Title: Unidad 1
Course: Matemáticas Plus + 2 BGU > Section: LIBRO DIGITAL

Sistemas de ecuaciones lineales y probabilidad

Matemática y megaconstrucciones: Coca Codo Sinclair

Entre las provincias de Napo y Sucumbíos se encuentra el proyecto más importante de nuestro país, Coca Codo Sinclair, la represa hidroeléctrica más grande en la historia del Ecuador. El caudal del río Coca provee a la represa 293 m^3 por segundo de caudal medio anual, casi el doble de la corriente medio anual del río Paute. Dicho caudal será aprovechado en su totalidad para ser transformado en energía eléctrica.

La energía generada anualmente será de 8 600 GW/h, suficiente para cubrir el 36 % de la demanda de todo el país. Adicionalmente, el Estado ahorrará cerca de 2,5 millones de dólares diarios, porque ya no compraremos energía a los países vecinos ni se importará diésel para las plantas térmicas.

Adaptado de: https://www.youtube.com/watch?v=cSW2IAIG_G0

Bloques curriculares
Álgebra y funciones

Estadística y probabilidad

  Objetivos

- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿A qué hace referencia la fotografía de esta sección?
- Consulta con tus padres, ¿qué sucedía con la energía eléctrica en época de sequía?
- ¿Cuál era el caudal medio anual del río Paute?
- En un mes, ¿cuál es el ahorro del Estado con la puesta en marcha de esta represa?
- ¿Cómo interviene la matemática en esta megaconstrucción?

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

DCCD: M.5.1.10. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas (infinitas soluciones), utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.

● Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

Saberes previos

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué tipo de soluciones puede tener un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas?

Se designa con ℝ^3 al producto cartesiano ℝ × ℝ × ℝ, esto es, ℝ^3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ}. Los elementos de ℝ^3 son ternas ordenadas. Si (x, y, z) ∈ ℝ, x ∈ ℝ se denomina primera componente o abscisa, y ∈ ℝ se denomina segundo componente u ordenada, z se llama tercera componente.

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (x, y, z) ∈ ℝ^3 se define por el siguiente conjunto de ecuaciones:

donde a_i, b_i, c_i ∈ ℝ para i = 1, 2, 3 se denominan coeficientes de x, y, z, respectivamente, y d_i ∈ ℝ para i = 1, 2, 3 son llamados términos independientes.

Recuerda que...

ℝ^2 = ℝ × ℝ = {(x, y) | x, y ∈ ℝ}.

Los métodos analíticos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son:

a) Sustitución.

b) Eliminación gaussiana.

Denotamos con S al conjunto solución. Es claro que S ⊂ ℝ^3. Si existe al menos una terna (x̂, ŷ, ẑ​) ∈ ℝ^3 para la solución del sistema de ecuaciones lineales, escribiremos ( x̂, ŷ, ẑ​) ∈ S. En el caso contrario, escribiremos S = Ø y diremos que el sistema de ecuaciones no tiene solución.

Encontramos tres clases o grupos de sistemas de ecuaciones lineales. La primera clase está constituida por sistemas de ecuaciones lineales que posee una única solución (x̂, ŷ, ẑ​) ∈ ℝ^3, en cuyo caso S = {(x̂, ŷ, ẑ​)}. Los sistemas de ecuaciones lineales de este grupo se conocen con el nombre de sistemas consistentes.

El segundo grupo de sistemas de ecuaciones lineales es el que consiste en todos aquellos que poseen una infinidad de soluciones y se denominan sistemas sobredeterminados.

La tercera clase de sistemas de ecuaciones lineales está formada por aquellas que no tienen solución. Estos sistemas se denominan inconsistentes.

Método de resolución por sustitución

Explicaremos este método en los siguientes ejemplos.

Ejercicio resuelto

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales definido por (x, y, z) ∈ ℝ^3, y

En el método de sustitución se procede de la siguiente forma: de la primera ecuación obtenemos

Reemplacemos x en la segunda y tercera ecuaciones del último sistema, lo que da lugar al par de ecuaciones siguiente:

de las que, luego de realizar algunas simplificaciones, se obtiene

De la primera ecuación del sistema de ecuaciones precedente obtenemos y:

Reemplacemos y en la segunda ecuación. Tenemos

de donde z = –1.

Calculemos x e y. Como y = z, y, z = –1, se sigue que

Puesto que x = (5 – y + z) con y = 2, z = –1, se obtiene

La solución del sistema de ecuaciones propuesto es (1, 2, –1).

Escribiremos S = {(1, 2, –1)} para referirnos al conjunto solución del sistema de ecuaciones propuesto.

Como se dijo anteriormente, en el método de sustitución se tienen varias opciones para la resolución del sistema de ecuaciones lineales.

Recuerda que...

En el ejemplo resuelto 1, el reemplazo de x de la primera ecuación en la segunda y tercera ecuaciones dio lugar al sistema de dos ecuaciones lineales con las incógnitas y, z. A este sistema lo resolvemos por el método de sustitución.

El método de sustitución es muy flexible en el sentido siguiente: la incógnita x fue elegida de la primera ecuación; esta misma incógnita se pudo obtener de la segunda o tercera ecuación y se reemplazó en las restantes, lo que dio lugar a un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas

(x, z) ∈ ℝ^2.

Ejercicio resuelto

Veamos otra forma de encontrar la solución. Resolvemos el mismo sistema de ecuaciones lineales propuesto, pero esta vez seleccionamos la incógnita y, a la que obtenemos de la tercera ecuación.

Tenemos y = x – z y reemplazamos en la primera y segunda ecuación. Obtenemos:

de donde:

De la ecuación 3x = 3 obtenemos x = 1. De la primera ecuación se obtiene z = (3x 1 – 5), con lo que z = ^ (3 × 1 – 5) = –1.

Puesto que y = x – z, entonces y = 1 – (–1) = 2.

Así, la solución es (1, 2, –1), que es exactamente la misma que ya obtuvimos.

Recuerda que...

Al ser el método de sustitución muy flexible, también se pudo haber seleccionado la incógnita z de cualquiera de las tres ecuaciones. Al reemplazar ese resultado en las otras dos ecuaciones restantes, se obtiene un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

(x, y) ∈ ℝ^2.

Ejercicio resuelto

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales definido por: (x, y, z) ∈ ℝ^3, y

Apliquemos el método de sustitución.

