Title: Unidad 6
Course: Matemáticas Plus + 2 BGU > Section: LIBRO DIGITAL

Composición de funciones reales y el espacio vectorial ℝ​3

Aplicaciones en la vida diariade elementos en ℝ^3

Uno de los ejemplos más recientes (que utilizó la aplicación de elementos de ℝ​^3) es el eclipse, ocurrido en septiembre de 2015. Las personas especializadas en este tipo de fenómenos físicos utilizaron planos con tres ejes de coordenadas para visualizar en qué parte del espacio quedaría la Luna exactamente y, mediante cálculos exactos, llegaron a la conclusión de la hora a la que iba a ocurrir dicho fenómeno y en qué posición se iba a situar la Luna.

Otras aplicaciones de los elementos en ℝ^3 son realizadas por los arquitectos al momento de diseñar los edificios y operar con simuladores. De igual manera, en el caso de construcción de juegos para consolas u ordenadores, todo se representa geométricamente en la pantalla para simular procesos naturales o físicos.

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​
Geometría y medida

  Objetivos

- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.3. Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.

Observa y contesta

- ¿Qué observas en las imágenes?
- ¿Qué elementos matemáticos intervienen en la construcción de juegos para computadoras?
- ¿Te gusta algún juego de computadora? ¿Cuál?

Tipos de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas) comprobando con la composición de funciones.

● Tipos de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Saberes previos

¿Qué es una función?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es la diferencia entre función inyectiva y sobreyectiva?

Función inyectiva

Definición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Se dice que una aplicación f de A en B es inyectiva, o uno a uno, si y solo si se verifica la siguiente condición:

∀x_1, x_2 ∈ A, x_1 ≠ x_2 ⇒ f(x_1) ≠ f(x_2).

En forma equivalente, f es inyectiva si y solo si se verifica:

∀x_1, x_2 ∈ A, f(x_1) = f(x_2) ⇒ x_1 = x_2.

Esto se lee como: "f es inyectiva si a cada par de elementos distintos de A asocia imágenes distintas". La negación se lee: "la función f no es inyectiva si y solo si existen x_1, x_2 ∈ A, tal que x_1 ≠ x_2, pero f(x_1) = f(x_2)".

Recuerda que...

Una de las primeras tareas en el estudio de funciones es el reconocimiento del tipo de función que corresponde; es decir, distinguir si la función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. En este último caso, es posible determinar o definir la función inversa.

Ejercicios resueltos

1. Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} y h la función de A en B definida como sigue:

h(a) = 3, h(b) = 1, h(c) = 4, h(d) = 2.

Primeramente, observamos que h define una función de A en B. Esta función es inyectiva, pues a cada par de elementos distintos del conjunto A, asocia imágenes distintas. Por ejemplo, a ≠ b y h(a) = 3 ≠ h(b) = 1.

1. Nuevamente, consideremos los conjuntos A = {a, b, c, d},
B = {1, 2, 3, 4} y u la función de A en B definida como se indica:

u(a) = 2, u(b) = 3, u(c) = 2, u(d) = 4.

Esta función no es inyectiva ya que a ≠ c, pero u(a) = u(c) = 2.

Función sobreyectiva

Definición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Una función f de A en B es sobreyectiva si y solo si Rec(f) = B.

La igualdad de los conjuntos Rec(f) = B significa las dos inclusiones siguientes: Rec(f) ⊂​ B y B ⊂​ Rec(f). De la definición del conjunto recorrido de f, se tiene Rec(f) ⊂​ B. De la inclusión B ⊂​ Rec(f), se sigue que y ∈ B ⇒ y ∈ Rec(f), y por la definición del conjunto Rec(f), se tiene la equivalencia siguiente:

y ∈ Rec(f) ⇔ ∃x ∈  A tal que y = f(x).

Por lo tanto, la sobreyectividad de la función f puede ser expresada con la siguiente equivalencia:

Rec(f) = B ⇔ ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que y = f(x).

Si una función f de A en B es tal que Rec(f) es un subconjunto propio de B, f no es sobreyectiva.

Interdisciplinariedad

En forma general, las funciones (sean estas inyectivas, sobreyectivas o biyectivas) son muy utilizadas para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo, en la geología, a fin de determinar la intensidad de un sismo, se utiliza una función denominada escala de Richter.

▲ Tarjeta de sismología.

Ejercicios resueltos

1. Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}  y f la función de A en B definida como f(a) = 3,    f(b) = 2,    f(c) = 1,    f(d) = 4.
Se tiene Rec(f) = B = {1, 2, 3, 4} = B, es decir, f es función sobreyectiva.
2. Consideremos los conjuntos A = {–1, 0, 1, 2}, B = {5, 10, 15, 20}
y g la función de A en B definida como:
g(–1) = 20,   g(0) = 10,   g(1) = 20,   g(2) = 10.
Entonces, Rec(g) = {10, 20} ≠ B, por lo que g no es sobreyectiva.

Función biyectiva

Definición. Sean A y B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Una función o aplicación f de A en B es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva.

La negación de la biyectividad de una función se expresa como sigue: una función f de A en B no es biyectiva si y solo si f no es inyectiva o f no es sobreyectiva.

Ejercicios resueltos

1. Sea A = {–1, 0, 1, 2}, B = {5, 10, 15, 20}.
Se define la función v de A en B como sigue:

v(–1) = 5, v(0) = 10, v(1) = 15, v(2) = 20.

La función v es inyectiva. Como Rec(v) = B, la función v es sobreyectiva. Luego v es una función biyectiva.

1. Se define una función u. Demuestra o refuta que u es biyectiva.

^

a) Inyectividad
     ​  ∀x_1, x_2 ∈ ℝ; x_1 ≠ x_2 ⇒ f(x_1) ≠ f(x_2).
     ​  Supongamos f(x_1) = f(x_2), entonces se tiene que:
      ​ –(x_1) + 1 = –(x_2) + 1. Por la ley cancelativa: x_1 = x_2.
    ​  Se comprueba que f(x_1) = f(x_2) ⇒ x_1 = x_2. Por lo tanto, la función u es inyectiva.

b) Sobreyectiva
       Rec(u) = ℝ.
    ​   Sean z ∈ ℝ, entonces z ∈  Rec(u), luego z = u(x), o sea
    ​   z = –x + 1, x = 1 – z.
    ​   Resulta u(x) = u(1 – z) + 1 = z,
    ​   se concluye que u es sobreyectiva.
    ​   Por los literales a y b se
       ha demostrado que la función ^
    ​   es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto, es biyectiva.

Composición de funciones y funciones inversas

DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas), comprobándola mediante la composición de funciones.  M.5.1.24. Resolver y plantear aplicaciones de la composición de funciones reales en problemas reales o hipotéticos.

● Composición de funciones y funciones inversas

Saberes previos

¿Qué es una función biyectiva?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo representas en un diagrama de Venn la composición de funciones?

