Title: Unidad 4
Course: Matemáticas Plus + 2 BGU > Section: LIBRO DIGITAL

Derivadas de funciones polinomiales de grado ≤ 4 y de funciones racionales

Dos problemas básicos del cálculo diferencial e integral

El cálculo diferencial surgió de las ideas del matemático francés Pierre Fermat que trató de resolver el problema del cálculo de los valores extremos (máximos y mínimos) de una función. Los esfuerzos realizados por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) son los que permitieron ligar los problemas del cálculo del área bajo una curva y de la tangente a la gráfica de una curva en un punto dado de esta, dando lugar al cálculo diferencial e integral.

En la actualidad, el cálculo diferencial e integral no solo constituye un instrumento de cálculo en las ciencias y la técnica, es también un conjunto de ideas y problemas que han sido objeto de estudio como parte del pensamiento humano. Forman parte del lenguaje con el que muchas leyes y principios se expresan en forma matemática. Son la base para el desarrollo de otras áreas de la matemática, de la física, la química, la biología, las ciencias económicas y sociales, y las distintas ramas de la ingeniería y de la industria.

Tomado de Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral,(Benalcázar, 2017)

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​

  Objetivos

- O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.3. Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.

Observa y contesta

- ¿Qué cálculos matemáticos se requieren para la construcción de una represa?
- ¿Será posible el logro de megaconstrucciones sin cálculos matemáticos específicos como del cálculo diferencial?

Cociente incremental

DCCD: M.5.1.47. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones polinomiales de grado ≤ 4 a partir del cociente incremental.

● Cociente incremental

Saberes previos

¿Cómo explicas qué es una función continua?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué aplicaciones tiene el cálculo del cociente incremental?

Recuerda que...

Los conceptos de límite y continuidad son la base del estudio del cálculo diferencial del que aquí se dan los primeros pasos. Comencemos primeramente observando el significado más próximo al matemático de la palabra “límite”, según el  diccionario de la lengua española. Encontramos, entonces, los siguientes: “término”, “fin”, “extremo”, “confinante”, “ aledaño”, “línea que separa dos terrenos contiguos”, “punto del cual no se puede extender una acción, una influencia, un estado”.

De la palabra “continuo”, encontramos los siguientes significados: “sin interrupción en el tiempo o en el espacio”, “que se hace o se extiende sin interrupción”, “todo compuesto de partes unidas entre sí”, “incesante”.

En cuanto  a la palabra “continuidad”, se tiene el siguiente significado: “calidad o condición de las funciones o transformaciones continuas”.

Intuitivamente, la palabra “límite” en matemática debe ser asociada a las ideas de proximidad, tendencia, aproximación y esta, a su vez, debe asociarse a la idea de cercanía a un punto, a un valor numérico, o también de tendencia a alejarse como se quiera.

Recuerda que...

De la función polinomial tenemos, entre otros, estos tres tipos:

Lineal, definida por
f(x) = mx + b, x ∈ ℝ.

Cuadrática, definida por
f(x) = ax^2 + bx + c, x ∈ ℝ.

Cúbica, definida por
f(x) = x^3 + bx + c, x ∈ ℝ.

Asumimos, sin demostración, que las funciones polinomiales de grado ≤ 4 son funciones continuas. Con esta premisa, las nociones que introducimos en esta sección corresponden a los primeros pasos que se dan en el cálculo diferencial.

Definición. Sea x, y ∈ ℝ. La distancia de x a y se denota d(x, y), y se lee "distancia de x a y". Se define como d(x, y) = |x – y|.

De la definición de valor absoluto y de la distancia entre dos números reales, tenemos:

A la distancia entre dos números reales arriba definida la denominaremos métrica usual en ℝ, y, como se dijo, esta nos permite medir la proximidad o lejanía entre dos números reales. Sea 0 < δ < 1, x, y ∈ ℝ, se dice que y es próximo a x respecto de δ si y solo si se verifica

d(x, y) = |x – y| < δ.

En primer año de BGU se estudió, de forma intuitiva, la derivada de funciones cuadráticas, llamadas también funciones polinomiales de grado ≤ 2. En esta sección, continuamos con la metodología ahí establecida para funciones polinomiales de la forma:

p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4, ∀x ∈ ℝ,

donde a_0, a_1, a_2, a_3 ∈ ℝ fijos. El conjunto de todas las funciones polinomiales de grado ≤ 4 con coeficientes reales se denota con P_4[ℝ]. Se tiene la siguiente equivalencia:

p ∈  P_4 [ℝ] ⇔ ∃a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 ∈ ℝ,

tal que p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4, ∀x ∈ ℝ.

