Title: Unidad 5
Course: Matemáticas Plus + 2 BGU > Section: LIBRO DIGITAL

Funciones trigonométricas

Matemática y fenómenos periódicos

Las funciones trigonométricas son la herramienta matemática más adecuada para describir fenómenos periódicos tan diversos como la actividad cardíaca, el movimiento de los planetas, la variación de presión que produce en el aire la propagación de un sonido, el movimiento del péndulo de un reloj, la vibración de un puente por el peso de un vehículo, entre otros.

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​

  Objetivos

- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación

Observa y contesta

- ¿Qué observas en las imágenes?
- ¿Cómo describes el gráfico de la actividad cardíaca?
- ¿Qué forma tienen las gráficas de los fenómenos descritos en las imágenes?

Funciones trigonométricas

DCCD: M.5.1.70. Definir las funciones seno y coseno a partir de las relaciones trigonométricas en el círculo trigonométrico (unidad) e identificar sus respectivas gráficas a partir del análisis de sus características particulares.  M.5.1.71. Reconocer y graficar funciones periódicas determinando el período y amplitud de estas, su dominio y recorrido, monotonía y paridad.

● Funciones trigonométricas

Saberes previos

¿Qué es una función periódica?

Desequilibrio cognitivo

Si en una función periódica conoces la forma de gráfica en un intervalo 2T, ¿cómo reproduces la gráfica de la función al lado positivo y al lado negativo de los números reales?

En este capítulo definiremos las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Se observarán algunas propiedades, como, por ejemplo, la periodicidad, y se construirán funciones trigonométricas.

Funciones periódicas

Iniciamos el estudio con una clase de funciones denominadas periódicas, cuya definición se da a continuación.

Definición. Sean T > 0 y f una función real definida en todo R. Se dice que f es periódica de período 2T, si y solo si f verifica la siguiente condición:

f(x + 2T) = f(x), ∀x ∈ ℝ.

En la Figura 5.1. se representa una función periódica de período 2T.

▲ Figura 5.1.

La característica fundamental de las funciones periódicas es que basta conocer la función en un intervalo de longitud 2T, por ejemplo [–T, T], y luego reproducir esta porción de función del lado positivo de los números reales a intervalos de la formas [T, 3T], [3T, 5T],[5T, 7T] y así sucesivamente, a continuación del lado negativo a intervalos de la formas [–3T, –T], [–5T, –3 T], y así sucesivamente. La gráfica de la función periódica en el intervalo [–T, T] se reproduce sucesivamente a cada uno de los intervalos de los tipos antes indicados. Las funciones trigonométricas son funciones periódicas.

Recuerda que...

Basta conocer la gráfica de la función en el intervalo [–π, π]  y luego reproducir en forma idéntica al lado izquierdo y al lado derecho en intervalos de longitud 2π.

Función seno, gráfico y características

Esta función se designa con Sen y se define como sigue:

^

Observa que sen(x) ∈ ℝ denota el valor de la función sen en x ∈ ℝ. Se tiene así, Dom(Sen) = ℝ.

He aquí algunos valores típicos de sen(x) para x ∈ ℝ que han sido obtenidos como relación trigonométrica en el círculo trigonométrico:

^

Recuerda que...

Las características de la función seno son:

1. Dominio:
Dom(Sen) = ℝ.
2. Recorrido:
Rec(Sen) = [–1, 1].
3. El período es 2π.
4. La función seno es impar.
5. La gráfica de y = sen(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son x = nπ para todo número entero n.
6. El valor máximo de sen(x) es 1, y el valor mínimo es –1.
7. La amplitud (A) de la función y = sen(x) es 1.

Además, de las relaciones trigonométricas se sabe que

sen(x) ∈ [–1, 1], ∀x ∈ ℝ, por lo tanto, Rec(Sen) = [–1, 1].

La función seno es periódica de período 2π, esto es,

sen(x + 2π) = sen(x), ∀x ∈ ℝ.

La función seno es impar, es decir, sen(–x) = –sen(x), ∀x ∈ ℝ.

El grafo de la función seno está definido como el conjunto

G(Sen) = (x, sen(x)) ∈ ℝ^2 | x ∈ ℝ} .

Una porción de la gráfica de esta función se indica en la Figura 5.2.

▲ Figura 5.2.

Recuerda que...

Las características de la función coseno son:

1. Dominio:
Dom(Cos) = ℝ.

2. Recorrido:
Rec(Cos) = [–1, 1].

3. El período es 2π.

4. La función coseno es par.

5. La gráfica de y = cos(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son

para todo número entero n.