Definición. Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos cualesquiera, f una función de A en B, g una función de B en C. La composición de la función g con la de f, que se nota g  f, es la función de A en C definida como:

(g_∘f)(x) = (g(f(x)), ∀x ∈ A.

De la definición se tiene g_∘f: ^

Ejercicios resueltos

1. Sean A = {–30, –25, –20, –15}, B = {0, 1, 2, 3, 4},
C = {10, 20, 30, 40, 50}, f y g son las funciones que se muestran en los siguientes diagramas de Venn-Euler:

^

▲ Figura 6.1.

La función g_∘f está definida del modo que se indica a continuación:

g_∘f(–30) = g(f(–30)) = g(4) = 20,
g_∘f(–25) = g(f(–25)) = g(2) = 60,
g_∘f(–20) = g(f(–20)) = g(0) = 40,
g_∘f(–15) = g(f(–15)) = g(3) = 30.

En la Figura 6.1. se muestran los resultados de la función g_∘f.

Recuerda que...

Teorema. Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos, f una función de A en B, g una función de B en C. Entonces,

i. Si f, g son inyectivas, g_∘f es inyectiva.
ii. Si f, g son sobreyectivas, g_∘f es sobreyectiva.
iii. Si f, g son biyectivas, g_∘f es biyectiva.
iv. Si g_∘f es inyectiva, f es inyectiva.
v. Si g_∘f es sobreyectiva, g es sobreyectiva.

Ejercicios resueltos

1. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = C = A. Consideremos las funciones f, g definidas como sigue:

f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 1,
g(1) = 3, g(2) = 4, g(3) = 1, g(4) = 2.

Claramente, las funciones f, g son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Determinemos la función g_∘f. Tenemos:

(g_∘f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 4, (g_∘f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 1,
( g_∘f)(3) = g(f(3)) = g(4) = 2, (g_∘f)(4) = g(f(4)) = g(1) = 3.

Observamos que g_∘f es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. ¿Cómo está definida la función compuesta f_∘g?, ¿es f_∘g = g_∘f?

1. Sean u, v las funciones definidas de ℚ en ℚ que se especifican a continuación: u(x) = x^2 + 1, v(x) = – – 1, ∀x ∈ ℚ.

Determinemos las funciones compuestas v_∘u y u_∘v.

De la definición de las funciones u y v se tiene:

Observa que, en general, (u_∘v)(x) ≠ (v_∘u)(x).

Recuerda que...

Teorema. Sean A, B, C, D conjuntos no vacíos f: A → B, g: B → C, h: C → D tres aplicaciones, entonces:

(h_∘g)_∘f = h_∘(g_∘f).

Teorema. Sean A, B dos conjuntos no vacíos, f una función biyectiva de A en B, entonces:

i. f^–1 es biyectiva.
ii. f_∘f^–1 = I_B.
iii. f^–1_∘f = I_A.
iv. I_B_∘f = f.
v. f_∘I_A = f.

Teorema. Sean A, B, C conjuntos no vacíos, f una función de A en B, g una función de B en C con f y g funciones biyectivas, entonces:

(g_∘f)^–1 = f^–1_∘g^–1.

Función inversa

Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera, f una función de A en B con f biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada y ∈ B existe x ∈ A, tal que y = f(x). Supongamos que existen x_1, x_2 ∈ A, tales que y = f(x_1), y = f(x_2). Como f es inyectiva, de la igualdad f(x_1) = f(x_2) se sigue que x_1 = x_2. Así, para cada y ∈ B, existe un único x ∈ A, tal que y = f(x). Este hecho permite definir la función inversa.

Definición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos, f una función biyectiva de A en B. Se define la función inversa f^–1 de B en A mediante la siguiente relación:

x ∈  A, y ∈ B, y = f(x) ⇔ x = f^–1(y).

Ejercicios resueltos

1. Sea A = {a, b, c}, B = {0, 1, 2}. y f la función de A en B definida como f(a) = 0, f(b) = 1, f(c) = 2.
Obviamente f es biyectiva. Determinemos f^–1. Tenemos:
0 = f(a) ⇔ a = f^–1(0), 1 = f(b) ⇔ b = f^–1(1), 2 = f(c) ⇔ c = f^–1(2).

La función f^–1 de B en A está definida como f^–1(0) = a, f^–1(1) = b, f^–1(2) = c.

1. Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {i, j, k, m}. Consideramos las funciones f y g definidas como se indica a continuación:
f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 1, f(d) = 3,
g(1) = k, g(2) = m, g(3) = j, g(4) = i.

Claramente, las funciones f y g son biyectivas. Las funciones inversas f^–1 y g^–1 se definen a continuación:

f^–1(1) = c, f^–1(2) = a, f^–1(3) = d, f^–1(4) = b,
g^–1(i) = 4, g^–1(j) = 3, g^–1(k) = 1, g^–1(m) = 2.

Entonces, la función f^–1_∘g^–1 se define como sigue:
( f^–1_∘g^–1)(i) = f^–1(g^–1(i)) = f^–1(4) = b,
( f^–1_∘g^–1)(j) = f^–1(g^–1(j)) = f^–1(3) = d
( f^–1_∘g^–1)(k) = f^–1(g^–1(k)) = f^–1(1) = c,
( f^–1_∘g^–1)(m) = f^–1(g^–1(m)) = f^–1(2) = a,
y la función (g_∘f)^–1 se obtiene del modo siguiente:

(g_∘f)(a) = g(f(a)) = g(2) = m ⇒ (g_∘f)^–1(m) = a,
( g_∘f)(b) = g(f(b)) = g(4) = i ⇒ (g_∘f)^–1(i) = b,
( g_∘f)(c) = g(f(c)) = g(1) = k ⇒ (g_∘f)^–1(k) = c,
( g_∘f)(d) = g(f(d)) = g(3) = j ⇒ (g_∘f)^–1(j) = d.

Comparando los resultados, se concluye que (g_∘f)^–1 = f^–1_∘g^–1.

El conjunto ℝ3

DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de ℝ^3^ y de producto por un número escalar de manera geométrica y analítica, aplicando propiedades de los números reales; y reconocer los vectores como elementos geométricos de ℝ^3.

● El conjunto ℝ^3

Saberes previos

¿Cómo son los elementos de ℝ^2?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuántos elementos tiene una terna elemento de ℝ​^3?

Interdisciplinariedad

Matemática y física

Muchas de las aplicaciones en el campo de la física y, en estos últimos años, en la computación gráfica, como, por ejemplo, el diseño asistido por computadora y la simulación numérica, requieren del conocimiento matemático de los espacios vectoriales.

Así, por ejemplo, en física, el movimiento de una partícula o de un cuerpo se determina por el vector de posición, la velocidad, la aceleración, las fuerzas que obran sobre dicho movimiento, entre otros elementos.

▲ Torre Eiffel.