Recordemos que P_4[ℝ], con las operaciones habituales de adición y producto de polinomios por números reales, es un espacio vectorial real.

Definición. Sean p ∈ P_4 [ℝ], a_ ∈ ℝ fijo, h_ ∈ ℝ, tal que h ≠ 0. El cociente incremental de la función polinomial p en el punto a se denota Q(h) y se define como sigue:

En general, los valores de |h| ≠ 0 son suficientemente pequeños; esto es, si 0 < δ < 1, 0 < |h| < δ. Este cociente incremental tiene muchas aplicaciones, y es un paso previo al cálculo de la derivada de una función.

Derivada de la función cuadrática

Sean a, b, c ∈ ℝ con a ≠ 0. La función cuadrática está definida como:

f(x) = ax^2 + bx + c, x ∈ ℝ.

Calculemos (x) o f'(x). Para el efecto, estudiemos el límite del

cociente incremental. Para x ∈ ℝ y h ≠ 0, de la definición de la función f, se tiene:

f(x + h) = a(x + h)^2 + b(x + h) + c
f(x + h) = a(x^2 + 2xh + h^2) + b(x + h) + c
f(x + h) = ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c
f(x + h) = ax^2 + bx + c + h(2ax + b + ah)
f(x + h) = f(x) + h(2ax + b + ah).

Luego,

Como a es constante, es claro que para |h| suficientemente pequeño, ah también lo es. Entonces,

Así,

Conclusión: f(x) = ax^2 + bx + c, ∀x ∈ ℝ, f'(x) = 2ax + b.

Conexiones con las TIC

Visita esta página para conocer más sobre el cálculo de funciones derivadas:

www.mayedu.ec/matbu2/p145

Simbología matemática

Sean x, y ∈ ℝ. La distancia de x a y se denota d(x, y), y se lee “distancia de x a y".
El conjunto de todas las funciones polinomiales de grado ≤ 4 con coeficientes reales se denota con P_4[ℝ].
El cociente incremental de la función polinomial p en el punto a se denota Q(h). Cuando p ∈​ P_4[ℝ], a ∈ ℝ fijo, h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0.

Ejercicios resueltos

1. Para f(x) = x^2, ∀x ∈ ℝ, (x) = 2x. Para x = –1, se tiene f'(–1) = 2.
2. Para f(x) = 10x^2 – 3x + 1, ∀x ∈ ℝ, (x) = 20x – 3.
Para x = 0,4, (0,4) = 5.
3. f(x) = –7x^2 + 9, ∀x ∈ ℝ, (x) = –14x, (0) = 0.
4. f(x) = – x^2 + 0,1x, (x) = –5x + 0,1, = 0.

Recuerda que...

De la derivada primera obtenemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y los posibles máximos y mínimos relativos.

El límite

se usa para definir la derivada de una función de f en x. Si el límite existe,

este y se denota con f'(x) o también con (x). Esto se lee "f prima de x".

Recuerda que...

Dada una función f definida en un subconjunto A de ℝ, esta es derivable en x ∈  A si y solo si existe

En tal caso, este límite es notado

(x), f'(x) llamado derivada de f en x.

El proceso de cálculo de la derivada consiste en formar el cociente incremental:

donde x ∈  A, h ∈ ℝ con h ≠ 0, x + h ∈ A.

A continuación, se realizan los cálculos pertinentes en el cociente incremental, para simplificar. Luego se hace |h| suficientemente pequeño, y se calcula

Al cociente incremental se le denomina también tasa de variación de la función f en x.

El análisis de la función, el cálculo de su derivada, la aplicación de la derivada al trazado de su gráfica, la aplicación al cálculo de valores extremos, entre otros, se estudian en el cálculo diferencial.

Simbología matemática

Las notaciones que se usan más comúnmente para denotar la derivada de una función son:

, y', [f(x)] , ,

D_xf, D_xy, f'(x).

Y se lee como "derivada de la función y con respecto a x".

Cociente incremental

Sea p la función polinomial definida como p(x) = 2x^3 – 1 con x ∈ ℝ. Fijemos el punto a = –2. Sea x = –2 + h con h ≠ 0, se tiene

p(–2) = 2 · (–2)^3 – 1 = –17,
p(–2 + h) = 2(–2 + h)^3 – 1 = –17 + 24h – 12h^2 + 2h^3.

