coordinador.
- Analicen la situación problemática: se trata de satisfacer las necesidades de un cliente que desea que se confeccionen cajas con volúmenes iguales. Una de ellas debe ser un cubo y la otra, un prisma cuyo ancho sea igual al del cubo, su profundidad sea el doble y su altura, 4 cm menor.
- Elaboren y completen la tabla siguiente, que les permitirá organizar y modelizar la función del volumen de la caja.

Modelo | Ancho | Profundidad | Altura | Volumen
Cubo |  | x | x | x |
Prisma |  | x |  |  |

▲ Cajas de cartón.

- Por las condiciones de la situación, pueden igualar los volúmenes y obtener el modelo de la función polinómica buscada.
- Utilicen un software para graficar la función encontrada, por ejemplo, puede ser GeoGebra.
- Observen los puntos donde la función que graficaron corta al eje de las x. Este valor representa la longitud x que debe tener el cubo. Con este dato ya pueden determinar las dimensiones del paralelepípedo.
- Construyan con cartulina los dos sólidos geométricos con las dimensiones encontradas y verifiquen si cabe el mismo volumen en las dos cajas.
- Establezcan el costo de cada caja.

Conclusiones

Solicíteles a los estudiantes que expresen cómo se sintieron al realizar esta actividad y si en realidad encontraron una aplicación práctica de las funciones en situaciones de la vida real.

En síntesis

En síntesis