Title: Unidad 4
Course: Matemáticas Plus + 3 BGU

Función exponencial y logarítmica

▲ Actividad sísmica de un terremoto

Fenómenos naturales y logaritmos

Las aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas en la explicación de fenómenos naturales son múltiples, por ejemplo, para medir la intensidad del sonido en música, para determinar la intensidad de los movimientos sísmicos en geología, para obtener la data de restos arqueológicos en la paleontología, para determinar el nivel de acidez de determinados productos en química, entre otros.

Adaptado de: http://matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/temas_11no/17_Ecuaciones_e_inecuaciones_logaritmicas_web.publi/web/co/17_Ecuaciones_e_inecuaciones_logaritmicas_2.html ​

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​

  Objetivos

- O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad en el uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿Cómo crees que obtienen los antropólogos el número de años de un fósil encontrado?
- ¿Cómo crees que se realiza el estudio el estudio del crecimiento de una bacteria?

Función exponencial. Propiedades

DCCD: M.5.1.74. Reconocer y graficar funciones exponenciales analizando sus características: monotonía, concavidad y comportamiento al infinito.

● Función exponencial. Propiedades

Saberes previos

¿Cómo se llaman estas funciones:

f(x) = ax + b, x ∈ ℝ,
f(x) = ax^2 + bx + c, x ∈ ℝ?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuáles son las propiedades de la potenciación cuando las bases a, b ∈ ℝ no nulos y los exponentes m, n ∈ ℝ?

Recuerda que...

Las propiedades i) a vii) de la función exponencial de base a y de variable entera también se verifican para la función  exponencial de base a y de variable racional.

Nota que

r ∈ ℚ ⇔ ∃m, n ∈ ℤ

con n ≠ 0, tal que

El grafo de v es el conjunto
G(v) = {(r, a^r) | r ∈ ℚ}.

Escribe las propiedades de
a^r con r ∈ ℚ y a > 0, a ≠ 1.

Dos funciones muy importantes que intervienen en muchos campos de la ciencia, la industria y el comercio son la exponencial y la logarítmica, una inversa de la otra, que nos proponemos estudiar a continuación.

Definición. Sea a > 0 con a ≠ 1 fijo. La función u: ^ se llama

función exponencial de base a y de variable entera.

Propiedades

i) u(0) = a^0 = 1.

ii) Para todo n ∈ ℤ, u(n) = a^n > 0.

iii) Para todo m, n ∈ ℤ, u(m + n) = a^m+n = a^ma^n = u(m)u(n).

iv) Si a > 1 y n_1, n_2 ∈ ℤ, tal que n_1 < n_2, entonces u(n_1) = a^n^1 < a^n^2 = u(n_2), es decir que la función u es creciente.

v) Si 0 < a < 1 y n_1, n_2 ∈ ℤ, tal que n_1 < n_2, se tiene u(n_1) = a^n^1 > a^n^2 = u(n_2), esto es, la función u es decreciente.

vi) Para a > 1 y n ∈ ℤ^+, el número real u(n) = a^n es tan grande como se quiera según n lo sea, y u(–n) = a^–^n es positivo y tan pequeño como se quiera para n suficientemente grande.

vii) Para 0 < a < 1 y n ∈ ℤ^+, el número real u(n) = a^n es tan pequeño como se quiera para n suficientemente grande, y u(–n) = a^–^n es tan grande según n también lo sea.

El grafo de u es el conjunto discreto G(u) = {(n, a^n) | n ∈ ℤ}.

Ejercicio resuelto

Consideremos la función definida como u(n) = 5^n; n ∈ ℤ. Tenemos u(0) = 5^0 = 1, u(n) > 0, ∀n ∈ ℤ, más aún, u(n) = 5^n ≥ 5, ∀n ∈ ℤ^+,

0 < u(–n) = 5^–^n = < 1, ∀n ∈ ℤ^+.

Verifiquemos que u es estrictamente creciente. Para n_1, n_2 ∈ ℤ, tal que n_1 < n_2, existe p ∈ ℤ^+, tal que n_2 = p + n_1. Luego,

u(n_2) = 5^n^2 = 5^p+n^1 = 5^pu(n_1).

Como 5^p > 1, se sigue que u(n_1) < u(n_2). Así, n_1 < n_2 ⇒ u(n_1) < u(n_2).

El grafo de u es el conjunto G(u) = {(n, 5^n) | n ∈ ℤ}.

Sea a > 0 con a ≠ 1 fijo. La función v: ^

se llama función exponencial de base a y de variable racional (variable independiente).

Recuerda que...

En la Figura 4.1. se representa la gráfica de v cuando

0 < a < 1.

▲ Figura 4.1.

En la Figura 4.2. se representa la gráfica de v, a > 1.

▲ Figura 4.2.

A la función exponencial de base a se le denota también Exp_a, esto es,

Exp_a:

Las propiedades que hemos precisado para la función

v(r) = a^r, r ∈ ℚ se verifican para la función f(x) = a^x, x ∈ ℚ.

Potenciación con exponentes reales

Sea a > 0 con a ≠ 1 fijo. Para x ∈ ℝ \ ℚ, ¿cómo se define a^x?¿Qué significado atribuimos a a^x?

Consideramos, por ejemplo, 2^^\( \sqrt{2} \)^. Tomando aproximaciones de \( \sqrt{2} \) ( \( \sqrt{2} \) ≅ 1,414 213 562), tenemos las siguientes:

2^1,41 ≅ 2,657 376 28,

2^1,4142 ≅ 2,665 119 089,

2^1,414213 ≅ 2,665 143 104,

2^1,41421356 ≅ 2,665 144 138,

⋮

2 ^2 ≅ 2,665 144 143.

En definitiva, consideramos aproximaciones de 2^r^m siendo (r_m) una sucesión de números racionales que son aproximaciones de \( \sqrt{2} \) y que convergen a \( \sqrt{2} \), de modo que, en forma intuitiva,

^

Observa que r_m ∈ ℚ y 2^r^m están bien definidos.

De manera general, a^x se aproxima con una sucesión de números reales de la forma a^r^m, siendo r_m ∈ ℚ aproximación de x, de modo que r_m converge a x para m que tiende al infinito.

