Title: Unidad 2
Course: Matemáticas Plus + 2 BGU > Section: LIBRO DIGITAL

Funciones racionales y cónicas

Estudio de funciones racionales

Una función, en matemática, es el término usado para indicar la asociación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término ‘función’ fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia x^n de la variable x. Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones en las ciencias, la industria. Los ejemplos más comunes son en electricidad, química, finanzas, cuando se aplica la transformada de Laplace.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son simples de calcular (como los polinomios), pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​
Geometría y medida

  Objetivos

- O.G.M.5.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.5.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.5.3. Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.

Observa y contesta

- ¿Cuáles son los sistemas de distribución y recolección de energía en una vivienda?
- ¿Qué resistencias funcionan en la distribución de energía eléctrica desde la red pública?

Función racional

DCCD: M.5.1.44. Determinar el dominio, rango, ceros, paridad, monotonía, extremos y asíntotas de funciones racionales con cocientes de polinomios de grado ≤3 con apoyo de las TIC.

M.5.1.43. Graficar funciones racionales con cocientes de polinomios de grado ≤3 en diversos ejemplos, y determinar las ecuaciones de las asíntotas, si las tuvieran, con ayuda de la TIC.

● Función racional

Saberes previos

¿Cuáles son los métodos de resolución de ecuaciones polinomiales y factorización de polinomios?

Desequilibrio cognitivo

¿Por qué las funciones polinomiales son las más sencillas de evaluar?

Definición de función racional

Definición. Sean p, q dos funciones polinomiales. La función real f, definida como

q ≠ 0, se llama función racional.

Nota que la función polinomial q no es nula. Además, de la definición de la función f se sigue que:

^ q (x) ≠ 0, x ∈ ℝ,

de la que obtenemos el dominio de la función f, es decir,

Dom (f) = {x ∈ ℝ | q(x) ≠ 0}.

Recuerda que...

Como sabemos, las funciones reales más sencillas de evaluar son las funciones polinomiales que tienen la forma

p(x) = a_0 + a_1 x_ + ... + a_nx^n, x ∈ ℝ,

donde a_i ∈ ℝ, i = 0, 1, ..., n.

Para calcular p(x) con x ∈ ℝ, se aplica el esquema de Hörner. Esto es, p(x) se escribe como

p(x) = a_0+x(a_1+...x(a_n–1+ a_nx)...),

lo que facilita el cálculo reduciendo el número de operaciones elementales.
En orden de complejidad, siguen las funciones racionales. Estas son funciones reales. Lo que nos interesa es determinar su dominio y, si es posible, su recorrido.

Supongamos que q es un polinomio de grado n. Un número real α, tal que q(α) = 0, se llama raíz del polinomio q, con lo que q se expresa en la forma q(x) = (x – α) r(x), x ∈ ℝ, siendo r un polinomio de grado n – 1. Consecuentemente, el dominio de la función f está constituido por todos los números reales que no son raíces del polinomio q. En particular, si q(x) ≠ 0, ∀x ∈ ℝ, se sigue que Dom (f) = ℝ, y

^ , ∀ x ∈ ℝ, está bien definido.

Si q tiene como raíces reales α_1, ..., α_k con k ≤ n, el dominio de la función f es el subconjunto de ℝ dado como

Dom (f) = {x ∈ ℝ | q(x) ≠ 0} = ℝ \ {α_1, ..., α_k},

y la función f queda definida como

^ , x ∈ ℝ \ {α_1, ..., α _k}.

Más precisamente, como q(α_1) = 0, ..., q(α_k) = 0, se sigue que f(α_1), ..., f(α_k) no están definidos.

El grafo de f se denota con G(f) y se define como el conjunto

G(f) = {(x, f( x)) | x ∈ ℝ \ {α_1, ..., α_k }}.

Recuerda que...

La palabra ‘racional’
hace referencia a una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por el gráfico una función dada como
y = f(x), de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas son verticales si son paralelas al eje Y, horizontales si son paralelas al eje X, y oblicuas si son inclinadas.

Igualdad de funciones racionales

Sean p, q, r, s polinomios reales, f y g dos funciones racionales definidas como

^

Decimos que estas dos funciones son iguales. Escribimos f = g si y solo si se verifica

^

Tenemos la siguiente equivalencia:

f = g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ Dom(f) = Dom(g).

Ejercicio resuelto

Consideremos las funciones racionales f, g definidas como sigue:

^

Puesto que x^2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ, tenemos Dom(f) = ℝ,
Dom(g) = ℝ. Además, para todo x ∈ ℝ se tiene

(x^2 + 1)^3 = (x^2 + 1)(x^2 + 1)^2. Luego,

^

en la que se ha simplificado el término (x^2 + 1)^2.

Así, Dom(f) = Dom(g) = ℝ, y, f(x) = g(x), ∀x ∈ ℝ, o sea f = g.

Conexiones con las TIC

Visita esta página para conocer más sobre funciones racionales y el cálculo de las asíntotas.

www.mayedu.ec/matbu2/p55

Notemos que si ponemos p(x) = 2x, q(x) = x^2 + 1,
r(x) = 2x(x^2 + 1)^2, s(x) = (x^2 + 1)^3, entonces

^

y, en consecuencia, f(x) = g(x) si y solo si se verifica
p(x) s(x) = q(x) r(x) = 2x(x^2 + 1)^3, ∀x ∈ ℝ.

De este resultado se sigue que f(x) = g(x), ∀x ∈ ℝ, o sea, f = g.

Asíntotas

Significado de x → 0, x → x_0^+, x → x_0^–

Para introducir los términos 'pequeño' y 'suficientemente pequeño', utilizaremos las relaciones de orden "menor que <" y "mayor que >" en el siguiente sentido: sea 0 < δ < 1 , diremos que x ∈ ℝ con x ≠ 0 es pequeño con respecto de δ si se verifica |x| < δ.

Sea x_0 ∈ ℝ fijo. Dado x ∈ ℝ con x ≠ x_0, por la propiedad de tricotoma, se verifica una y solo una de las dos condiciones siguientes: x < x_0 , x > x_0.

Consideremos el caso x > x_0. Se tiene d(x_0, x) = |x_0 – x| = x – x_0 > 0.

▲ Figura 2.1.

Si imaginamos que el punto asociado al número real x se mueve en la recta numérica del lado derecho hacia x_0, la distancia de x a x_0, d(x_0, x) será cada vez mas pequeña. En la Figura 2.1. se muestran los puntos x_1, x_2, x_3, x_4 que se aproximan a x_0. La flecha indica ese movimiento.

Diremos que x tiende a x_0 por el lado derecho, que escribiremos x → x_0^+, si y solo si se verifica x > x_0 y para cada

δ > 0, d(x_0, x) = x – x_0 < δ.

Sean δ > 0 y 0 < h < δ. Si x = x_0 + h, se tiene x > x_0,
y d(x, x_0) = x_0 + h – x_0 = h < δ, lo que da lugar a la siguiente interpretación: x = x_0 + h tiende a x_0, conforme h > 0 tiende a cero. En tal caso, escribiremos:

^

que se lee: "límite de x_0 + h cuando h tiende a cero por la derecha es igual a x_0". Estas dos últimas notaciones significan lo mismo quex → x_0^+.

Simbología matemática

- Escribiremos x → 0 (que se lee: "x tiende a cero"), para indicar que x puede hacerse tan pequeño como se quiera. Es decir que para cada
δ > 0, |x| < δ. También se dice:
| x| es suficientemente pequeño.
- Escribiremos x → x_0+, que se lee: "x tiende a x_0 por el lado derecho".
- La notación lím (x_0 + h) = x_0
se lee: "límite de x_0 + h cuando h tiende a cero por la derecha es igual a x_0". Estas dos últimas notaciones significan lo mismo que

x → x_0+.

Ejercicios resueltos

1. Sea x_0 = –2,5. Entonces,

d(–2,5, –2,49) = 2,5 – 2,49 = 0,01,
d(–2,5, –2,495) = 2,5 – 2,495 = 0,005,
d(–2,5, –2,499 9) = 2,5 – 2,499 9 = 0,000 1.

Se observa que los números reales

–2,49, –2,495, –2,499 9 se aproximan cada vez más a –2,5. Para h > 0 y x = –2,5 + h, se tiene

d(–2,5; –2,5 + h) = –2,5 + h – (2,5) = h.

Si asignamos valores a h > 0 cada vez mas próximos a cero, tendremos que x = –2,5 + h se aproxima cada vez más a x_0 = –2,5. En la Tabla 1 se muestran algunos de estos valores y d(–2,5; –2,5 + h).

Tabla 1

h | x = –2,5 + h | d(–2,5, –2,5 + h)
0,1 | –0,4 | 0,1
0,01 | –0,49 | 0,01
0,001 | –0,499 | 0,001
0,000 1 | –0,499 9 | 0,000 1
0,000 01 | –0,499 99 | 0,000 01

Recuerda que...

De manera general, sea x_0 ∈ ℝ. Diremos que x tiende a x_0 por el lado izquierdo, que se escribe x → x_0^–, si y solo si se verifica x < x_0 y para cada δ > 0, d(x_0, x) = x_0 – x < δ.

Esto es lo mismo quela notación x → x_0^– y estas dos a su vez con ^

que se lee: "límite de x_0 + h cuando h tiende a cero porla izquierda igual a x_0".

1. Consideremos el caso x < x_0. Se tiene

d(x_0, x) = |x_0 – x| = x_0 – x > 0.

Sea x_0 = 0,3. En la Tabla 2 se muestran algunos valores de h < 0, de x_0 = 0,3 + h y la distancia d(0,3; 0,3 + h).

Tabla 2

h | x = 0,3 + h | d(0,3; 0,3 + h)
–0,2 | 0,1 | 0,2
–0,05 | 0,25 | 0,05
–0,001 | 0,299 | 0,001
–0,000 025 | 0,299 995 | 0,000 025

Los resultados de la Tabla 2 muestran que para h < 0 que se aproxima a cero, x = 0,3 + h se aproxima cada vez a 0,3. Escribimos

^

para indicar que h < 0 y que para δ > 0, d(0,3 0,3 + h) = –h < δ.

Esto es lo mismo que la escritura h → 0,3^–, y a su vez lo mismo que ; que se lee: "límite de 0,3 + h cuando h tiende a cero por la izquierda igual a 0,3".

▲ Figura 2.2.

