Title: Unidad 3
Course: Matemáticas Plus + 2 BGU > Section: LIBRO DIGITAL

Sucesiones reales y distribuciones discretas

Los girasoles y la matemática
¿Quién no ha visto un girasol? Si bien es cierto que estas flores se caracterizan por su aceite lleno de nutrientes y el modo en que sus pétalos siguen al Sol, lo más llamativo es el secreto matemático que guardan sus espirales.

El patrón de las semillas dentro de la cabeza del girasol sigue la secuencia de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… Cada número de la secuencia es la suma de los dos anteriores.

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​
Estadística y probabilidad

  Objetivos

- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- Si es factible, cuenta el número de pétalos de una flor, de una margarita o de un girasol. Verás que alguno de ellos corresponde a algún número de la serie de Fibonacci.
- ¿Qué número sigue en la serie de Fibonacci?

Definición de sucesión numérica real

DCCD: M.5.1.53. Identificar sucesiones numéricas reales, sucesiones monótonas y sucesiones definidas por recurrencia a partir de las fórmulas que las definen.

● Definición de sucesión numérica real

Saberes previos

¿Cuál es el conjunto de los números naturales?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo se expresa el término general de una sucesión?

Recuerda que...

Las sucesiones reales convergentes  son una clase de funciones cuyo conjunto de salida es un subconjunto de los números naturales y el conjunto de llegada es el conjunto de los números reales.

Definición. Sea 𝐼 ⊂ ℕ, 𝐼 ≠ Ø. Se llama sucesión numérica real a toda función a de I en ℝ.

Notaciones

Si a es una sucesión, a es la función a(n): ^

El conjunto 𝐼 se llama conjunto de índices y n ∈ 𝐼 se dice índice de la sucesión. Para cada n ∈ 𝐼, el número real a(n) se llama término general de la sucesión y se denota como a_n, es decir que a(n) = a_n. A la sucesión real a se la denota (a_n)_n∈_𝐼 o simplemente (a_n), siempre que no haya peligro de confusión. Se dirá sucesión (a_n) o también sucesión real, cuyo término general es a_n. El conjunto {a_n ∈ ℝ | n ∈ 𝐼} es el recorrido de la sucesión (a_n). Este conjunto puede ser finito.

El conjunto {(n, a_n) ∈ ℝ^2 | n ∈ 𝐼} se llama grafo de la sucesión. Este conjunto se representa gráficamente en el sistema de coordenadas rectangulares, y al resultado de esa gráfica se lo denomina gráfica de la sucesión (a_n).

Definición. Una sucesión (a_n)_n∈_𝐼 se dice finita si el conjunto I de índices es finito. En el caso contrario, la sucesión se dice infinita.

Simbología matemática

⊂: subconjunto
a_n: sucesión real
ℕ: el conjunto de los números naturales
ℝ: el conjunto de los números reales

No se debe confundir una sucesión finita (𝐼 es finito) con una sucesión que toma un número finito de valores, o sea, que su recorrido es finito.

Consideremos el siguiente ejemplo: (a_n) la sucesión real definida como sigue: , n ∈ ℕ. Si se escribe ^ , j ∈  ℕ, , k ∈  ℕ, ^ , p ∈  ℕ, todas representan el mismo término general de la sucesión (a_n) y se han utilizado tres tipos de índices j, k, p del conjunto de índices ℕ de la sucesión (a_n).

Definición. Sean 𝐼 ⊂ ℕ, con 𝐼 ≠ Ø. Diremos que las sucesiones reales (a_j)_j∈𝐼 y (b_n)_n∈_𝐼 son iguales, y escribimos (a_j)_j∈𝐼 = (b_n)_n∈𝐼 si y solo si

a_j = b_j , ∀j ∈ 𝐼.

▲ Figura 3.1.

Ejercicio resuelto

Consideremos la sucesión (a_n) definida como a_n = , n ∈ ℤ^+.
El término general de esta sucesión está definido como a_n = , n ∈ ℤ^+. Nota que el conjunto en el que está definida la sucesión es 𝐼 = ℤ^+.

A continuación, se indican los primeros cinco términos de la sucesión:

1, , , , , ... . El recorrido de la sucesión es el conjunto
 al que escribiremos también como ^ .

Esta es una sucesión que tiene un número infinito de términos. En la Figura 3.1. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión (a_n).

▲ Figura 3.2.

Ejercicio resuelto

Sea (v_n) la sucesión definida como v_n = (–1)^n, n ∈ ℕ. El conjunto de salida es el conjunto de los números naturales. Los primeros cinco términos de la sucesión son: 1, –1, 1, –1, 1, ... . El recorrido de la sucesión es el conjunto {(–1)^n | n ∈ ℕ} = {–1, 1}. Este es un ejemplo de sucesión que tiene un número finito de términos.

En la Figura 3.2. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión (v_n). Nota que cuando n es par, se tiene v_n = (–1)^n = 1; y cuando n es impar, resulta v_n = (–1)^n = –1.

▲ Figura 3.3.

Ejercicio resuelto

Considera la sucesión (u_p), definida como u_p = p + 1 + (–1)^p, p ∈ ℕ.

Para p = 0, se tiene u_0 = 2; con p = 1, se tiene u_1 = 1. Si p = 2, resulta u_2 = 4; para p = 3, se obtiene u_3 = 3, y así sucesivamente. El recorrido de esta sucesión es el conjunto

{p + 1 + (–1)^p | p ∈ ℕ} = {2, 1, 4, 3, 6, ..., p + 1 + (–1)^p, ...}.

En la Figura 3.3. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión (u_p).