Los elementos del espacio vectorial ℝ^3 se identifican con los vectores en el plano. Las ecuaciones vectoriales recta y de planos, así como sus representaciones gráficas, constituyen otros elementos importantes en las aplicaciones.

Se designa con ℝ^3 al producto cartesiano ℝ × ℝ × ℝ, esto es, ℝ^3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ}. Los elementos de ℝ^3 son ternas ordenadas.
Si (x, y, z) ∈ ℝ^3, x ∈ ℝ se denomina primera componente o abscisa, y ∈ ℝ se denomina segunda componente u ordenada, z se llama tercera componente. A los elementos de R^3 los representamos con las letras mayúsculas del alfabeto y a sus componentes, siempre con letras minúsculas del alfabeto, con o sin subíndices. Así, escribiremos U = (x, y, z) ∈ ℝ^3. También escribiremos A ∈ ℝ^3. En este último caso, quedará sobreentendido que A es una terna ordenada, esto es, que existen a, b, c ∈ ℝ, tal que A = (a, b, c). Se tiene, entonces, la siguiente equivalencia:

A ∈ ℝ^3 ⇔ ∃a, b, c ∈ ℝ tal que A = (a, b, c).

Ejercicio resuelto

Los siguientes son elementos de ℝ^3: A = (0, 1, 5), ,

C = (0, 0, –3), D = (2, 0, 0), M = (0, 1, 0), ,

0 = (0, 0, 0). El elemento 0 = (0, 0, 0) se llama elemento nulo de ℝ^3.

Igualdad de elementos de ℝ​^3

Definición. Sean A = (a, b, c), B = (x, y, z) ∈ ℝ^3. Diremos que A es igual a B, que se escribe A = B, si y solo si a = x, b = y, c = z.

De la definición de igualdad de ternas ordenadas, tenemos la siguiente equivalencia:

A = B ⇔ (a = x ∧ b = y ∧ c = z),

donde ∧ denota el conectivo lógico conjunción. La definición expresa que dos elementos de ℝ^3 son iguales si y solo si sus respectivos componentes son iguales. De la definición de igualdad se desprende inmediatamente su negación: si A = (a, b, c), B = (x, y, z) ∈ ℝ^3,^ entonces A ≠ B ⇔ (a ≠ x ∨ b ≠ y ∨ c ≠ z), donde ∨ denota el conectivo lógico disyunción.

Sistemas de coordenadas espaciales

Primeramente establecemos una correspondencia biunívoca (biyección) entre los puntos del espacio y las ternas ordenadas (a, b, c) ∈ ℝ^3. Denotamos con E_3 el conjunto de puntos del espacio.

▲ Figura 6.2.

En la Figura 6.2. se muestran tres rectas del espacio L_1, L_2, L_3, que se cortan en el punto O y L_1 ⟘ L_2, L_1 ⟘ L_3, L_2 ⟘ L_3, A ∈ L_1, B ∈ L_2, C ∈ L_3. El símbolo  colocado en los ejes indica que el ángulo formado es recto.

Al punto O le asociamos el elemento nulo (0, 0, 0) de ℝ^3. Las longitudes de los segmentos , , son 1.

A la recta L_1 con la graduación la denominamos eje x; a la recta L_2 con la graduación la denominamos eje y; a la recta L_3 con su graduación la denominamos eje z. Estos ejes no necesariamente son ortogonales. A estos tres ejes los denominamos sistema de referencia del espacio o sistema de coordenadas espaciales.

Recuerda que...

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X y Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P = (x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ y YZ. Estos planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. En el primer octante, las tres coordenadas son positivas.

▲ Figura 6.5.

Cuando los ejes son ortogonales, llamaremos sistema de referencia ortogonal y, si no hay peligro de confusión, simplemente diremos sistema de coordenadas espaciales xyz.

En las Figuras 6.3. y 6.4. se muestran tres sistemas de coordenadas espaciales xyz y el punto (2, –3, 3) ∈ ℝ^3,^ así como el punto (3, 5, 2) ∈ ℝ^3.

▲ Figura 6.3.

▲ Figura 6.4.

Operaciones en ℝ3

DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de ℝ​^3 y de producto por un número escalar de manera geométrica y analítica, aplicando propiedades de los números reales; y reconocer los vectores como elementos geométricos de ℝ^3.

● Operaciones en ℝ^3

Saberes previos

¿Qué operaciones se pueden efectuar en ℝ​^3?

Desequilibrio cognitivo

¿Las propiedades de la adición de los números reales se cumplen para ℝ^3?

Tal como en el estudio del espacio vectorial ℝ^2, definiremos en ℝ^3 las operaciones de adición "+", y de producto de números reales por elementos de ℝ^3. Con estas dos operaciones, obtendremos la estructura de espacio vectorial al que lo denominaremos espacio vectorial ℝ^3, o simplemente espacio ℝ^3.

Adición en ℝ​^3

Definición. Sean = (a, b, c), = (x, y, z) dos elementos de ℝ^3. Se define la suma de con , que se escribe + , como sigue:

+ = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z).

La definición expresa que la adición de dos elementos de ℝ^3 se realiza sumando sus respectivos componentes. El resultado es otro elemento de ℝ^3.

Recuerda que...

Estas son las propiedades de la adición de números reales:

- Conmutativa: para todo x, y ∈ ℝ, x + y = y + x.
- Asociativa: para todo
x, y, z ∈ ℝ,
x + (y + z) = (x + y) + z.
- Existencia de elemento neutro: existe 0 ∈ ℝ, tal que para todo x ∈ ℝ, x + 0 = 0 + x = x.
- Existencia de opuestos aditivos: para cada x ∈ ℝ, existe –x ∈ ℝ, tal que x + (–x) = 0.

Ejercicios resueltos

1. Sean = (–5, 8, 10), = (3; –5,5; –4). Entonces,

+ = (–5, 8, 10) + (3; –5,5; –4)
              = (–5 + 3; 8 – 5,5; –10 –4) = (–2; 2,5; –14).

1. Dado a ∈ ℝ, se definen = (a, –a, a), = (–a, a, –a) ∈ ℝ^3. Entonces,

+ = (a, –a, a) + (–a, a, –a) = (a – a, –a + a, a – a) = (0, 0, 0) = .

La definición de suma de elementos de ℝ^3 muestra que la suma de dos elementos de ℝ^3 es otro elemento de ℝ^3. Más aún, la operación adición en ℝ^3 es una ley de composición interna, esto es, "+" es una función de ℝ^3 × ℝ^3 en ℝ^3 definida como sigue:

^

donde + está arriba definido. Se tiene así la propiedad clausurativa que se expresa del modo siguiente:

∀ , ∈ ℝ^3 ⇒ + ∈ ℝ^3.