Definición. Sea a > 0, a ≠ 1 fijo. La función f de ℝ en ℝ^+, definida como

f(x) = a^x, x ∈ ℝ,

se llama función exponencial de base a.

Dom(f) = ℝ, Rec(f) = {f(x) | x ∈ ℝ} = ]0, ∞[.

Ejercicios resueltos

1. Considerar la función f: ^ Tenemos Dom(f) = ℝ,

Rec(f) = ]0, ∞[. El grafo de f es el conjunto G(f) = {(x, 2^x) | x ∈ ℝ}.

Algunos valores de f se muestran en la tabla. Con dichos valores obtenemos algunos puntos de G(f).

f(–3) = 2^–3 = = 0,125; f(0) = 2^0 = 1; f(3) = 2^3 = 8.

x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3
f(x) = 2^x | 0,125 | 0,25 | 0,50 | 1 | 2 | 4 | 8

▲ Figura 4.3.

Nota que si n > 1 suficientemente grande, f(n) = 2^n es tan grande como se quiera, y f(n) = 2^–^n = se aproxima a cero como se quiera.

El grafo de f es el conjunto G(f) = {(x, 2^x) | x ∈ ℝ}.

Observa que la gráfica de f se extiende hacia arriba en la medida en que x > 0 sea suficientemente grande. Por otro lado, la gráfica se aproxima al eje x tanto como se quiera, en la medida en que – x sea muy grande, con x < 0.

La función f es estrictamente creciente, y se evidencia en la Figura 4.3. de f. Además, esta es una función biyectiva.

Eje transversal

Ciudadanía

El censo del año 2011 confirmó que en Ecuador la población aproximada era de 14 388 000. Estudios realizados por el INEC manifiestan que la tasa de crecimiento aproximada es del 2,19 %. Para que los gobiernos locales, regionales y nacionales apliquen programas equitativos de distribución de bienes y servicios, deben utilizar modelos exponenciales que les permitan conocer el crecimiento y decrecimiento poblacional.

▲ Gráfico de crecimiento poblacional.

Demostración de biyección

i) Inyectiva

Sean x_1, x_2 ∈ ℝ con x_1 < x_2. Existe p ∈ ℝ^+, tal que x_2 = x_1 + p.

Luego,

2^x^2 = 2^x^1^+p = 2^p2^x^1,

y como 2^p > 1, de esta igualdad se deduce 2^x^1 > 2^x^2.

ii) Sobreyectiva

Sea y ∈ ℝ^+. Halla x ∈ ℝ, tal que y = 2^x. Admitimos que esta ecuación siempre tiene solución en ℝ, a la que notamos .

Como la función es inyectiva y sobreyectiva, se concluye que es biyectiva.

1. Sea f la función real definida como f: ^

Tenemos Dom(f) = ℝ, Rec(f) = ]0, ∞[ y el grafo de f

^

En la tabla se muestran algunos puntos.

x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3
f(x) = | 8 | 4 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 | 0,125

▲ Figura 4.4.

En la Figura 4.4. se muestra la gráfica de esta función. Para n > 1 tan grande como se

quiera, f(n) = es tan pequeño como se quiera, mientras que f(–n) = = 2^n es tan grande como se quiera.

La función f es decreciente, lo que se evidencia en la gráfica de esta función.

Función exponencial de base e

Una función importantísima que aparece en muchos cálculos es la función exponencial de base e. Este número es el límite de la sucesión

, n ∈ ℤ^+, esto es,

^

o también: ^

cuya aproximación es e ≃ 2,7182818284.

La función Exp se llama función exponencial de base e.

Recuerda que...

 con n ∈ ℤ^+ se desarrolla con el Binomio de Newton y para n suficientemente, grande se aproxima a 0.

La función exponencial con base e también se escribe como exp(x).

Exp:

Esta función tiene propiedades similares a la función

f(x) = 2^x, x ∈ ℝ.

En la tabla se muestran algunos valores de esta función, mientras que la figura se muestra una porción de la gráfica de Exp. (Figura 4.5.).

▲ Figura 4.5.

x | exp(x)
0 | exp(0) = 1
0,1 | exp(0,1) = e^0,1 ≃ 1,105 170 918
0,5 | exp(0,5) = √e ≃ 1,648 721 271
1 | exp(1) = e ≃ 2,718 281 828 4
1,5 | exp(1,5) = e^1,5 ≃ 4,481 689 07
–0,2 | exp(–0,2) = e^–0,2 ≃ 0,818 730 753 1
–0,5 | exp(–0,5) = ≃ 0,606 530 659 6
–1 | exp(–1) = e^–1 ≃ 0,367 879 441 2

▲ Figura 4.6.

En la Figura 4.6. se muestran las gráficas de las funciones exponenciales de bases 2, 3 y 10, respectivamente notadas
u(x) = 2^x, v(x) = 3^x, w(x) = 10^x x ∈ ℝ.

Para x > 0 se verifican
2 ^x < 3^x < 10^x, y 10^–x < 3^–x < 2^–x.

Interdisciplinariedad

Matemática y concentración de alcohol

Es posible medir la concentración del alcohol en la sangre de una persona mediante la utilización de una función exponencial determinada por

r = 6e^kx,

donde r es el riesgo de tener un accidente automovilístico, x es la concentración de alcohol en la sangre, y k es una constante.

Función logarítmica

DCCD: M.5.1.75. Reconocer la función logarítmica como la función inversa de la función exponencial para calcular el logaritmo de un número, y graficarla analizando esta relación para determinar sus características.

● Función logarítmica

Saberes previos

¿Cómo determinas si una función tiene inversa?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo demuestras que una función es biyectiva?

Sean a > 0 con a ≠ 1 y f la función de ℝ en ℝ^+, definida como f(x) = a^x x ∈ ℝ. Tenemos Dom(f) = ℝ, Rec(f) = ℝ^+. La función es biyectiva.

a) Inyectiva: x_1, x_2 ∈ ℝ, x_1 ≠ x_2 ⇒ a^x^1 = f(x_1) ≠ f(x_2) = a^x^2.

b) Sobreyectiva: Rec(f) = ℝ^+ ⇔ ∀y ∈ ℝ^+, ∃x ∈ ℝ, tal que y = f(x) = a^x.