De la tercera ecuación obtenemos y = 3x + 2z – 4. Reemplacemos en la segunda ecuación. Obtenemos

–2x + (–4 + 3x + 2z) – z = 0

y, luego de simplificar, resulta

x + z = 4,

que es exactamente la primera ecuación.

Como se puede observar, este sistema es sobredeterminado, esto es, admite una infinidad de soluciones.

El par de ecuaciones se reduce a una sola ecuación x + z = 4, de donde

z = 4 – x,        x ∈ ℝ.

Asignando un valor de x ∈ ℝ, podemos calcular z y, en consecuencia, el valor de y. Puesto que y = –4 + 3x + 2z, se sigue que

y = –4 + 3x + 2(4 – x) = 4 + x ,         x ∈ ℝ.

Así, las soluciones del sistema de ecuaciones propuesto tienen la forma

El conjunto solución S se expresa como:

S = {(x, 4 + x, 4 – x) | x ∈ ℝ}.

Para x = 0, una solución es (0, 4, 4). Para x = –2, otra solución es (–2, 2, 6). Puede comprobarse inmediatamente que (0, 4, 4) es solución del sistema propuesto.

Análogamente, (–2, 2, 6) es otra solución. Escribimos (0, 4, 4), (–2, 2, 6) ∈ S.

Este es un ejemplo de un sistema de ecuaciones que admite una infinidad de soluciones y, por lo tanto, pertenece a la clase de sistemas de ecuaciones sobredeterminado.

Conexiones con las TIC

Para reforzar y ampliar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres incógnitas, puedes mirar el siguiente video:

www.mayedu.ec/matbu2/p12

Ejercicio resuelto

Veamos un ejemplo de sistema inconsistente de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Apliquemos el método de sustitución. De la primera ecuación obtenemos z = (6 – 2x – y). Al reemplazar z en las dos restantes, obtenemos

que, luego de algunas simplificaciones, queda como

Si en el sistema de ecuaciones precedente la primera ecuación se multiplica por ^ _y la segunda se multiplica por – _, se deduce el siguiente sistema:

Si de la primera ecuación se obtiene x = y – 4 y se reemplaza en la segunda ecuación, se obtiene

y – 4 – y = 0,

de donde –4 = 0, lo que es un absurdo. El sistema de ecuaciones propuesto no tiene solución.

En este caso decimos que el conjunto solución S es vacío y escribimos S = Ø.

Interdisciplinariedad

En la actualidad, vivimos una revolución tecnológica acelerada, en la que programas computacionales resuelven grandes sistemas de ecuaciones con igual número de incógnitas en pocos minutos. Así, por ejemplo, para el análisis de los esfuerzos de las estructuras de acero de un rascacielos de cien pisos de altura, fue necesario resolver un sistema de 1 500 ecuaciones simultáneas que, gracias a la tecnología, fueron resueltas en 15 minutos.

▲ Torre Oriental Pearl y el Centro Financiero de Shanghai.

Método de eliminación gaussiana

DCCD: M.5.1.10. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas (infinitas soluciones), utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.

● Método de eliminación gaussiana

Saberes previos

¿Qué es un sistema lineal de ecuaciones diagonales?

Desequilibrio cognitivo

En un sistema de ecuaciones lineales diagonal, ¿qué condiciones deben cumplir los coeficientes de la diagonal para que la solución del sistema sea única?

Consta de tres etapas. Las dos primeras que conducen a transformar el sistema de ecuaciones en uno triangular superior; y la tercera etapa que consiste en resolver el sistema de ecuaciones triangular superior.

Ejercicio resuelto

Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

(x, y, z) ∈ ℝ^3 |

Primera etapa. Mantenemos fija la primera ecuación. Se trata de eliminar la incógnita x de la segunda y tercera ecuaciones.

Eliminemos x de la segunda ecuación. Para el efecto, multiplicamos por k = –2 (coeficiente de x de la segunda ecuación, dividido para el coeficiente de x de la primera ecuación cambiado de signo) a la primera ecuación, y le sumamos el resultado a la segunda ecuación. Obtenemos

Eliminemos x de la tercera ecuación. Para ello, multiplicamos por k = –3 (coeficiente de x de la tercera ecuación, dividido para el coeficiente de x de la primera ecuación cambiado de signo) a la primera ecuación, y le sumamos el resultado a la tercera ecuación. Se obtiene

Segunda etapa. Mantenemos fijas la primera y segunda ecuaciones, y eliminamos y en la tercera ecuación. Multiplicamos por a la segunda ecuación, y el resultado se suma a la tercera. Obtenemos

Este es un sistema de ecuaciones triangular superior. |

Tercera etapa. Resolvemos el sistema de ecuaciones triangular superior.

Comenzamos con la tercera ecuación. Obtenemos z:

De la segunda ecuación obtenemos y:

y de la primera ecuación obtenemos

x = 7 – 2y – 3z = 7 – 2x(–2) – 3 × 3 = 2.

La solución es x = 2, y = –2, z = 3, que se escribe (2, –2, 3).

Recuerda que...

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas más simples de resolver son los sistemas diagonales

los triangulares superiores

y los triangulares inferiores

donde a_i, b_i, c_i ∈ ℝ parai = 1, 2, 3, no todos nulos,d_i ∈ ℝ para i = 1, 2, 3, dondex, y, z ∈ ℝ son las incógnitas del sistema que queremosobtener. A los números realesa_1, b_2, c_3 que figuran en la diagonal de cada uno de los sistemas precedentes se los denomina elementos o coeficientes de la diagonal del sistema de ecuaciones lineales.

Ejercicio resuelto

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, donde (x, y, z) ∈ ℝ^3 son las incógnitas

Apliquemos el método de eliminación gaussiana. Mantengamos fija a la primera ecuación, y procedamos a la eliminación de la incógnita x en la segunda y tercera ecuaciones. Multipliquemos a la primera ecuación por k = ; sumamos el resultado a la segunda ecuación.