Teorema. La operación "+" en ℝ^3 satisface las siguientes propiedades:

i. Conmutativa: para todo , ∈ ℝ^3, + = + .
ii. Asociativa: para todo , , ∈ ℝ^3, + ( + ) = ( + ) + .
iii. Existencia del elemento neutro: existe ∈ ℝ^3 tal que para todo
∈ ℝ^3, + = + = .
iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada ∈ ℝ^3, existe ∈ ℝ^3 tal que + = .

Recuerda que...

Grupo conmutativo (ℝ^3, +)

El conjunto ℝ^3 en el que se ha definido la igualdad de elementos de ℝ^3 junto con la operación adición "+" tiene estructura algebraica de grupo abeliano o conmutativo; esto es, la operación adición "+" es cerrada en ℝ^3 y satisface las propiedades i) a iv) del teorema de la página 206.

Teorema.
Sean = (a, b, c), = (x, y, z)
dos elementos de ℝ^3. Entonces,

–( + ) = (– ) + (– ).

Teorema. Ley cancelativa.
Para todo , , ∈ ℝ^3,
+ = + ⇔ = .

Teorema.

i. El elemento de ℝ^3 es único.
ii. Dado ∈ ℝ^3, el opuesto aditivo – ∈ ℝ^3 es único.

Demostración. Sean = (a, b, c), = (x, y, z), = (p, q, r) tres elementos arbitrarios de ℝ^3.

i. Conmutativa. De la definición de suma de elementos en ℝ^3 se tiene + = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z).
Además, + = (x, y, z) + (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c),
y por la propiedad conmutativa de la operación adición "+" en ℝ, obtenemos + = (a + x, b + y, c + z). Por la definición de igualdad de elementos en ℝ^3 se tiene

+ = + = (a + x, b + y, c + z).

Conclusión: + = + .

ii. Existencia del elemento neutro. El elemento = (0, 0, 0) pertenece a ℝ^3, donde 0 ∈ ℝ es el elemento neutro. Entonces
+ = (a, b, c) + (0, 0, 0) = (a + 0, b + 0, c + 0). Como a + 0 = a,
b + 0 = b, c + 0 = c, se sigue que

+ = (a + 0, b + 0, c + 0) = (a, b, c) = .

Conclusión: ∈ ℝ^3 es tal que para todo ∈ ℝ^3, + = .

iii. Existencia de opuestos aditivos. Dado = (a, b, c) ∈ ℝ^3 y comoa, b, c ∈ ℝ, por la existencia de opuestos aditivos en ℝ, existen –a, –b, –c ∈ ℝ, tales que a +(–a) = 0, b +(–b) = 0, c +(–c) = 0. Definimos = (–a, –b, –c) ∈ ℝ^3. Entonces,
+ = (a, b, c) + (–a, –b, –c) = (a + (–a), b + (–b), c + (–c)) = (0, 0, 0) = .

Conclusión: dado = (a, b, c) ∈ ℝ​^3, existe = (–a, –b, –c) ∈ ℝ^3, tal que + = 0.

Ejercicios resueltos

1. El opuesto aditivo de = (0, –8, 10) es – = (0, 8, –10). Nota que
+ (– ) = (0, –8, 10) + (0, 8, –10) = (0 – 0, –8 + 8, 10 – 10) =
(0, 0, 0) = ​.
2. El opuesto aditivo de es
Se tiene

Resta en ℝ​^3

Definición. Sean = (a, b, c), = (x, y, z) ∈ ℝ^3. Se define – como sigue: – = +(– ) = (a – x, b – y, c – z).

Observa que el opuesto aditivo de = (x, y, z) ∈ ℝ^3 es
– = (–x, –y, –z) ∈ ℝ^3, – , que se opera como la suma de con el opuesto aditivo de .

Ejercicio resuelto

1. Sean = (5, –2, 3), = (15, 3, –8). Entonces – = (–15, –3, 8), y
– = +(– ) = (5, –2, 3) + (15, –3, 8) = (5 – 15, –2 – 3, 3 + 8) = (–10, –5, 11).

Producto de escalares por elementos de ℝ3

DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de ℝ^3 y de producto por un número escalar de manera geométrica y analítica, aplicando propiedades de los números reales; y reconocer los vectores como elementos geométricos de ℝ^3.

● Producto de escalares por elementos de ℝ^3

Saberes previos

¿Son los escalares elementos de ℝ?

Desequilibrio cognitivo

¿Es el producto escalar por elementos de ℝ^3 una operación de composición interna?

Recuerda que...

Algunas propiedades del producto "∙" de números reales son:

- Conmutativa: para todo
x, y ∈ ℝ, x ∙ y = y ∙ x.
- Asociativa: para todo
x, y, z ∈ ℝ, x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z.
- Existencia de elemento unidad: existe 1 ∈ ℝ, tal que para todo x ∈ ℝ, 1 ∙ x = x.
- Existencia de opuestos multiplicativos: para cada x ∈ ℝ, x ≠ 0, existe
x^–1 = ∈ ℝ, tal que xx^–1 = 1.

Al conjunto ℝ provisto de la operación producto "∙" , y que verifica las propiedades i) a iv) precedentes, lo denominamos grupo conmutativo para el producto, y lo denotamos como
(ℝ – {0}, ∙).
x, y, z ∈ ℝ.

- La adición y el producto de números reales están ligados por la propiedad distributiva: para todo x, y, z ∈ ℝ,

x(y + z) = xy + xz.

En lo sucesivo, a los elementos de R los denominamos escalares.

Definición. Sean a ∈ ℝ y = (x, y, z) ∈ ℝ^3. Se define el producto de a por , que se escribe a ∙ , como sigue: a ∙ = a ∙ (x, y, z) = (ax, ay, az).

De la definición se sigue que el producto de un número real por un vector de ℝ^3 es otro elemento de ℝ^3, cuyos componentes son los productos del número real por los respectivos componentes del vector.

El producto de escalares (números reales) por vectores de ℝ^3 es una operación que notamos "∙" y es una función de ℝ × ℝ^3 en ℝ^3, definida como sigue:

^

con a ∙ arriba definido. Además, se asume que
a ∙ = ∙ a = (ax, ay, az), donde a ∈ ℝ, = (x, y, z) ∈ ℝ^3.

Ejercicios resueltos

1. Para a = –2 y , se tiene
2. Sean = (5, 2, –1), Entonces,

                          = (15, 6, –3) – (–20, 8, –5) = (35, –2, 2).

Propiedades del producto de escalares por elementos de R^3

Teorema. Para todo a, b ∈ ℝ y para todo , ∈ ℝ^3, se verifican las siguientes propiedades:

i. a(b ) = (ab) = b(a ).

ii. (a + b) = a + b .

iii. a( + ) = a + a .

iv. 1 ∙ = .

Demostración de iv. Notemos que 1 ∈ ℝ, = (x, y, z) ∈ ℝ^3, es el elemento unidad para el producto de números reales. Se tiene

1 ∙ = 1 ∙ (x, y, z) = (1 × x, 1 × y, 1 × z) = (x, y, z) = .