La función inversa de la función f se define a continuación:

f^–1: ^

Esta función está relacionada con la función directa f mediante la siguiente equivalencia:

y = f(x) = a^x ⇔ x = f^–1 ( y), x ∈ ℝ, y ∈ ℝ^+ .

Recuerda que...

A, B son dos conjuntos (no vacíos) cualesquiera y f es una función de A en B que suponemos biyectiva, esto es,

de modo que se verifican las dos condiciones.

Inyectividad:
​x_1, x_2 ∈ A, x_1 ≠ x_2 _ ⇒ f(x_1) ≠ f(x_2)

Sobreyectividad:
Rec(f) = B.

Al número real f^–1(y) se lo denomina logaritmo de base a de x y se lo nota log_a(y). Así,

y = a^x ⇔ x = log_a(y).

Como se ha dicho, la función exponencial dada como Exp_a(x) = a^x,x ∈ ℝ es biyectiva, por lo tanto, existe la función inversa notada como Log_a, esto es,

Log_a: ^

donde log_a(y) es la imagen de la función Log_a en y.

La función Log_a se llama función logaritmo de base a y el número real log_a(x) con x > 0 se llama logaritmo de base a de x.

El Dom(Log_a) = ℝ^+, Rec(Log_a) = ℝ, la función exponencial y la logarítmica están relacionadas mediante la siguiente equivalencia:

y = exp_a(x) ⇔ x = log_a(y), x ∈ ℝ, y ∈ ℝ^+.

Nota que cuando la base a = e, y > 0 se escribe ln(y), lo que se denomina logaritmo natural de y, o también logaritmo neperiano. Tenemos

y = exp(x) ⇔ x = ln(y).

Cuando a = 10, y > 0, se escribe log(y) al logaritmo de base 10 de y.

Ejercicios resueltos

1. La función Exp_2: ^ es biyectiva. Su función

​inversa está definida como Log_2: ^

El número real log_2(y) se llama logaritmo de base 2 de x con x > 0.

▲ Figura 4.7. Gráfica de la función y = log_2(x).

Tenemos la equivalencia y = exp_2(x) ⇔ x = log_a(y). Una tabla de valores de la función Log_2 se obtiene con ayuda de la función exponencial Exp_2; su gráfica se muestra en la Figura 4.7.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

Los logaritmos neperianos se denominan de esta forma por el nombre de su inventor John Napier, quien intentó formar un procedimiento para agilitar los complicados cálculos que debían realizarse en astronomía y trigonometría.

Observa que para 0 < x < 1, se tiene log_2(x) < 0, y para x > 1 es log_2(x) > 0. La función logarítmica de base 2 es estrictamente creciente:

∀x_1, x_2 ∈ ]0, ∞[, x_1 < x_2 ⇒ log_2(x_1) < log_2(x_2).

1. La función ^ es biyectiva. Su función

inversa está definida como^

de modo que se tiene la siguiente equivalencia:

y = exp (x) ⇔ x = log_1/2 (y).

La tabla de valores de la función es la que se detalla a continuación. Su gráfica se representa en la Figura 4.8.

▲ Figura 4.8. Gráfica de la función Log_1/2x.

Con esta función, para 0 < x < 1, se tiene _(x) > 0 y para x > 1 se tiene log_1/2(x) < 0. Además, la función es estrictamente decreciente:

∀x_1, x_2 ∈ ℝ^+ , x_1 < x_2 ⇒ log_1/2 (x_1) > log_1/2( x_2 ).

Interdisciplinariedad

Matemática y curiosidades

Una curiosidad sobre las aplicaciones de logaritmos en la vida real es la de Benjamin Franklin, el famoso científico. En su testamento, Franklin donaba 1 000 libras a los habitantes de Boston, a condición de que se prestasen al 5 % a artesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años, la suma se habría convertido en 131 000 libras. Comprobemos si esto es cierto.

El capital final al cabo de esos 100 años será

x = 1 000 · 1,05^100. Para calcular esa enorme potencia, usaremos los logaritmos:
x = 1 000 · 1,05^100;

log x = log 1 000 + 100 · log 1,05;
log x = 3 + 100 · 0,021 2 = 5,12;
x = 10^5,12 = 131 825,67 libras

Adaptado de: ​https://www201501.wordpress.com/funcion-logaritmica-y-aplicaciones/

▲ Benjamin Franklin (1706 - 1790).

Propiedades de los logaritmos

Teorema. Sea a > 0, a ≠ 1 base de la función logarítmica Log_a. Se verifican las siguientes propiedades.

i) log_a(αβ) = log_a(α) + log_a(β), ∀α, β ∈ ℝ^+.

ii) log_a = log_a(α) – log_a(β), ∀α, β ∈ ℝ^+.

iii) log_a( ) = log_a(α), ∀α ∈ ℝ^+, ∀m, n ∈ ℤ con n ≠ 0.

Demostración. Sean α, β ∈ ℝ^+.

i) De la definición de las funciones Exp_a y Log_a se tienen las siguientes equivalencias:

u = log_a(α) ⇔ α = exp_a(u),
v = log_a(β) ⇔ β = exp_a(v).

Luego, αβ = exp_a(u)exp_a(v) = exp_a(u + v),

de donde u + v = log_a(αβ) y consecuentemente,

log_a(αβ) = u + v = log_a(α) + log_a(β).

Observaciones:

i) Sean α, β, γ ∈ ℝ^+. Aplicando la propiedad asociativa del producto de números reales y la propiedad i) del teorema precedente, obtenemos
log(αβγ) = log_a(α(βγ)) = log_a(α) + log_a(βγ) = log_a(α) + log_a(β) + log_a(γ).

De manera general, sean α_1, ... α_n ∈ ℝ^+. Entonces,

log(α_1× ... × α_n) = log_a(α_1) + ... + log_a(α_n).

ii) Sea α ∈ ℝ^+. Puesto que log_a(1) = 0, se sigue que

log_a = log_a(1) – log_a(α) = – log_a(α).

iii) Para m = 1 y n_ ∈ ℤ con n ≠ 0, α ∈ ℝ^+, se tiene

log_a =  log_a(α).