Obtenemos

Sea k_1 =

Multiplicamos la primera ecuación por k_1, y sumamos el resultado a la tercera ecuación. Tenemos

Para obtener un sistema de ecuaciones triangular superior, mantenemos fijas la primera y segunda ecuaciones del sistema precedente; eliminamos la incógnita y de la tercera ecuación. Sea (k_2 se obtiene dividiendo el coeficiente de y de la tercera ecuación para el coeficiente de y de la segunda ecuación, cambiado de signo).  Multiplicamos a la segunda ecuación por k_2 y sumamos el resultado a la tercera. Resulta

con lo que hemos obtenido un sistema de ecuaciones triangular superior. Determinemos su solución. De la tercera ecuación se obtiene

z = 1, y = (1 – z) = _ (1 – 1) = 0.

De la primera ecuación se deduce x: x = (–2 – y) = ^ _ (–2 – 0) = –1.

La solución del sistema de ecuaciones lineales propuesto es (–1, 0, 1).

Recuerda que...

En el caso de un sistema de ecuaciones lineales diagonal, la solución es única si y solo si los coeficientes de la diagonal del sistema son no nulos, es decir, a_1 ≠ 0, b_2 ≠ 0, c_3 ≠ 0, en cuyo caso la solución es

que expresamos como

Los sistemas de ecuaciones lineales triangulares superiores e inferiores tienen una única solución si y solo si los elementos de la diagonal del sistema son no nulos, esto es,

a_1 ≠ 0, b_2 ≠ 0, c_3 ≠ 0.

La idea fundamental
en el método de eliminación gaussiana es transformar el sistema de ecuaciones lineales dado en un sistema de ecuaciones lineales triangular superior que, como hemos visto, es el más simple de resolver.

Sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas

DCCD: M.5.1.11. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones), de manera analítica, utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.

● Sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas

Saberes previos

¿Cuántas soluciones tiene un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas?

Desequilibrio cognitivo

¿Puede un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas tener solución única? Justifica tu respuesta.

Consideramos sistemas de ecuaciones lineales de la forma:

donde a_i, b_i, c_i, d_i ∈ ℝ, | a_i | + | b_i | + | c_i | > 0, i = 1, 2.

Resolver el sistema de ecuaciones precedente significa hallar todas las ternas (x, y, z) ∈ ℝ^3 que satisfacen las dos ecuaciones. Se designa con S al conjunto de todas las soluciones de tal sistema. Esto es,

Este tipo de ecuaciones se caracterizan por tener una infinidad de soluciones, o ninguna solución.

Ejercicio resuelto

Considera el sistema de ecuaciones: (x, y, z) ∈ ℝ^3, tal que

Primeramente, el sistema de ecuaciones propuesto es lineal con tres incógnitas x, y, z ∈ ℝ. Denotamos con S al conjunto solución. Esto es,

Determinemos este conjunto S. De la primera ecuación, obtenemos z = –1 – 2x + y. Reemplazamos en la segunda ecuación

x + 3y – 2(–1 – 2x + y) = 2,

de donde 5x + y = 0, y de esta ecuación, y = –5x. Reemplazamos y en la primera ecuación. Obtenemos

2x – (–5x) + z = –1, de donde z = –1 – 7x.

De la definición del conjunto S se tienen los resultados siguientes:

Reemplazando las soluciones y, z en x̂ se tiene

x̂ = (x, –5x, –1 – 7x) ∈ ℝ^3.

Así, el conjunto solución S queda determinado como

S = {(x, –5x, –1 –7x) | x ∈ ℝ}.

Recuerda que...

En temas de años anteriores se consideró la ecuación lineal (x, y) ∈ ℝ^2 tal que ax + by = c, donde a, b, c ∈ ℝ fijos y |a| + |b| > 0. El conjunto solución S está definido como

S = {(x, y) ∈ ℝ^2 | ax + by = c}.

Esta es una ecuación lineal que tiene dos incógnitas. Como se vio, el conjunto S representa una recta.

Ejercicio resuelto

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales (x, y, z) ∈ ℝ^3 tal que

De la primera ecuación obtenemos z = (2x – 3y).

Reemplazando en la segunda ecuación, resulta

y de esta última ecuación se obtiene 0 = 4, lo que es un absurdo. Este sistema de ecuaciones no tiene solución. Luego, S = Ø.

Recuerda que...

En el ejercicio resuelto anterior, es importante hacer notar que las variables y y z se han puesto en función de x y nuestro vector solución queda representado en términos de x ∈ ℝ. Esta es una alternativa de solución.

Otra alternativa es expresar las incógnitas x, y en términos de z.

Una tercera alternativa es expresar x, z en términos de y. Los conjuntos resultantes son iguales.

Ejercicio resuelto

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales (x, y, z) ∈ ℝ^3 tal que

De la primera ecuación se obtiene z = _(–5x + 3y + 5). El reemplazo en la segunda ecuación da lugar a

y de esta última se obtiene . Esto significa que la segunda ecuación es un múltiplo escalar de la primera. Multipliquemos a la segunda ecuación por –10. Tenemos

–5x + 3y – 2z = –5,

que es exactamente la primera ecuación. Luego, el par de ecuaciones dado se reduce a la sola ecuación –5x + 3y – 2z = –5. Así,

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^3 | –5x + 3y – 2z = –5}.

De la definición del conjunto S tenemos la siguiente equivalencia:

Luego,

con lo que el conjunto solución S se escribe como

Si x = y = 1, una solución es x̂ = . Si x = –1, y = 2, otra solución es x̂ = (–1, 2, 8).

Sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas

DCCD: M.5.1.9. Resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones), utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.

● Sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas

Saberes previos

¿Qué forma tienen los sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas? Escribe un ejemplo.

Desequilibrio cognitivo

¿Puede un sistema de este tipo tener infinitas soluciones?

Sean a_i, b_i, c_i ∈ ℝ con i = 1, 2, 3. Los sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen la forma siguiente:

Se supone que | a_i_ | + | b_i_ | > 0 para i = 1, 2, 3.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, se procede así: elige un par de ecuaciones, digamos las dos primeras:

aplica cualquier método de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; si el sistema tiene una solución (x̂, ŷ) ∈ ℝ^2, esta debe verificar la tercera ecuación, es decir que a_3x̂ + b_3ŷ = c_3. Así, (x̂, ŷ) ∈ ℝ^2 es solución del sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con dos incógnitas.

Si (x̂, ŷ) ∈ ℝ​^2 no satisface la tercera ecuación, esto es a_3x̂ + b_3yˆ ≠ c_3, entonces (x̂, ŷ) ∈ ℝ^2 no es solución del sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas y se dirá que es un sistema inconsistente. Por ello, escribiremos S = Ø.