El cociente incremental está definido como

Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente incremental se aproxima cada vez a 24. Calculemos la distancia de 24 a Q(h), esto es, d(24, Q(h)), h ≠ 0. Se tiene

d(24, Q(h)) = |24 – Q(h)| = |24 – (24 – 12h + 2h^2)| = |12h – 2h^2|.

Por la desigualdad triangular, se tiene

d(24, Q(h)) = |12h – 2h^2| ≤ 12|h| + 2h^2.

Notemos que si 0 < |h| < 1, entonces 0 < h^2 ≤ |h| < 1. Luego,

0 < 12|h| + 2h^2 < 1 siempre que 0 < |h| < . Así

d(24, Q(h)) = |12h – 2h^2| ≤ 12|h| + 2h^2 < 1 siempre que 0 < |h| < 1,

es decir, d(24, Q(h)) puede hacerse tan pequeño como se quiera, tomando valores de |h| cada vez más cercanos a 0. En estas condiciones, se dice que Q(h) se aproxima tanto como se quiera a 24. Se escribe

que se lee “límite del cociente incremental igual a 24 cuando h tiende a 0”. A este valor se le llama derivada de la función p en el punto

x = –2, y se escribe (–2) = 24, o también, p'(–2) = 24.

Ejercicio resuelto

1. Sean c ∈ ℝ con c ≠ 0 y p la función polinomial definida por
p(x) = cx^4 + 2x – 5, ∀x ∈ ℝ. Sea a ∈ ℝ, calculemos el cociente incremental Q(h) para h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0.

Para c = y a = 2, se tiene

Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente incremental se aproxima cada vez a 10. Calculemos la distancia de 10 a Q(h), esto es, d(10, Q(h)), h ≠ 0. Se tiene

d(10, Q(h)) = |Q(h) – 10| = | (32 + 24h + 8h^2 + h^3) + 2 – 10| =
|6 h + 2h^2 + h^3| , h ≠ 0.

Interdisciplinariedad

Matemática e Historia

El concepto de derivada de una función real contiene la existencia del límite del cociente incremental y sus aplicaciones. Una de las primeras fue hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una curva en un punto asignado.

Los primeros trabajos en esta dirección fueron realizados por Fermat, Newton, Leibniz entre otros, pero, fue Fermat quién obtuvo un método para hallar la ecuación de la recta tangente a una curva definida por una función polinomial mediante el análisis del cociente incremental.

El modelo de la derivada de una función real de una sola variable real, como límite de la tasa de variación, no ha sido superado hasta la actualidad a pesar de los grandes esfuerzos realizados por muchos matemáticos en el estudio de funciones.

En la actualidad el cálculo diferencial tiene gran importancia en aplicaciones prácticas como en procesos cognitivos y desarrollo de las ciencias en forma transversal.

Observamos que para |h| no nulo y suficientemente pequeño,

|h| < 1, d(10, Q(h)) = |6h + 2h^2 + h^3 | es también suficientemente pequeño. En efecto, sea ε > 0. Entonces, como 0 < |h^3| < h^2 ≤ |h|, y por la desigualdad triangular, se tiene

d(10, Q(h)) = |6h + 2h^2 + h^3| ≤ 6|h| + 2h^2 + |h|^3 < |h| < ε,

de donde 0 < |h| < . Así, 0 < |h| < ⇒ d(10, Q(h)) < ε,

que significa que

A este número real se le llama derivada de la función p en el punto

x = 2. Se escribe (2) = 10.

1. Sea p la función polinomial definida como p(x) = 12 – x^4, ∀x ∈ ℝ.
Calculemos el cociente incremental Q(h) con h ∈ ℝ \ {0} y encontremos la derivada en a = 2.

Sea a ∈ ℝ, calculemos el cociente incremental Q(h) para h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0. De la definición de la función polinomial p y del cociente incremental se tiene

Para a = 2, se tiene:

Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a = 2, el cociente incremental se aproxima cada vez a –32.

que se lee "límite del cociente incremental igual a –32 cuando h tiende a 0". Es decir, la derivada de la función p en el punto x = 2

que se escribe ​(2) = –32.

Interpretación geométrica del cociente incremental y de la derivada

DCCD: M.5.1.48. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones polinomiales de grado ≤4, con apoyo de las TIC.

● Interpretación geométrica del cociente incremental y de la derivada

Saberes previos

¿Cuál es la ecuación cartesiana de la recta a partir de dos puntos dados? ¿Cuál es la pendiente de dicha recta?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo interpretas geométricamente a la derivada?