Sucesiones definidas por recurrencia

Sea (a_n) una sucesión real. En muchas situaciones, el término general de la sucesión (a_n) se define, por ejemplo, como a_n = αa_n_–1 + β, donde

a_0 ∈ ℝ está fijado, α, β ∈ ℝ constantes y n ∈ ℤ^+. En tal caso se dice que la sucesión (a_n) está definida por recurrencia.

Otras formas de sucesiones definidas por recurrencia se indican a continuación:

1. Si a_n ≠ 0, ∀n ∈ ℕ, a_n = α + , donde a_0 ≠ 0 ha sido fijado previamente, α, β ∈ ℝ constantes y n ∈ ℤ^+.
2. Si a_n ≠ 0, ∀n ∈ ℕ, a_n_+1 = αa_n + , donde a_0, a_1 ∈ ℝ^+ dados, α, β ∈ ℝ constantes y n ∈ ℤ^+.
3. Si a_n_+1 = αa_n + βa_n_–1, donde a_0, a_1 ∈ ℝ^+ dados, α, β ∈ ℝ constantes y n ∈ ℤ^+.
4. Si a_n > 0, ∀n ∈ ℕ, a_n_+1 = αa_n + ​ donde a_0, a_1 ∈ ℝ^+ dados, α, β ∈ ℝ constantes y n ∈ ℤ^+.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

Los números de Fibonacci (publicados en la obra Liber Abaci, aproximadamente en 1202) están definidos como

Así se obtienen los primeros doce números:

u_2 = u_1 + u_0 = 2,
u_3 = u_2 + u_1 = 3,
u_4 = u_3 + u_2 = 5,
u_5 = u_4 + u_3 = 8,
u_6 = 13,
u_7 = 21,
u_8 = 34,
u_9 = 55,
u_10 = 89,
u_11 = 144,
u_12 = 233, ... .

En cursos superiores de geometría, aparecen estos números en muchos problemas aplicados.

▲ Leonardo de Pisa.

Ejercicio resuelto

Consideremos la sucesión (a_m) definida como sigue: a_0 = –1 y a_m = 2a_m_–1 + 1, m ∈ ℤ^+. Determinemos, si es posible, el término general de esta sucesión. Tenemos para m = 1, m = 2, ...

a_1 = 2a_1–1 + 1 = 2a_0 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1,

a_2 = 2a_2–1 + 1 = 2a_1 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1,

⋮

a_m = 2a_m_–1 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1.

Claramente, (a_m) es una sucesión con término general constante e igual a –1, esto es, a_m = –1 ∀m ∈ ℤ^+.

Ejercicio resuelto

Consideremos la sucesión (a_k), definida como sigue: a_0 = y a_k = 2a_k_–1 + 1, k ∈ ℤ^+. Determinemos, si es posible, el término general de esta sucesión. Tenemos:

a_1 = 2a_0 + 1 = 2 × + 1 = 2,

a_2 = 2a_1 + 1 = 2 × 2 + 1 = 2^2 + 1 = 5,

a_3 = 2a_2 + 1 = 2 × 5 + 1 = 2(2^2 + 1) + 1 = 2^3 + 2 + 1 = 11,

a_4 = 2a_3 + 1 = 2 × 11 + 1 = 2(2^3 + 2 + 1) + 1 = 2^4 + 2^2 + 2 + 1 = 23,

⋮

a_k = 2a_k_–1 + 1 = 2^k + 2^k^–2 + 2^k^–3 + ... + 1 = 3 × 2^k^–1 – 1, k ∈ ℤ^+ con k ≥ 1.

Ejercicio resuelto

Sea (t_j) la sucesión real definida como:
j ∈ ℤ^+.

Determinemos el término general de esta sucesión, siempre que sea posible. Tenemos:

t_1 = – + 1 = – + 1 = 0,    t_2 = –1,
t_3 = – + 1 = – + 1 = 2,    t_4 = – + 1 = – + 1 = ,
t_5 = – + 1 = – + 1 = –1,    t_6 = – + 1 = – + 1 = 2,
⋮

^

Ejercicio resuelto

Dado α ∈ ℝ constante no nula, la sucesión definida

como

cinco de sus términos se describen a continuación:

a_1 = αa_0,  a_2 = αa_1 = a_0α^2,  a_3 = αa_2 = a_0α^3 ,  a_4 = αa_3 = a_0α^4,

a_n_+1 = αa_n = a_0α^n^+1,  n = 0, 1, ... .

Interdisciplinariedad

El estudio de sucesiones es ampliamente utilizado en biología para el análisis de la reproducción bacteriana, considerando que una bacteria se reproduce por bipartición. En condiciones muy favorables, la población de algunas bacterias puede llegar a doblarse cada 15 minutos, 4 duplicaciones por hora y 96 diarias. Por ello, el análisis del comportamiento de reproducción es importante para controlar su expansión.

Otras aplicaciones se dan en economía, en distintas ramas de la ingeniería, en medicina, en finanzas, etc.

▲ Biofilm de bacterias.

Sucesiones monótonas

Definición. Sea (a_n) una sucesión real.

i) Se dice que (a_n) es creciente si y solo si a_n ≤ a_n_+_1, ∀n ∈ 𝐼.

ii) Se dice que (a_n) es estrictamente creciente si y solo si a_n < a_n_+_1, ∀n ∈ 𝐼.

iii) Se dice que (a_n) es decreciente si y solo si a_n_+_1 ≤ a_n, ∀n ∈ 𝐼.

iv) Se dice que (a_n) es estrictamente decreciente si y solo si a_n_+_1 < a_n, ∀n ∈ 𝐼.

v) Se dice que la sucesión (a_n) es monótona si es creciente o decreciente.