Ejercicio resuelto

Considera el sistema de ecuaciones (x, y) ∈ ℝ^2, tal que

y sea S el conjunto solución. Para resolver este sistema, procedemos primeramente a encontrar, si existe, una solución de la primera y segunda ecuaciones. Apliquemos el método de igualación.

De la primera ecuación obtenemos y de la segunda, . Luego, igualando los segundos miembros, resulta

que muestra que el sistema reducido de dos ecuaciones es sobredeterminado. Multipliquemos a la primera ecuación por 15, y a la segunda, por .

Obtenemos:

que se reduce a la sola ecuación 3x + 5y = –15.

Sea = ( x, y) ∈ ℝ^2 una solución.

Como

Verifiquemos si es o no solución del sistema original propuesto.

Para el efecto, comprobamos si ; con y ∈ ℝ satisface la tercera ecuación. Tenemos que

o sea, con y ∈ ℝ, es solución del sistema de ecuaciones propuesto. Consecuentemente, el conjunto solución se escribe como

Este es un ejemplo de sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas que posee infinitas soluciones.

Recuerda que...

Los sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen la siguiente forma:

(x, y) ∈ ℝ^2

tal que

donde a_i, b_i, c_i ∈ ℝ i = 1, 2, 3 son los coeficientes del sistema.

Resolver este sistema de ecuaciones significa hallar, siempre que exista, todos los pares de números reales (x, y) que satisfacen a cada una de las ecuaciones del sistema.

Denotamos con S al conjunto solución.

Recuerda que...

Los sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas se caracterizan, en general, por no tener solución. Cuando no tienen solución, a estos sistemas de ecuaciones lineales se les conoce como sistemas inconsistentes.

Ejercicio resuelto

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Hallemos la solución de este sistema, y denotemos con S al conjunto solución. Procedemos como en el ejemplo anterior.

Primeramente, hallamos una solución de

Para ello, aplicamos el método de sustitución. De la primera ecuación obtenemos y = 3x –2 y, reemplazando en la segunda, obtenemos x – 5(3x –2) = 10, de donde –14x = 0. De esta obtenemos x = 0, con lo que y = 3x – 2 = 3 × 0 – 2 = –2.

Una solución es = (0, –2).

Verifiquemos si esta es la solución del sistema de ecuaciones propuesto. Tenemos

4x + 7y = 4 × 0 + 7 × (–2) = –14. Así, S = {(0, –2)}.

Este es un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas que tiene una solución.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue conocido como el ‘príncipe de las matemáticas’. La anécdota más conocida de su infancia fue a los 7 años, cuando su profesor castigó a toda la clase pidiéndoles sumar los números naturales del 1 al 100. Casi de forma inmediata, Gauss tenía la respuesta correcta: 5050.

▲ Carl Gauss (1777 - 1855).

Métodos de conteo

​

DCCD: M.5.3.11. Aplicar los métodos de conteo (permutaciones, combinaciones), para determinar la probabilidad de eventos simples y, a partir de ellos, la probabilidad de eventos compuestos, en la resolución de problemas.

● Métodos de conteo

Saberes previos

¿Cuáles son los principios de conteo?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo puedes determinar cuántas combinaciones de vestuario puedes hacer si tienes tres pantalones y dos camisas?

Se conocen dos principios básicos de conteo denominados principio de la suma o primer principio de conteo, y principio del producto o segundo principio de conteo. Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. El producto cartesiano se define como:

                                     A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y  ∈ B}.

Para conjuntos finitos, la asociación de cada elemento de A = {a_1, …, a_m} con todos los elementos de B = {b_1, …, b_n} en el conjunto A × B se muestra en la siguiente tabla:

Cada fila se representa como el siguiente diagrama de árbol:
(a_1, b_1) | ... | (a_1, b_n)
 | ⋮ |
(a_m, b_1) | ... | (a_m, b_n)

El número de elementos de A × B es: n (A × B) = m × n = n(A) × n(B), donde n (A) = m y n( B) = n son el número de elementos de A y de B.

Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos cualesquiera. El producto cartesiano A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}. Con este conjunto y con el conjunto C se forma el producto cartesiano (A × B) × C:

(A × B) × C = {(u, v) | u ∈ A × B ∧ v ∈ C}

                    = {((x, y), v) | (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v ∈ C}.

A × B × C = {(x, y, v) | x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ v ∈ C},

se denomina producto cartesiano de los conjuntos A, B, C. Si A, B, C son conjuntos finitos, el número de elementos es

n(A × B × C) = n(A) × n (B) × n(C ).

Recuerda que...

El producto cartesiano A × A se escribe como A^2, esto es, A^2 = {(x, y) | x, y ∈ A}.

El producto cartesianoA × A × A se escribe A^3, que, de acuerdo con lo dicho precedentemente, es

A^3 = {(x, y, v) | x, y, v ∈ A}.

Así, sucesivamente, podemos definir A^4, A^5, ... A^m con m ∈ ℤ^+.

Se designa con n(A) el número de elementos del conjunto A.

n(A) = p, entonces,
n(A^2) = p^2,
n(A^3) = p^3, ...,
n(A^m) = p^m.

Ejercicio resuelto

1. Sea A = {1, 2, 3}, B = {m, n}. Entonces,
A × B = {(1, m), (1, n), (2, m), (2, n), (3, m), (3, n)}.

Este producto cartesiano se muestra en la siguiente tabla:
(1, m) | (1, n)
(2, m) | (2, n)
(3, m) | (3, n)

En el diagrama de árbol, este producto cartesiano se interpreta como el siguiente:

Tenemos n(A × B) = 6. Nota cómo cada elemento del conjunto A se asocia con todos los elementos del conjunto B.

Simbología matemática

Para el primer principio de conteo, se denota:

N ∈ ℤ^+. Esto se refiere al número de pasos de un proceso por desarrollar.

n_j ∈ ℤ^+, j = 1, ..., N

indican el número de formas con las que se puede realizar el paso j, es decir,

n_1 número de formas del paso 1,
n_2 número de formas del paso 1,

y así sucesivamente.