En la Figura 2.2. dibujamos una flecha para indicar que los valores de x son menores que 0,3 y que x se aproxima a 0,3 por el lado izquierdo.

Si imaginamos que los puntos de la recta real asociados a cada x se mueven de la izquierda hacia x_0, la distancia d(x_0, x) será cada vez más pequeña o próxima a cero.

Sea h < 0 y x = x_0. Entonces, x < x_0, y d(x_0, x + h) = x_0 – (x_0 + h) =x_0 – x_0 + h = –h > 0. Para valores de h < 0 cada vez más próximos a cero, x_0 + h es cada vez más próximo a x_0. Escribimos que se lee:

"x_0 + h tiende a x_0 cuando h tiende a cero por la izquierda".

Representación gráfica de una función racionaly sus asíntotas

Ejercicios resueltos

1. Sean p, q los polinomios reales definidos como p(x) = 3, x ∈ ℝ,
q(x) = x + 2, x ∈ ℝ. La función racional f está definida como:

Se tiene Dom(f) = ℝ \ {–2}. Una asíntota vertical es la recta R definida como ℝ = {(–2, y) | y ∈ ℝ}.

Por otro lado, si |x| → ∞, también |x| + 2 → ∞ con lo que

^

Luego, f(x) → 0 cuando x → ∞. Consecuentemente, la gráfica de f tiene una asíntota horizontal definida como el conjunto

H = {(x, 0) | x ∈ ℝ} que representa una recta horizontal que coincide con el eje x.

Tomando en consideración el dominio de la función f, en el eje x se identifican dos regiones: x < –2 y x > –2. Veamos en la Figura 2.3. algunos valores que toma la función f en cada una de estas regiones.

En la región en la que x > –2, tenemos que la función f es estrictamente decreciente al igual que en la región en que x < –2. Así, f es decreciente en el conjunto ℝ \ {–2}.

1. Sean p, q los polinomios definidos como
p(x) = x, q(x) = (x – 2)(x – 3) x ∈ ℝ. La función racional u está definida como sigue:

^          x ∈ ℝ \ {2, 3}.

Existen dos asíntotas verticales R_1 y R_2 a la gráfica de f:

R_1 = {(2, y) | y ∈ ℝ},     R_2 = {(3, y) | y ∈ ℝ}.

Por otra parte, u(x) → 0 cuando |x| → ∞, que muestra que esta función racional u tiene una asíntota horizontal H.

H = {(x, 0) | x ∈ ℝ}.

Según el dominio de la función u,en el eje x se identifican tres

regiones: ^

La gráfica de la función se muestra en la Figura 2.4.

Interdisciplinariedad

Matemática y electricidad
Las funciones racionales permiten modelar problemas relacionados con la corriente que circula por un conductor eléctrico y la variación inversamente proporcional de la resistencia del conductor.

▲ Cables eléctricos.

1. Sean p, q los polinomios definidos como p(x) = 2x^2 + 1, q(x) = x con x ∈ ℝ. La función racional f está definida como

^

Tracemos la gráfica de esta función.

El dominio de f es el conjunto Dom(f) = ℝ \ {0}. Además, una asíntota vertical es el conjunto R = {(0, y) | y ∈ ℝ},
cuya representación gráfica coincide con el eje y.

La gráfica de esta función f tiene otra asíntota que se obtiene del siguiente modo. Para x ∈ ℝ, tal que |x| → ∞, el término ^1/_x de la definición de f(x) es suficientemente pequeño. Nos queda el término 2x. Con este se introduce la función v definida como v(x) = 2x, x ∈ ℝ. Nota que

El grafo de v es el conjunto definido como G(v) = {(x, 2x) | x ∈ ℝ}.

La representación de la Figura 2.5. de este conjunto es una recta, con una asíntota denominada 'asíntota oblicua' que se designa con S.

▲ Figura 2.5.

Calculemos algunos valores de la función f.

Para trazar la gráfica de la función f, se toman en consideración las asíntotas horizontal y oblicua, y algunos de los valores calculados.

Operaciones con funciones racionales

DCCD: M.5.1.45. Realizar operaciones de suma y multiplicación entre funciones racionales y de multiplicación de números reales por funciones racionales en ejercicios algebraicos, para simplificar las funciones.

● Operaciones con funciones racionales

Saberes previos

¿Cuáles son las propiedades algebraicas y de orden de los números reales?

Desequilibrio cognitivo

¿Es posible realizar una representación gráfica de la función real?

Adición de funciones racionales

Sean p, q, r, s polinomios reales de grado ≤ 2, f y g dos funciones racionales definidas como

Definición. Se define la función f + g como sigue:

^

En forma abreviada escribimos

Recuerda que...

Definición. Sean p, q dos funciones polinomiales. La función real f, definida como
f = , q ≠ 0,
​se llama función racional.

Nota que la función polinomial q no es nula.

La función real f, definida como
f = = 0, se llama función racional nula y se representa simplemente con 0, siempre que no haya peligro de confusión.

Recordemos que si a, b ∈ ℝ, ∈ ℝ ⇔ b ≠ 0. Esto es, está bien definido si y solo si el denominador b ≠ 0.

Las imágenes de funciones racionales son números reales, por lo tanto, las operaciones con funciones racionales heredan las propiedades algebraicas de los números reales.

Dadas las funciones racionales f, g, la función f + g está definida únicamente en el conjunto Dom(f) ∩ Dom(g).

Ejercicio resuelto

Consideremos las funciones racionales f, g, definidas como sigue:

^

De la definición de las funciones racionales f, g, se tiene

Dom(f) = ℝ \ {1}, Dom(g) = ℝ \ {–1, 1}. Entonces, f + g es la función racional definida como:

^

Esta función tiene dos asíntotas: una horizontal definida como A_h = {(x, 3) | x ∈ ℝ}, y una vertical dada como A_v = {(–1, y) | y ∈ ℝ}.

Notemos que en el cálculo de (f + g)(x) hemos utilizado las propiedades algebraicas de los números reales, y, muy particularmente, las enunciadas en el teorema precedente.

Recuerda que...

En el cálculo con números reales se cumple:

Teorema.

^

Resta de funciones racionales

Sean p, q, r, s polinomios reales de grado ≤2, f y g dos funciones racionales definidas como

^

Dada la función racional g, existe la función racional – g definida como

^ , ∀x ∈ Dom(f), tal que g + (–g) = 0. Como las funciones
f y –g son racionales, podemos sumar estas dos funciones.

Definición. Se define la función f – g como sigue:

^

En forma abreviada escribimos: ^

Por la propiedad conmutativa, se tiene f – g = –g + f.

Interdisciplinariedad

Matemática y física
La función racional dada como
f(x) = , x ≠ 0 cuya ecuación
y =
tiene la siguiente gráfica, es una hipérbola con sus ejes de coordenadas como sus asíntotas.

▲ Figura 2.6.

Esta función es utilizada por la física y la química para explicar la ley de Boyle, la cual dice que cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es inversamente proporcional a la presión P, y C es una constante:

 .

La gráfica de V como una función de P tiene la misma forma general que la mitad de la gráfica de la función

f(x) = ​, x ≠ 0.

▲ Figura 2.7.

Multiplicación de funciones racionales

Sean p, q, r, s polinomios reales de grado ≤ 2, f y g dos funciones racionales definidas como

^

Definición. Se define la función fg como sigue:

^

En forma abreviada escribimos: ^

Las imágenes de funciones racionales son números reales, por lo tanto, las operaciones con funciones racionales heredan las propiedades algebraicas de los números reales. Por otro lado, para calcular el producto de dos funciones, la operación se realiza en cada uno de los puntos en los que están bien definidas. Es preciso observar si es o no posible simplificar la escritura de

^

Dadas las funciones racionales f, g, la función fg está definida únicamente en el conjunto Dom(f) ∩ Dom(g). Dada la función racional f, se denota ff = f^2, f^3 = f^2 f, y así sucesivamente.

Sean p, q polinomios reales de grado ≤ 2,

A = {x ∈ ℝ | q( x) = 0},
B = {x ∈ ℝ | p(x) = 0},

f la función racional definida como f(x) = , ∀x ∈ ℝ \ A = Dom(f).

De manera general, con x ∈ Dom(f) no está definido.

Por ejemplo, la función f definida como f(x) = x está definida en todo el conjunto ℝ, pero no está definida en x = 0. Por esta razón, en general, una función racional f no tiene una opuesta multiplicativa notada f ^–1, tal que f × f ^–1 = 𝟙, siendo 𝟙 la función definida como 𝟙(x) = 1, ∀x ∈ ℝ. Para definir la función f ^–1 se debe tomar en consideración el conjunto C = A B, y definir Dom(f ^–1) = ℝ \ C, en cuyo caso f ^–1 está definida como

^

Entonces, f(x) × f ^–1(x) = 1(x) = 1, ∀x ∈ ℝ \ C.

Notemos que el dominio de la función 1 es todo ℝ, mientras que el dominio de f × f ^–1 = 1 es ℝ \ C.

Interdisciplinariedad

Matemática y física

Las mayores aplicaciones de la matemática se dan en la física.

La matriz energética está vinculada con la producción y consumo de energía que puede ser de índole eólica, térmica, hidráulica, química y nuclear. Esta matriz se analiza y estudia en mayor profundidad con métodos matemáticos de modelos previamente elaborados, en los cuales intervienen, por ejemplo, funciones racionales.

▲ Fuente de energía renovable.

Eje Transversal

Medioambiente

La matemática contribuye con los estudios que se realizan para optimizar los recursos de energía renovables que no son más que recursos abundantes y limpios que no producen gases de efecto invernadero ni otras emisiones dañinas para el medio ambiente.

Ejercicio resuelto

1. Sean p, q los polinomios reales definidos como p(x) = 3, x ∈ ℝ, q(x) = x + 2, x ∈ ℝ. La función racional f está definida como

^

Se tiene Dom(f) = ℝ\{–2}. Una asíntota vertical es la recta R definida como

R = {(–2, y) | y ∈ ℝ}.

Por otro lado, si |x| → ∞, también |x| + 2 → ∞, con lo que

^

Luego, f(x) → 0 cuando x → ∞. Consecuentemente, la gráfica de f tiene una asíntota horizontal definida como el conjunto

H = {(x, 0) | x ∈ ℝ},

que representa una recta horizontal que coincide con el eje x.

Tomando en consideración el dominio de la función f, en el eje x se identifican dos regiones: x < –2 y x > –2. Veamos algunos valores que toma la función f en cada una de estas regiones.