Ejercicio resueltos

1. La sucesión (a_n), cuyo término general está definido como
a_n = , n ∈ ℤ^+, es una sucesión estrictamente decreciente.
En efecto, si n ∈ ℤ^+, entonces n < n + 1 y, en consecuencia,
De la definición de (a_n) se concluye que a_n_+_1 ≤ a_n; o sea, (a_n) es estrictamente decreciente.
2. La sucesión es estrictamente creciente, pues si n ∈ ℤ^+,
entonces n < n + 1, y se tienen las siguientes equivalencias:

Recuerda que si a una desigualdad se la multiplica por –1, la desigualdad cambia de sentido. Además, si a una desigualdad se le suma en ambos miembros el mismo número real, la desigualdad se conserva.
3. Considera la sucesión (u_p), definida como u_p = p + 1 + (–1)^p, p ∈ ℕ.
El recorrido de esta sucesión es el conjunto

{p + 1 + (–1)^p | p ∈ ℕ} = {2, 1, 4, 3, ... , p + 1 + (–1)^p, ...}.

Esta no es una sucesión creciente ni decreciente; simplemente es una sucesión real.

1. La sucesión (–n) es estrictamente decreciente, pues

n < n + 1 ⇔ –(n + 1) < –n, ∀n ∈ ℕ.

Progresiones aritméticas

DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica), conocidos otros parámetros.  M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas.

● Progresiones aritméticas

Saberes previos

¿Cómo se forma el conjunto de los números pares?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es el conjunto de los diez primeros números múltiplos de 11, comenzando en 66?

Definición. Una sucesión real (u_n) se llama progresión aritmética si y solo si existe d ∈ ℝ con d ≠ 0, tal que u_n_+1 = u_n + d, ∀n ∈ ℕ, con u_0 ∈ ℝ dado.

Cada término de la progresión aritmética se obtiene sumando al término anterior la constante d.

u_1 = u_0 + d, u_2 = u_1 + d = u_0 + 2d,
u_3 = u_2 + d = u_0 + 2d + d = u_0 + 3d,
⋮
u_k = u_k_–1 + d = u_0 + (k – 1)d + d = u_0 + kd, k = 1, 2...

Así, el término general u_n de una progresión aritmética (u_n) está definido como u_n = u_0 + nd, n ∈ ℕ. Además, el recorrido de la progresión aritmética (u_n) es el conjunto {u_0_ + nd | n ∈ ℕ}.

Recuerda que...

Si u_0 ∈ ℝ está fijado y si d = 0, entonces:

u_n_+1 = u_n + d, ∀n ∈ ℕ ⇔u_n = u_0, ∀n ∈ ℕ.

Es decir, se trata de una sucesión constante que no tiene mayor interés.

Ejercicio resuelto

Sea (u_n) la sucesión definida como u_n = 3 + 4n, n ∈ ℕ.
Tenemos u_0 = 3. Por un lado, u_1 = 3 + 4 × 1 = 7, y por otro,
u_1 = u_0_ + d = 3 + d = 7. Luego, d = 4. Resulta
u_2 = u_1_ + d = 7 + 4 = 11, u_3 = u_2_ + d = 11 + 4 = 15, así sucesivamente.

El recorrido de esta sucesión está definido como el conjunto

{3 + 4n | n ∈ ℕ} = {3, 7, 11, 15, ... 3 + 4n, ...}.

Otra forma de obtener d es la siguiente:
de la definición del término general de la sucesión u_n, se tiene

u_n_+1 = u_n + d ⇔ 3 + 4(n + 1) = 3 + 4n + d ⇔ d = 4.

Y, por lo tanto, u_n_+1 = u_n + 4, n ∈ ℕ.

Se tiene u_n_+1 – u_n = 4 > 0, ∀n ∈ ℕ que muestra que (u_n) es una sucesión estrictamente creciente.

Ejercicio resuelto

Los cuatro primeros términos de una progresión aritmética son: 15; 12,5; 10; 7,5. Determinemos el término general de la progresión aritmética.

Ponemos u_0 = 15, u_1 = 12,5.
Luego, u_1 = u_0 + d ⇔ 12,5 = 15 + d ⇔ d = –2,5.
u_2 = u_1_ + d = 12,5 – 2,5 = 10,
u_3 = u_2_ + d = 10 – 2,5 = 7,5,
⋮
u_n_+1 = u_n + d = u_0 + (n + 1)d = 15 – 2,5(n + 1), n ∈ ℕ.

Como u_n_+1 – u_n = –2,5 < 0, ∀n ∈ ℕ, se sigue que (u_n) es una sucesión estrictamente decreciente.
El recorrido de esta sucesión es el conjunto {15 – 2,5n | n ∈ ℕ}.

Recuerda que...

Definición. Sean a, b ∈ ℝ no nulos y c = (a + b).
Se dice que c es media aritmética de a y b.

Sea (u_n) una progresión aritmética. De la definición de progresión aritmética, existe
d ≠ 0 tal que u_n_+1 = u_n + d,
u_n = u_n_–1 + d, n = 1, 2, ..., de
donde d = u_n_+1 – u_n
y d = u_n – u_n_–1, con lo cual
u_n_+1 – u_n = u_n – u_n_–1 ⇔
u_n = .

Por lo tanto, cualquier término de la progresión aritmética, exceptuando el primero, es media aritmética de dos de sus términos contiguos.

Glosario
consistencia. Duración, estabilidad, solidez.

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es,

S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n_–2 + u_n_–_1, n = 1, 2, ...