Para n = 1, m_ ∈ ℤ, α ∈ ℝ^+, se tiene log_a(α^m) = mlog_a(α).

Ejemplos resueltos

1. Se conoce que log(2) ≃ 0,301 0, log(3) ≃ 0,477 1. Calcular el valor aproximado de log con cuatro cifras luego de la coma decimal.

Puesto que 144 = 2^4 × 3^2, entonces,

log = log = log
= log(2) +  log(3) =  × 0,301 0 + × 0,477 1 = 0,431 64.

Recuerda que...

Dado N ∈ ℝ^+, ¿cómo están relacionados log_a(N) y log_b(N)? Tenemos la respuesta en el siguiente teorema.

Teorema. Sean a, b ∈ ℝ^+ con a ≠ 1, b ≠ 1 bases de dos funciones logarítmicas, N ∈ ℝ^+. Entonces,

log_a(N) = log_a(b) log_b(N).

1. Se conocen valores aproximados con siete cifras luego de la coma decimal de los siguientes logaritmos:

ln(2) ≃ 0,693 147 2, ln(3) ≃ 1,098 612 3, ln(5) ≃ 1,609 437 9.

i) Obtén el valor aproximado de ln con siete cifras de precisión.

ln = ln = 3ln(2) – ln(5) ≃
3 × 0,693 147 2 – 1,609 437 9 ≃ = 0,470 003 7.

ii) Obtén el valor aproximado de y = ln .
Primeramente, 200 = 5^2 × 2^3 y 9 = 3^2. Entonces,

y = ln = ln = 2 ln(5) + 3ln(2) – 2ln(3)
≃ 2 × 1,609 437 9 + 3 × 0,693 147 2 – 2 × 1,098 612 3 = 3,101 092 8.

Conexiones con las TIC

Si no dispones de una calculadora científica, puedes ingresar al siguiente enlace y calcular el logaritmo de cualquier base:

www.mayedu.ec/matbu3/p125

1. Sea a ∈ ℝ y . Demuestra que z = 10^a^(1–^log^(3)), y calcula a si z = 100.

Sea a ∈ ℝ. De las propiedades de los logaritmos, tenemos

log(z) = log = log(5^a) + log(2^a) – log(3^a)
             = alog(5) + alog(2) – alog(3)

            = a(log(5) + log(2) – log(3)) = a(1 – log(3)),

            de donde z = 10^a^(1–^log^(3)).

De la igualdad obtenida log(z) = a(1 – log(3)) y tomando en cuenta que para z = 100 = 10^2, obtenemos log(z) = log(10^2) = 2, con lo que

2 = a(1 – log(3)) ⇔ a = ≃ 3,824 978 578.

1. Sean a > 0 y a ≠ 1. Para x > 0 se tiene

z = log_a(8) – 4log_a(2) + 3log_a(1 + x). Simplifiquemos la escritura de z. Apliquemos las propiedades de los logaritmos y escribamos z con un solo logaritmo. Tenemos:

z = log_a(8) – 4log_a(2) + 3log_a(1 + x)

    = log_a + log_a(2^–4) + log_a(1 + x)^3

  = log_a = log_a((2^2 × 2^–4 × (1 + x)^3)

  = log_a .

Ecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas

DCCD: M.5.1.77. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas, con ayuda de las TIC.

● Ecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas

Saberes previos

¿Qué es una ecuación exponencial?

Desequilibrio cognitivo

¿Puedes utilizar las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales?

1. Si existe x ∈ ℝ, determina la solución de la ecuación:

5^x^+1 + 5^x = 750.

Primeramente, para x ∈ ℝ se tiene 5^x^+1 = 5 × 5^x, y 750 = 6 × 125, de modo que la ecuación propuesta se escribe en forma equivalente como

5^x^+1 + 5^x = 750 ⇔ 5 × 5^x + 5^x = 6 × 125 ⇔

5^x(5 + 1) = 6 × 125 ⇔ 5^x = 125 = 5^3.

Puesto que la función exponencial, definida como f(x) = 5^x , x ∈ ℝ, es inyectiva, se sigue que 5^x = 5^3 ⇔ x = 3. Luego, la solución de la ecuación propuesta es x = 3.

Recuerda que...

Una ecuación es exponencial cuando las incógnitas forman parte de los exponentes de ciertas bases constantes.
Para resolver una ecuación exponencial, debes tener en cuenta lo siguiente:

- La base es positiva: a > 0.
- La solución de la ecuación exponencial con la forma a^f^(^x^) = a^g^(^x^) es la solución (o soluciones) de la ecuación f(x) = g(x). Esto se debe a que dos potencias con la misma base son iguales si y solo si sus exponentes son iguales (inyectividad de la función dada como a^u ∈ ℝ).

1. Considera la ecuación: x ∈ ]0, ∞[, tal que

log_2(x) + log (x) + log_8(x) + log _2 (x) = .

Para resolver esta ecuación, transformamos todos los logaritmos a la misma base 2. Tenemos:

de donde log_2(x) = –y, o bien y = –log_2(x). Así, log_1/2(x) = –log_2(x).

A continuación tenemos:

z = log_8(x) ⇔ x = 8^z = (2^3)^z = 2^3^z.

log_2(x) = 3z ⇔ z = log_2(x).

Consecuentemente, log_8(x) = log_2(x). De forma similar, se obtiene log_√2(x) = 2log_2(x).

Reemplazando estos resultados en la ecuación propuesta, se obtiene

log_2(x) – log_2(x) + log_2(x) + 2log_2(x) = ,

y luego de simplificar, resulta

log_2(x) = ⇔  log_2(x) = 5 ⇔ x = 2^5 = 32.

La solución de la ecuación propuesta es x = 32 ∈ ]0, ∞[. Verifica.

Recuerda que...

Para resolver ecuaciones exponenciales, puedes proceder así:

- Descomponer la parte numérica en sus factores primos e igualar bases solo si es factible.
- Aplicar logaritmos a los dos lados de la igualdad, (porque la función logarítmica es inyectiva).
- Efectuar correctamente operaciones indicadas.