Sean f ∈ P_4[ℝ], a ∈ ℝ, fijo y h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0. El grafo de la función f es el conjunto definido como G(f) = {(x, f(x))} | x ∈ ℝ}.

Consideramos dos puntos del grafo de f: P_0 = (a, f(a)), al que lo mantenemos fijo, y P = (a + h, f(a + h)), que variará conforme |h| tienda (se aproxime) a cero. Determinemos la ecuación cartesiana de la recta L_h que pasa por estos dos puntos. La ecuación cartesiana de la recta que pasa por los puntos P_0 = (a, f(a)) y P = (a + h, f(a + h)) está definida como el conjunto de puntos que satisfacen la condición: (x, y) ∈ ℝ^2, tales que y – f(a) = Q(h)(x – a), con h ≠ 0.

Observamos que la pendiente de la recta es el cociente incremental

Q(h) que se define como:

Interdisciplinariedad

En ocasiones en la vida nos enfrentamos a problemas que requieren un mejor modo de realizar las cosas. Por ejemplo un agricultor siempre trata de escoger la mejor mezcla de cultivos de tal manera que sea la más apropiada para aprovechar el suelo. Algunas veces un problema de esta naturaleza implica el uso de la derivada para su solución.

Luego, la ecuación cartesiana de la recta L_h se escribe como (x, y) ∈ ℝ​^2,
tal que , con h ≠ 0.

▲ Figura 4.1.

En la Figura 4.1. se muestran las posiciones de los puntos P_1, P_2, P_3, P_4, ..., que corresponden a valores de h > 0 que tienden o se aproximan a 0. También se muestran las posiciones de las rectas L_h^(1), L_h^(2), L_h^(3), ..., que pasan por el punto P_0 y por cada uno de los puntos P_2, P_3, P_4, ..., respectivamente, y la recta tangente L a la gráfica de la función f.

Para |h| que tiende a 0, los puntos P_1, P_2, P_3, P_4, ... se aproximan cada vez más a P_0 = (a, f(a)), y las pendientes de las rectas L_h^(1), L_h^(2), L_h^(3), ... se aproximan cada vez más a la pendiente m de la recta L. En tal caso se escribe

Así, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función polinomial f en el punto x = a es (a). La ecuación cartesiana de la
recta tangente a la gráfica de la función f está definida como:
( x, y) ∈ ℝ^2, tal que y – f(a) = (x – a).

Recuerda que...

Uno de los temas de interés del cálculo diferencial de funciones reales de una sola variable es el análisis de la variación de la función. Esto significa que con cada función se debe realizar el estudio de la determinación de los subconjuntos del conjunto de salida en los que la función es creciente, decreciente, así como los valores extremos de la función, es decir, la existencia de los máximos o mínimos locales, máximos o mínimos globales, paridad de la función, e intersección de la gráfica de la función con los ejes coordenados.

Interdisciplinariedad

Matemática y física

Para resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico en el ámbito de la óptica, utilizamos el cálculo de derivadas y los valores máximos y mínimos de una función.

La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente, como una razón instantánea de cambio.

▲ Lente de cámara.

Análisis de funciones polinomiales de grado ≤ 4

Definición. Sean p ∈ P_4[ℝ].

i) Se dice que p es par, si y solo si se verifica la condición:

p(–x) = p(x), ∀x ∈ ℝ.

ii) Se dice que p es impar, si y solo si se verifica la condición:

p(–x) = –p(x), ∀x ∈ ℝ.

Ejercicios resueltos

1. La función p, definida como p(x) = –x^4 + 5x^2 –1, ∀x ∈ ℝ, es una función par. En efecto,

p(–x) = –(–x)^4 + 5(–x)^2 – 1 = –x^4 + 5x^2 – 1 = p(x), ∀x ∈ ℝ.

1. La función u, definida como u(x) = x^3 – 2x, ∀x ∈ ℝ, es una función impar. En efecto,

u(–x) = (–x)^3 – 2(–x) = –(x^3 – 2x) = –u(x), ∀x ∈ ℝ.

Definición. Sean p ∈ P_4[ℝ], A ℝ, no vacío.

i) Se dice que p es estrictamente creciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v ∈ A, u < v ⇒ p(u) < p(v).

ii) Se dice que p es creciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v ∈ A, u < v ⇒ p(u) ≤ p(v).

iii) Se dice que p es estrictamente decreciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v ∈ A, u < v ⇒ p(u) > p(v).

iv) Se dice que p es decreciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v ∈ A, u < v ⇒ p(u) ≥ p(v).

v) Se dice que p es monótona en el conjunto A, si allí p es creciente o decreciente.