^

^

En la región (ver Figura 2.8.), en la que x > –2, tenemos que la función f es estrictamente decreciente al igual que en la región en que x < –2. Así, f es decreciente en el conjunto ℝ \ {–2}.

Conexiones con las TIC

Para conocer más sobre funciones racionales, te sugerimos visitar esta página:

www.mayedu.ec/matbu2/p65

Producto de números reales por funciones racionales

Sean p, q polinomios reales de grado ≤ 2, c ∈ ℝ y f una función racional definida como

^

Definición. Se define la función cf como sigue:

^

Si existe peligro de confusión se escribe c × f en vez de cf.

Ejercicios resueltos

1. Sea f la función racional definida como f(x) = ^ , ∀x ∈ ℝ\{–2}.
Entonces, las funciones –3f, –1 × f, 0 × f, 10f están definidas como sigue:

^
2. Sea f la función racional definida como f(x) = ^ , ∀x ∈ ℝ \ {–1}.
Entonces, las funciones –2f, f están definidas como sigue:

^

Descomposición en fracciones parciales

DCCD: M.5.1.46. Resolver aplicaciones, problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones racionales, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos con apoyo de las TIC.

● Descomposición en fracciones parciales

Saberes previos

¿Cuáles son las propiedades algebraicas de los números reales?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué aplicaciones conoces de las funciones racionales en problemas de electricidad?

Recuerda que...

Sean x, y ∈ ℝ con x ≠ 0, y ≠ 0.

Entonces,

i. (x^–1)^–1 = x

ii. (xy)^–1 = x^–1y^–1.

Sea x, y ∈ ℝ. Entonces,

xy = 0 ⇔ x = 0 ∧ y = 0.

Sea p un polinomio no nulo de grado ≤ 2, q un polinomio de la forma q(x) = (x – a)(x – b), x ∈ ℝ siendo a, b ∈ ℝ con |a| + |b| > 0. Entonces, la
función racional se descompone en fracciones parciales como:

con x ≠ a y x ≠ b.

Siendo A, B constantes reales a determinar. Por la definición de igualdad de funciones racionales y en consecuencia de polinomios, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas A, B.

En matemática tiene mucho interés el estudio de funciones racionales. Ahora veremos cómo se aplican las propiedades algebraicas de los números reales, así como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales para determinar fracciones parciales.

Ejercicio resuelto

Descomponer en fracciones parciales: ^ . El denominador puede descomponerse en los factores: x^2 + 3x – 4 = (x + 4)(x – 1). Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

^

Para obtener los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4)(x – 1), obtenemos 7x + 3 = A(x – 1) + B(x + 4), de donde:

7x + 3 = Ax – A + Bx + 4B; 7x + 3 = x(A + B) + (4B – A).

Igualamos los coeficientes y queda el sistema de ecuaciones:

^

Por lo que la fracción original queda:

^

Ejercicio resuelto

Consideremos el siguiente ejemplo. Demostrar:

^

Para la demostración se puede partir del lado derecho y obtener el lado izquierdo que requiere de un procedimiento. Mientras que, partiendo del lado izquierdo, se puede obtener el lado derecho con otro tipo de procedimiento.

Supongamos que s ∈ ℝ con s ≠ –3, s ≠ 1. Entonces, ^ ∈ ℝ.

Partimos del lado derecho y, aplicando las propiedades algebraicas de los números reales, obtenemos el siguiente desarrollo:

^

Interdisciplinariedad

Matemática e ingeniería

Una de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales es la descomposición en fracciones parciales, las cuales tienen muchas aplicaciones en las ingenierías (como, por ejemplo, en electricidad, electrónica, ingeniería química, entre otras).

^
▲ Laboratorio de Biología.

Partimos del lado izquierdo; determinemos, siempre que sea posible, tres constantes reales A, B, C, tales que

^

Estas constantes reales son las incógnitas que se deben determinar para que tenga sentido la igualdad. Se tiene

^

y, en consecuencia, pasando al segundo miembro resulta:

^

Como esta igualdad es válida para todo s ∈ ℝ \ {–3, 1}, y siendo el denominador (s – 1)^2(s + 3) ≠ 0, entonces el numerador debe ser cero. Esto es,

s^2 (A + C – 1) + s(2A + B – 2C – 9) – 3A + 3B + C – 2 = 0, ∀s ∈ ℝ \ {–3,1}.

La igualdad precedente es verdadera, para todo número real
s = –1, s = 0, s = 1.

- Para s = –1,
A + C – 1 – 2A – B + 2C + 9 – 3A + 3B + C – 2 = 0 ⇔
–4 A + 2B + 4C = –6 (1).
- Para s = 0,
–3 A + 3B + C = 2 (2).
- Para s = 1,
A + C – 1 + 2A + B – 2C – 9 – 3A + 3B + C – 2 = 0 ⇔ 4B = 12,
de donde B = 3. Poniendo B = 3 en (1) y (2), obtenemos el sistema de ecuaciones lineales

^

De la segunda ecuación se obtiene C = 3A – 7 y, reemplazando en (4), resulta

–4A + 4(3A – 7) = –12 ⇔ 8A = 16,

luego, A = 2. Con este valor de A se reemplaza en (4) y se obtiene C = 1. Así, A = 2, B = 3, C = 1; consecuentemente,

^

que prueba la igualdad.

Aplicaciones geométricas en R2

DCCD: M.5.2.15. Aplicar el producto escalar entre dos vectores, la norma de un vector, la distancia entre dos puntos, el ángulo entre dos vectores y la proyección ortogonal de un vector sobre otro, para resolver problemas geométricos, reales o hipotéticos en ℝ^2.

● Aplicaciones geométricas en

Saberes previos

¿Qué es el producto escalar de vectores?

Desequilibrio cognitivo

¿El producto escalar de vectores tiene aplicaciones en la física?

Recuerda que...

El producto escalar en ℝ^2 que hemos definido es el más utilizado. Cabe precisar que un producto escalar en ℝ^2 es una función:

​y que satisface las propiedades del teorema adyacente.

Simbología matemática

A un producto escalar de con lo denotamos por · .
Sea A = (a, b) ∈ ℝ​^2. La longitud o norma de se denota || ||.

Producto escalar en ℝ^2

Definición. Sean , ∈ ℝ ^2 con = (a_1, b_1), = (a_2, b_2).

Un producto escalar de con representado por A ∙ B está definido como
A∙B = a_1a_2 + b_1b_2.

El número real ∙ se llama producto escalar, producto punto o producto interior de con y es un número real.

Ejercicios resueltos

1. Sean = (3, 5), = (–1, 4). Entonces, · = 3 · (–1) + 5 · 4 = 17.
2. Sean = (2, –1), = (1, 2). Entonces, · = 2 · 1 + (–1) · 2 = 0.

Teorema. Sean , , ∈ ℝ^2, α ∈ ℝ. El producto escalar en ℝ^2 arriba definido satisface las propiedades siguientes:

^

Demostración. Sean = (a_1, b_1), = (a_2, b_2), y = (a_3, b_3) tres elementos de ℝ^2.

i) De la definición de producto escalar, se tiene
     · = a_1a_2 + b_1b_2 = a_2a_1 + b_2b_1 = · .

ii) Primeramente + = (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2).
      Luego, por la definición del producto escalar en ℝ^2, obtenemos

​     · = a_1a_3 + b_1b_3, · = a_2a_3 + b_2b_3, entonces

​     ( + ) · = (a_1 + a_2)a_3 + (b_1 + b_2)b_3 = a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3
                             = a_1a_3 + b_1b_3 + a_2a_3 + b_2b_3 = · + · .
       Luego, ( + ) · = · + · .

Las otras propiedades se proponen al estudiante para que investiguen y demuestren.

Recuerda que...

Teorema.

Sean , , ∈ ℝ^2.

La distancia entre dos puntos de ℝ^2, cumple las propiedades siguientes:

i) d( , ) ≥ 0.

ii) d( , ) = 0 ⇔ = .
iii) d( , ) = d( , ).
iv) d( , )) ≤ d( , ) + d( , )
        (desigualdad triangular).

El espacio ℝ^2, provisto de la métrica o distancia d, se llama espacio métrico, y se escribe (ℝ^2, d).

Longitud o norma de un vector

En el caso del producto escalar habitual, esta norma coincide con la longitud del vector.

Definición. Sea A = (a, b) ∈ ℝ^2. La longitud o norma de , que se

denota || ||, se define como .

Para todo A = (a, b) ∈ ℝ^2, por la propiedad iv) de la definición de producto escalar, se tiene ·  ≥ 0, con lo cual || || está bien definido.

Ejercicios resueltos

1. Sea = (4, 3). Entonces, ∙ = (4)^2 + (3)^2 = 25. Luego,
.
2. Si = (0, 0), entonces ∙ = 0, y .

Distancia entre dos puntos

Definición. Sean = (a, b), = (c, d) ∈ ℝ^2. Se lo llama distancia de a , que se nota d( , ), al número real no negativo

▲ Figura 2.9.

Ejercicio resuelto

1. Los vértices de un triángulo son los vértices = (–2, 1), = (1, 2), = (2, –3). Calculemos el perímetro del triángulo de la Figura 2.9.

Para el efecto, calculemos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo. Tenemos
– = (–2, 1) – (1, 2) = (–3, –1),
– = (–2, 1) – (2, –3) = (–4, 4),
– = (1, 2) – (2, –3) = (–1, 5),

y de la definición de distancia entre dos puntos, obtenemos
d( , ) = || – || =  =  ,
d( , ) = || – || =  =  ,
d( , ) = || – || =  =

En consecuencia, el perímetro p es
p = d( , ) + d( , ) + d( , ) = √10 + 4 √2 + √26 .

Conexiones con las TIC

Para conocer más sobre distancia entre dos puntos en ℝ^2, te recomendamos visitar este portal:
​www.mayedu.ec/matbu2/p73

Ortogonalidad

Definición.

i) Sean , ∈ ℝ ^2 . Se dice que es ortogonal o perpendicular a que se escribe ⟘ si y solo si · = 0. Sean ∈ ℝ^2 y S ⊂ ℝ^2 con S ≠ Ø. Se dice que es ortogonal al conjunto S que se escribe ⟘  S si y solo si
· = 0    ∀ ∈ S .

ii) Sean R, S dos subconjuntos no vacíos de ℝ^2. Se dice que R es ortogonal a S que se escribe R ⟘ S si y solo si
· = 0    ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ S.

iii) Sea S ⊂ ℝ^2 con S ≠ Ø. Se dice que S es un conjunto ortogonal si con
· = 0    ∀ , ∈ S con ≠ .

iv) Sea S ⊂ ℝ^2 con S ≠ Ø. El complemento ortogonal de S se nota con S^⟘ y se define como el conjunto.