1. Halla, si existe x ∈ ℝ, la solución de la ecuación:

log_2(9^x^–1 + 7) = 2 + log_2(3^x^–1 + 1).

Tenemos 9^x^–1 = (3^2)^x^–1 = 3^2(^x^–1), log_2(4) = 2. Luego,

log_2(9^x^–1 + 7) = log_2(4) + log_2(3^x^–1 + 1)

log_2(9^x^–1 + 7) = log_2(4(3^x^–1 + 1)),

log_2(3^2(^x^–1) + 7) = log_2(4(3^x^–1 + 1)).

La función Log_2 es inyectiva. Aplicando esta propiedad a la ecuación precedente, se tiene la siguiente ecuación:

3^2(^x^–1) + 7 = 4(3^x^–1 + 1) ⇔ 3^2(^x^–1) + 3 = 4 × 3^x^–1.

No es inmediato obtener la solución de esta última ecuación. La transformamos en una ecuación de segundo grado. Para el efecto, ponemos v = 3^x^–1. Entonces, v^2 = (3^x^–1)^2 = 3^2(^x^–1). Obtenemos la ecuación v^2 + 3 = 4v. Así,

^

Para v – 3, resulta 3 = 3^x^–1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2.
Para v – 1, se obtiene 1 = 3^x^–1 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Las soluciones son x = 1 y x = 2. Verifiquemos que x = 2 es solución. Calculemos el primer miembro de la ecuación:

y = log_2(9^x^–1 + 7) = log_2(9^2–1 + 7) = log_2(16) = 4.

Calculemos el segundo miembro:

y = 2 + log_2(3^x^–1 + 1) = 2 + log_2(3^2–1 + 1) = 2 + log_2(4) = 4.

1. Estudia la existencia de soluciones en ℝ y resuelve la ecuación

log_2(x + 2) – log_2(2x – 3) = 2.

Primeramente, la función Log_2 tiene como dominio el conjunto ]0, ∞[.
Luego, log_2(x + 2) está bien definido si y solo si

x + 2 > 0 ⇔ x > –2.

▲ Figura 4.9.

De manera similar, log_2(2x – 3) está bien definido si y solo si
2 x – 3 > 0 ⇔ x > . De estos dos resultados,
log_2(x + 2) – log_2(2x – 3) está bien definido si y solo si
x > –2 y x > , de donde x > ​. Observa la Figura 4.9.

Si la ecuación tiene solución x, esta debe satisfacer

la condición x > . Resolvamos la ecuación. Tenemos

log_2(x + 2) – log_2(2x – 3) = 2 ⇔ log_2 = 2 ⇔ = 2 ^2
⇔ x + 2 = 8x – 12 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2.

Así, la solución es x = 2. Nota que esta satisface la condición x > .

Recuerda que...

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas, ten en cuenta lo siguiente:

- Aplica las propiedades de los logaritmos hasta obtener un solo logaritmo en ambos miembros de la ecuación.
- Resuelve la ecuación que queda y verifica la validez de las soluciones obtenidas.

1. Considera la ecuación: x ∈ ӏ ⊂ ℝ solución de

ln(x + 10) – ln(2x – 5) = –ln(α),

con α ≥  . Estudia la existencia de soluciones de esta ecuación.

Primeramente, determinamos el conjunto I en el que esta ecuación tiene sentido. Como el dominio de la función logaritmo natural Ln es ]0, ∞[, se sigue que ln(x + 10) y ln(2x – 5) están bien definidos si y solo si se verifica que sus argumentos son positivos, esto es,

^

Por lo tanto, ln(x + 10) – ln(2x – 5) está bien definido si y solo
si x > . Así, ӏ = ]​ , ∞ [. Para x ∈ ]​ , ∞ [, tenemos:
ln(x + 10) – ln(2x – 5) = ln .

Interdisciplinariedad

Las ecuaciones logarítmicas son ampliamente utilizadas para resolver problemas de crecimiento poblacional, que son modelados mediante ecuaciones exponenciales.

▲ Fórmulas matemáticas.

La ecuación propuesta se escribe en forma equivalente, como

ln = – ln(α) = ln ,

y por la inyectividad de la función Ln, se obtiene

 = ⇔ α(x + 10) = .

Elevando al cuadrado ambos miembros en la última igualdad, tenemos

α^2(x + 10)^2 = 2x – 5, x^2 + 20x + 100 = (2x – 5),

x^2 + 20x – x + 100 + = 0.

Determinemos las raíces de esta ecuación en términos de α. Para el efecto, aplicamos la conocida fórmula de obtención de las raíces de una ecuación de segundo grado. Tenemos

^

Interdisciplinariedad

Matemática y música

¿Qué tiene que ver la matemática con la música?

Pues en realidad, mucho.
El uso de logaritmos en la música permite hallar las vibraciones de las tonalidades musicales, pero para hallar estas vibraciones, siempre tiene que estar el logaritmo en base dos.

▲ Altavoces y sonido.

La raíz cuadrada está bien definida si y solo si

4 – 100α^2 ≥ 0 ⇔ 100α^2 ≤ 4 ⇔ α^2 ≤ .

Como α > , α ^2 ≤ ⇒ α ≤ . Para α > la ecuación no tiene solución. Consideramos el caso α = ,

Conclusión: la ecuación tiene solución si y solo si α = ​ y x = 15.

1. Consideremos la ecuación = log_2( ), x > 0.

Para estudiar la existencia de soluciones, y, en caso de existir, para hallar la o las soluciones, definimos dos funciones asociadas a esta ecuación:

Primeramente, el dominio de la función Log_2 es el conjunto ]0, ∞[, con lo que log_2(\( \sqrt{x} \)) = ​log_2(x) está bien definido si x > 0.

Luego, u(x) está bien definido si y solo si log_2(x) ≥ 0.

Conexiones con las TIC

Para calcular cualquier logaritmo o resolver una ecuación logarítmica, puedes utilizar las calculadoras científicas o ciertos softwares. En el siguiente enlace puedes acceder a una calculadora para ecuaciones logarítmicas:

www.mayedu.ec/matbu3/p131

Como log_2(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, se sigue que Dom(u) = [1, ∞[, y siendo Dom(v) = ]0, ∞[, resulta que la ecuación está propuesta en el conjunto

Dom(u) ∩ Dom(v) = ]0, ∞[ ∩ ]1, ∞[ = ]1, ∞[.