Formulación del primer principio de conteo

Sean N, n_j ∈ Z^+ j = 1, ..., N. Si un proceso se realiza en N pasos sucesivos y el paso 1 se realiza en n_1 formas, el paso 2 se realiza en n_2 formas, y así sucesivamente, hasta el último paso N que se realiza en n_N formas, entonces el número total de formas posibles del proceso es:

n_1 × n_2 × ... × n_N.

Ejercicio resuelto

Don Julio y don Pedro tienen, cada uno, busetas de capacidad de 12, 16 y 20 personas. Un grupo de 10 turistas quiere transportarse de Guayaquil a Salinas. Elaboremos una tabla en la que se muestren todas las alternativas de las que este grupo puede disponer para mencionado viaje.

Designamos con A = {Pedro, Julio}. Tenemos N(A) = 2, y con B = {buseta1, buseta2, buseta3}. Se tiene entonces, N (B) = 3.

Tabla 1

Don Julio | buseta 1 | Don Pedro | buseta 1
 | buseta 2 |  | buseta 2
 | buseta 3 |  | buseta 3

Con don Julio se tienen 3 formas de seleccionar el medio de transporte, al igual que con don Pedro.

El número total es N_T = 6 = 2 × 3 = N(A) × N(B).

Segundo principio de conteo

Sean N ∈ ℤ^+, A_1, ..., A_N conjuntos que satisfacen las condiciones:

i. n(A_i) = n_i, i = 1, ..., N.

ii. A_i ∩ A_j = Ø, si i ≠ j.

Entonces,

Ejercicio resuelto

Se tienen dos dados idénticamente iguales. Se tiran los dos dados y se registran los resultados. Nos interesan varias observaciones del resultado.

i) ¿Cuántos resultados hay, si las caras de un dado están numeradas de 1 a 6?

Ponemos A = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Por el primer principio de conteo, se tienen 36 resultados.

ii) Sea C = {(a, b) ∈ A × B | a + b = 3}. ¿Cuántos elementos tiene este conjunto? Los posibles resultados de a son 1 y 2. Cuando a = 1, b = 2, y cuando a = 2, b = 1.

Entonces, C = {(1, 2), (2, 1)}, o sea, C tiene 2 elementos.

iii) Sea C = {(a, b) ∈ A × B | a + b = 7}. ¿Cuáles son estos elementos? Tenemos

C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.

Se tienen 6 elementos.

iv) ¿Cuántos pares ordenados tienen un 2 o su suma es 6?

Sean M = {(a, b) ∈  A × B | a = 2, o b = 2},
N = {(c, d) ∈  A × B | c + d = 6}. Se tiene

M = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)},
N = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}.

Luego, M tiene 12 elementos, mientras que N tiene 5 elementos, además M ∩ N = {(2,4), (4,2)}, por lo que los conjuntos M y N no satisfacen las condiciones del segundo principio de conteo. Resulta, entonces,

n(M ∪ N) = n(M) + n(N) – n(M ∩ N) = 12 + 5 – 2 = 15.

v)¿Cuántos pares ordenados tienen un 1 o su suma es 9?

Tal como lo hicimos en el literal iv), escribimos

M = {(a, b) ∈ A × B | a = 1, o b = 1}.

M = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)},
N = {(c, d) ∈ A × B | c + d = 9} = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}.

Claramente, M ∩ N = Ø por lo que se aplica el segundo principio de conteo. Tenemos: n(M ∪ N) = n(M) + n(N) = 11 + 4 = 15.

Permutaciones y combinaciones

Considera una colección o conjunto de n objetos a los que los designamos con a_1,…, a_n.

Una combinación de r objetos (1 ≤ r < n) de estos n objetos es cualquier selección de r objetos, sin tomar en cuenta el orden en que se tomen.

Interdisciplinariedad

El método de conteo se utiliza indistintamente en el diario vivir, por ejemplo, cuando una persona quiere comprar un auto y le indican que hay tres colores y que hay un modelo estándar y uno full equipo. En este momento, la persona que va a comprar usa inconscientemente el método de conteo para determinar la posibilidad de elección de su auto.

▲ Persona decidiendo el color de auto.

Recuerda que...

El principio básico o fundamental de conteo puede ser utilizado para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

La permutación hace referencia a las diferentes agrupaciones de elementos de forma que:

- Entran todos los elementos.
- Sí importa el orden.
- No se repiten los elementos.

Lee este ejemplo.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Deben entrar todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

P_8 = 8! = 40 320

▲ Butacas de un cine.

Ejercicios resueltos

Considera el conjunto {Hernán, Marco, Carmen, Lucía}, el que se abreviará simplemente con las siglas H, M, C, L.

1. Una combinación unitaria es H, M, C, L.

2. Una combinación binaria es HM, HC, HL, MC, ML, LC.

Se tienen seis combinaciones. Nota que HM es la misma que MH, HL es idéntica a LH, y así con las demás.

Combinaciones

Dados n objetos y r ∈ ℤ^+ con 1 ≤ r < n, el número de combinaciones que se obtiene se denota con el símbolo que ya fue definido anteriormente como

Ejercicios resueltos

El colegio ABCD (nombre ficticio) tiene 2 paralelos de cada curso de bachillerato. Cada paralelo tiene 20 estudiantes. Para conformar 3 comités de 6 estudiantes, se eligen de cada paralelo 3 estudiantes con las más altas calificaciones. Para calcular el número de formas de conformación de los 3 comités,  se dan alternativas que se describen a continuación.

a) En cada curso se tienen 6 estudiantes. De los 3 cursos, se tiene un total de 18 estudiantes. Por lo tanto, cada comité es la combinación de 6 estudiantes entre 18, así:

Se tienen 18 564 formas de conformación.

b) Siendo 18 564 un número tan grande, las autoridades deciden conformar los comités del modo siguiente: elegir de cada curso 2 estudiantes para cada comité. Entonces, se debe elegir 2 entre 6:

De los 3 cursos se requiere 15 × 3 = 45 formas para cada comité. Luego, de los 3 comités se tiene: 45 × 3 = 135 formas.

c) Como en el caso anterior, el número también es grande, pero muy inferior al número del caso a). Las autoridades deciden elegir 1 estudiante de cada paralelo para conformar un comité. Se tiene:

Los tres comités pueden ser conformados de 6 × 3 = 18 formas.

Recuerda que...

Con frecuencia, se asignan los nombres como combinaciones monarias o unitarias, binarias, terciarias, y así sucesivamente.