Observemos los siguientes resultados:

u_0 + u_n_–1 = u_0 + u_0 + (n – 1)d = 2u_0 + (n – 1)d,
u_1 + u_n_–2 = u_0 + d + u_0 + (n – 2)d = 2u_0 + (n – 1)d,
⋮
u_n_–1 + u_0 = u_0 + (n – 1)d + u_0 = 2u_0 + (n – 1)d,

y de manera general, para 0 ≤ k ≤ n – 1 se tiene

u_n_–1–_k + u_k = u_0 + (n – 1 – k)d + u_0 + kd = 2u_0 + (n – 1)d.

Luego, de la definición de S_n y de los resultados precedentes, tenemos

2S_n = 2(u_0 + u_1 + ... + u_n_–2 + u_n_–1)
= (u_0 + u_1 + ... + u_n_–2 + u_n_–1) + (u_0 + u_1 + ... + u_n_–2 + u_n_–1)
= (u_0 + u_n_–1) + (u_1 + u_n_–2) + ... + (u_n_–1+ u_0)
= 2u_0 + (n – 1)d + 2u_0 + (n – 1)d + ... + 2u_0 + (n – 1)d
= n[2u_0 + (n – 1)d], de donde
S_n = n(2u_0 + (n – 1)d).

Por otro lado, u_n_–1 = u_0+ (n – 1)d, entonces,

2u_0 + (n – 1)d = u_0 + u_0 + (n – 1)d = u_0 + u_n. Luego,
S_n = n(2u_0 + (n – 1)d) = n(u_0 + u_n_–1) = n .

Es decir que la suma de los n primeros términos u_0, u_1, ..., u_n_–1 de la progresión aritmética (u_n) es igual a n veces la media aritmética de u_0 y u_n_–1.

Particularmente, si d = 1 y u_0 = 0, se tiene

S_n = 1 + 2 + ... + n = n(n + 1), ∀n ∈ ℕ, fórmula que se conoce como suma de los n primeros números naturales.

Ejercicio resuelto

Halla la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética siguiente: 20, 17, 14, ... .

Ponemos a_0 = 20, a_1 = 17, entonces, a_1 = a_0 + d, con lo que
d = a_1 – a_0 = 17 – 20 = –3.

Luego, para n = 10 se tiene

S_10 = (2u_0 + (n – 1)d) = (2 × 20 + 9 ×(–3)) = 65.

La suma de los 10 primeros términos es 65.

Progresiones geométricas

DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica) conocidos otros parámetros.  M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas.

● Progresiones geométricas

Saberes previos

¿Cómo se forma una progresión aritmética?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué es una progresión geométrica?

Definición. Una sucesión real (u_n) se llama progresión geométrica si y solo si existe d ∈ ℝ con d ≠ 0, tal que u_n_+1 = du_n, ∀ n ∈ ℕ, con u_0 ∈ ℝ dado.

De acuerdo con la definición de progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicándole al término anterior la constante d. Los k primeros términos se indican a continuación:

u_1 = du_0, u_2 = du_1 = d(du_0) = u_0d^2,
u_3 = du_2 = d(u_0d^2) = u_0d^3, u_4 = du_3 = d(u_0d^3) = u_0d^4,
⋮
u_k = du_k–_1 = d(u_0d^k^–1) = u_0d^k, k = 1, 2,...

Así, el término general u_n de una progresión geométrica (u_n) está definido como u_n = u_0d^n, n ∈ ℕ. Además, el recorrido de la progresión geométrica (u_n) es el conjunto {u_0_ d^k | k ∈ ℕ}.

Recuerda que...

Si u_0 ∈ ℝ está fijado y si d = 1, entonces
u_n_+1 = du_n = u_0, ∀n ∈ ℕ.

Es decir, se trata de una sucesión constante que no tiene mayor interés.

Ejercicio resuelto

Sea (u_n) la sucesión definida como u_n = 3 × 4^–^n, n ∈ ℕ. De la definición de progresión geométrica, determinemos u_0 y d. Tenemos u_0 = 3;

por un lado, u_1 = 3 × 4^–1 = , y por otro, u_1 = du_0 = 3d = .
Luego, d = .
Resulta u_2 = du_1 = ×  = ,    u_3 = du_2 = × = .

El recorrido de esta sucesión está definido como el conjunto

Se tiene u_n_+1 – u_n = < 0, ∀n ∈ ℕ que muestra
que (u_n) es una sucesión estrictamente decreciente.

Ejercicio resuelto

Los 4 primeros términos de una progresión geométrica son: 3, 6, 12, 24. Determinemos el término general de la progresión geométrica. Ponemos u_0 = 3, u_1 = 6. Luego,

u_1 = u_0d ⇔ 6 = 3d ⇔ d = 2. Por lo tanto,
u_2 = u_1d = 6 × 2 = 12,
⋮
u_n_+1 = u_nd = u_0d^n^+1 = 3 × 2^n^+1, n ∈ ℕ.

Como u_n_+1 – u_n = 3 × 2^n^+1 – 3 × 2^n = 3 × 2^n > 0, ∀n ∈ ℕ, se sigue que (u_n) es una sucesión estrictamente creciente. El recorrido de esta sucesión es el conjunto {3 × 2^n | n ∈ ℕ}.

Conexiones con las TIC

Para reforzar el tema de sucesiones y, en forma particular, de las progresiones geométricas, puedes mirar el siguiente video:

www.mayedu.ec/matbu2/p121

Suma de los primeros términos de una progresión geométrica

Sean a, d ∈ ℝ no nulos y n ∈ ℕ, la progresión geométrica (u_n) definida como u_n = ad^n, ∀n ∈ ℕ. Consideramos la suma de los primeros n + 1 términos de esta progresión:

S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n

= a + ad + ad^2 + ... + ad^n^–1 + ad^n = a d^k .

Si multiplicamos a S_n por d, tenemos

dS_n = ad + ad^2 + ad^3 + ... + ad^n + ad^n^+1.