S^⟘​ = { ∈ ℝ​^2 | · = 0,    ∀ ∈ S}.

Ecuación cartesiana de la circunferencia

DCCD: M.5.2.16. Describir la circunferencia como lugares geométricos en el plano.

M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la circunferencia con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo, en física: órbitas planetarias, tiro parabólico, etc.), identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Ecuación cartesiana de la circunferencia

Saberes previos

¿Cómo explicas la posición de una recta tangente con respecto a la circunferencia?

Desequilibrio cognitivo

¿De qué manera se puede determinar una circunferencia a partir de tres puntos no colineales?

Recuerda que...

Históricamente, el descubrimiento de las secciones cónicas, comúnmente llamadas cónicas, data del siglo IV a. C. gracias al matemático griego Menecmo quien estudió las propiedades de las cónicas a partir de su generación en el espacio como la intersección de un cono circular recto con un plano.

Las cónicas surgen a partir de la generación en el espacio como la intersección de un cono circular recto con un plano variablemente inclinado con el eje del cono.

Circunferencia

Sean (a, b), = (x, y) ∈ ℝ^2. Entonces,

– = (x, y) – (a, b) = (x – a, y – b).

La distancia del vector al vector se denota d( , ) y se define como

d( , ) = || – || = .

Definición. Sean = (a, b) ∈ ℝ^2, r > 0.

i. Al círculo cerrado de centro y radio r se denota y se lo define como el conjunto:
      = { = (x, y) ∈ ℝ^2 | || – || ≤ r}.

ii. La circunferencia de centro y radio r se le denota C( , r) y es el conjunto es definido como sigue:
      C( , r) = { = (x, y) ∈ ℝ^2 | || – || = r}.

El conjunto se denomina también disco cerrado de centro y radio r. Al conjunto B( , r) se lo llama disco abierto o círculo abierto de centro y radio r > 0.

De la definición de los conjuntos y C( , r) se tiene:

⊂ ℝ^2, C( , r) ⊂ ℝ^2. Además, C( , r) ⊂ , más precisamente C( , r), es la frontera de , y B( , r) ⊂ .

En lo sucesivo prestaremos mayor atención al conjunto C( , r). Se tienen la siguientes equivalencias:

= (x, y) ∈  C( , r) ⇔ || – || = r,
= (x, y) ∉  C( , r) ⇔ || – || ≠ r,
= (x, y) ∈  B( , r) ⇔ || – || < r.

▲ Figura 2.10.

Sea = (x, y) ∈ C( , r). Se tiene – = (x, y) – (a, b) = (x – a, y – b);
luego, r^2 = || – ||^2 = (x – a)^2 + (y – b)^2, de modo que la circunferencia C( , r) es el conjunto de puntos del plano que se expresa como:

C( , r) = { = (x, y) ∈ ℝ^2 | (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2}.

A la ecuación definida como

(x, y) ∈ ℝ^2, tal que (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2,

se le conoce como ecuación cartesiana de la circunferencia de centro (a, b) y radio r.

Recuerda que...

Al cortar un cono con un plano también se puede generar una parábola o una hipérbola

▲ Figura 2.11.

Nota que el conjunto C( , r) y, en consecuencia, la ecuación de la circunferencia quedan bien definidos si se conocen su centro y su radio r > 0. Además, dan lugar a las siguientes proposiciones:

(x, y) ∈  C( , r) ⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2,
( x, y) ∉ C( , r) ⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 ≠ r^2,
( x, y) ∉  ⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 > r^2,
( x, y) ∈  B( , r) ⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 < r^2.

Los conjuntos y C( , r) se representan geométricamente en el sistema de coordenadas rectangulares. En la Figura 2.12. a la izquierda, se muestra el conjunto , y a la derecha se muestra el conjunto C( , r) y un punto (x, y) ∈​ C( , r).

▲ Figura 2.12.

▲ Figura 2.13.

En el caso particular = (0, 0), la circunferencia de centro y radio r se escribe C( , r), y la ecuación cartesiana de la circunferencia de centro y radio r > 0 se expresa como: (x, y) ∈ ℝ^2, tal que x^2 + y^2 = r^2.

Tenemos C( , r) = { ∈ ℝ^2 | || || = r} = {(x, y) ∈ ℝ^2 | x^2 + y^2 = r^2}.

En la Figura 2.13., en las dos figuras se muestran los conjuntos C( , r) y C( , 1), que representan las circunferencias de centro y radios r > 0 y r = 1, respectivamente.

Ejercicio resuelto

1. Considera el conjunto
C( , 1) = {(x, y) ∈ ℝ^2 | x^2 + y^2 = 1}.
El punto ^ , pertenece a C( , 1), pues
^
Así, ^ , ∈  C( , 1).
El punto (1, 1) no pertenece a C( , 1) pues x = 1, y = 1,
x^2 + y^2 = 2 >1, con lo que (1, 1) ∉ C( , 1).

▲ Figura 2.14.

1. Una circunferencia tiene radio 2 y su centro en el punto = (1, 2). Hallemos la ecuación de esta circunferencia.

Sea C( , 2) entonces

(x, y) ∈ C( , 2) ⇔ (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 4.

Recuerda que...

Ecuación cartesiana de la recta tangente a una circunferencia

La ecuación cartesiana de la recta tangente L a una circunferencia C( _0, r) en un punto dado ∈ C( _0, r).
Sea r > 0. Consideremosla circunferencia C( , r), cuya ecuación cartesiana es:

(x, y) ∈ ℝ^2, x^2 + y^2 = r^2.

Sea = (a, b) ∈ C( , r), se tiene a^2 + b^2 = r^2. El vector = (–b, a) es ortogonal a . En efecto,
 · = –ab + ab = 0.
La ecuación cartesiana de la recta tangente L que pasa por
= (a, b) ∈ C( , r) es:

= (x, y) ∈ ℝ^2, · ( – ) = 0.

Puesto que

· ( – ) = · – · , y ∈ C(0, r), entonces || ||^2 = · = r^2. Además,
· = x_1x + y_1y.

La ecuación de la recta tangente L a la circunferencia C( , r) en el punto = (a, b) está definida como:

(x, y) ∈ ℝ^2, ax + by = r^2.

Observemos que = ( a, b) ∈ L, pues haciendo x = a, y = b, obtenemos ax + by = a^2 + b^2 = r^2.
En la Figura 2.15. se muestra la circunferencia C( , r), el vector ∈ C( , r), ⟘ y la recta L que pasa por .

▲ Figura 2.15.

Problemas relativos a la circunferencia

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos

Sabemos que la ecuación cartesiana de la circunferencia queda bien definida si se conoce su centro _0 = (a, b) ∈ ℝ^2 y su radio r > 0. Así:

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2.

Determinemos la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por tres puntos dados = ( x_1, y_1), = ( x_2, y_2), = ( x_3, y_3) ∈ ℝ^2 no colineales. Para el efecto, denotamos con _0 = (a, b) el centro de la circunferencia, cuyas coordenadas son desconocidas y deberán calcularse en términos de los datos , , . Como la circunferencia debe pasar por , , , denotamos con r el radio de la circunferencia que es la distancia del centro _0 a cualquier punto , , . Elegimos y calculamos r = || – _0|| o bien,

r^2 = || – _0||^2 = (x_1 – a)^2 + (y_1 – b)^2.

La ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por , , es

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 = (x_1 – a)^2 + (y_1 – b)^2,

en la que (a, b) ∈ ℝ^2 es desconocido. Simplifiquemos la escritura de esta ecuación. Tenemos:

x^2 – 2ax + a^2 + y^2 – 2by + b^2 = x_1^2 – 2ax_1 + a^2 + y_1^2 – 2by_1 + b^2,

de donde

–2ax + 2ax_1 – 2by + 2by_1 = x_1^2 + y_1^2 – x^2 – y^2
2( x_1 – x)a + 2( y_1 – y)b = x_1^2 + y_1^2 – x^2 – y^2.

Ponemos || ||^2 = x_1^2 + y_1^2, || ||^2 = x^2 + y^2 con = (x, y) ∈ ℝ^2. La ecuación precedente se expresa como

(x_1 – x)a + (y_1 – y)b = _ (|| ||^2 – || ||^2).

Para calcular las coordenadas a, b de _0, utilizamos los puntos y . Escribimos
= = (x_2, y_2) en la ecuación precedente, y obtenemos

(x_1 – x_2)a + (y_1 – y_2)b = ^ _ (|| ||^2 – || ||^2).

De manera similar, si = = (x_3, y_3), obtenemos

(x_1 – x_3)a + (y_1 – y_3)b = ^ _ (|| ||^2 – || ||^2).

Así, el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas a, b ∈ ℝ se escribe:

^

Como los vectores , , no son colineales, los vectores , , definidos como

 = – = (x_1 – x_2, y_1 – y_2), = – = (x_1 – x_3, y_1 – y_3),

son linealmente independientes, con lo que el determinante

^ ≠ 0, y el sistema de ecuaciones lineales

propuesto tiene solución única (a, b) ∈ ℝ^2.

▲ Figura 2.16.

Al sistema podemos expresarlo como: ^ donde

En la Figura 2.16. se muestran los puntos , , , su centro _0 = (a, b), el radio r y una porción de circunferencia que pasa por , , .

Recuerda que...

Intersección de dos circunferencias
Sean a, b ∈ ℝ^2, r_1 > 0, r_2 > 0,
C( , r_1), C( , r_2)
dos circunferencias de centros , y radios r_1 y r_2, respectivamente. Consideramos el conjunto C( , r_1) ∩ C( , r_2). Este conjunto puede ser vacío, puede estar constituido por un punto, por dos puntos, o puede ser C( , r_1) cuando = y r_1 = r_2.

En la Figura 2.17. se ilustra cada una de estas situaciones:

▲ Figura 2.17.