Una combinación unitaria se designa simplemente como

a_1, … a_n.

Una combinación binaria se designa como

a_1a_2, a_1a_3, …, a_1a_n, a_2a_3, …, a_2a_n,_ …

Una combinación terciaria se designa como

a_1a_2a_3, a_1a_2a_4, …, a_1a_2a_n,_ …,

Las combinaciones son todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los elementos, de forma que:

a) no entran todos los elementos;
b) no importa el orden;
c) no se repiten los elementos.

Simbología matemática

n!, r! son los factoriales de n y r respectivamente, es el número de combinaciones al que se designa también con C(n, r).

n: número de elementos.

r: número de elementos 1 ≤ r ≤ n.

Recuerda que...

La permutación de r elementos de un conjunto de   n elementos es:

A P(n, 1) se le llama variación unitaria; a P(n, 2), variación binaria, y así sucesivamente.

Probabilidad condicional

DCCD: M.5.3.13. Reconocer experimentos en los que se requiere utilizar la probabilidad condicionada mediante el análisis de la dependencia de los eventos involucrados, y calcular la probabilidad de un evento sujeto a varias condiciones, aplicando el teorema de Bayes en la resolución de problemas.

● Probabilidad condicional

Saberes previos

¿Qué idea surge en tu mente el momento que escuchas el término ‘probabilidad condicionada’?

¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?

Este es uno de los tópicos más importantes de la teoría de probabilidad. La idea principal es la siguiente.

Considera un evento S y un suceso A \( \in \) S del que se tiene una información suplementaria. La probabilidad de este evento con la información suplementaria modifica el valor de la probabilidad del evento.

Analicemos el siguiente ejemplo. En nuestro tradicional juego del cuarenta, se dispone de 40 cartas separadas en 3 grupos: as (4 cartas), figuras J, Q, K (12 cartas), y números 2, 3, 4, 5, 6, 7 (24 cartas). Se excluyen en este juego las cartas de números 8, 9, 10 (12 en total). | ▲ Barajas

Si se conoce que la carta seleccionada es una figura, la probabilidad de sacar una J es y no . Nota que el evento A es sacar una carta J, sabiendo que es una figura, o sea, el evento B (existen 12 figuras en el evento B).

Por otro lado, en esta clase de cálculos se deben tener presentes propiedades de las operaciones con sucesos, es decir, operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia) y propiedades básicas.

También se debe tomar en cuenta que la función de probabilidad es una función aditiva de conjunto. En consecuencia, si C_1, C_2 son dos eventos de S, se verifica:

p(C_1 ∪ C_2) = p(C_1) + p(C_2) – p(C_1 ∩ C_2).

Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si y solo si p(C_1 ∩ C_2) = 0. De esta igualdad, se obtiene

 p(C_1 ∪ C_2) = p(C_1) + p(C_2).

Definición. Sea S un espacio muestral, y A, B dos eventos de S. La probabilidad condicional del evento A dado el evento B con probabilidad p(B) > 0 está definida como:

Con el ejemplo del juego del cuarenta: A ∩ B = A,

La probabilidad condicional no está definida en el caso p(B) = 0.

Esto significa que el evento B jamás ocurre, con lo que no tiene sentido hablar acerca de la probabilidad de A conociendo p(B) = 0.

Recuerda que...

Las operaciones con sucesos

Sea E un conjunto referencial, las partes de E se denotan P(E). Las operaciones habituales con conjuntos que han sido tratadas son: unión, intersección, diferencia, complemento, y diferencia simétrica.

Así. Sean A, B ∈  P(E), se han definido los conjuntos
A ∪ B, A ∩ B, A \ B,
A^C, A ∆ B.

Sea S un espacio muestral, las operaciones con sucesos son las operaciones conjuntistas precedentes. Así, sea A, B ∈ S,

i) A ∪ B es un suceso si y solo si A o B ocurren.
ii) A ∩ B es un suceso si y solo si A y B ocurren.
iii) A \ B es un suceso si y solo si el suceso A ocurre pero no B.
iv) A^C es un suceso que ocurre si y solo si el suceso A no ocurre.

De la definición de probabilidad condicional, se deduce inmediatamente que:

i) Si los eventos A, B son disjuntos, esto es, A ∩ B = Ø, entonces p(Ø) = 0, y

ii) De manera similar, si B ⊂ A y p(B) > 0, entonces A ∩ B = B y en consecuencia,

iii) Si A ⊂ B y p(B) > 0, entonces A ∩ B = A, p(A) ≤ p(B), luego,

Con base en la probabilidad condicional, se definen los eventos dependientes e independientes y las probabilidades de esta clase de eventos.

Definición. Sean S un espacio muestral, y A, B dos eventos de S.

i) Se dice que estos dos eventos son independientes si y solo si se verifica

p(B | A) = p(B).

La probabilidad de los eventos independientes A, B está relacionada como:

p(A ∩ B) = p(A) × p(B).

ii)  La probabilidad de los eventos dependientes A, B está relacionada como:

p(A ∩ B) = p(A) × p(B | A).

La negación de dos eventos independientes hace que los eventos sean claramente dependientes.

Nota que dos eventos A, B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no altera la probabilidad de que el otro evento suceda. Se tiene:

p(A) = p(A | B) y p(B) = p(B | A).

Por ejemplo, si se lanzan dos monedas de un dólar, el resultado de obtener una cara o una cruz de una de ellas no se ve afectada por el resultado de cara o cruz de la otra moneda.

Recuerda que...

La regla de Laplace para el cálculo de probabilidades establece que la probabilidad de un suceso cualquiera A es el cociente entre el número de casos favorables de A sobre el número de casos posibles.

Las propiedades de la probabilidad son:

0 ≤ P(A) ≤ 1. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.

P(E) = 1, P(Ø) = 0. La probabilidad del suceso seguro es 1, y la del suceso imposible es 0.

▲ Tirar monedas al aire.

Ejercicio resuelto

Una caja contiene 20 manzanas y se sabe que 5 no están en buen estado. Se extrae una manzana. La probabilidad de que la manzana no esté en buen estado es , mientras que la probabilidad de que sea buena es. Se consideran dos casos: sin reposición y con reposición.