Conclusión: 1 ∙ = .

Recuerda que...

Nota. Sean a ∈ ℝ,

∈ ℝ^3. Los resultados i), ii), iii) del teorema se conocen como regla de los signos que a continuación repetimos:

(–a) = –a ,
a(– ) = –a ,
(–a)(– ) = a .

Teorema. Sean a, b ∈ ℝ, , ∈ ℝ^3. Se verifican las propiedades siguientes:

i. (–a) = –a ; ii. a(– ) = –a ;
iii. (–a)(– ) = a ; iv. (a – b) = a – b ;
v. a( – ) = a – a

Demostración.

v. Por la definición de resta en ℝ^3, – = +(– ). Luego,

a( – ) = a[ + (– )] = a + a(– ) = a – a .

Conclusión: a( – ) = a – a .

Ejercicio resuelto

1. Sean a, b ∈ ℝ, , ∈ ℝ^3 y = (a + b)( – ) – (a – b)( + ). Simplificamos la escritura de , aplicamos las propiedades de la adición en ℝ^3 y del producto de números reales por elementos de ℝ^3. = (a + b)( – ) – (a – b)( + )
= (a + b) – (a + b) – (a – b) – (a – b)
= (a + b) – (a – b) – (a + b) – (a – b)
= (a + b – a + b) – (a + b + a – b) = 2b – 2a = 2(b – 2a ).
Luego, = 2(b – a ).

Interpretación geométrica de las operaciones en ℝ^3

▲ Figura 6.6.

Consideremos el sistema de coordenadas ortogonales xyz; y denotemos con O el punto de intersección de los tres ejes. Sea A = (a, b, c) ∈ ℝ^3. Tal como procedimos en el caso bidimensional, trazamos el vector geométrico . Se establece una identificación entre cada punto A ∈ ℝ​^3 con el respectivo vector geométrico . En la Figura 6.6. se muestra este vector .

Sean ​ = (a, b, c), = (x, y, z) dos elementos de ℝ^3. De la definición de suma de elementos de ℝ^3 se tiene

+ = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z).

Conexiones con las TIC

Para representar gráficamente puntos y vectores en el espacio, puedes utilizar software libre, como GeoGebra, tal como se indica al final de esta unidad en la página 216.

Interpretemos geométricamente este resultado. Primeramente, los puntos (a, b, c), (x, y, z) ∈ ℝ^3 se identifican con los vectores geométricos notados , respectivamente. Representamos el vector geométrico + que se identifica con el punto (a + x, b + y, c + z) ∈ ℝ​^3. En la Figura 6.7. se muestra esta representación.

▲ Figura 6.7.

Solución de problemas cotidianos

Evaporación del agua

1. Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su tamaño. Después de t minutos, el radio del charco mide

centímetros,

es decir, el radio es una función del tiempo. El área del charco está dada por A = πr^2, es decir, el área es una función del radio.

Responde las preguntas

a) ¿Cómo expresarías el área como una función del tiempo?
b) ¿Cuál es el área del charco después de 10 minutos?

Escribe las funciones que intervienen

El radio en función del tiempo se puede expresar así:

R(t) = .

El área en función del radio se expresa así: A = πr^2.

Establece la composición de funciones

a) ¿Cómo expresarías el área como una función del tiempo?

(AoR)_(_t_) = A(R_t).

A(R_(_t_)) = π ^2.

b) ¿Cuál es el área del charco después de 10 minutos?
Reemplaza el valor de 10 en la anterior expresión.

A(R_(10)) = π ^2.

A(R_(_t_)) = 1,9 cm^2.

Conclusión

El área de charco después de 10 minutos es de1,9 cm^2.

2. Los defensores del medio ambiente han estimado que el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire es

M(m) = (1 + 0,6 m) partes por millón cuando el número de personas es m-miles . Si la población en miles en el momento t es P(t) = 400 + 30t + 0,5t^2, entonces:

a) Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.
b) Calcula el nivel de monóxido de carbono ent = 5.

3. Se conoce que la población de ranas R, calculada en miles en una determinada región, depende de la población de insectos m en millones. La población de insectos I a su vez varía con la cantidad de lluvia c dada en centímetros. Si la población de ranas es
R(m) = 65 +
y la población de insectos es I(c) = 43c + 7,5, entonces:

a) Expresa la población de ranas como una función de la lluvia.
b) Estima la población de ranas cuando la lluvia es de 1,5 centímetros.

4. Después de muchas investigaciones, una compañía farmacéutica determinó que la concentración de una droga en la corriente sanguínea puede calcularse de la siguiente manera: concentración igual a dos veces el tiempo transcurrido desde la inyección, dividido entre el tiempo transcurrido al cubo.

a) Encuentra la ecuación de la concentración con respecto al tiempo.
b) Encuentra el dominio, el rango y la gráfica de la función.

Problemas adaptados de: http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/Problemario_Funciones.pdf

Practica en tu cuaderno

shutterstock, (2017). 364116620

shutterstock, (2017). 64289836

18

12t + 3

Charco de agua. p

Pila de humo. p

18

12t + 3

m

8

18

12t + 3

18

12(10) + 3

Desafíos científicos

Desafíos científicos

Matemática y deporte

¿Qué tiene que ver la matemática con la animación en 3D y los videojuegos? Pues, en realidad, mucho. Para realizar un juego de mesa o más aún para realizar juegos de computadoras y animaciones, es necesario desarrollar un pensamiento estructural, un pensamiento lógico y, sobre todo, descubrir cómo ciertos conceptos matemáticos de álgebra y geometría se pueden aplicar en el desarrollo de videojuegos en 3D. Cualquier videojuego en 3D del mercado, sea de un celular, de la PC o de una consola, hace uso exhaustivo de los cálculos matemáticos que se enseñan en el bachillerato.

En la tercera dimensión o 3D lo que se hace fundamentalmente es simular volumen. Esto se logra cuando en un plano X, Y, se incorporan valores numéricos en Z. Estos valores sirven para formar polígonos mediante algoritmos que permiten modelar en 3D.

Adaptado de: http://www.digitalacb.com/explicacion.html

▲ Animación en 3D.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Ingeniería en Ciencias de la Computación

La carrera en Ingeniería en Ciencias de la Computación está comprometida en formar futuros líderes y emprendedores en el área de producción audiovisual animada, desde la idea original hasta el producto terminado, en el cálculo científico desarrollo de sotware.

Desde el principio de la carrera, los estudiantes desarrollan y aprenden nuevas técnicas y, a la par, aprenden a utilizar herramientas computacionales para crear sus obras, elaborar programas computacionales, para realizar simulaciones virtuales.