En cursos más avanzados se demuestra que una función p es estrictamente creciente en el conjunto A, si y solo si > 0, ∀x ∈ A.

De manera similar, p es estrictamente decreciente en el conjunto A,
si y solo si < 0, ∀x ∈ A.

La función p es creciente en el conjunto A, si y solo si
≥ 0, ∀x ∈ A; y, p es decreciente en el conjunto A, si y solo si
​≤ 0, ∀x ∈ A.

Recuerda que...

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática.

Así, sea p la función polinomial definida por

p(x) = 2x^3 + 3x^2 – 36x + 1, ∀x ∈ ℝ.

La derivada primera es
 = p'(x) = 6x^2 + 6x – 36,
∀ x ∈ ℝ.

Si la función p tiene un mínimo global, se escribe

lo que se lee "mínimo de la función p cuando x recorre todo ℝ". Se tiene la siguiente equivalencia:

^

De manera similar, si la función p tiene un máximo global, se escribe

lo que se lee "máximo de la función p cuando x recorre todo ℝ". Se tiene la siguiente equivalencia:

Definición. Sean p ∈ P_4[ℝ], c ∈ ℝ. Se dice que c es un punto

crítico de la función p, si = 0.

La búsqueda de puntos críticos de una función p conduce a resolver

ecuaciones de la forma = 0.

Estos puntos tienen mucho interés en las aplicaciones.

Definición. Sean p ∈ P_4[ℝ], A ℝ, no vacío, c ∈ A.

i) Se dice que p(c) es un mínimo local de la función p, si y solo si
    p(c) ≤ p(x), ∀x ∈ A.

ii) Se dice que p(c) es un máximo local de la función p, si y solo si
      p(c) ≥ p(x), ∀x ∈ A.

iii) Se dice que p(c) es un valor extremo local, si y solo si este es máximo o mínimo local en el conjunto A.

La determinación de extremos locales conduce a la resolución de ecuaciones e inecuaciones.

Definición. Sean p ∈ P_4[ℝ], c ∈ ℝ.

i) Se dice que p(c) es un mínimo global de la función p, si y solo si
     p(c) ≤ p(x), ∀x ∈ ℝ.

ii) Se dice que p(c) es un máximo global de la función p, si y solo si
       p(c) ≥ p(x), ∀x ∈ ℝ.

Ejercicio resuelto

Sea p la función polinomial definida por

p(x) = 2x^3 + 3x^2 – 36x + 1, ∀x ∈ ℝ.

Analicemos esta función, es decir, determinemos los intervalos en los que la función es monótona, así como la determinación de los valores extremos locales y globales, y la paridad de la función. Para el efecto, sea x ∈ ℝ, calculemos el cociente incremental Q(h) para h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0. De la definición de la función polinomial p y del cociente incremental, se tiene:

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

A través de la historia se reconoce que a finales del siglo XVII y principios del XVIII se dio origen al cálculo diferencial a partir de algunos problemas, por ejemplo, el trazado de la tangente a una curva y las condiciones para obtener máximos y mínimos, la velocidad de los cuerpos en movimiento, entre otros.

▲ Auto de rally.

Conexiones con las TIC

Para conocer más sobre derivadas, visita esta página:
www.mayedu.ec/matbu2/p153

Luego,

En primer lugar, determinamos los puntos x ∈ ℝ en los que = 0.

Se tiene

= 0 ⇔ 6x^2 + 6x – 36 = 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x = –3 ∨ x = 2.
La función p es estrictamente creciente, si y solo si > 0.

Entonces, > 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) > 0 ⇔ x ∈ ]–∞, –3[ ∪ ]2, ∞[,
y la función es estrictamente decreciente, si y solo si < 0, luego
< 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) < 0 ⇔ x ∈ ]–3, 2[.

Estos resultados se resumen a continuación:

En el punto x = –3, la función p tiene un máximo local, mientras que en x = 2, la función tiene un mínimo local. Determinemos si este es mínimo global. Para ello, escribimos p(x) como sigue:

p(x) = 2x^3 + 3x^2 – 36x + 1 = x^3 , ∀x ∈ ℝ.

Para x > 0 suficientemente grande, se tiene que x^3 > 0 es mucho más

grande, mientras que ,  y son positivos y tienden a cero.