6. El valor máximo de cos(x) es 1, y el valor mínimo es –1.

7. La amplitud (A) de la función y = cos(x) es 1.

Función coseno, gráfico y características

Esta función se designa con Cos y se define como sigue:

Observa que cos(x) ∈ ℝ denota el valor de la función cos en x ∈ ℝ. Se tiene Dom(Cos) = ℝ. Tal como en el caso de la función seno, de las relaciones trigonométricas en el círculo trigonométrico se sabe que Rec(Cos) = [–1, 1]. He aquí algunos valores típicos de cos(x):

^

La función coseno es periódica de período 2π, es decir, esta función es par:
cos(– x) = cos(x), ∀x ∈ ℝ.

El grafo de la función coseno es el conjunto G(f) definido como

G(f) = {(x, cos(x)) | x ∈ ℝ},

cuya porción de gráfica se muestra en la Figura 5.3.

▲ Figura 5.3.

Eje transversal

Salud

Las funciones trigonométricas son un grupo de funciones reales muy importantes en matemática. Estas tienen muchas aplicaciones en física, química, economía, en las distintas ramas de la ingeniería, entre otras áreas.

Por ejemplo las funciones trigonométricas son muy utilizadas en la lectura de electrocardiogramas.

Transformaciones de las gráficas de funciones trigonométricas

Funciones sinusoidales

Sean A, B, C, D ∈ ℝ con A ≠ 0, B ≠ 0 funciones reales definidas como:

y = Asen(Bx + C) + D; y = Acos(Bx + C) + D, ∀x ∈ ℝ.

Características

Amplitud |A|, con A ≠ 0, es el promedio entre los valores máximo y mínimo de la función. Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. La amplitud es 3.

- Si A > 1 o si A < –1, la función sufre un proceso de dilatación.
- Si –1 < A < 1, la función se contrae.

Período (T). Establece cuánto se requiere del dominio para que la función describa un ciclo completo, T = .

Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. T = π. Hasta π se completa un ciclo.

Frecuencia. Se relaciona con las veces que se repite el ciclo. Está determinada por el valor de B.

Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. Como B es 2, el ciclo se repite 2 veces.

Desplazamiento vertical. Traslación vertical en D unidades.

- Si D > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba D unidades.
- Si D < 0, la gráfica se desplaza hacia abajo D unidades.

Desfase: , desplazamiento horizontal de unidades a la derecha o a la izquierda, según si C es negativo o positivo.

Ejemplo: y = 4sen x – ; la gráfica de la función se desplaza π/2 unidades a la derecha con relación al sen(x).

Ejercicio resuelto

Grafiquemos la función f(x) = –3sen  , ∀ x ∈ ℝ.

Amplitud = |A| = |–3| = 3.   Período = T =  = = p.

Desfase = = = . Vamos a graficar cada función.

▲ Figura 5.4. y = sen(x)

▲ Figura 5.5. y = sen(2x)

▲ Figura 5.6. y = sen(2x – π/3)

▲  Figura 5.7. y = 3sen(2x – π/3)

Interdisciplinariedad

Matemática y otras ciencias

La relación de la trigonometría y en particular de las funciones trigonométricas con otras ciencias permite resolver varios problemas en áreas como las que se citan a continuación.

● En física, permite resolver problemas de mecánica clásica, óptica, vibraciones y ondas en sólidos y fluidos, electricidad y electromagnetismos.

▲ Engranajes.

● En informática, sirve en la construcción de juegos computarizados, para simular procesos naturales o físicos.

● La teoría de la señal, en el procesamiento digital de imágenes, tiene como fundamento las series de Fourier que se expresan como senos y cosenos. Una de estas aplicaciones se da en la música.

▲ Estudio de grabación.

▲ Figura 5.8. y = –3sen(2x – π/3)

El dominio de la función f, es definida como

f(x) = –3sen – , ∀x ∈ ℝ.

El recorrido es [–3, 3], el período es π, la amplitud es 3, la gráfica de la función se refleja sobre el eje de las x, y tiene un desplazamiento horizontal hacia la derecha de π/6 unidades.

Ejercicio resuelto

Grafiquemos la función f, definida como

f(x) = 2cos(2x) + 1, ∀x ∈ ℝ.

▲ Figura 5.9. y = –3sen(2x – π/3)

El dominio de esta función es ℝ.