Nota que x = 1 es una solución, pues

u(1) = \( \sqrt{log_2(1)} \) = 0 = log_2(\( \sqrt{1} \)) = v(1).

Pasemos a resolver esta ecuación. Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos

log_2(x) = log_2^2(x) ⇔  log_2(x) – log_2^2(x) = 0,   x ≥ 1.

Sea y = log_2(x). La última ecuación se expresa como y – y^2 = 0.

Tenemos

y – y^2 = 0 ⇔ y (1 – y) = 0 ⇔ ^

Como y = log_2(x), y = 0 = log_2(x) ⇔ x = 1 que ya fue obtenida. A continuación, y = 4 = log_2(x) ⇔ x = 2^4 = 16. Se verifica inmediatamente u(16) = v(16) = 2. Se tienen dos soluciones x = 1 y x = 16.

Inecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas

DCCD: M.5.1.77. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas, con ayuda de las TIC.

● Inecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas

Saberes previos

¿Qué es una inecuación?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuáles son las propiedades de las inecuaciones?

Sea a > 1, la desigualdad a^x ≥ 1 se verifica para todo x ∈ [0, ∞[ y la desigualdad a^x < 1 se verifica para todo x ∈ ]–∞, 0[. Escribimos

S_1 = {x ∈ ℝ | a^x ≥ 1} = [0, ∞[,

y lo denominamos conjunto solución de la inecuación a^x ≥ 1. Ponemos

S_2 = {x ∈ ℝ | a^x < 1} = ]–∞, 0[,

y se llama conjunto solución de la inecuación a^x < 1.

Recuerda que...

Sea a > 0 con a ≠ 1. Se ha visto que la función exponencial Exp_a para 0 < a < 1 es estrictamente decreciente, esto es,

x_1, x_2 ∈ ℝ, x_1 < x_2 ⇒exp_a(x_1) > exp_a(x_2),

mientras que para a > 1, esta función es estrictamente creciente:

x_1, x_2 ∈ ℝ, x_1 < x_2 ⇒exp_a(x_1) < exp_a(x_2).

Estos dos resultados nos permiten resolver inecuaciones en las que intervienen funciones exponenciales de la misma base a.

De manera general, si c ≤ 0, el conjunto solución de la inecuación es:

S = {x ∈ ℝ | a^x ≤ c} = Ø.

Si c > 0,
S' = {x ∈ ℝ | a^x ≤ c} = ]–∞, log_a(c)[.

Si c ≤ 0,
S_1 = {x ∈ ℝ | a^x ≤ c} = Ø,
S_2 = {x ∈ ℝ | a^x > c} = ℝ.

Para 0 < a < 1, la desigualdad a^x ≥ 1 se verifica para todo x ∈ ]–∞, 0[. Ponemos S = {x ∈ ℝ | a^x ≥ 1} = ]–∞, 0] y es el conjunto solución de la inecuación a^x ≥ 1.

Ejemplos resueltos

1. Resuelve la inecuación 2^5^x^–1 > 2^–3^x^+15.

Tomando en consideración que la función Exp_a es estrictamente creciente,

2^x^1 > 2^x^2 ⇔ x_1 > x_2, x_1, x_2 ∈ ℝ.

Como las bases son iguales, entonces: 5x – 1 > –3x + 15. Resolvemos la inecuación

5x – 1 > –3x + 15 ⇔ 8x > 16 ⇔ x > 2.

Luego, el conjunto solución se expresa como

S = {x ∈ ℝ | 2^5^x^–1 > 2^–3^x^+15} = ]2, ∞[.

1. Sea la inecuación 3^2^x – × 3^x + 1 > 0. ¿Cuál es el conjunto solución?

Tenemos 3^2^x = (3^x)^2. Luego, 3^2^x – × 3^x + 1 > 0 ⇔ 2(3^x)^2 – 5 × 3^x + 2 > 0.

Ponemos v = 3^x. La última desigualdad se transforma en la siguiente:

2v^2 – 5v + 2 > 0.

Sea P la función polinomial definida como P(v) = 2v^2 – 5v + 2 v ∈ ℝ. Determinemos las raíces de la ecuación P(v) = 0. Tenemos

^

Las raíces de P(v) = 0 son v_1 = y v_2 = 2. El polinomio P(v) se escribe como

P(v) = 2v^2 – 5 v + 2 = 2 (v^2 – v + 1) = 2 (v – ) (v – 2), v ∈ ℝ.

Recuerda que...

- Las inecuaciones exponenciales en una incógnita tienen la forma:
a^f^(^x^) > a^g^(^x^),
a^f^(^x^) < a^g^(^x^),
donde f(x) y g(x) son expresiones en x e y, a ∈ ℝ^+, a ≠ 1.
- Una inecuación logarítmica es una desigualdad en la que la variable aparece en el argumento del logaritmo. Para su resolución es necesario considerar las características de la base, la definición y las propiedades de la monotonía del logaritmo.
- Propiedades de la monotonía del logaritmo:

a) si a > 1, b > c
       ⇒ log_a b > log_a c.

b) si 0 < a > 1, b > c
       ⇒ log_a b > log_a c.

Con este resultado estudiamos la inecuación 2v^2 – 5v + 2 > 0.
Tenemos

^

Construimos la tabla de signos de v – , v – 2 y de 2(v – ) (v – 2).

^

De la tabla obtenemos: 2v^2 – 5v + 2 > 0 ⇔ v < ∨ v > 2.

Como v = 3^x, resultan dos inecuaciones: ^

^

Así, el conjunto solución de la inecuación propuesta es

^

1. Halla el conjunto solución en ℝ de la inecuación 2^5^x^–1 > 3.

La función logaritmo natural Ln es estrictamente creciente. Es decir que si x_1, x_2 ∈ ]0, ∞[ = Dom(Ln), x_1 < x_2 ⇒ ln(x_1) < ln(x_2).