Con estas características, decimos que p(x) → ∞, lo que se lee “p(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito”. En forma similar, para x < 0, tal que | x | suficientemente grande, se tiene x^3 → –∞

(| x |^3 es suficientemente grande), mientras que ,  y tienden a cero. Resulta así que p(x) → –∞. En el punto x = 2, la función p tiene un mínimo local, y en el punto x = –3 la función p tiene un máximo local.

Por otro lado, p(0) = 1, es decir que la gráfica de la función p corta al eje y en el punto (0, 1). Para hallar los puntos de corte de la gráfica de p con el eje x, se debe resolver la ecuación en el conjunto ℝ:

p(x) = 0 ⇔ 2x^3 + 3x^2 – 36x + 1 = 0,

lo cual no es tarea fácil.

La función p no es par, pues p(–x) ≠ p(x), ∀x ∈ ℝ; tampoco es impar, ya que p(–x) ≠ –p(x), ∀x ∈ ℝ.

Interpretación física de la primera y segunda derivada

DCCD: M.5.1.49. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones polinomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC.

● Interpretación física de la primera y segunda derivada

Saberes previos

¿Cómo calculas la primera derivada de una función polinomial de grado ≤4?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué aplicaciones tiene la derivada de una función polinomial ≤4?

Recuerda que...

Para funciones polinomiales de grado 2, la derivada de esta función se aplicó a la obtención de la pendiente de la recta tangente a la gráfica del polinomio en un punto asignado, al cálculo de velocidades, aceleraciones de cuerpos así, si p es un polinomio de grado 2, a ∈ ℝ, se tiene:

m = (a) pendiente,
v(t) = (t) velocidad,
a(t) = (t) aceleración.

Nota que:

Velocidad media e instantánea, aceleración

En física, en el estudio de la cinemática de un cuerpo, una de las aplicaciones de las derivadas de funciones reales es el cálculo de la velocidad y de la aceleración de cuerpos.

Consideremos un automóvil que se mueve en una vía que suponemos horizontal y recta. El conductor observa un obstáculo en la vía y frena. La función de desplazamiento de este automóvil, medido en metros, está definida como

S(t) = 3 + 15t – 0,5t^2 – 0,025t^4, t > 0.

Calculamos los desplazamientos en los cinco primeros segundos:

S(1) = 17,475 m, S(2) = 30,6 m, S(3) = 41,475 m, S(4) = 48,6 m,S(5) = 49,875 m.

Calculamos la velocidad v(t) en cada uno de estos instantes. Para el efecto, calculamos la derivada de la función S. Se tiene

Desde el punto de vista físico, la velocidad mide el cambio de desplazamiento instantáneo. Notemos que la velocidad se mide en ^ , lo que se abrevia ^ (también en ^ , que se escribe ^ ). En los automotores se tiene un dispositivo que mide la velocidad, llamado velocímetro. En el panel de los automotores, la velocidad a la que este se mueve se marca en ^ . Calculamos algunos valores de velocidades v(1) = 13,9 ^ , v(2) = 12,2 ^ , v(3) = 9,3 , v(4) = 4,6 ^ , v(5) = 2,5 ^ .

Observamos que la velocidad decrece, y que, en casi cinco segundos, el automóvil se detiene, habiendo recorrido aproximadamente 49 m.

La aceleración se denota con a(t) y se define como

^

Desde el punto de vista físico, la aceleración mide el cambio de velocidad instantáneo. Dado que

^ , tenemos que ^

La aceleración se mide en^ , lo que se abrevia ^ .

Para la función de desplazamiento S, se tiene

^

Calculamos la aceleración en los primeros cinco segundos:

a(1) = –1,3 ^ , a(2) = –2,2 ^ , a(3) = –3,7 ^ , a(4) = –5,8 ^ ,

a(5) = –8,5 ^ .

El signo negativo de la aceleración significa que la velocidad decrece.

Interdisciplinariedad

Matemática y fenómenos físicos

Muchos fenómenos físicos que implican cantidades variables (por ejemplo, la velocidad de un cohete, la devaluación de la moneda por la inflación, el número de bacterias de un cultivo, la intensidad de un movimiento telúrico, el voltaje de una señal eléctrica, entre otras) son estudiados en la asignatura de Física y en otras áreas mediante derivadas.

▲ Nave espacial.

Ejercicios resueltos

Este ejercicio requiere el uso de una calculadora científica.