El recorrido es [–1, 3], el período es π, la amplitud es 2, y la gráfica de la función se desplazó una unidad hacia arriba del eje de las x.

Funciones tangente y cotangente

DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas, tangente, cotangente, sus propiedades y las relaciones existentes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).

● Funciones tangente y cotangente

Saberes previos

¿Cómo se define la función tangente?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es el recorrido de la función tangente?

Función tangente

Esta función se denota con Tan y el valor numérico en x ∈ ℝ en el que está definida se designa con tan(x) que, a su vez, se define como

tan(x) = , cos(x) ≠ 0.

Para determinar el dominio de la función tangente, resolvemos la ecuación x ∈ ℝ, tal que cos(x) = 0, cuya solución es

x = + kπ, k ∈ ℤ.

Por lo tanto,

{x ∈ ℝ | cos(x) = 0} = { + kπ | k ∈ ℤ},

de donde Dom(Tan) = ℝ \ { + kπ | k ∈ ℤ}.

Recuerda que...

Algunas identidades trigonométricas fundamentales son:

● tan(x) = , siempre que
cos( x) ≠ 0.

● cot(x) = , siempre que
sen( x) ≠ 0.

● sen^2(x) + cos^2(x) = 1.
1 + tan^2(x) = sec^2(x), cos(x) ≠ 0.
1 + cot^2(x) = csc^2(x), sen(x) ≠ 0.

Mostremos que Rec(Tan) = ℝ. En efecto, sea y ∈ ℝ. Supongamos

y = tan(x) = , para algún x ≠ + kπ.

Entonces, y^2 = , y de la relación sen^2(x) + cos^2(x) = 1

se sigue que

y^2cos^2(x) = sen^2(x) ⇔ y^2(1 – sen^2(x)) = sen^2(x) ⇔ sen^2(x) = .

Como 0 ≤ ≤ 1, la ecuación x ∈ ℝ, tal que sen(x) = ,

tiene solución en ℝ. Es decir, existe x ∈ ℝ \ { + kπ | k ∈ ℤ},

tal que sen(x) = .

Nota que no estamos interesados en el valor numérico de la ecuación, sino en la existencia de soluciones.

▲ Figura 5.10.

La función tangente está definida como sigue:

^

La función tangente es periódica de período π, esto es,

tan(x + π) = tan(x), ∀x ∈ Dom(Tan).

Además, esta función es impar, pues

^

El grafo de Tan esta definido como:

G(Tan) = {(x, tan(x)) | x ∈​ Dom(Tan)}.

En la Figura 5.10. se muestra la gráfica de la función tangente:

Recuerda que...

Las características de la función tangente son:

1. Dominio:
      Dom(Tan) =
      ℝ \ { + kπ | k ∈ ℤ}.

2. Recorrido:
      Rec(Tan) = ℝ.

3. El período es π.

4. La función tangente es impar.

5. El período de la función tangente y = Atan(Bx) es la distancia entre dos asíntotas verticales.
      .

Las características de la función cotangente son:

1. Dominio:
     Dom(Cot) =
      ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

2. Recorrido:
      Rec(Cot) = ℝ.

3. El período es π.

4. La función cotangente es impar.

Función cotangente

La función cotangente se denota con Cot y se define como sigue:

cot(x) = ; sen(x) ≠ 0.

Para determinar el dominio de la función cotangente, resolvemos la ecuación siguiente: x ∈ ℝ, tal que sen(x) = 0. La solución de esta ecuación es x = kπ, k ∈ ℤ. Por lo tanto,

{x ∈ ℝ | sen(x) = 0} = {kπ | k ∈ ℤ},

de donde Dom(Cot) = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Determinemos el recorrido de la función cotangente.

Obviamente, por definición, Rec(Cot) = {cot(x) | sen(x) ≠ 0} ⊂ ℝ.

Mostremos que Rec(Cot) = ℝ, es decir que ℝ ⊂ Rec(Cot).
Sea y ∈ ℝ, consideramos la ecuación {x ∈ ℝ \ kπ | k ∈ ℤ}, tal que
cot( x) = y.

Tenemos y = , de donde y^2 = .

De la relación sen^2(x) + cos^2(x) = 1 se sigue que

y^2sen^2(y) = cos^2(x) ⇔ y^2sen^2(x) = 1 – sen^2(x) ⇔ y^2sen^2(x) + sen^2(x) = 1
                         ⇔ (y^2 + 1)sen^2(x) = 1 ⇔ sen^2(x) = .