Luego, dS_n – S_n = ad^n^+1 – a = a(d^n^+1 – 1), o lo que es lo mismo,

(d – 1)S_n = a(d^n^+1 – 1).

Si d = 1, entonces (u_n) es la sucesión constante a, en cuyo caso
S_n = (n + 1)a. Si d ≠ 1, entonces

S_n = a d^k = a = a .

Particularmente, si a = 1, obtenemos

S_n = 1 + d + d^2 + ... + d^n = d^j = , si d ≠ 1.

Ejercicios resueltos

1. De una progresión geométrica (g_n) se conocen los términos
g_2 = , y g_5 = .
Obtén el término general de esta progresión, así como la suma de los n primeros términos.

Se ha visto que el término general de una progresión geométrica (g_n) está definido como g_n = ad^n, n ∈ ℕ. Con la información dada, obtenemos las constantes a y d. Tenemos el siguiente par de ecuaciones:

g_2 = = ad^2, g_5 = = ad^5.

De la primera ecuación se obtiene a = , y se reemplaza en
la segunda ecuación, = d^5 = d^3,
de donde d^3 = , y en consecuencia, d = . Calculamos a:

^

Así, el término general de la progresión geométrica está dado
como g_n = , ... n ∈ ℕ.

Nota que esta sucesión es estrictamente creciente.

Calculamos la suma de los n primeros términos:

Interdisciplinariedad

Muchas veces nos hemos preguntado “¿para qué me va a servir tal o cual tema que aprendo en el aula?”. Analizando las cosas de forma diferente, podremos entender que, por ejemplo, la matemática nos sirve para lo más simple (saber cuánto dinero tenemos en el bolsillo) y también para lo más complejo (determinar el número de bacterias que se reproducen en un laboratorio). De forma particular, las progresiones geométricas nos permiten determinar los intereses de nuestros ahorros, o el beneficio o utilidad de un capital inicial puesto a una tasa de interés durante un tiempo. He ahí la importancia de la matemática.

▲ Cajero de banco.

1. Considera la fracción periódica u = 3,525252... . Se trata de
determinar un número racional r = con a, b ∈ ℤ^+, tal que
r = 0,525252... . En primer lugar, al número r = 0,525252... lo expresamos como

Ponemos d = . Se define:

Para n ∈ ℤ​^+, la suma de los n + 1 primeros términos de la progresión geométrica de constante d está dada como:

Entonces,
La sucesión es positiva, estrictamente decreciente.
Para n suficientemente grande, es positivo y tiende o se
aproxima cada vez a 0, lo que se escribe

Luego, para n suficientemente grande

y en consecuencia,
siendo S = 1 + d + d^2 + ... + d^n + ... =
Así,
​es el número racional buscado. Por lo tanto,

Para verificar este resultado, basta dividir 349 para 99.

Interdisciplinariedad

Matemática y finanzas

En la actualidad, cada dólar del que se dispone es más que un dólar. Efectivamente, si se dispone de una cantidad de dinero, esta se puede invertir, ganar interés y, así, es posible obtener una cantidad mayor de dinero en el futuro. La cantidad de dinero de la que se dispone actualmente se conoce como ‘valor presente’, y se nota VP. El proceso de convertir valores actuales en valores futuros se conoce como ‘valor futuro’, y se nota VF. Al proceso de determinar el valor de un flujo de caja o de sucesiones de flujo de caja, algunas veces en el futuro, cuando se aplica interés compuesto, se lo conoce como ‘composición’.

▲ Dinero en efectivo.

Aplicación de progresiones en finanzas
Valor futuro

Dispongo de $ 100 que deposito en una cuenta de una entidad financiera. Esta entidad paga el 5,2 % de interés cada año.

¿Cuánto tengo al final del primero, segundo, ..., n-ésimo período? El período puede ser anual, semestral, quinquenal, etc.

Notaciones: VP designa el valor presente o capital; VP = $ 100, la tasa de interés anual que paga la entidad financiera r es r = 5,2 % = 0,052; el interés que se gana durante el año es Int. Para este ejemplo,

Int = VP × r = 100 × 0,052 = 0,52.

El número de períodos se designa con n; el valor futuro al final de n períodos es VF_n. En este ejemplo, en el primer año, n = 1, se tiene

VF_1 = VP + Int = VP + Vp×r = VP(1 + r).

Con r = 0,052, VP = 100, se obtiene VF_1 = 105,2.

Interesa calcular el valor futuro VF_n al cabo de n períodos. Se comienza el segundo año con la cantidad de $ 105,2, gana interés de r = 5,2 % = 0,052. Al final del segundo año, se tiene

VF_2 = VF_1 + Int = VF_1 + VF_1 × r = VF_1(1 + r) = VP (1 + r)^2.

Así,

VF_2 = 100(1 + 0,052)^2 = 100 × 1,106 704 = 110,670 4.

Razonando del mismo modo que el precedente, al final del tercer año se tiene

VF_3 = VF_2 + Int = VF_2 + VF_2×r = VF_2(1 + r) = VP(1 + r)^3.
VF_3 = 100(1 + 0,052)^3 = 100 × 1,164 252 608 = 116,425 260 8.

Por su parte, en el cuarto año se obtiene

VF_4 = VF_3 + Int = VF_3 + VF_3×r = VF_3(1 + r) = VP(1 + r)^4.
VF_4 = 100(1 + 0,052)^4 = 100 × 1,124 793 744 = 122,479 344.

De manera general, para n períodos se obtiene el siguiente resultado:

VF_n = VF_n–1 + Int = VF_n–1(1 + r) = VP(1 + r)^n, n = 0, 1, 2, ... .