1. En una pista larga y recta, un automóvil parte del reposo.

Su velocidad, en ^ , está dada por:

^

a) Calculamos la velocidad y la aceleración en t = 5 s.

Para calcular la velocidad en t = 5 s, reemplazamos este valor en la primera función.

V(5) = t^2;

V(5) = (5)^2 = = 12,5 ^ .

Determinamos la aceleración en t = 5 s.

La función V(t) = t^2, t ≤ 8 es una función polinómica; por lo tanto, es derivable en t = 5s.

^

b) Constatamos si existe aceleración al instante t = 8.

Para ello, se verifica si la función es continua y derivable en 8. Se comprueba, entonces, que en t = 8 la función es continua pero no derivable.

Solución de problemas cotidianos

Aplicación de la regla de la cadena

1. El volumen de un cubo de lado l (medido en cm) está definido como V = l^3 en cm^3. El área lateral de la superficie del cubo es S = 6 l^2 en cm^2, donde l > 0 designa la longitud del lado. Se definen dos funciones: una del área de la superficie lateral del cubo y la función volumen del cubo. Las dos funciones son estrictamente crecientes.

S: , V: .

Supongamos que la longitud del lado del cubo es una función del tiempo, esto es,

l: , donde t denota el tiempo.

Se asume que esta función es derivable en cada

t  ]0, T[, esto es, (t) = lím .

Nos interesa calcular las tasas de variación (cocientes incrementales) de las funciones S, y V, así como sus derivadas

(t) = (t), de modo que, conociendo una

de estas tres derivadas, puedan calcularse las otras dos. Es claro que podemos definir las funciones compuestas (Sol)(t), (Vol)(t) como sigue:

S(t) = (Sol)(t) = S(l(t)) = 6l^2(t), ∀t  [0, T],
V(t) = (Vol)(t) = V(l(t)) = l^3(t), ∀t  [0, T].

i. Calculamos los cocientes incrementales de las funciones S y V.
Sea t  [0, T], h   con h ≠ 0, tal que
x + h  [0, T].

Como la función l es derivable, entonces
l(t + h) – l(t) → 0.

Ponemos k = l(t + h) – l(t) ≠ 0, luego
l(t + h) = k + l(t),

=

=

=

= 6

= 6

= 6[k + 2l(t)] .

Así, = 6[k + 2l(t)] ,

h ≠ 0.

De manera similar con la función V

=

= [k^2 + 3kl(t) + 3l^2(t)] , h ≠ 0.

ii. Calculamos la derivada de la función S. Tomando límites en el cociente incremental, se tiene

= lím

= lím 6[k + 2l(t)] =

= 12l(t) .

Nota que la existencia de una derivada implica la existencia de la otra. Calculamos la derivada de la función V.

= lím

= lím[k^2 + 3kl(t) + 3l^2(t)]

= 3l^2(t) = .

Las relaciones buscadas son

= 12l(t) , ∀t  [0, T],

= 3l^2(t) , ∀t  [0, T].

Supón que el volumen del cubo está aumentando a razón de 10 cm^3/s cuando l(t) = 20 cm. Calculamos la razón de cambio del área de la super-

ficie del cubo. Se tiene = 10 , entonces:

10 = 3 × (20^2) ⇒ = ,

= 12l(t) = 12 × 20 × = 2 .

Este es un ejemplo de derivación de funciones compuestas, conocido como regla de la cadena.

k^2 + 2kl(t)

k

k

h

l(t + h) – l(t)

h

S(t + h) – S(t)

h

l(t + h) – l(t)

h

]0, ∞[ → ]0, ∞[

l → S(t) = 6l^2

]0, ∞[ → ]0, ∞[

l → V(t) = l^3

V(t + h) – V(t)

h

V(l(t + h)) – V(l(t))

h

l(t + h) – l(t)

h

[0, T] → [0, ∞[

t → l(t)

dS(t)

dt

S(t + h) – S(t)

h

dl

dt

l(t + h) – l(t)

h

h→0

h→0

l(t + h) – l(t)

h

h→0

dl(t)

dt

dS

dt

dV

dt

dV(t)

dt

V(t + h) – V(t)

h

h→0

l(t + h) – l(t)

h

h→0

dl(t)

dt

dS(t)

dt

dl(t)

dt

dV(t)

dt

dl(t)

dt

h→0

dV

dt

cm^3

s

S(t + h) – S(t)

h

S(l(t + h)) – S(l(t))

h

dl(t)

dt

dl(t)

dt

1

120

cm

s

S(k + l(t)) – S(l(t))

h

dS(t)

dt

dl(t)

dt

1

120

cm^2

s

S(k + l(t))^2 – 6l^2(t))

h

k^2 + 2kl(t) + l^2(t) – l^2(t)

h

k

k

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y la física

¿Qué tiene que ver la matemática con velocidad y tiempo tratados en física?