▲ Caja de manzanas.

i) Caso sin reposición

Si la manzana no es devuelta a la caja, y se toma una segunda manzana, la probabilidad de que la manzana no esté en buen estado depende de la primera manzana elegida. Si la primera fue defectuosa, la probabilidad de que la segunda manzana no esté en buen estado es . Si la primera manzana fue buena, la probabilidad de que la segunda manzana esté en mal estado es . Se designa con A el evento "la manzana tomada está en mal estado", B es el evento "la segunda manzana tomada está en mal estado".

Entonces, p(A) = ,  p(B | A) = . En este caso, quedan 3 manzanas en mal estado, la probabilidad de que las 3 manzanas estén en mal estado es:

Este proceso continúa con la extracción de una tercera manzana. Se designa con C el evento "la tercera manzana tomada está en mal estado", y se realiza un análisis similar al precedente.

ii) Caso con reposición

Si la manzana es devuelta a la caja, y se toma una segunda manzana, la probabilidad de que la manzana no esté en buen estado es independiente de la primera manzana elegida. Si la primera fue defectuosa, la probabilidad de que la segunda manzana no esté en buen estado es .

Si la primera manzana fue buena, la probabilidad de que la segunda manzana esté en mal estado es . Se designa con A el evento "la manzana tomada está en mal estado". B es el evento "la segunda manzana tomada está en mal estado".

Entonces,  p(A) = ,  p(B | A) = . En este caso, quedan 4 manzanas en mal estado. La probabilidad de que las 4 manzanas estén en mal estado es:

Este proceso continúa con la extracción de una tercera manzana. Se designa con C el evento "la tercera manzana tomada está en mal estado", y se realiza un análisis similar al precedente.

Con los antecedentes, la probabilidad condicional puede escribirse como

Recuerda que...

La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

La probabilidad de un suceso complementario es:

P(A^C) = 1 – P(A).

La probabilidad de la unión es:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Sean S un espacio muestral, y A; B dos sucesos. Se dice que A; B son sucesos mutuamente excluyentes si y solo si

A ∩ B = Ø.

Ejercicio resuelto

En un estudio sociológico sobre el consumo de tabaco en hombres y mujeres, se obtuvo el siguiente modelo probabilístico. Se designa al hombre o mujer que fuma con F; y si no fuman, con Nf.

Hombre (H) | Mujer (M) | Total
F | Nf
F | 0,35 | 0,20 | 0,55
Nf | 0,23 | 0,22 | 0,45
Total | 0,58 | 0,42 | 1,00

a) ¿Cuál es la probabilidad condicional de que un hombre fume, dado que una mujer fuma?

En la tabla busca la probabilidad de: p(HF ∩ MF) = 0,35.

Luego, la probabilidad de que sea mujer y fume.

                                   p(MF) = 0,35 + 0,23 = 0,58.

Determinamos la probabilidad condicional de que un hombre fume, dado que una mujer fuma.

La probabilidad de que un hombre fume dado que una mujer fuma es del 60 %.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer fume, dado que el hombre no fuma?

En la tabla busca la probabilidad de: p(MF ∩ HNf) = 0,23.

Luego, la probabilidad de que sea hombre y no fume es:

p(HNf) = 0,23 + 0,22 = 0,45.

Determinamos la probabilidad condicional de que una mujer fume, dado que el hombre no fuma.

La probabilidad de que una mujer fume, dado que el hombre no fuma, es del 51 %.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) introdujo la primera definición explícita de probabilidad, y desarrolló la ley de distribución normal como modelo para describir la variabilidad de los errores de medida. En esta época también hubo contribuciones importantes de matemáticos como Legendre (1752-1833) y Gauss (1777-1855) para tratar de realizar predicciones del comportamiento de ciertos fenómenos.

El matemático ruso Andréi Kolmogórov dio un aporte significativo a la teoría de probabilidades con la axiomatización de esta teoría.

▲ Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827).

Probabilidad total y teorema de Bayes

DCCD: M.5.3.13. Reconocer experimentos en los que se requiere utilizar la probabilidad condicionada mediante el análisis de la dependencia de los eventos involucrados, y calcular la probabilidad de un evento sujeto a varias condiciones, aplicando el teorema de Bayes en la resolución de problemas.

● Probabilidad total y teorema de Bayes

Saberes previos

¿Quién fue Thomas Bayes?

Desequilibrio cognitivo

En la vida diaria, ¿qué evento es condicionado por otro? Explica con un ejemplo.

Probabilidad total

Definición. La probabilidad de un evento A, que puede ocurrir si los eventos B_1, B_2, ... , B_n son mutuamente excluyentes, tales que su unión es el espacio muestral (B_1 ∪ B_2 ∪ ... ∪ B_n = S), está dada por:

Ejercicio resuelto

En una sala hay 2 bolsas con pelotas de ping-pong; una contiene 7 blancas y 2 verdes, y la otra contiene 3 pelotas blancas y 8 verdes. Para extraer las pelotas de las bolsas, lanzamos un dado. Si sale 2 o 4, extraemos una pelota de la primera bolsa; caso contrario, extraemos una pelota de la segunda bolsa.

¿Cuál es la probabilidad de que la pelota de ping-pong extraída sea verde?

Se trata de un experimento compuesto. Como primer paso, hay que elegir la bolsa. Para ello se lanza el dado.

- Si al lanzar el dado sale 2 ó 4, sacamos de la bolsa 1:
B_1 = "elegir la bosa 1", cuya probabilidad es: .
- Si al lanzar el dado sale otro valor que no sea 2 ó 4, sacamos de la
bolsa 2: B_2 = "elegir la bolsa 2", cuya probabilidad es: .

El experimento consiste en sacar una pelota de ping-pong de la bolsa escogida. A = "sacar la pelota verde". Las probabilidades conocidas son:

p(A | B_1) = ; y p(A | B_2) = .

La probabilidad que pide p(A) se representa en un diagrama de árbol.

La probabilidad de A depende de la bolsa de la cual vamos a extraer la pelota.

Para encontrar la probabilidad de A, basta con multiplicar las probabilidades de cada rama que llegue la pelota verde, y luego sumamos los resultados.

Luego, existe el 55,9 % de probabilidades de que la pelota que se extraiga sea de color verde.

▲ Raqueta y pelotas de ping-pon

Recuerda que...

De la expresión para calcular la probabilidad condicionada

se deduce inmediatamente que:

p(A ∩ B) = p(B) · p(A | B).