Para optar por esta carrera, es necesario que el aspirante haya desarrollado en el bachillerato competencias básicas, y tenga afinidad con:

- Matemática básica.
- Geometría y geometría computacional.
- Informática, navegación en Internet y búsqueda de información.

Si quieres optar por la carrera de Animación Digital puedes postular en una de las universidades reconocidas por el Senescyt.

El campo ocupacional de un profesional en Ciencias de la Computación está en productoras de televisión, estudios de postproducción, estudios de desarrollo de videojuegos, simulaciones en la industria.

▲ Animación digital.

TIC

TIC

Gráfico de vectores en ℝ^​3 con GeoGebra

Vamos a utilizar GeoGebra para representar los vectores:
 = (–5, 5, 9); = (2, 5, 7); = (–4, –7, 5).

1. Como primer paso, ingresa a Vista y selecciona Gráficas en 3D .

Aparecerá el plano en tres dimensiones, con la orientación de los ejes x, y, z.

​

2. En la parte de Entrada, ingresa cada uno de los vectores.

3. Ingresa cada vector con una letra minúscula, seguida del signo igual, y entre paréntesis la coordenada.

4. En Vista Algebraica aparecerán, en forma de matriz, las coordenadas de cada vector con su respectivo color.

Suma de vectores en ℝ^​3

Sumamos los vectores = (–5, 5, 9) y = (–4, –7, 5).

1. Ingresa en Entrada los dos vectores p y q.

2. En Entrada escribe otra letra minúscula y la operación.

r = p + q. Aparece el nuevo vector.

4. En Vista Algebraica aparecerán, en forma de matriz, las coordenadas de cada vector con su respectivo color.

Producto de un escalar por elementos de ℝ^​^​3 con GeoGebra

En el gráfico de los vectores = (–5, 5, 9) y = (–4, –7, 5), vamos a dibujar los vectores = –0,5 y = 1,5 .

1. Ingresa los vectores originales, p y q.

2. Escribe una letra minúscula y la operación. Así: m = –0,5p  y n = 1,5q. Aparecerá el gráfico del producto de un escalar por un vector.

- Practica el trazo del gráfico de vectores y las operaciones de suma y producto de un escalar por vectores en ℝ^3 con otros vectores.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Crear con la técnica de stop motion

Recursos

- Sala de computación o tablets con cámara web incorporada
- Espacio físico con buena iluminación para tomar la secuencia de fotografías
- Plastilina, legos, alambres y material que sirva para construir personajes

Justificación

Stop motion es una técnica de rodaje basada en continuas tomas fotográficas, en las que cada plano varía ligeramente del anterior, creando así la ilusión de una animación (como seguramente lo has visto en los dibujos animados y en los cortos con muñecos de plastilina o materiales moldeables).

Objetivos

- Crear una animación de stop motion utilizando un software de fácil acceso, y de manera cómoda y rápida.

Actividades

- Formar grupos de 2 o 3 personas.
- Instalar un software de stop motion. Existen programas con período de prueba que se pueden usar para este fin.
- Redactar, en cada grupo, un breve guion de la escena que se desea animar.
- Buscar objetos y figuras que se puedan usar en el proyecto (plastilina, alambre, legos o figuras similares para armar los personajes y la escenografía).
- Organizar la escena de tal manera que con una cámara se puedan tomar las fotografías necesarias. Por lo general, se puede utilizar una cámara web para asociarla con el software.
- Tomar fotos de objetos o figuras en la posición inicial. Luego, se mueven poco a poco las figuras y se toman fotografías después de cada movimiento.
- Revisar el software. Cada vez que se haya tomado una foto, debe aparecer un cuadro de stop motion.
- Convertir el proyecto en un archivo de video y compartirlo con la clase.

En este enlace, hay más información sobre el tema:
http://cedec.educalab.es/luciole-stopmotion-en-dos-pasos/

Conclusiones

Prepare un documento que permita la coevaluación y la autoevaluación de la ejecución de esta actividad.

Es importante conocer cuál fue el grado de aceptación del proyecto por parte de los estudiantes y cómo se sintieron con la ejecución de este. Por ello, establezca un diálogo con los jóvenes y pregúnteles cómo se sintieron al realizar este proyecto.

En síntesis

En síntesis

Heteroevaluación

Heteroevaluación

Recuerda que el volumen de la esfera es:
V = πr^3.

4

3

M.5.3.1. Reconoce si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva; realiza operaciones con funciones aplicando las propiedades de los números reales en problemas reales e hipotéticos. (I.4.)

I.M.5.7.1. Opera analítica, geométrica y gráficamente, con vectores en el espacio. (I.2.)

1

Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}. Indica si es función. Justifica tu respuesta. En caso de ser función, halla Rec(f) e indica si es inyectiva.

5

Localiza los siguientes puntos en el sistema de coordenadas espaciales.

a) (2, 3, 5).
b) (–1, 0, –6).
c) (4, –4, –4).

a) f(a) = 4, f(b) = 3, f(c) = 2, f(b) = 1.
b) f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 1.
c) f(a) = f(b) = f(c) = 1, f(c) = 4.

6

Con los vectores A , B de R^3 que en cada caso se proponen, halla A + B y A – B.

2

Sean A = {5, 10, 15, 20, 25},
B = {10, 20, 30, 40, 50}.
En cada ítem se define una función u de A en B. Indica si u es biyectiva.

4

25

5

8

7

3

1

25

1

8

1

3

a) A = – , – , – , B = , , .

1

4

7

5

1

3

1

5

5

7

1

2

b) A = – , , , B = , – , – .

a) u(5) = 20, u(10) = 10, u(15) = 50,
u(20) = 40, u(25) = 30.

7

b) u(5) = 40, u(10) = 50, u(15) = 30,
u(20) = 10, u(25) = 20.

1

2

Sean A = (4, –2, 3), B = –2, – , 1 ,

C = 21, 4, – . Realiza las sumas que se

proponen en cada caso.

1

3

3

Se define la función f. Demuestra o refuta que u es biyectiva. Grafica la función.

a) –A + B – C.
b) –A – B – C.
c) A – (B – C).
d) –A –(–B + C).

1

2

1

2

a) f(x) = x – , x  R.

8

1

2

Con los vectores A , B, C que se dan en cada caso, halla x, y  R, tal que

xA + yB = C.

b) f(x) = x^2 – 1, x  R.

c) f(x) = x^3 – 1, x  R.

5

4

d) f(x) = x^2 – x + , x  R.

1

2

1

3

1

4

a) A = – , – , 0 , B = 2, , 0 ,

4

C = (–11, –3, 0).

Resuelve el siguiente problema de composición de funciones. Si se infla un globo, su radio varía en función del tiempo durante el cual se ha soplado. Si el radio aumenta a razón de 2 mm por segundo, se tiene la función
R(t) = 2t + r_0, donde r_0 es el radio inicial.

¿Cuál es la función del volumen del globo en función del tiempo?