Nota que esta fórmula define una progresión geométrica de valor constante VP razón 1 + r. Además, en esta fórmula se tienen cuatro variables: n, r, VP, VF_n. Para calcular una de estas, se debe disponer de tres datos restantes. Por ejemplo, si se conocen r, n, VF_n, entonces de la fórmula anterior se obtiene:

que en el medio financiero se conoce como 'descuento'. Por ejemplo,

Variables aleatorias

DCCD: M.5.3.14. Reconocer variables aleatorias discretas, cuyo recorrido es un conjunto discreto, en ejemplos numéricos y experimentos, y la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta como una función real a partir del cálculo de probabilidades acumuladas definidas bajo ciertas condiciones dadas.

M.5.3.16. Resolver y plantear problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas.

● Variables aleatorias

Saberes previos

¿Qué aspectos de tu entorno puedes contar?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué es para ti una variable aleatoria?

Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio.

Definición. Se le llama variable aleatoria  a cualquier función definida en un espacio muestral Ω con recorrido en un subconjunto finito o infinito de ℝ.

Tenemos, entonces, la función

donde w es un evento y X es una variable aleatoria.

Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire tenemos dos eventos: que salga cara (C) o que salga sello (S). La variable aleatoria X se puede definir de la siguiente manera:

X(w) = 1 si “sale cara”;   X(w) = 0 si “sale sello”.

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas. En este texto centraremos nuestro estudio en las primeras.

Recuerda que...

Se utilizan letras mayúsculas (X, Y, …) para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, …) para designar valores concretos de estas.

Variable aleatoria discreta

Definición. Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar valores dentro de un conjunto finito o infinito numerable.

Función de probabilidad

Sea X la variable aleatoria discreta que toma los valores x_1, x_2 ,… x_n, se define la función de probabilidad X como:

p(X = x_i) = p_i; i ≥ 1.

Una vez que se han determinado las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de una variable aleatoria discreta (v.a.d.), se organiza la información en una tabla con todos los posibles valores y las correspondientes probabilidades.

Variable aleatoria discreta | x_i | x_1 | x_2 | x_3 | ... | x_n_–1 | x_n
Probabilidad | p_i | p_1 | p_2 | p_3 | ... | p_n_–1 | p_n

▲ Figura 3.4.

Ejercicio resuelto

Se define la variable aleatoria discreta X = “número de caras que se obtiene al lanzar una moneda dos veces”. ¿Cuál es la función de probabilidad? ¿Qué significa?

Efectuemos un diagrama de árbol para determinar la probabilidad del evento. Ver Figura 3.4.

Recuerda que...

Las propiedades de la función de probabilidad son:
p[X = x_i ] > 0

es decir,
p[X = x_1] + p[X = x_2] +...
+ p[X = x_n] = 1.

Las propiedades de la función de distribución son las siguientes:

- La función es creciente, con

- p[a < x ≤ b] = p[x ≤ b] –p[x ≤ a]
- p[x > a] = 1 – p[x ≤ a].

De acuerdo con el diagrama del árbol, podemos llenar nuestra función de probabilidad f(x).

Número de caras en el lanzamiento
de una moneda dos veces
Valores de v.a.d | x_i | 0 | 1 | 2
Probabilidad | P[X = x_i] | 1/4 | 1/2 | 1/4

La interpretación que damos a la función de probabilidad es la siguiente:

p[x = 0] = 1/4;  es la probabilidad de obtener cero caras.

p[x = 1] = 1/2;  es la probabilidad de obtener una cara.

p[x = 2] = 1/4;  es la probabilidad de obtener dos caras.

Función de distribución

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x_1, x_2 ,… x_n, se define la función de distribución de X como:

Interdisciplinariedad

 En la vida cotidiana observamos varios fenómenos aleatorios, cuyos resultados se expresan mediante números. Por ejemplo,  el número de personas en la sala de un  cine, la velocidad de conexión a la red, el número de estudiantes aprobados o reprobados,  el número de pacientes que se clasifican en ‘sanos’ y ‘enfermos’. En todas estas situaciones, de forma inconsciente, estamos trabajando con variables aleatorias discretas.

Ejercicio resuelto

En el ejemplo que estamos tratando:

x_i | 0 | 1 | 2
P[X = x_i] | 1/4 | 1/2 | 1/4

F(0) = p[X ≤ 0] = p[X = 0] = 1/4.

F(1) = p[X ≤ 1] = p[X = 0] + p[X = 1] = 1/4 + 1/2 = 3/4.

F(2) = p[X ≤ 2] = p[X = 0] + p[X = 1] + p[X = 2] = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1.

La función de distribución se puede expresar así:

Los gráficos de la función de probabilidad y de la función de distribución se muestran a continuación.

▲ Ilustración 1. Función de probabilidad

▲ Ilustración 2. Función de distribución

Media, varianza y desviación estándar

DCCD: M.5.3.15.Calcular e interpretar la media, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

M.5.3.17. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas dentro del contexto del problema.

● Media, varianza y desviación estándar

Saberes previos

Explica con tus palabras, ¿qué entiendes por ‘valor esperado’?

Desequilibrio cognitivo

 ¿Qué relación existe entre ‘valor esperado’, ‘varianza’ y ‘desviación típica’?

Media o esperanza matemática E(X) de una variable aleatoria discreta

Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad p_i, la media (µ) o esperanza E(X) de una variable aleatoria discreta X es:

Varianza de una variable aleatoria discreta

Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad p_i, y media (µ), la varianza indica qué tan alejados se encuentran los valores de la media y se define como:

Recuerda que...

La esperanza matemática tiene algunas propiedades que enunciamos a continuación:

1. La esperanza de una constante es el valor de la constante.

E(c) = c.