Para hallar el conjunto solución de la inecuación aplicamos la función Ln. Tenemos

ln(2^5^x^–1) > ln(3)
(5 x – 1) ln(2) > ln(3).

Como ln(2) > 0, entonces, 5x – 1 >^

de donde ^

El conjunto solución S está definido como

^

Aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica

DCCD: M.5.1.78. Reconocer y resolver aplicaciones, problemas o situaciones reales o hipotéticas que pueden ser modelizados con funciones exponenciales o logarítmicas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica

Saberes previos

¿Qué es y para qué sirve un modelo matemático?

Desequilibrio cognitivo

¿Podrás utilizar el mismo proceso de resolución de inecuaciones exponenciales en la resolución de inecuaciones logarítmicas?

1. Uno de los métodos utilizados para calcular el gasto anual de depreciación consiste en asignar una pérdida anual por depreciación decreciente cada año al activo (auto, tractor, computadora, mobiliario, etc). Sea C el costo original del activo, y r la fracción que se pierde de C cada año. Para el valor actual del activo, y t ≥ 0 para el tiempo en años, escribimos V(t). A continuación se muestra el gasto anual de depreciación. Encontremos la función V(t).

Primer año, t = 1, se tiene una pérdida de rC, luego,

V(1) = C – rC = C(1 – r).

Segundo año, t = 2, entonces la fracción perdida es rV(1), con lo que

V(2) = V(1) – rV(1) = C(1 – r) – rC(1 – r)
= C – Cr – rC + r^2C = C(1 – 2r + r^2) = C(1 – r)^2.

Continuando con este proceso, tercer año, t = 3, la fracción perdida es rV(2), en consecuencia,

V(3) = V(2) – rV(2) = (1 – r)V(2) = (1 – r)[(1 – r)V(1)]
= (1 – r)^2V(1) = (1 – r)^2[C(1 – r)] = C(1 – r)^3.

De manera general, V(t) = C(1 – r)^t , t ≥ 0.

El equipo de computación de la empresa TXYZ (nombre ficticio) fue adquirido en $ 20 000. Este equipo se deprecia en un valor de   25 % cada año. Entonces,

 × 100 = 25 % ⇒ r = 25 % = 0,25 anual.

La función de depreciación está definida como

V(t) = 20 000(1 – 0,25)^t = 20 000(0,75)^t , t ≥ 0.

▲ Figura 4.10.

En la Figura 4.10. se muestra la gráfica de esta función.

Determinemos el tiempo en el que V(t) = C. Tenemos

^

A este tiempo t se lo designa con t , y se llama tiempo de vida media esto es,

Recuerda que...

Para la función obtenida en el problema dos
f(t) = 6 – , t ∈ [1, ∞[,
podemos definir la función f en el intervalo [0, ∞[. Tenemos f(0) = 0,75.

Para t suficientemente grande,
es suficientemente
pequeño, con lo que f tiene una asíntota horizontal.

La gráfica de esta función se muestra en la Figura 4.11.

▲ Figura 4.11.

H = {(t, 6) | t ∈ [1, ∞[}

Calculemos f(8).
f(8) = 6 – ≃ 5,74,
​que muestra que a partir de la octava semana puede confeccionar aproximadamente 6 ternos semanales.

1. El Instituto ABCD capacita a personal en diferentes áreas, como carpintería, plomería, entre otras. Para evaluar el aprendizaje y desempeño de sus estudiantes, aplica una función que se define a continuación:

^

donde a, b, c ∈ ℝ^+, tal que a ≥ c y 0 < b < 1, I ⊂ [0, ∞[ no vacío.

En la rama de corte y confección, Juan ha completado el curso teórico y pasa a la parte práctica. El resultado se mide al final de cada semana. En la primera semana, Juan tiene confeccionados 2,5 ternos. En la segunda semana, logra confeccionar 3 ternos y dos tercios de otro. En la tercera semana, alcanza 4 ternos y de otro.

Calculemos las constantes a, b, c. Tracemos la gráfica de esta función y analicemos su comportamiento. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

^

De la primera ecuación obtenemos a = 2,5 + cb. Reemplazamos en (2) y (3):

^

De (4) obtenemos , y en (5):
^

de donde Con este valor calculamos a y c.

^

El conjunto I es el intervalo [1, ∞[. La función f está definida como

Solución de problemas cotidianos

La edad de los fósiles

1. ^14C es la nomenclatura del carbono 14, descubierto en 1940. Este es un isótopo que, por medio de procesos de laboratorio, permite conocer la edad de un fósil. Para esto se utilizan modelos matemáticos como:

C_(_t_) = C_(0)e^–0,000 120 5^t ó C(t) = C_(0)2 ,

de donde:

C_(_t_): es la cantidad de gramos del fósil que se encuentran al final de una línea de tiempo.
C_(0): es la cantidad de gramos del fósil que se encuentran al iniciar el análisis.
t: es el tiempo expresado en años.

Cuando un fósil es muy viejo, se aplican otros métodos para conocer su edad, como la medición radiométrica.

El problema
En 1802, al pie del volcán Imbabura, se encontró un fósil de un mastodonte. Si se tomaron como muestra 500 gramos de carbono 14, ¿cuántos años deben transcurrir para que esta muestra se convierta en 150 gramos?

Análisis de los datos
Se aprecia la existencia de un gramaje inicial y final
C_(_t_) = 150 g y C_(0) = 500 g.

Modelización
Utiliza cualquiera de los métodos planteados, por ejemplo:

C_(_t_) = C_(0)e^–0,000 120 5^t ; 150 = 500e^–0,000 120 5^t.

Aplica las propiedades de los logaritmos
ln150 = ln500 + (–0,000 120 5)t ln e

t = ; t = .

t = 9 991 años.

Interpretación
Deben transcurrir 9 991 años para que la muestra obtenida se desintegre a 150 gramos.
Generalización
El modelo exponencial C_(_t_) = C_(0)e^–0,000 120 5^t permite conocer el tiempo de desintegración de un fósil, mediante la aplicación de las propiedades de los logaritmos.

Actividad
¿Cuántos gramos se encuentran presentes si han transcurrido 500, 1 000, 2 000 y 3 000 años?