Como 0 ≤ sen^2(x) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ, 0 ≤ ≤ 1, ∀y ∈ ℝ, se sigue

que la ecuación sen^2(x) = tiene solución en ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

De todos estos resultados, la función cotangente está definida como sigue:

^

Verifiquemos que es periódica de período π.

▲ Figura 5.11.

Tenemos cos(x + π) = –cos(x), sen(x + π) = –sen(x), ∀x ∈ ℝ. Luego,

^
x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

La función cotangente es impar. En efecto,

^

En la Figura 5.11. se muestra el gráfico de la función cotangente y su grafo se define como sigue:

G(Cot) = {(x, cot(x)) ∈ ℝ^2 | x ∈ ℝ\{kπ | k ∈ ℤ}}.

Funciones secante y cosecante

DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas secante y cosecante, sus propiedades y las relaciones existentes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC.  M.5.1.73. Reconocer y resolver (con apoyo de las TIC) aplicaciones, problemas o situaciones reales o hipotéticas que pueden ser modelizados con funciones trigonométricas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Funciones secante y cosecante

Saberes previos

¿Cómo se define la función secante?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es el recorrido de la función secante y cosecante?

Función secante

La función secante se denota como Sec, para x ∈ ℝ en el que está definida Sec(x). Se suele notar y definir como

sec(x) = , cos( x) ≠ 0.

Determinemos el subconjunto de ℝ en el que cos(x) = 0.

Tenemos cos(x) = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ ℤ, luego,

{x ∈ ℝ | cos(x) = 0} = { + kπ | k ∈ ℤ}.

En la Figura 5.12. se muestra el gráfico del conjunto G(sec) al que lo denominamos representación gráfica de la función secante.

▲  Figura 5.12.

Por lo tanto, la función secante queda definida como sigue:

^

Determinemos el recorrido de esta función, esto es,

Rec (Sec) = {sec(x) | x ∈ ℝ \ { + kπ | k ∈ ℤ }}.

Rec (Sec) = ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[.

La función secante es periódica de período 2π.

La función secante es par. En efecto, como cos(–x) = cos(x), ∀x ∈ ℝ, se sigue que:

^

Por otro lado, el grafo de la función secante se nota G(sec) y se define como el conjunto.

G(sec) = {(x, sec(x)) ∈ ℝ^2 | x ∈ ℝ \ { + kπ | k ∈ ℤ }}.

Conexiones con las TIC

Existen softwares libres, como por ejemplo GeoGebra, que permiten realizar las gráficas de las funciones trigonométricas de forma precisa, ágil e interactiva.

Más adelante en la página 181 te indicaremos el trazo de estas gráficas con el uso de GeoGebra.

Función cosecante

La función cosecante se designa con Csc y se define como

csc(x) = , sen( x) ≠ 0.

Determinemos el subconjunto de ℝ en el que sen(x) = 0. Tenemos

sen(x) = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ,

con lo que

{x ∈ ℝ | sen(x) = 0} = {kπ | k ∈ ℤ}.

De este resultado, la función cosecante queda definida como se indica:

^

Determinemos el recorrido de esta función:

Rec (Csc) = {csc(x) | x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}}.

Rec (Csc) = ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[.

La función cosecante es periódica de período π.
La función cosecante es impar, pues

csc (–x) = = = –csc(x), ∀x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

El grafo de la función cosecante se define así:

G(Csc) = {(x, csc(x)) ∈ ℝ^2 | x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}}.

En la Figura 5.13. se muestra una parte del gráfico del conjunto G(Csc) al que lo denominamos representación gráfica de la función cosecante.

▲  Figura 5.13.

Recuerda que...

La calculadora debe estar en modo de radianes para resolver problemas que impliquen uso de funciones trigonométricas.

▲  Calculadora científica.

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

Ejercicio resuelto

El movimiento de un objeto sobre un resorte vertical puede describirse mediante la función coseno modificada. Una masa suspendida en el resorte está en su punto de equilibrio cuando el resorte está en reposo. Si se comprime el resorte una cierta longitud sobre el punto de equilibrio y se suelta, la masa oscila hacia abajo y hacia arriba del punto de equilibrio. El tiempo que tarda la masa en oscilar desde el punto más alto hasta el punto más bajo y de regreso al punto más alto es su período.

La ecuación y = 3,5 cos describe el desplazamiento vertical

del objeto para cualquier tiempo t, al comprimirse 3,5 cm. Se tiene que k es la constante del resorte y m es la masa del objeto.

a) Si k = 19,6 y m = 1,99 g, ¿cuál es el desplazamiento vertical después de 0,9 segundos y de 1,7 segundos?

b) ¿Cuánto estará el objeto en el punto de equilibrio por primera vez?