En física, las derivadas se aplican en aquellos casos en los que es necesario medir velocidades, no solo de un cuerpo sino también de crecimiento, de decrecimiento, de enfriamiento y de separación de fluidos. En general, se puede calcular la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.

Uno de los múltiples casos es la velocidad instantánea. El concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.

▲ Persona corriendo y medición del tiempo.

Por ejemplo, si la posición de un objeto, en función del tiempo, está dada por la ecuación

x(t) = 2t – 4, su velocidad es la primera derivada x'(t) = 2.

Si la posición de un objeto está determinada por la ecuación

x(t) = –16t^2 + 16t + 32, entonces su velocidad es la primera derivada x'(t) = –32t + 16.

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática en la Ingeriería Civil

Un ingeniero o ingeniera civil debe tener dominio de los conceptos que sustentan la resistencia de materiales y los modelos matemáticos del cálculo diferencial para analizar y precisar el comportamiento de los materiales utilizados en la construcción.

El campo de acción de un profesional en Ingeniería Civil es la construcción, la administración de ambientes urbanos, el mantenimiento, control y operación de obras, planificación, diseño, construcción, conservación y operación de obras civiles, manejo de recursos hídricos y, en general, la organización territorial en lo que respecta a obras civiles.

El entorno de trabajo de un ingeniero o ingeniera civil son las instituciones públicas y privadas, donde se desempeñan funciones encaminadas a atender las necesidades del desarrollo social en términos de planificación, organización, elaboración de proyectos, diseño, construcción y mantenimiento de la infraestructura física requerida en los sectores de comunicación, salud, educación, recreación, turismo e industria, entre otros.

Adaptado de: http://www.epn.edu.ec/wp-content/uploads/2014/07/Catálogo-de-la-Facultad-de-Ingenier%C3%ADa-Civil-y-Ambiental.pdf

▲ Cálculo en la ingeniería.

TIC

TIC

GeoGebra para graficar la derivada de una función ≤ 4

GeoGebra es un software dinámico de uso libre. Para comprobar que la derivada de una función es correcta, podemos graficarla con la ayuda de GeoGebra.

Gráfica derivada de una función ≤ 4

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Cálculo dela resistencia deuna viga y cálculo diferencial

Recursos

- Diseños de la sección transversal de un tronco de madera.

Justificación

El estudio del cálculo diferencial es muy útil en Ingeniería Civil y en otras áreas. El cálculo de máximos y mínimos a través de la derivada permite conocer las dimensiones de una viga que debe soportar un determinado peso.

Objetivos

- Calcular la máxima resistencia de una viga de madera, en función de sus dimensiones (espesor, ancho, largo).

Actividades

- Formar equipos de trabajo, con no más de tres estudiantes por grupo.
- Consultar el concepto de viga —a partir del conocimiento que se tiene en Ingeniería y Arquitectura— como un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión.
- Revisar los elementos y ecuaciones de la elipse.
- Calcular la resistencia de una viga de madera, conociendo que está determinada por la relación directamente proporcional entre su ancho y el cuadrado del espesor. Aplicar el cálculo de máximos y mínimos a partir de la primera derivada.
Toma en cuenta que la viga puede cortarse de un tronco cuya sección transversal es una elipse de semiejes a (mayor) y b (menor).

1. .
2. R = (2x)(2x)^2 = 8xy^2, siendo R resistencia, 2x ancho de la viga (a), 2y espesor de la viga (b).
3. b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2. Multiplicamos la ecuación (1) por a^2b^2.
4. . Despejamos y^2 de la ecuación (4).
. Introducimos ecuación (4) en ecuación (2).
5. . Introducimos la variable x dentro del paréntesis.
6. e igualamos a cero.
Despejamos x de esta ecuación: (c).
7. Remplazamos x, ^ y obtenemos (d).

Resultados

Ancho de la viga: . Espesor de la viga: .

Recomendación

Consultar más información sobre el uso de derivadas en el cálculo de resistencia de vigas de acero, de madera en estructuras.

Adaptado de: http://es.slideshare.net/michaelpradomacias/proyecto-clculo-i-definitivo

En síntesis

En síntesis