Ejercicio resuelto

Consideramos los puntos = (1, 4), = (2, 2 + √3),
= (1 – √2, 2 – √2). Hallamos la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por , , . Denotamos con _0 = (a, b) el centro de la circunferencia y con r > 0, su radio. Calculemos || ||^2, || ||^2, || ||^2.

|| ||^2 = 17, || ||^2 = 4 + (2 + √3)^2 = 11 + 4 √3,
|| ||^2 = (1 – √2)^2 + (2 – √2)^2 = 9 – 6 √2.

Sean

= – = (1, 4) – (2, 2 + √3) = (–1, 2 – √3).
= – = (1, 4) – (1 – √2, 2 – √2) = ( 2 , 2 + √2).

b_1 = 1/2(|| ||^2 – || ||^2) = 1/2 (17 – 11 – 4  √3) = 3 – 2 √3.

b_2 = 1/2(|| ||^2 – || ||^2) = 1/2 (17 – 9 + 6 √2) = 4 + 3 √2.

El sistema de ecuaciones lineales: ^

se expresa como el siguiente sistema:

^

Resolvemos este sistema de ecuaciones. De la primera ecuación obtenemos
a = (2 – √3)b = 3 + 2 √3, y reemplazando en la segunda se deduce
2((2 – √3)b – 3 + 2 √3) + (2 + √2b = 4 + 3 √2, de donde
(2 + 3 √2 – √6)b = 2(2 + 3 √2 – √6) ⇒ b = 2.

Luego, a = (2 – √3)b – 3 + 2 √3 = 2(2 – √3) – 3 + 2 √3 = 1.

El centro de la circunferencia es _0 = (1, 2). Calculemos su radio
r = || – _0||. Tenemos

La ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por , , está definida como
( x, y) ∈ ℝ^2 (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 4.

Ecuación cartesiana de la parábola

DCCD: M.5.2.16. Describir  la parábola  como lugares geométricos en el plano.

M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la parábola con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas, identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Ecuación cartesiana de la parábola

Saberes previos

¿Cómo se genera una parábola?

Desequilibrio cognitivo

¿Puede el foco de una parábola estar fuera de la misma?, ¿por qué?

La parábola

Es esta sección estudiaremos a la parábola. En primer lugar, obtenemos la ecuación de esta curva cuando el foco está localizado en el eje X. A continuación, obtenemos la ecuación canónica de la parábola cuando el foco está localizado en el eje Y.

Sean L una recta en el plano y = (a, b) ∈ ℝ^2. Recordemos que la distancia del punto a la recta L se define como el número real no negativo

d( , L) = || – ||,

donde ∈ L y el vector – es perpendicular a L. En la Figura 2.20. se muestran el punto , la recta L y ∈ L.

▲ Figura 2.20.

▲ Figura 2.21.

▲ Figura 2.22.

En el caso en que la recta L sea paralela al eje Y, y su ecuación cartesiana sea x = c con c ∈ L, se tiene

d( , L) = || – || = |a – c|.

En la Figura 2.21. se muestran el punto , y la recta L paralela al eje Y,

∈  L y – ⟘ L.

En el caso en que la recta L sea perpendicular al eje Y y su ecuación cartesiana sea y = c con c ∈ ℝ, se tiene

d( , L) = || – || = |b – c|.

En la Figura 2.22. se muestran el punto , y la recta L paralela al eje X,

∈  L y – ⟘  L.

Definición. Sean L una recta paralela al eje Y de ecuación cartesiana x = –c con c ∈ ℝ^+, y = (c, 0). Se le llama parábola de directriz a la recta L y foco en el eje x, al conjunto de puntos denotado y definido como:

𝒫( , c) = { ∈ ℝ^2 | d( , L) = || – ||}.

Notemos que d( , L) es la distancia del punto a la recta fija L, y que || – || es la distancia del punto al punto fijo , llamado foco. Luego, la parábola de directriz de recta L y foco es el conjunto 𝒫( , c), constituido por todos los puntos ∈ ℝ^2, tal que la distancia d( , L) es igual a la distancia de al foco .

▲ Figura 2.23.

De la definición del conjunto 𝒫( , c) es claro que 𝒫( , c) ℝ^2 y 𝒫( , c) ≠ Ø, pues si = (0, 0), d( , L) = c, y || – || = c, de donde d( , L) = || – || = c, entonces = (0, 0) ∈ 𝒫( , c).

Sea = (x, y) ∈ ℝ^2, entonces – = (x, y) – (c, 0) = (x – c, y),
d( , L) = |x + c|, || – || = ^ .

Se tiene la siguiente equivalencia:
= (x, y) ∈ 𝒫( , c) ⇔ d( , L) = || – ||.

En la Figura 2.23. se muestran la recta L paralela al eje Y, el foco = (c, 0), la parábola 𝒫( , c) y ∈ 𝒫( , c).

Interdisciplinariedad

La circunferencia es una de los elementos de la geometría más importantes y presentes en nuestra vida, aunque no lo parezca todos algún momento necesitamos de una circunferencia por ejemplo, las ruedas de los autos, de las bicicletas, las ruedas moscovitas en los parques de diversiones, hoy en día los Cds tienen forma de circunferencias, los relojes, en las canchas de fútbol, de baskeboll en el centro se encuentra dibujada una circunferencia, de ahí la importancia de su estudio con mayor formalidad.

A continuación, obtenemos la ecuación cartesiana de la parábola. De la igualdad d( , L) = || – || se obtiene

|x + c| =

y elevando al cuadrado ambos miembros, resulta

(x + c)^2 = ( x – c)^2 – y^2 ,
x^2 + 2cx + c^2 = x^2 – 2 cx + c^2 + y ^2.

Aplicando la ley cancelativa (cancelando el término x^2 + c^2 en la última igualdad), se obtiene y^2 = 4cx.

Así, = (x, y) ∈ 𝒫( , c) ⇔ y^2 = 4cx, con lo que

𝒫( , c) = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y^2 = 4cx}.

Puesto que c > 0, y^2 ≥ 0, ∀y ∈ ℝ, la igualdad y^2 = 4cx tiene sentido si y solo si, x ≥ 0. La ecuación cartesiana (x, y) ∈ ℝ^2, tal que y^2 = 4cx, se llama ecuación canónica de la parábola de directriz paralela al eje Y y foco localizado en el eje X. El punto = (0, 0) ∈ 𝒫( , c) se llama vértice de la parábola.

▲ Figura 2.24.

▲ Figura 2.25.

Ejercicio resuelto

La ecuación (x, y) ∈ ℝ^2, tal que y^2 = x, representa a una parábola de vértice = (0, 0). Nota que la igualdad y^2 = x tiene sentido en el conjunto de los números reales si y solo si x ≥ 0.

Determinemos las coordenadas del foco = (c, 0). Se tiene 1 = 4c, de donde c = 1/4. La ecuación cartesiana de la directriz de la parábola

𝒫( , 1/4) es x = 1/4. En la Figura 2.24. se muestran la recta L, el foco y una porción de la parábola.

Si la recta L es paralela al eje Y, y tiene como ecuación cartesiana x = c con c ∈ ℝ^+, se deduce inmediatamente que la ecuación canónica de la parábola es y^2 = 4cx. Así, 𝒫( , –c) = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y^2 = –4cx}.

Como c > 0, la ecuación (x, y) ∈ ℝ^2, tal que y^2 = –4cx, tiene sentido en ℝ si y solo si x ≤ 0. En la Figura 2.25. se muestra el conjunto 𝒫( , –c).

Problemas relativos a la parábola

Problema 1. Consideremos la parábola

𝒫( , c) = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y^2 = 4cx}, donde c > 0. Se tiene la siguiente equivalencia:
( x, y) ∈ 𝒫( , c) ⇔ y^2 = 4cx.

Sea (x_0, y_0) ∈ 𝒫( , c), es decir, y_0_ ^2 = 4cx_0. Determinemos una recta L que pasa por (x_0, y_0) y es tangente a 𝒫( , c) en dicho punto.

▲ Figura 2.26.

Si x_0 = y_0 = 0, esto es, (x_0, y_0) es el vértice de la parábola, el eje Y es la recta tangente a 𝒫( , c) en (0, 0) cuya ecuación vectorial está definida como (t) = t(0, 1), ∀t ∈ ℝ. En la Figura 2.26. se muestran la parábola 𝒫( , c) y la recta tangente en (0, 0).

Supongamos que x_0 ≠ 0, y_0 ≠ 0 y L la recta tangente a la parábola
𝒫( , c) en el punto (x_0, y_0) ∈ 𝒫( , c), la ecuación cartesiana es:

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – y_0 = m( x – x_0),

donde m ≠ 0, es la pendiente.

▲ Figura 2.27.

De la ecuación cartesiana de L se obtiene y = y_0 + m(x – x_0). Reemplazando en la ecuación cartesiana de la parábola, resulta

[y_0 + m(x – x_0)]^2 = 4cx ⇔ ( mx + y_0 – mx_0)^2 – 4cx = 0
⇔ m^2x^2 + 2m(y_0 – mx_0 )x + (y_0 – mx_0 )^2 – 4cx = 0.

El discriminante de esta ecuación debe ser cero:

[2m(y_0 – mx_0) – 4c]^2 – 4m^2(y_0 – mx_0)^2 = 0.

La pendiente de la recta tangente L es m = . La ecuación cartesiana de la recta tangente L es:

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – y_0 = (x – x_0).

En la Figura 2.27. se muestran la parábola 𝒫( , c), y las rectas L, L_1, L_2, L_3 del haz de rectas que pasan por el punto (x_0, y_0) ∈ 𝒫( , c).

▲ Figura 2.28.

Ejercicio resuelto

Si 𝒫( , 2) = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y^2 = 8x} y x_0 = 2, entonces, y_0_ ^2 = 8x_0 = 16. Elegimos y_0 = –4. La pendiente de la recta tangente L a la parábola 𝒫( , 2)
en el punto (2, –4) es m = = –1.

La ecuación cartesiana de la recta tangente a la parábola 𝒫( , 2)) en el punto (2, –4) es: (x, y) ∈ ℝ^2 tal que y + 4 = –x + 2, o bien, y = –x – 2.

En la Figura 2.28. se muestran la parábola 𝒫( , 2), el punto (2, –4) y la recta L que pasa por (2, –4) y es tangente a 𝒫( , 2).

▲ Figura 2.29.

Recuerda que...

Un tipo de problemas de tangentes a una parábola consiste en hallar la ecuación cartesiana o vectorial de la recta tangente a una parábola
𝒫( , c), que pasa por un punto
( x_0, y_0) ∈ 𝒫( , c),
donde  c ∈ ℝ, c ≠ 0.