De acuerdo con los datos y la ecuación que describe el movimiento.

a) Sustituyamos los valores de los datos.

y = (0,9) = 3,5 cos = –3,33 cm;
y(1,7) = 3,5 cos = 2,04 cm.

b) En el punto de equilibrio, y = 0, 0 = 3,5 cos

= cos^–1(0) = 1,5708, t = = 0,5 s.

Cuando t = 0,5 segundos, el objeto está en el punto de equilibrio.

Solución de problemas cotidianos

Aplicaciones de funciones trigonométricas

1. Las funciones trigonométricas se aplican con frecuencia para simular la variación de temperatura. La siguiente función se usa para tal efecto:

F(t) = 23 + 7 sen (t – 8); 0 ≤ t ≤ 24,

donde F es la temperatura en grados Celsius a t horas después de la medianoche de cierto día.

a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a. m.? ¿Y a las 12 p. m.?
b) ¿A qué hora la temperatura es de 23 °C?
c) ¿Cuál es el gráfico de la función?
d) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima? ¿A qué hora se alcanzaron?

Analiza la información proporcionaday completa.

¿Cuál es la función para simular la variación de temperatura?
_______________________________________________

Responde las preguntas.
a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a. m.?

F(8) = 23 + 7sen (8 – 8);

F(8) = ________________________________________

¿Y a las 12 p. m.?
_______________________________________________
_______________________________________________

A las 8 a. m. la temperatura es de ____________, y a las 12 p. m. es de ____________.
b) ¿A qué hora la temperatura es de 23 °C?
Toma en cuenta el resultado anterior para obtener tu respuesta.
_______________________________________________
c) ¿Cuál es el gráfico de la función?
Utiliza un software como GeoGebra. La gráfica que obtendrás es:
d) ¿Cuál es la temperatura máxima? ¿A qué hora se alcanzó?

_______________________________________________
_______________________________________________

e) ¿Cuál es la temperatura mínima? ¿A qué hora se alcanzó?

_______________________________________________
_______________________________________________

2. En un punto del océano, el cambio vertical en el agua, debido a la acción de las ondas, está dado por

y = 8 cos (t – 6), 0 ≤ t ≤ 72,

donde y está en metros y t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la amplitud, el período y el desplazamiento de la fase? Traza la gráfica de la función.

3. Un adulto que está sentado aspira y expira casi 0,80 litros de aire cada 4 segundos. El volumen de aire V en los pulmones (en litros) y t en segundos, después de la exhalación, está expresado aproximadamente por

V(t) = 0,45 – 0,4cos , 0 ≤ t ≤ 8.

a) ¿Cuál es la cantidad máxima y mínima de aire en los pulmones? Explica cómo obtienes estas cifras.
b) ¿Cuál es el período de la respiración?
c) ¿Cuántas respiraciones se hacen por minuto?
d) Traza la gráfica V(t).

shutterstock, (2017). 550622476

p Variación de temperatura en un día.

π

2

Practica en tu cuaderno

shutterstock, (2017). 606858788

π

6

Olas del mar. p

π

2

shutterstock, (2017). 605688053

Persona inhalando. p

πt

2

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La trigonometría y los electrocardiogramas

¿Qué tiene que ver la matemática con los electrocardiogramas? Pues en realidad, mucho. Los gráficos de las funciones trigonométricas se encuentran presentes en medicina. Un caso particular es el electrocardiograma, procedimiento de diagnóstico médico con el que se obtiene un registro gráfico de la actividad eléctrica del corazón en función del tiempo. En un electrocardiograma se estudian las ondas mecánicas periódicas, aparecen funciones trigonométricas como el seno y el coseno. En este caso, el período es la longitud de la onda y la amplitud es la intensidad de la onda.

Para el estudio y análisis del electrocardiograma, se aplican funciones trigonométricas como, por ejemplo, las series de Fourier, que usan como base las funciones seno y coseno.

Adaptado de: https://prezi.com/lszoi5vfkyir/funciones-trig-en-un-ecg/;http://danielwend.blogspot.com/

▲  Electrocardiograma gráfico donde se registran los movimientos del corazón.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Médico con especialidad en Cardiología

Las escuelas de Medicina forman médicos líderes en el campo de la salud, en cualquier escenario, con habilidades y destrezas en promoción de salud, prevención y tratamiento de enfermedades, con el fin de generar una mejor calidad de vida en las personas.