Teorema de Bayes

Como consecuencia de la definición de probabilidad total y de la probabilidad condicionada, enunciamos el famoso teorema de Bayes.

Supongamos que el evento A puede ocurrir a condición de que aparezca uno de los eventos B_1, B_2, ... , B_n. Si A ya ocurrió, la probabilidad condicional del evento B_i es igual a:

Ejercicio resuelto

En una institución educativa se dictan dos idiomas: inglés y mandarín. El 75 % de los estudiantes optó por la asignatura de inglés y el resto, por mandarín. Además, los estudiantes pueden o no jugar fútbol.

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la clase de inglés y que juegue fútbol?

Sea: I = "clase de inglés" ; M = "clase de mandarín"; F = "fútbol";  F = "otro deporte". Se nos pide p(I | F). Elaboramos el diagrama del árbol.

Por el teorema de Bayes tenemos:

Recuerda que...

Para el cálculo de la probabilidad mediante el teorema de Bayes, se sugiere realizar un diagrama del árbol como el que se presenta a continuación.

Solución de problemas cotidianos

Solución de problemas cotidianos

Principio de conteo. Sistema de numeración decimal y binario

▲ Código binario.

En el sistema decimal, las cifras o dígitos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Las cifras del sistema binario son 0 y 1.

Sea E el conjunto de números expresados hasta con 5 bits:

E = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, …, 11111}.

Este conjunto tiene exactamente 32 números binarios.

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y las megaconstrucciones

¿Qué tiene que ver la matemática con la construcción de una central de datos? Pues, en realidad, mucho.

En Ecuador, la primera megaconstrucción en el sector de las TIC es el Data Center, una plataforma dinámica de gestión y almacenamiento de datos que garantiza el rendimiento, la seguridad y la disponibilidad informática que puede ser usada en el sector público y privado.

Cuando hablamos de informática, es inevitable relacionarla con la matemática, por ejemplo, al combinar los códigos binarios (los cuales contienen las cifras 0 y 1, de tal manera que el ordenador pueda procesar dichos códigos). Otra relación se establece con los algoritmos, los cuales se crean para proteger la información de los ordenadores mediante técnicas de cifrados y códigos.

Adaptado de: http://www.eltelegrafo.com.ec/noticias/economia/8/gobierno inauguro-primera-megaconstruccion-en-el-sector-de-las-tic-del-pais

▲ Data Center. Primera megaconstrucción del sector TIC.

La matemática y las profesiones

Ingeniería informática

La carrera de Ingeniería en informática forma a profesionales capaces de crear, gestionar, implementar, auditar e innovar soluciones tecnológicas de software, infraestructura de TIC, redes y telecomunicaciones en empresas públicas y privadas o emprendimientos.

Para ser un ingeniero o ingeniera en informática, se requiere principalmente que el bachiller haya desarrollado ciertas competencias como:

- Estudio y afinidad por las ciencias exactas, como la matemática, la física y la informática.
- Conocimiento y dominio de la informática, navegación en Internet, búsqueda y procesamiento de la información.

Puedes optar por esta carrera en una de las universidades ecuatorianas reconocidas por el Senescyt.

El ingeniero o la ingeniera en informática estará en capacidad de desenvolverse como:

- Administrador/a de la infraestructura tecnológica en una organización.
- Gerente o responsable de áreas informáticas.
- Analista, diseñador/a y creador/a de software.

Adaptado de: http://www.utpl.edu.ec/sites/default/files/carreras/distancia/tecnica/informatica-distancia.pdf

▲ Ingeniero en Informática.

TIC

TIC

Uso de GeoGebra para representar un plano de la forma ax + by + cz = d

Para graficar planos con GeoGebra, debes tener descargada la versión 5.0.

Antes de empezar la graficación, recuerda que una ecuación con tres variables es un plano.

Solución de un sistema de ecuaciones con tres variablesy tres incógnitas

Vamos a encontrar la solución gráfica del sistema de ecuaciones(x, y, z) ∈ ℝ^3, tal que:

Vamos a representar el plano 2x + y – z = 5.

Usamos el mismo proceso y graficamos la segunda ecuación en el mismo gráfico x + 2y + 2z = 3.

En la imagen se muestran los dos planos que corresponden a las dos primeras ecuaciones del sistema de ecuaciones. Utilizamos la opción Rota la vista gráfica 3D para mirar mejor las imágenes.

Graficamos la tercera ecuación y buscamos el punto donde se cortan los tres planos.

Tarea

- Practica con otros sistemas de ecuaciones de tres incógnitas.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Programas de Internet para graficar en 3D

Recursos

- Sala de computación con suficientes computadoras para cada estudiante
- Software libre GeoGebra instalado en las computadoras que se van a utilizar

Justificación

En la actualidad, la incorporación de las TIC en el proceso de enseñanza-aprendizaje juega un papel muy importante en el desarrollo de las clases y más aún en matemática, donde la variedad de recursos y software libres permite elaborar gráficos en tres dimensiones, rotarlos para analizar sus características y establecer conclusiones.

Objetivos

- Desarrollar una exposición del uso de GeoGebra en 3D, de tal manera que los estudiantes de segundo año de bachillerato, a partir del análisis de datos, manipulación e investigación del software, realicen gráficos en estas dimensiones.

Actividades

- Trabajen en grupos de 2 ó 3 personas.
- Utilicen la herramienta de GeoGebra para graficar sistemas de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres incógnitas.
- Investiguen y utilicen los comandos de pirámide, prisma, cono, cilindro, tetraedro, cubo, entre otros, para que puedan representar estos sólidos en 3D. Cambien los colores y utilicen el comando giro para ver sus características.
- Cada grupo debe elaborar un informe detallado que explique, paso a paso, cómo se logró la construcción de planos y sólidos en GeoGebra. En el caso de sólidos escriban las ecuaciones para calcular el área lateral y el volumen.
- Los archivos generados con cada una de las construcciones deben guardarse en una carpeta.
- Preparen una exposición que comunique lo desarrollado con el programa GeoGebra.
- Establezcan conclusiones y recomendaciones de la actividad realizada.

Conclusiones

Muestren los resultados que alcanzaron al realizar este proyecto. Coevalúen y autoevalúen esta actividad. Por medio de un diálogo, expliquen cómo se sintieron con la ejecución del proyecto.

En síntesis

En síntesis