Otro tipo de problemas consiste en hallar la ecuación cartesiana o vectorial de la recta tangente a la parábola
𝒫( , c), que pasa por un punto
( x_0, y_0) ∉ 𝒫( , c).
El tercer problema consiste en hallar la ecuación cartesiana de la recta que pasa por un punto
( x_0, y_0) ∉ 𝒫( , c), que tiene una pendiente dada m, y es tangente a la parábola
𝒫( , c).

Problema 2. Consideremos la parábola

𝒫( , c) = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y^2 = 4cx}, donde c > 0, y (x_0, y_0) ∈ ℝ^2, tal que (x_0, y_0) 𝒫( , c) y si x_0 > 0, y_0^2 > 4cx_0. En la Figura 2.29. se muestran la parábola 𝒫( , c), el punto (x_0, y_0) y L, L_1, L_2 que son tres rectas de un haz de rectas que pasan por (x_0, y_0), una de ellas tangente a ∈ 𝒫( , c) y (x_1, y_1) ∈ ℝ^2.

Notemos que (x_1, y_1) ∈ ℝ^2 es tal que x_1 > 0 y y_1^2 > 4cx_1. Un punto como este se denomina interior a la parábola.

Determinemos, si existe, una recta L que pasa por el punto (x_0, y_0) y es tangente a la parábola 𝒫( , c). Para el efecto, supongamos que la ecuación cartesiana de la recta está definida como (x, y) ∈ ℝ^2, tal que y – y_0 = m(x – x_0), donde m ∈ ℝ es la pendiente. Entonces, y = m(x – x_0) + y_0, y reemplazando en la ecuación de la parábola y^2 = 4cx, se tiene (y_0 + m(x – x_0))^2 – 4cx = 0.

Procediendo en forma similar al desarrollo realizado en el problema 1, se obtiene la ecuación siguiente que permite hallar m.

x_0m^2 – y_0m + c = 0,

y como el discriminante de esta ecuación es positivo, esto es, d = (–y_0)^2 – 4cx_0 > 0, pues, por hipótesis, el punto (x_0, y_0) 𝒫( , c) y si x_0 > 0, y_0^2 > 4cx_0. Las raíces de la ecuación de segundo grado son:

^

Debemos probar que las rectas L_1, L_2 de las siguientes ecuaciones cartesianas que se definen a continuación

L_1: (x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – y_0 = m_1(x – x_0),
L_2: (x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – y_0 = m_2(x – x_0),

son tangentes a la parábola 𝒫( , c). Para el efecto, debemos mostrar que el sistema de ecuaciones

( x, y) ∈ ℝ^2 tal que ^

tiene una única solución (x, y) ∈ ℝ^2.

De la segunda ecuación, se obtiene x = . Reemplazando en la primera, se tiene

y – y_0 = m_1 ⇔ m_1y^2 – 4cy + 4cy_0 – 4cx_0m_1 = 0.

Esta última ecuación de segundo grado con incógnita y tiene solución en ℝ si y solo si su discriminante es no negativo, es decir,

d = 16c^2 – 4m_1(4cy_0 – 4cx_0m_1) = 16c(x_0m_1^2 – m_1y_0 + c).

Pero m_1 es solución de la segunda ecuación x_0m^2 – my_0 + c = 0, entonces d = 0. Consecuentemente,

Luego, . El punto de tangencia es

. En forma similar se procede con m_2.

Ecuación cartesiana de la elipse

DCCD: M.5.2.16. Describir  la elipse como lugares geométricos en el plano.

M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la elipse con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo, en física: órbitas planetarias, tiro parabólico, etc.), identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Ecuación cartesiana de la elipse

Saberes previos

¿Qué es una elipse?

Desequilibrio cognitivo

Además de la circunferencia, ¿qué otras curvas reconoces?

Recuerda que...

A la ecuación cartesiana de la elipse

= (x, y) ∈ ℝ^2 tal que

se la conoce como ecuación canónica.

La elipse

Definición. Sean a, b, c ∈ ℝ con a > c y b^2 = a^2 – c^2, _1 = (–c, 0), _2 = (c, 0). La elipse de centro y de eje traverso al eje x se denota con E( , a, b) y se define como el conjunto

E( , a, b) = { ∈ ℝ ^2 | || – _1|| + || – _2|| = 2a}.

Los puntos fijos _1 = (–c, 0) y _2 = (c, 0) se llaman focos de la elipse, y la recta que pasa por _1 y _2 se llama eje traverso.

De la definición del conjunto E( , a, b) es claro que E( , a, b) ℝ^2y E( , a, b) ≠ Ø, como se mostrará más adelante.

Sea = (x, y) ∈ ℝ^2. Entonces,

– _1 = (x, y) – (–c, 0) = (x + c, y), – _2 = (x, y) – (c, 0) = (x – c, y).

Luego,

|| – _1|| = , || – _2|| = .

Simbología matemática

A la elipse de centro y de eje traverso al eje X se la denota con E( , a, b).

≠ (x, y) ∈ E( , a, b) ⇔

+ = 1.

Tenemos la siguiente equivalencia:

^

Para obtener la ecuación cartesiana de la elipse, consideramos la ecuación:

de donde Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos

y luego de simplificar x^2 + y^2 + c^2, se deducen las igualdades siguientes:

^

Nuevamente, elevamos al cuadrado en ambos miembros de esta última igualdad:

Recuerda que...

En toda elipse consideramos que:

= (x, y) es un punto de la elipse.
_1 y _2 son los focos de la elipse.
es el centro de la elipse.

La suma de las distancias desde un punto a los puntos fijos llamados focos es siempre constante e igual a 2a con a > 0.

La ecuación cartesiana de la elipse con centro en el origen es:

= 1,

donde a > 0 y b > 0.

Puesto que a > c, entonces a^2 – c^2 > 0. Ponemos b^2 = a^2 – c^2 y reemplazamos en la última ecuación. Obtenemos

– x^2 – y^2 = –b^2, de donde = 1,

o también, = 1.

Así, = (x, y) ∈ E( , a, b) ⇔ = 1.

A esta última ecuación se la conoce como ecuación cartesiana de la elipse de centro y eje traverso al eje X.

El conjunto E( , a, b) puede ser expresado así:

Dados a, b ∈ ℝ^+, las coordenadas de los focos _1 y _2 se obtienen de la ecuación c^2 = a^2 – b^2. Nota que a > b.

Definición. La excentricidad de la elipse se designa con e y se define como

▲ Figura 2.30.

Como a > c, se sigue que e = < 1; es decir que la elipse es una sección cónica que tiene excentricidad menor que 1. En la Figura 2.30. siguiente se muestran el conjunto E( , a, b), los focos _1 y _2, así y un punto = (x, y) de la elipse.

Con la ecuación de la elipse podemos determinar las intersecciones de la elipse con los ejes coordenados, del siguiente modo:

si x = 0, obtenemos = 1, de donde y = ±b; cuando y = 0, obtenemos = 1, con lo que x = ±a. Así, la intersección de la elipse con el eje X es conformada por los puntos _1 = (–a, 0) y _2 = (a, 0), que se conocen como vértices de la elipse. La intersección de la elipse con el eje Y es conformada por los puntos _1 = (0, –b) y _2 = (0, b). La distancia d( _1, _2) = || _1 – _2|| = 2a se llama eje mayor de la elipse; y la distancia d( _1, _2) = || _1 – _2|| = 2b se llama eje menor de la elipse.

En los ejercicios se propone obtener la ecuación cartesiana de la elipse E( , a, b), donde a, b, c ∈ ℝ^+, y los puntos _1 = (0, –c) y _1 = (0, c) fijos están localizados en el eje Y.

Conexiones con las TIC

Para conocer más sobre la elipse y la circunferencia, visita esta página:
​www.mayedu.ec/matbu2/p90

Ejercicio resuelto

Los focos de una elipse E( , a, b) son _1 = (–4, 0), _2 = (4, 0), y los vértices son (–5, 0), (5, 0). Mostrar que la elipse es

En primer lugar, de las coordenadas de los focos se obtiene c = 4, y de las coordenadas de los vértices, a = 5. Como c^2 = a^2 – b^2, entonces

b^2 = a^2 – c^2,    25 – 16 = 9,

de donde b = 3. La ecuación cartesiana de la elipse E es

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que + = 1.

Calculamos la excentricidad: e = = .

Problemas relativos a la elipse

Ecuación cartesiana de la recta tangente a una elipse

Tratamos el problema de hallar la ecuación vectorial o cartesiana de la recta tangente a una elipse en un punto dado de esta. Para el efecto, supongamos conocida la elipse E( , a, b), donde a, b ∈ ℝ^+, y un punto de esta = ( x_0, y_0) ∈ E( , a, b).

Buscamos una recta L tangente a E( , a, b) en el punto
= (x_0, y_0) ∈ E( , a, b). Más aún, buscamos la ecuación cartesiana o vectorial de dicha tangente L. Esto nos conduce a considerar dos casos.

En el primero, la recta tangente L a la elipse E( , a, b) en el punto = (–a, 0) es paralela al eje x. Observamos que en este caso no está definida la pendiente de dicha recta. La ecuación vectorial de esta recta está definida como

(t) = (–a, 0) + t(0, 1), t ∈ ℝ.

En la Figura 2.31. se muestra la recta tangente L a la elipse E( , a, b) en el punto = (–a, 0). Se tiene E( , a, b) ∩ L = { }.

De manera similar, tratamos el caso de la recta tangente L a E( , a, b) en el punto = (–a, 0).

En el segundo caso, suponemos que (x_0, y_0) ∈ E( , a, b) con x ≠ ±a, exactamente –a < x_0 < a. En la Figura 2.32. se muestra la recta tangente L a la elipse en el punto = (x_0, y_0) ∈ E( , a, b).

▲ Figura 2.31.

▲ Figura 2.32.

▲ Figura 2.33.

En este caso, la pendiente de dicha recta L sí está definida, por lo que se puede obtener su ecuación cartesiana.

Supongamos que la ecuación cartesiana de la recta tangente L a la elipse E( , a, b) en el punto = (x_0, y_0) está definida como

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – y_0 = m(x – x_0),

donde m ∈ ℝ es la pendiente de dicha recta L y de la que por el momento no se conoce. Cuando m ∈ ℝ, la ecuación precedente genera n haz de rectas que pasan por (x_0, y_0). En la Figura 2.33. se muestran algunas rectas de este haz (cuatro rectas L_1, L_2, L_3, L_4 y la recta tangente L).