1

5

1

6

b) A = (0, 3, 2), B = 0, – , – ,

C = (0, 6, 5).

c) A = (–5, –3, 1), B = (–1, 2, 2),

C = (–15, 4, 12).

Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta correcta.

1

2

c) f^–1(x) = 2x – .

d) f^–1(x) = x – 2.

9

11

Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4},
C = {m, n, o, p}. Considera las funciones u
de A en B y v de B en C definidas a continuación:

u(a) = 2, u(b) = 4, u(c) = 1,

v(1) = p, v(2) = o, v(3) = n, v(4) = m.

Entonces, vu es la función de A en C. ¿Cuál de los siguientes literales es correcto?

Con el escalar a  R y el vector v  R que se dan en cada ítem, determina el producto av; a = –5, v = (2, 3, 4).

a) av = (–10, –15, 4).
b) av = (–3, –2, –1).
c) av = (–10, –15, –20).
d) av = (–10, 15, 20).

a) (vu)(a) = v(u(a)) = v(2) = o.
b) (vu)(b) = v(u(b)) = v(4) = b.
c) (vu)(c) = v(u(c)) = v(1) = 2.
d) (vu)(0) = v(u(c)) = v(1) = b.

12

Dados los vectores, A = (–5, –3, 1),

B = (–1, 2, 2), C = (2, 0, 3), obtén el vector u que se define así:

u = 10A – 8B + 4C.

a) u = (–14, –46, 6).
b) u = (–24, –56, 16).
c) u = (–34, –46, 6).
d) u = (34, –46, 16).

10

Sea f(x) = 2x + 1, la función inversa de f(x) es:

1

2

1

2

1

2

a) f^–1(x) = x – .

b) f^–1(x) = x – .

Autoevaluación

 | Siempre | A veces | Nunca
Reconozco si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. |  |  |
Resuelvo problemas de composición de funciones. |  |  |
Opero analíticamente con vectores en el espacio. |  |  |
Determino el producto de un escalar por un vector en el espacio. |  |  |

Coevaluación

 | Siempre | A veces | Nunca
Cuando trabajamos en equipo aprendemos más y mejor porque todos aportamos con ideas. |  |  |
En equipo no comunicamos de manera respetuosa para logra el objetivo propuesto. |  |  |

Metacognición

a) ¿Qué aprendiste en esta unidad?
____________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué tema te causo mayor dificultad?
____________________________________________________________________________________________________

Respuestas a las evaluaciones sumativas

Unidad 1 (páginas 50 y 51)
1. x = 1, y = 5, z = 9.

2. a) x = y = z = 3. b) x = y = z = 0.
c) No tiene solución.
3. Respuestas varias
a) x = 1, z = 2 – y, y  .
x = 1, y = 1, z = 1.
x = 1, y = 2, z = 0.

x = – z, y = + z, z  .

b) para z = 1, x = – , y = .
para z = , x = 0, y = .

4. a) x = 3, y = –2.

b) No tiene solución.

5. 24.
6. 126.

7. a) ≈ 0,83, H: hombre,

M: mujer. P(M|alto) = .

b) ≈ 0,375, P(H|no alto) = .

8. a) 9. d) 10. a) 11. a)

Unidad 2 (páginas 106 y 107)

1. a) Dom(k) =  – {0}.

Asíntotas: V = {(0, y) | y  }
H = {(x, 1) | x  }.
Gráfico

b) Dom(I) =  – {–5}.

Asíntotas: V = {(–5, y) | y  }
H = {(x, –3) | x  }.
Gráfico

c) Dom(r) =  – {1}.

Asíntotas: V = {(1, y) | y  }
H = {(x, 5) | x  }.
Gráfico

2. Dom(u) =  – {–4, –1}.

Asíntotas: V_1 = {(–4, y) | y  },

V_2 = {(–1, y) | y  },
H = {(x, 0) | x  }.
Gráfico

3. a) =

+ + , x ≠ 0, –2, 3.

b) =

+ + , x ≠ –4, 1, 2.

c) = + + ,

x ≠ –2, 0, .

4. (x, y)  ^2 tal que 2x + 5 y + 9 = 0.

5. Vértice: V = (–1, 3),

Foco: F , 3 , ecuación del eje

y = 3. Gráfico.
6. Pendiente m = – = .
7. x = 2, y = –4.

9. a) 10. b) 11. a)

Unidad 3 (páginas 140 y 145)

1. A = {0, 1, ..., 10}, u_0 = 32,

u_1 = 1 022 , u_2 = 1 020 .

2. a) a_0 = 1, a_1 = 3, a_2 = 1, a_3 = 3, a_4 = 1, ...
Rec(a_k) = {1, 3}.

b) a_1 = 0, a_2 = 1/2, a_3 = 0,

a_4 = 1/4, a_5 = 0, ...

Rec(a_k) = {0}  |k = 1, 2, 3,...

c) a_0 = 6, a_1 = 1, a_2 = 6, a_3 = 1, a_4 = 6, ...

Rec(a_k) = {1, 6}.

d) a_0 = 1, a_1 = 37/48, a_2 = 1,

a_3 = 37/48, a_4 = 1, ...

Rec(a_k) = 1, .

3. a) d = , a_m = (–1 + m),

m = 0, 1, 2, ..., a_30 = .
b) d = –5, a_m = –2 – 5m,

m = 0, 1, 2, ..., a_15 = –77.

c) d = 0,3, a_m = (1 + 3m),
m = 0, 1, 2, ..., a_25 = 7,6.

4. a) Correcta. b) Correcta.

5. a) d = 3, a_n = 4 × 3^n, n  N;
a_10 = 236 196.

b) d = , a_n = , n  N; a_8 = .

c) d = , a_n = 8 × , n  N; a_10 = .

6. a = , g_n = × 3^n, n  N;

g_7 = .

7. VF(10) = 895 4,24.

8. a)

b) E(x) = 10.
c) V_ar(x) = 4/3.

d) d = V_ar(x) = .

9. a) 10. b) 11. c) 12. c) 13. c)

Unidad 4 (páginas 166 y 167)

1. a) |S| = 5|h|^3 ≤ 5|h| ≤ 0,05, |h| < 0,01
b) |S| = |2h – h^2|≤ 2|h| + h^2 <

3|h| < 0,05, |h| < .
c) |S| = |–h – h^2| ≤ |h| + h^2 <

2|h| < 0,05, |h| < 0,25.

2. a) Q(h) = 1 – x^3 – x^2h – xh^2 – , h ≠ 0.

= 1 – x^3, ∀x  .

d Q(h), ≤
x^2 + |x| + 1 |h|, h → 0

b) = (1 – x)(x^2 + x + 1),

> 0 ⇔ 1 – x > 0 ⇔ x < 1.
< 0 ⇔ 1 – x < 0 ⇔ x > 1.

c) p(1) = pues = 0 y

p creciente en ]–∞, 1[,

decreciente en ]1, ∞[.

d) p(–x) = 4 – x – (–x)^4 =
4 – x – x^4 ≠ 0 p(x) y
p(–x) = p(x), ∀x  .