2. La esperanza de la suma de dos variables aleatorias  independientes es igual a la suma de las esperanzas de los dos sumandos.

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

3. La esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de las esperanzas de los dos factores.

E(X Y) = E(X) E(Y).

Desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta

Definición. La desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta es la raíz cuadrada de la varianza.

Ejercicio resuelto

Se lanzan al aire, varias veces, dos dados iguales y se define la variable aleatoria discreta X = “suma de los puntos de las caras obtenidas”. El espacio muestral de este evento se detalla en la tabla.

Determina:

a) La media o esperanza matemática

b) La varianza

c) La desviación típica o estándar

Recuerda que...

La varianza de una variable aleatoria X, Var(X) o σ^2, es  un número no negativo que también se puede calcular así:

Var(X) = E(X^2) – (E(X))^2.

Las propiedades de la varianza son:

1. La varianza de una constante es cero, es decir, para toda c:

Var(c) = 0.

2. Un valor constante c se puede sacar del símbolo de la varianza, elevándolo al cuadrado:

Var(cX) = c^2Var(X).

3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de los dos sumandos:

Var( X+ Y) = Var(X) + Var(Y).

Construimos la tabla de distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta, X = “suma de los puntos de las caras obtenidas”.

Suma de las dos caras | Probabilidad | Para el cálculo de la media o esperanza | Para el cálculo de la varianza y desviación típica
x_i | p_i | x_ip_i | P_ix_i^2
2 | 1/36 | 2/36 | 4/36
3 | 2/36 | 6/36 | 18/36
4 | 3/36 | 12/36 | 48/36
5 | 4/36 | 20/36 | 100/36
6 | 5/36 | 30/36 | 180/36
7 | 6/36 | 42/36 | 294/36
8 | 5/36 | 40/36 | 320/36
9 | 4/36 | 36/36 | 324/36
10 | 3/36 | 30/36 | 300/36
11 | 2/36 | 22/36 | 242/36
12 | 1/36 | 12/36 | 224/36
Total | 36/36 = 1 | 252/36 | 1974/36

Cálculo de la media o esperanza matemática: | Cálculo de la varianza: | Cálculo de la desviación típica o estándar:

Ejercicio resuelto

La variable aleatoria discreta X está definida mediante la siguiente tabla:

x_i | 2 | 3 | 4
p_i | 0,3 | 0,5 | 0,2

Determina la esperanza y la varianza de: a) la variable aleatoria X; b) la variable aleatoria Y = 0,2X + 1.

a) Calculamos la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X.
E(X) = x_ip_i_ = 2(0,3) + 3(0,5) + 4(0,2) = 2,9^ µ^2.
E(X^2 )= 2^2 (0,3) + 3^2(0,5) + 4^2(0,2) = 8,9.
Var ( X) = E(X^2) – ( E(X))^2 = 8,9 – 2,9^2 = 0,49.

b) Para calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria Y, aplicamos sus propiedades:
E(Y) = E (0,2 X + 1) = E(0,2X) + E(1) = 0,2E(X) + 1 = 0,2(2,9) + 1 = 1,58,

Var(Y) = Var(0,2X + 1), Var(Y) = Var(0,2X) + Var(1).
Var(Y) = 0,2^2Var(X) + 0, Var(Y) = 0,04(0,49) = 0,019 6.

Solución de problemas cotidianos

1

2^3

Contaminación ambiental

1. Se debe tratar agua que contiene algún contaminante. Para el efecto, se procede a purificarla con un filtro de arena. Suponemos que los granos de arena tienen forma de pequeños cubos. Además, se asume que la retención del contaminante es proporcional al área total de las superficies de cada uno de los cubos. Sea L > 0, L medido en metros o en centímetros, consideremos un cubo de lado L. El área de la superficie del cubo es A_0 = 6L^2 y su volumen es V_0 = L^3.

Dividamos el cubo en 8 partes iguales, como se muestra en la figura.

El volumen de cada cubo es V_1 = = V_0,
y el área de la superficie de cada uno de los cubos resultantes es

A_1 = 6 = (6L^2) = A_0.

El área total de la superficie de todos los cubos es la suma de las áreas de las superficies de cada uno de los cubos; esto es,

A_1 = 8A_1 = 8 × A_0 = 2A_0;

mientras que el volumen total se mantiene constante:

V_1 = 8V_1 = 2^3 × V_0 = V_0.

Dividamos cada uno de los cubos resultantes en 8 cubos iguales. El área de la superficie de cada uno de los cubos es:

Â_2 = 6 = 6 = A_0.

Se tienen 64 cubos. El área total de las superficies de todos los cubos contenidos es

Â_2 = 64A_2 = 64 A_0 = 2^2 A_0.

El volumen de cada cubo es

V_2 = = = V_0 = V_0,

y el volumen total de todos los cubos es

V_2 = 64V_2 = 2^6 V_0 = V_0.

Continuando con este procedimiento, en la k-ésima etapa se obtienen las siguientes progresiones geométricas:
número total de cubos: (2^3)^k, k = 0,1...
área de superficie de cada cubo:

Â_k = A_0, k = 0,1...

área total de todos los cubos: A_k = 2^kA_0, k = 0,1...

volumen de cada cubo: V_k = V_0, k = 0,1...

2. Una persona decide invertir una suma de dólares S a una tasa nominal 𝐼% anual, en un tiempo de años. El interés se capitaliza 4 veces al año.

a) Prueba que el monto compuesto al final del primer año es

M_1 = S 1 + .

b) Supón que 𝐼 = 0,06 % y S = $ 1 000,00. Calcula M_1.

c) Supón que 𝐼 = 0,05 % y S = $ 8 000,00. Calcula M_1.