La ecuación cartesiana de la elipse E( , a, b) está definida como:

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que + = 1.

En el punto de tangencia, = (x_0, y_0) ∈ E( , a, b); luego,

+ = 1.

Recuerda que...

Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la elipse en un punto se aplica el método conocido como Método del discriminante, una parte de este se lo aplicó en el caso de la parábola.

Se propone al alumno indagar este método y obtener la pendiente indicada en esta página.

Se prueba que la pendiente m = y la ecuación de la recta es:
( x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – y_0 = .

Ejercicio resuelto

Considérese la elipse E( , 4, 1) y = .
Determinemos la ecuación cartesiana de la recta tangente L en el punto E( , 4, 1) = . Primeramente, verificamos que ∈  E( , 4, 1). En efecto, la ecuación cartesiana de la elipse es

(x, y) ∈ ℝ^2, tal que + = 1.

▲ Figura 2.34.

Luego, para x = –2, y = se tiene = 1 que muestra que ∈  E( , 4, 1).

​La pendiente de la recta tangente L a la elipse en el punto está definida como
m = , entonces
La ecuación cartesiana de L está definida como
( x, y) ∈ ℝ^2 tal que y + = – (x + 2).
En la Figura 2.34. se muestran la elipse E( , 4, 1), el punto y la recta tangente.

Ecuación cartesiana de la hipérbola

DCCD: M.5.2.16. Describir la hipérbola como lugares geométricos en el plano.

M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la hipérbola con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo, en física: órbitas planetarias, tiro parabólico, etc.), identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Ecuación cartesiana de la hipérbola

Saberes previos

¿Qué es una hipérbola?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué importancia tienen los dos puntos fijos llamados focos para el cálculo de la ecuación cartesiana de la hipérbola?

Hipérbola

Definición. Sean a, b, c ∈ ℝ^+, tal que 0 < a < c y b^2 = a^2 – c^2,

_1 = (–c, 0), _2 = (c, 0). Se le llama hipérbola de eje principal al eje x , y focos _1 y _2, al conjunto de puntos del plano definido y denotado como

Claramente ℋ( , a, b) ℝ^2.

En muchos libros de geometría analítica, se define a la hipérbola como el conjunto de puntos del plano, tal que el valor absoluto de las diferencias de las distancias de a _1 y a _2 es una constante dada. La distancia del punto a _1 es || – _1 || y la distancia del punto a _2 es || – _2||, con lo que la hipérbola es el conjunto de puntos del plano, tal que || – _1|| – || – _2|| es una constante dada, la cual se ha elegido como 2a.

Recuerda que...

Excentricidad dela hipérbola

Sean a, b, c ∈ ℝ^2, tal que
0 < a < c y b^2 = c^2 – a^2,
_1 = (–c , 0), _2 = (c , 0),
los focos de la hipérbola ℋ( , a, b).

La excentricidad de la hipérbola se define como

Puesto que c > a, se sigue que

e = > 1.

De la definición de hipérbola, esto es, del conjunto ℋ( , a, b), se tienen las siguientes equivalencias:

∈ ( , a, b) ⇔ | || – _1|| – || – _2|| | = 2a,
( , a, b) ⇔ | || – _1|| – || – _2|| | ≠ 2a.

Sea = (x, y) ∈ ℝ^2. La distancia de a _1 está definida como

y la distancia de a _2 es
Primeramente ℋ( , a, b) ≠ 0,
pues ∈ ℋ( , a, b). En efecto, || – _1|| = c, || – _2|| = c, luego,
|| – _1|| – || – _2|| = 0 < 2a, lo que demuestra que ∈ ℋ( , a, b).

Por otro lado, de la propiedad de la norma siguiente:

| || || – || || | ≤ || – || ∀ , ∈ ℝ^2, se sigue que

2a = | || – _1|| – || – _2|| | = | || _1 – || – || – _2|| | ≤ || _1 – _2|| = 2c,

con lo que si ∈ ℋ( , a, b), resulta

2a = | || – _1|| – || – _2|| | ≤ || _1 – _2||.

▲ Figura 2.35.

En la Figura 2.35. se muestran los focos _1, _2 y un punto
= (x,y) ∈ ℝ^2 que pertenece a la hipérbola ℋ( , a, b).

Obtengamos la ecuación cartesiana de la hipérbola. De la definición del conjunto ℋ( , a, b) se sigue que:

Eje Transversal

Salud

En medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar cálculos renades por medio de ondas acuáticas de choque. El funcionamiento de este aparato se basa en la siguiente forma: se coloca un aparato en forma de elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente y en la parte del foco se generan ondas, el foco de la otra parte del elipsoide se colocan en los cálculos del paciente.

Adaptado de: http://www.academia.edu/18354808/Aplicacion_de_la_Elipse_a_la_Ingenieria

Recuerda que...

Los puntos _1 = (–a, 0), _2 = (a, 0) se llaman vértices de la hipérbola.

De la ecuación (x, y) ∈ ℝ^2 tal que

– = 1, se sigue que

= – 1, y como ≥ 0,

resulta que – 1 ≥ 0,

de donde ≥ 1, con lo que

x ∈ ]–∞, –a] ∪ [a, ∞[.

Consideremos la ecuación: (x, y) ∈ ℝ^2, tal que

. De la definición de valor
absoluto, se deduce y de esta, consideremos la ecuación:

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que .

Resulta . Elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene

(x + c)^2 + y^2 = ^ , de donde
x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 – 4a – (x – c)^2 + y^2
= 4a^2 – 4a + x^2 – 2cx + c^2 + y^2.

Aplicando la ley cancelativa (cancelando x^2 + c^2 + y^2), se obtiene

2cx = 4a^2 – 4a – 2cx

y de esta última igualdad se deducen las siguientes:

4a = 4a^2 – 4cx, = a – x.

Nuevamente, elevando al cuadrado ambos miembros en la última igualdad, se tiene

(x – c)^2 + y^2 =

y de esta se deducen las siguientes:

x^2 – 2cx + c^2 + y^2 = a^2 – 2cx + x^2,

x^2 – x^2 + y^2 = a^2 – c^2,        x^2 – y^2 = c^2 – a^2.

Sea b^2 = c^2 – a^2 > 0. Multiplicando por la igualdad anterior,

se obtiene la ecuación (x, y) ∈ ℝ^2 tal que = 1,

a la cual se le conoce como ecuación cartesiana de la hipérbola con eje X como eje principal.

Si se considera la ecuación

(x, y) ∈ ℝ^2, tal que ^

y procediendo como en el caso previo, se obtiene la ecuación

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que = 1,

que es exactamente la misma obtenida anteriormente. De estos resultados, el conjunto ℋ( , a, b) se escribe como el siguiente:

ℋ( , a, b) =

donde 0 < a < c y b^2 = c^2 – a^2.

▲ Figura 2.36.

Problemas relativos a la hipérbola

La hipérbola siguiente ℋ( , 3, 4) =

tiene como ecuación cartesiana: (x, y) ∈ ℝ^2 tal que

Se tiene a = 3, b = 4 y como b^2 = c^2 – a^2, se sigue que c^2 = a^2 + b^2, de donde c = 5. Las coordenadas de los focos son _1 = (–5, 0), _2 = (5, 0). En la Figura 2.36. se muestra esta hipérbola.

A continuación tratamos la hipérbola que tiene focos en el eje Y y determinamos su ecuación cartesiana. Para el efecto, sean a, b, c ∈ ℝ^+, tales que 0 < a < c y b^2 = a^2 – c^2, _1 = (0, –c), _2 = (0, c). La hipérbola de eje Y como eje principal y con focos _1 y _2 es el conjunto de puntos

ℋ( , a, b) =

Sea = (x,y) ∈ ℝ^2. Tomando en consideración que
– _1 = (x, y + c), || – _1|| = ^ ,

– _2 = (x, y – c), || – _2|| = , se sigue que

∈ ℋ( , a, b) = | || – _1|| – || – _2|| | = 2a ⇔

▲ Figura 2.37.

Si se considera la ecuación (x, y) ∈ ℝ^2, tal que

, y se procede en forma similar a la descrita anteriormente, se deduce la ecuación

(x, y) ∈ ℝ^2, tal que – = –1, a la que se conoce como ecuación canónica de la hipérbola de eje Y como eje principal.

Por lo tanto, = (x, y) ∈ ℋ( , a, b) ⇔ – = –1,

lo que permite escribir el conjunto ℋ( , a, b) como el siguiente:

.

En la Figura 2.37. se muestran los focos _1 y _2 y la hipérbola de eje Y como eje principal.

Recuerda que...

El conjunto

representa la rama de hipérbola bajo el eje X, y el conjunto

representa la rama de hipérbola sobre el eje X.
Para x = 0 se obtiene y = ±a,luego, _1 = (0, –a), _2 = (0, a) son los vértices de la hipérbola.

Recuerda que...

Hipérbola equilátera

En el caso particular en que a = b de la relación b^2 = c^2 – a^2, o bien, c^2 = a^2 + b^2, se obtiene c = ± √2a. Los focos _1 y _2 de la hipérbola son _1 = (–√2a, 0), _2 = (√2a, 0). A la hipérbola

se la denomina hipérbola equilátera. Las asíntotas de esta hipérbola están definidas como

R_1 = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y = x},
R_2 = {(x, y) ∈ ℝ^2 | y = –x}.

De la ecuación canónica de la hipérbola

(x, y) ∈ ℝ^2, tal que – = –1,

se sigue que = 1 + , y como 1 + ≥ 1, resulta ≥ 1, de

donde y ∈ ]–∞, –a] ∪ [a, ∞[.

Asíntotas de la hipérbola

De la ecuación cartesiana de la hipérbola

(x, y) ∈ ℝ^2, tal que – = 1,

se obtiene .

De este resultado, se obtienen dos ecuaciones cartesianas de rectas

lo que permite definir dos rectas asíntotas dadas como:

En la Figura 2.38., se muestran con línea punteada estas dos rectas.