3. a) (x) = –10 + 21x^2, ∀x  .

b) (x) = –1 + 6x, ∀x  .

c) (x) = –5, ∀x  .
d) (x) = 4x^3 – 2, ∀x  .

4. a) p(–x) = a + b(–x)^2 + c(–x)^4 =

p(x), ∀x  .

b) = 2bx + 4cx^3 = p(x), ∀x  .

c) = x(2b + 4cx^2) con b > 0, c > 0,

> 0 para x  ]0, ∞[, p creciente,

< 0 para x  ]–∞, 0[,

p decreciente.

d) = lím

= 2b + 12cx^2, ∀x  .

e) Q(h) = =

24cx + 12ch, h ≠ 0.

= lím Q(h) = 24cx, ∀x  .

5. a) v(t) = = 4t – 6, t > 0.

v(2) = 2 m/s, v(5) = 14 m/s.

b) v(t) = 0 ⇔ 2t^2 – 6t + 4 = 0
⇔ (t = 1 ∨ t = 2).

c) a(t) = = 4, t > 0,

aceleración constante.

a(2) = 4, a(5) = 4.
6. a) Posición: s(0) = –10 m, s(1) = 14 m, s(5) = 230 m, s(10) = 1 670 m.

velocidad: v(t) = =

6t^2 – 12t + 28, t > 0.

v(0) = 28 m/s, v(1) = 22 m/s,

v(5) = 118 m/s, v(10) = 22 m/s.

aceleración: a(t) = =
= 12t – 12, t > 0.
a(0) = –12 m/s^2, a(1) = 0,

a(5) = 48 m/s^2, a(10) = 108 m/s^2.

7. d) 8. d) 9. d) 10. c) 11. d)

Unidad 5 (páginas 190 y 191)

1. a) A = 1.
b) [–1, 1].
c) T = 4π.
d) mín f(x) = –1, máx f(x) = 1.
2. a) A = 3.
b) [–1, 5].
c) π/2.

d) f(t) = 2 + 3 sen(3t + π), t  .

3. a) F d) F g) V
b) V e) V
c) V f) V

4. a) máx f(t) = 8 cm.
b) T ≥ 0.
c) El gráfico es:
5. a) A = 2.
b) T = 2π.
c) 0.
d) [0, 4].
e) f(t) = 2 + 2cos(t + π), t  .
6. b) 7. a) 8. a) 9. d)

Unidad 6 (páginas 220 y 221)

1. a) No, f(b) = 3, f(b) = 1.
b) Rec(f) = {1, 2, 3}, f inyectiva.
c) No, f(c) = 1, f(c) = 4.
2. a) Biyectiva. b) Biyectiva.
3. a) Biyectiva.
b) No es biyectiva.

c) No es biyectiva.

d) No es biyectiva.
4. V(t) = π(2t + r_0), t ≥ 0.

6. a) A + B = , , 2 .

A – B = – , – , – .
b) A + B = , , – .
A – B = – , – , .
7. a) –A + B – C = –27, – , – .

b) –A – B – C = –23, – , – .

c) A – (B – C) = 27, , .
d) –A – (B + C) = –A + B – C =

–27, – , – .
8. a) x = 6, y = –4.

b) x = 0, y = –30.
c) x = 2, y = 5.

9. a) 10. a) 11. c) 12. c) 13. c)

y

14

y

12

h: x = 1

10

4

8

3

g: y = 5

6

2

4

4

x – 1

1

f(x) = 5 –

2

1

10

6

5

0

x

1

2

3

4

5

6

7

8

0

x

–12

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

9

10

11

5

–2

1

10

13

10

1

2k

y

1

y

0,5

x

h: x = –4

i: x = –1

5

5

6

0

4

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

3

5

6

2

g: y = 0

3

8

3

8

1

y

0

x

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

6

–2

4

–3

2

(x + 4)(x + 1)

f(x) = –

–4

2

–5

0

x

1

2

3

4

5

6

7

8

–2x^2 – 11x + 6

x(x + 2)(x – 3)

A

x

B

x + 2

C

x – 3

y

37

48

x^2 + 6x + 9

(x – 1)(x – 2)(x + 4)

2

3

2

3

5

h: x = 0

1

x

A

x – 1

B

x – 2

C

x + 4

4

f(x) = 1 –

29

3

3

2

g: y = 1

x^2 + 2x – 1

x(2x – 1)(x + 2)

A

x

B

2x – 1

C

x + 2

1

0

x

1

2

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

1

10

–2

–3

1

2

3

2

3

2

6 561

256

^2

y

y

5

h: x = –5

1

128

1

2

1

2^n

5

4

c: = –y^2 + 2x + 6y = 7

4

3

7 651

3 280

7 651

3 280

2

3

1

2

167 327 37

3 280

0

x

–13

–12

–11

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

1

–2

g: y = –3

0

x

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

–3

–1

0, si x < 8,

, si 8 ≤ x < 9,

, si 9 ≤ x < 10,
, si 10 ≤ x < 11,
=, si 11 ≤ x < 12,

1, si x ≥ 12.

2

x + 5

–4

f(x) = –3 –

^2

b

a

x_0

y_0

3 3

2

1

9

–5

1

3

F(x) =

2

3

8

9

d^2S(t)

d(t)

y

2 3

2

f(x) = 0,5x^2 – 1

4

3

2

dS(t)

d(t)

1

0

0,05

3

x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–1

dv(t)

dt

d^2S(t)

dt^2

y

h^3

2

3

2

2

dp(x)

dx

1

dp(x)

dx

0

x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–1

3

2

f(x) = x^3 – 1

–2

dp(x)

dx

–3

dp(x)

dx

y

dp(x)

dx

5

19

4

dp(1)

dx

4

3

2

1

4

5

4

1

f(x) = x^2 – x +

1

4

0

x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–1

y

df

dx

8

4

3

df

dx

6

3

25

1

2

4

df

dx

2

1

5

3

4

8

3

0

x

–2

2

4

6

8

10

df

dx

–2

1

20

24

35

1

6

–4

–6

9

20

74

35

5

6

–8

dp(x)

dx

5

2

5

3

dp(x)

dx

11

3

3

2

dp(x)

dx

5

2

5

3

dp(x)

dx

dp

dx

dp

dx

(x + h) – (x)

5

2

5

3

d^2p(x)

dx^2

h

h→0

d^2p

dx^2

d^2p

dx^2

(x + h) – (x)

h

y

0,5

d^3p(x)

dx^3

h→0

0

x

–3

–2,5

–2

–1,5

–1

–0,5

0,5

1

1,5

dS(t)

dt

–0,5

–1

–1,5

f(x) = 0,5x – 0,5

–2

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