�

shutterstock, (2017). 555842185

^2

L

2

^2

L

4

1

(2^2)^2

Contaminación ambiental. p

2

1

(2^2)^2

^2

L

2

L^3

(2^2)^3

1

(2^3)^2

1

2^6

2

L

1

2^6

L

�

L

1

2^2^k

L

2

�

L

2

1

2^3^k

L

2

p Figura 3.5.

Practica en tu cuaderno

^3

L

2

1

2^3

^2

L

2

1

4

1

4

^4

𝐼

4

1

4

�

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y deporte

¿Qué tiene que ver la matemática con el deporte? Muchas personas pueden pensar que una sucesión no tiene relación con el deporte. Sin embargo, ese criterio cambia el momento en que se reconoce la utilidad de las sucesiones en un deporte muy conocido como es el tenis.

En una competencia de tenis, siempre existe el jugador o jugadora que, luego de varias competiciones, llega a la fase final; es decir, son dos las personas que juegan la final y una de ellas es la ganadora. Para determinar quién gana el torneo, en la semifinal participan 4 jugadores. En la etapa anterior a esta, compiten 8 tenistas, y así sucesivamente, en cada etapa de la competición siempre se clasifica la mitad para la siguiente etapa. Es decir, el número de tenistas en cada etapa es la mitad de la etapa anterior, ya que en cada partido se elimina a uno de los contrincantes.

Como puedes apreciar, en un torneo de tenis se aplican las progresiones geométricas de razón ½.

Adaptado de: http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u5/
M3_U5_contenidos/4_progresiones_cotidianas.html​

▲  Rafael Nadal, Paris, 2015, Grand Slam Champion.

La Matemática y las profesiones

La Matemática y las profesiones

Licenciatura en Ciencias de la Actividad
Física, Deportes y Recreación

La carrera está orientada a formar profesionales capaces de fomentar la salud mediante la actividad física, el deporte formativo-competitivo y la recreación, así como también a formarlos en el ámbito técnico deportivo, a fin de alcanzar un alto rendimiento deportivo de calidad.

Para optar por esta carrera, el aspirante debe tener afinidad con:

- Matemática básica, asignatura que recibirá en primer semestre de la carrera.
- Estadística descriptiva y los temas relacionados con medidas de tendencia central, medidas de posición y medidas de dispersión.

Para optar por esta carrera puedes postular por una de las Universidades de nuestro país, legalmente reconocida por el Senescyt.

Los posibles escenarios de trabajo radican principalmente en empresas deportivas y de actividad física, instituciones educativas, fundaciones y organizaciones no gubernamentales (ONG), empresas públicas y empresas privadas.

Tomado de: http://cafder.espe.edu.ec/campo-ocupacional/

▲ Adolescentes de un equipo femenino de fútbol, practicando con su entrenador.

TIC

TIC

Préstamo con cuotas crecientes en progresión aritmética

Un préstamo en cuota creciente en progresión aritmética determina una cuota igual a la anterior, más una cantidad fija determinada.

Vamos a utilizar una hoja de cálculo (en este caso, una hoja Excel) para resolver el siguiente problema.

Se trata de determinar cuál es la cuota anual que debe pagar una persona por un préstamo de $ 50 000, con una cuota creciente en progresión aritmética de $ 500 durante 10 años, y un préstamo postpagable (es decir que la persona debe ir pagando al final del período).

Notas

- Las cantidades en miles deben ingresarse con el punto cada tres períodos.
- Para el símbolo de dólares vas a formato de celda, moneda, símbolo y seleccionas: $ Español (Ecuador).
- Para no modificar un valor, seleccionas la celda y oprimes F4.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Simulación de préstamos bancarios con progresiones aritméticas

Recursos

- Sala de computación o tablets con el paquete de Excel
- Espacio físico para desarrollar la feria de bienes inmuebles

Justificación

Cuando una persona quiere comprar un bien inmueble (como, por ejemplo, una casa o un terreno), muchas veces accede a los bancos para adquirir un préstamo. En ocasiones, se utilizan progresiones aritméticas para calcular las cuotas, las cuales pueden ser crecientes en razón de una cantidad fija que se incrementa en cada anualidad o período de liquidación. Esto hace que la cuota no solo varíe en función del tipo de interés devengado en cada momento, sino que, además, año a año su importe se incremente en función de la diferencia de la progresión.

Objetivos

- Utilizar una hoja de cálculo para realizar simulaciones de préstamos bancarios y de préstamos con cuotas crecientes en progresiones aritméticas.

Actividades

- Grupos de 2 o 3 personas.
- Organizar una feria de bienes inmuebles, donde los estudiantes puedan simular la compra de casas, departamentos o terrenos.
- Averiguar, en los diarios impresos o en las inmobiliarias, los costos de las viviendas y los terrenos para así trabajar con datos reales.
- Adicionalmente, averiguar en las entidades bancarias el porcentaje de interés anual que cobran por los préstamos que realizan.
- Los estudiantes deben tener una hoja de cálculo en una tablet o en una computadora, como la que se desarrolló en la sección TIC de este libro.
- Invitar a otros estudiantes y a padres de familia a la feria de bienes inmuebles. Cada grupo de la inmobiliaria estará en capacidad de calcular la cuota creciente en progresión aritmética por el valor otorgado. Para ello, deben utilizar la hoja de cálculo desarrollada anteriormente.

Conclusiones

Coevaluar y autoevaluar la ejecución de esta actividad.

Es importante conocer cuál fue el grado de aceptación del proyecto por parte de los estudiantes, y cómo se sintieron con la ejecución de este. Por ello, al término de la actividad, se puede establecer un diálogo para conversar acerca de cómo se sintieron al realizar este proyecto.

En síntesis

En síntesis