Ejercicios resueltos

1. La ecuación cartesiana de una hipérbola es:
( x, y) ∈ ℝ^2, tal que x^2 – y^2 = 1. Entonces, la hipérbola es equilátera, sus focos son _1 = (– , 0), _2 = ( , 0), pues a = 1 y c = a. En la Figura 2.38. se muestra el conjunto ℋ ( , 1, 1) = {(x, y) ∈ ℝ^2 | x^2 – y^2 = 1}.

▲ Figura 2.38.

De la ecuación (x, y) ∈ ℝ^2, tal que x^2 – y^2 = 1, se obtiene y^2 – x^2 = 1, y como y^2 ≥ 0, se sigue que x^2 – 1 ≥ 0, con lo que |x| ≥ 1, es decir, x ∈ ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[. Para x ∈ ]–∞, –1] de la ecuación y^2 – x^2 = 1, se obtiene la rama de hipérbola que se muestra a la izquierda, y para x ∈ [1, ∞[, y de la ecuación y^2 – x^2 = 1, se obtiene la rama de la hipérbola que se muestra a la derecha.

1. Una hipérbola tiene como ecuación canónica la siguiente:
( x, y) ∈ ℝ^2, tal que 4x^2 – 5y^2 = –20.

▲ Figura 2.39.

Dividiendo miembro a miembro para 20, la ecuación de la hipérbola se expresa como

Se tiene a = 2, b = √5. De la relación b^2 = c^2 – a^2 resulta c^2 = a^2 + b^2, con lo que c = 3.

Los focos de la hipérbola son _1 = (0, –3), _2 = (0, 3). El eje principal coincide con el eje Y. Además, los vértices de la hipérbola son _1 = (0, –2), _1 = (0, –2). En la Figura 2.39. se muestra la hipérbola:

Solución de problemas cotidianos

Conexión con la construcción

1. Un lote rectangular de lados x e y va a cercarse en tres de sus lados. El área del lote es A en m^2. Expresamos la longitud de la cerca en términos del lado no cercado x. El costo de cerca por metro es de C$.
Sean x, y las longitudes de los lados medidos en metros. Denotamos con L(x) la longitud de la cerca. Entonces, L(x) = x + 2y, A = x ∙ y.

Para x ≠ 0, se obtiene y = . Luego,

L(x) = x + 2y = x + = , x ≠ 0.

La función racional f está definida como

f:

Resulta que f(x) = L(x) x > 0.

Observamos que esta función tiene dos asíntotas:
V_1 = {(0, y) | y  R}, V_2 = {(x, x) | x  R},

con V_1 que coincide con el eje y, y V_2 que se identifica con la recta de ecuación cartesiana y = x.

En la figura que sigue se muestran varias gráficas para valores distintos del área A.

Cuando x = 2A , se tiene el valor mínimo por cercar L( 2A ) = 2 2A . El costo a pagar es2 2A C$.

Sigue los pasos de experimentación, modelación, interpretación y generalización para resolver los siguientes problemas.

Conexión con física

2. El peso (w) de un cuerpo es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia (r) al centro de la Tierra. La ecuación que relaciona peso y

distancia es w = , donde w es el peso del cuerpo,
r es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra, y k es la constante de proporcionalidad.

a) Suponiendo que un cuerpo tiene 200 kg en la superficie terrestre, expresa de peso en función de la distancia al centro de la Tierra. Supondremos que el radio de la Tierra es de 6 400 km.
b) ¿Cuánto pesará el cuerpo a una distancia de 400 km por encima de la superficie terrestre?

Conexión con biología

3. El consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, para una persona que camina a x kilómetros por hora está dada por la función

f(x) = x^2 + x + 10; mientras que
el consumo de oxígeno para una persona que corre a x kilómetros por hora está dada por g(x) = 11x + 10.

a) ¿Cuáles son los gráficos de x y de y, trazados en un mismo plano?
b) ¿A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que corre?
c) ¿Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en b?

Tomado de: http://netlizama.usach.cl/Apuntes%20Medicina%20(Veronica).pdf

4. Investiga en Internet, plantea y resuelve problemas relacionados con la aplicación de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Realiza un gráfico en cada caso.

Practica en tu cuaderno

k

r^2

y

x

lado no cercado

A

x

2A

x

x^2 + 2A

x

R \ {0} → R
x → f(x) = .

x^2 + 2A

x

shutterstock, (2017). 604824566

5

3

5

3

y

A_3

A_2

A_1

y = x

0

x

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y la ley de Charles

¿Qué tiene que ver la matemática con la ley de gas ideal?

La ley de gas ideal se caracteriza por tres variables de estado: la presión absoluta (P), el volumen (V) y la temperatura absoluta (T).

La ley de gas ideal tiene la forma: ,
donde los subíndices i y f se refieren a los estados inicial y final del proceso. Si limitamos la temperatura a un valor constante, la fórmula será:
P_i V_i = P_f V_f. A esta se la conoce como la ley de Boyle.

Si la presión es constante, entonces la ley de gas ideal toma la forma
→ V_f = V_i , que se la llama ley de Charles.

La ley de Charles permite realizar experimentos cuando la presión atmosférica es constante. Puede ser representada en los estados posibles de un gas ideal, por una superficie PVT, como se puede mirar en la ilustración. En ella se muestra el comportamiento cuando se mantiene constante cualquiera de las tres variables: volumen, temperatura absoluta o presión absoluta.

Adaptado de: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Kinetic/idegas.html

▲ Comportamiento de un gas a presión constante.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

La matemática en la Ingeniería de Procesos

Las funciones racionales son utilizadas en la Ingeniería de Procesos, en la medida en que son útiles para predecir y entender fenómenos sociales. Los ingenieros o ingenieras de procesos deben conocer perfectamente el comportamiento de las funciones racionales para manejar, por ejemplo, el vapor de agua en las tuberías, sus cambios de temperatura y presión.

La Ingeniería de Procesos se oferta como Ingeniería Textil, Industrial, Mecatrónica, Ingeniería en Ciencias Aplicadas, Ingeniería en Ciencias Agropecuarias y Ambientales, o Ingeniería en Biotecnología Agroindustrial.

El entorno de trabajo de un ingeniero o ingeniera de procesos son las instituciones públicas y privadas, en las cuales desempeña funciones de gerencia o supervisión de procesos de manufactura y servicios, consultoría o asesoría de programas de investigación, desarrollo e innovación de nuevos productos, dirección de mantenimiento o de producción y, en general, otras funciones relacionadas con la producción.

Adaptado de: http://www.ups.edu.ec/ingenieria-industrial-guayaquil

▲ Sistema de Ingeniería de Procesos.

TIC

TIC

GeoGebra

GeoGebra es un software dinámico de uso libre. Para ejercitar el uso de Geogebra, puedes consultar en Internet acerca de su uso básico.

Gráfica de funciones racionales
Ingresamos la función en la barra de entrada.

Toma en cuenta la manera de digitar la función. Por ejemplo:

a la función  deberás digitarla como se observa en la barra de entrada.

Haces clic y el programa automáticamente muestra la función, tanto en la Vista Algebraica como en la Vista Gráfica.

Para poner color a la gráfica, colocamos el cursorsobre esta y damos clic derecho o doble clic.
Elegimos Propiedades del Objeto y definimos color y todos los detalles que necesitemos incorporar.

Ubicación de las asíntotas en la función racional

Si quieres ubicar las asíntotas, procede de esta manera:

Anda a barra de entrada y escribe asíntota, y entre paréntesis escribe (f).

^

Al dar un clic o enter, aparecerá la asíntota.

Ahora, en el menú de opciones, busca la opción Deslizadores; al dar un clic, aparece un cuadro en el que eliges el rango y el incremento, además del nombre.

Elige un rango de –3 a 3 con incrementos de 0,1. A este rangolo llamaremos 'a'.

Repite el paso con un rango de –2 a 2 con incrementos de 0,1 y lo llamarás 'b'.

Ahora, anda a Vista Algebraica, da doble clicen la función, y sustituye el valor de 3 por a y el valor de 2 por b.

^

Con este cambio, podrás mirar la variación de los valores de la función y, por consiguiente, de la gráfica.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Corriente eléctrica, resistencias y funciones racionales

Recursos

- Diseños sencillos de circuitos eléctricos.

▲ Medidor de consumo eléctrico.

Justificación

El estudio de funciones racionales para conocer la corriente eléctrica en función de la resistencia del conductor es de gran importancia por las múltiples aplicaciones que estas tienen. Es importante, pues, conocer y comprender los diseños utilizados en la instalación de circuitos eléctricos domiciliarios e industriales.

Objetivos

- Comprender la importancia que tiene el flujo de corriente eléctrica y la necesidad de usar materiales que ofrezcan la menor resistencia posible a este flujo.
- Comprender la resistencia eléctrica como la oposición que encuentra la corriente a su paso por un circuito eléctrico cerrado, atenuando o frenando el libre flujo. Mientras menor sea la resistencia, mayor será el flujo de corriente.

Actividades

▲ Resistencias en paralelo.

▲ Resistencias en serie.

- Formar equipos de trabajo, con no más de tres estudiantes por grupo.
- Conseguir diseños sencillos de circuitos eléctricos.
- Consultar la corriente eléctrica medida en amperios (el amperio es la unidad de medida de intensidad de flujo de corriente; se representa con la letra A), que circula por el circuito, y la resistencia medida en ohms (el ohm es la unidad de medida de resistencia; se representa con la letra griega Ω, omega).
- Consultar qué es la resistencia eléctrica.
- Calcular la corriente eléctrica en función de la resistencia. Para ello, trabajar con la función racional i(R) = k/R, donde i es la corriente que circula por el cable conductor, y R es la resistencia del conductor. Por ejemplo, si la corriente es de 1/2 amperio y la resistencia es de 240 ohms.
- Luego, analizar el comportamiento de la función i(R), variando la resistencia de manera que tome diferentes valores. Observar qué sucede con los valores de la intensidad de corriente cuando los valores de la resistencia aumentan, y qué sucede cuando los valores disminuyen. ¿Qué pasa con el valor de la intensidad de corriente si el valor de la resistencia se acerca a cero?

Conclusiones

Las aplicaciones de las funciones racionales para el análisis de situaciones como el comportamiento de la intensidad eléctrica en condiciones determinadas de los conductores permite comprender que el cambio del parámetro de uno de los elementos (intensidad de flujo de corriente, resistencia) implica el cambio inmediato de parámetro de los demás.

Adaptado de: http://www.matepop.com.mx/phocadownload/Libros/GuiaProfesM4/Unidad2-parte1.pdf

En síntesis

En síntesis