Durante los primeros años de formación, el estudiante de Medicina debe tomar asignaturas básicas, relacionadas con el campo de la matemática. Entre ellas se encuentran:

- Matemáticas en Ciencias de la Salud
- Economía y estadística.
- Informática

Una cardióloga o cardiólogo se encarga del estudio del corazón y de los problemas circulatorios referentes a él. Para optar por esta especialidad, se debe tener el título de médico general, y cursar al menos seis semestres en una de las universidades que acrediten esta especialidad.

El especialista en Cardiología egresado del programa puede desempeñarse en:

- Atención directa del paciente adulto con factores de riesgo cardiovascular, hospitalización de cardiología, servicios de urgencias, cuidados intensivos, consulta externa, entre otras áreas.

Adaptado de: http://www.javeriana.edu.co/especializacion-cardiologia

▲  Médico especialista en Cardiología.

TIC

TIC

Uso de GeoGebra para representar funciones trigonométricas

1) Vamos a graficar paso a paso la función y = 2cos(3x + π) – 1.

a) Vamos a graficar la función y = cos(x), y sobre este mismo gráfico, la función con amplitud 2, y = 2cos(x).

b) Graficamos la función y =2cos(3x + π), con amplitud 2, período 2π/3 y desfase –π/3.

c) Graficamos la función y =2cos(3x + π) – 1, con amplitud 2, período 2π/3, desfase –π/3 y desplazamiento vertical –1.

2) Vamos a realizar, en un solo plano, la gráfica de la función

Practica la representación gráfica de estas funcionestrigonométricas en GeoGebra

a) y = 3sen(x + π) + 1,5.

b) y = –cos(2x) + 2.

c) y = –0,5 tan(x – π/2).

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Las mareas en los océanos

Recursos

- Sala de computación con suficientes computadoras para cada estudiante
- Software libre GeoGebra, instalado en las computadoras que se van a utilizar

Justificación

En los océanos, se observan fenómenos naturales denominados mareas, que pueden ser altas o bajas. La marea sube durante seis horas (marea alta) y desciende durante seis horas siguientes (marea baja). Este fenómeno se repite aproximadamente dos veces al día.

Objetivos

- Analizar el comportamiento de las mareas mediante el análisis de la información acerca de la altura del agua sobre el nivel del mar. Graficar los datos y determinar si existe una función cíclica.

Actividades

- Formen grupos de 2 o 3 personas.
- Analicen la siguiente información:

De la marea alta
En la primera hora, el nivel de agua sube 1/12 de su altura total.
En segunda hora, el nivel de agua sube 2/12 de su altura total.
En la tercera hora, el nivel de agua sube 3/12 de su altura total.
En la cuarta hora, el nivel de agua sube 3/12 de su altura total.
En la quinta hora, el nivel de agua sube 2/12 de su altura total.
En la sexta hora, el nivel de agua sube 1/12 de su altura total.

De la marea baja
En la primera hora, el agua desciende 1/12 de su altura total.
En segunda hora, el agua desciende 2/12 de su altura total.
En la tercera hora, el agua desciende 3/12 de su altura total.
En la cuarta hora, el agua desciende 3/12 de su altura total.
En la quinta hora, el agua desciende 2/12 de su altura total.
En la sexta hora, el agua desciende 1/12 de su altura total.

Se puede decir que la altura cero es aquella a la que está el agua en la marea baja, y que la marea alta alcanza 6 m de altura.

- Llenen la tabla con la altura de las aguas sobre el nivel de lo que se considera como marea baja.
- Grafiquen los datos obtenidos.
- Definan la gráfica para un día completo de 24 horas de marea.
- Determinen la amplitud y el período lo de la gráfica obtenida.

▲ Cambio de período del nivel del mar o de las mareas.

Horas después de la marea baja | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12
Altura del agua (m) | 0 | 0,5 | 1,5 |  |  |  | 6 |  |  |  |  |  |

Conclusiones

Existen situaciones reales en las que se aplican los gráficos de las funciones trigonométricas. Una de ellas es el estudio de las mareas.

Expongan los resultados que obtuvieron con este proyecto y expliquen cómo se sintieron al realizarlo. Consulten o cambien los datos para determinar si se obtienen funciones cíclicas.

Proyecto adaptado de: http://fractus.uson.mx/CV/courses/PM/document/Materiales_del_Curso/MaterialesSeccion8.pdf

En síntesis

En síntesis