Traza la gráfica, analiza los resultados, escribe el modelo exponencial e interpreta la gráfica y los datos obtenidos.

2. La presión atmosférica varía según la altura: a mayor altura, menor es la presión. Es decir, es una relación inversamente proporcional. La expresión A = A_(0)(0,996)^x permite determinar la altura en kilómetros o la presión en milibares (mbar).

a) Indaga a qué altura sobre el nivel del mar se encuentran cinco provincias del Ecuador. Determina la presión existente en cada provincia. Traza la gráfica.
b) Cierta localidad está a 4 500 metros sobre el nivel del mar. ¿Qué presión existe en este lugar?
c) Si la presión es de 339 mbar, ¿cuál es la altura de este lugar?
d) Si la presión es de 120 mbar, ¿cuál es la altura de este lugar?

shutterstock, (2017). 143754475

p Forense.

–t

5 600

Practica en tu cuaderno

Presión atmosférica (2017). http://lageografia.com

Presión a 6 000 pies – 23,92°

A mayor altura, menor presión

Presión a 3 000 pies – 26,92°

Presión a 1 000 pies – 28,92°

Presión a nivel del mar MSL – 29,92°

ln500 – ln150

(0,000 120 5)ln e

1,203 972 804

0,000 120 5

a

Glosario

b

c

fósil. Dicho de una sustancia de origen orgánico o de un resto de organismo: que esta mas o menos petrificado, y se encuentra por causas naturales en las capas terrestres, especialmente si pertenece a otra epoca geológica.

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y la Ingeniería en Genética y Biotecnología

¿Cuál es el profesional que estudia los procesos de la herencia, naturaleza y funcionamiento del material genético (célula normal y patológica)? ¿Cómo aporta la matemática al análisis de biosistemas?

La Ingeniería en Genética aplica tecnologías recombinantes en programas de innovación genética. Estos se diseñan para el mejoramiento de plantas, animales y microorganismos, con aplicaciones en agricultura, alimentos y salud.

La Ingeniería Genética utiliza modelos matemáticos para explicar procesos crecientes y decrecientes en el desarrollo de nuevos productos, tales como semillas, bioplaguicidas, vacunas, entre otros.

▲ Trabajo en genética.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Ingeniería en Genética y Biotecnología

El ingeniero o la ingeniera en Genética y Biotecnología es una persona profesional conocedora de los bioprocesos y métodos biotecnológicos, y posee gran capacidad para investigar, diseñar y aplicar tecnologías en áreas como microorganismos, animales, vegetales, humanos y ambiente. A través de técnicas genéticas, moleculares y celulares, puede aislar y manipular biomoléculas y microorganismos. Asimismo, mediante el uso de técnicas de biología molecular, microbiología y bioquímica, puede producir nuevos medicamentos, alimentos y plantas.

El campo laboral incluye medicina, agricultura, industria alimenticia, industria farmacéutica, cuidado del medio ambiente, entre otros.

El postulante para la carrera de Ingeniería en Genética y Biotecnología debe cumplir con el siguiente perfil:

- Habilidades prácticas, pensamiento crítico, uso de herramientas y técnicas de laboratorio.
- Conocimientos de biología, química, matemática, física e investigación.
- Interés científico y técnicas de estudio.

Adaptado de: http://www.udla.edu.ec/carreras/programas-academicos/pregrados/facultad_de_ingenieria_y_ciencias_agropecuarias/ingeniero-en-biotecnologia/

▲ Ingeniería en Genética.

TIC

TIC

Gráfico de funciones exponenciales con GeoGebra

a) Grafica una función f(x) = a^x a > 1. Luego, realiza los desplazamientos horizontales y verticales.

f(x) = a^(^x^ + ^b^), f(x) = a^x + b.

Sea la función f(x) = 5x, analiza su gráfica.

Traza las gráficas de f(x) = 5^x + 2 y de f(x) = 5^(^x^ + 2). Analiza qué sucede en cada caso.

Gráfico de funciones logarítmicas con GeoGebra

b) Grafica una función f(x) = log_ax con a > 0, a ≠ 1. Luego, realiza los desplazamientos horizontales y verticales.

f(x) = log_ax + 2 y f(x) = log_a(x + 2).

Sea la función f(x) = log_2x, analiza su gráfica.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: El triángulo de Sierpinski

Recursos

- Tecnológicos: calculadora, tablet, celular, computadora con la aplicación GeoGebra y el programa Excel instalados

Justificación

El triángulo de Sierpinski fue introducido por Waclaw Sierpinski en el año 1919. Consta de un triángulo equilátero y en su interior se van trazando otros triángulos equiláteros, cuyas esquinas coinciden con los puntos medios de cada lado del triángulo mayor.

La utilización de este famoso triángulo es diversa: desde el cálculo de áreas y perímetros, hasta el modelamiento de problemas matemáticos que están compuestos por regularidades.

A continuación, se presenta una imagen de este triángulo.

▲ Posición 0

▲ Posición 1

▲ Posición 2

▲ Posición 3

Objetivos

- Observar las regularidades del triángulo de Sierpinski para determinar un modelo exponencial que permita relacionar la cantidad de triángulos blancos con la posición de la figura.

Actividades

- Formen equipos de dos o tres estudiantes y elijan un coordinador o coordinadora.
- Van a trabajar con funciones cuya representación gráfica descubrirán durante el análisis de la secuencia.
- Analicen el triángulo de Sierpinski y completen la tabla siguiente:

Posición | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
Núm. de triángulos blancos |  |  |  |  |  |

- Construyan una gráfica con los valores encontrados. Para ello, pueden utilizar el programa GeoGebra o Excel.
- Encuentren una fórmula que relacione la cantidad de triángulos blancos con la posición que ocupa la figura.
- Respondan las siguientes preguntas: ¿En alguna posición la cantidad de triángulos será 512? ¿Cómo se llama la función encontrada?
- Establezcan conclusiones y recomendaciones.

Conclusiones

La intencionalidad de esta propuesta es lograr, por medio de la observación de la secuencia de las figuras, que se establezcan regularidades para que, de esta manera y utilizando la tabla de datos, se pueda generar un modelo matemático que represente la situación planteada.

En síntesis

En síntesis