Title: Por defecto en Matemáticas 2 BGU Plus Autores
Course: Matemáticas Plus + 2 BGU

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Q: Indica de qué tipo son los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
- \( \left. \begin{array}{rcl} 2x & = & 11 \\ -3y & = & 0 \\ 5z & = & -5 \end{array} \right\} \) | Sistema de ecuaciones lineal diagonal
- \( \left. \begin{array}{rcl} 2x & = & 4 \\ 3x+4y & = & 18 \\ -3x+4y+z & = & 11 \end{array} \right\} \) | Sistema de ecuaciones lineal triangular inferior
- \( \left. \begin{array}{rcl} x+2y+3z & = & 11 \\ -y-2z & = & 0 \\ 5z & = & -5 \end{array} \right\} \) | Sistema de ecuaciones lineal triangular superior

Q: Escoge la solución que satisface al sistema de ecuaciones:

\( \left. \begin{array}{rcl} 3x + y - z & = & 5 \\ x+2y & = & 8 \\ y-2z & = & -5 \end{array} \right\} \)
- x = 2; y = 3; z = 4
- El sistema no tiene solución
- x = 1; y = 3; z = -1
A: x = 2; y = 3; z = 4

Q: El siguiente sistema de ecuaciones tiene como solución: S (1, -1, -1).
\( \left. \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x+3y+z& = & -2 \\ 5x-y+2z & = & 4 \end{array} \right\} \ \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Escoge la solución que satisface el siguiente sistema de ecuaciones:

\( \left. \begin{array}{rcl} 2x + y - z & = & 5 \\ 3y-2z& = & 2 \\ -2z & = & -10 \end{array} \right\} \ \ \)
- x = 3; y = 4; z = 5
- x = 3; y = 4; z = -5
- x = -3; y = 4; z = 5
A: x = 3; y = 4; z = 5

Q: La suma de las funciones \( f(x)=\frac{2x}{x-5} \) y \( g(x)=\frac{x}{2x-3} \) es:
- \( \frac{5x^2-11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)
- \( \frac{5x^2+11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)
- \( \frac{3x^2-11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)
A: \( \frac{5x^2-11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)

Q: El producto de las funciones \( f(x) = \frac{2x+12}{2x-1} \) y \( g(x) =\frac{3x}{x^2-36} \) es: \( \frac{6x}{\left(x-6\right)\left(2x-1\right)} \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La diferencia de las funciones \( f(x)= \frac{1}{x+2} \ \) y \( g(x)= \frac{x}{(x+2)(x-2)} \) es:
- \( - \frac{2}{(x+2)(x-2)} \)
- \( \frac{2}{(x+2)(x-2)} \)
- \( -\frac{2}{(x+2)} \)
A: \( - \frac{2}{(x+2)(x-2)} \)

Q: El producto de las funciones \( f(x) = \frac{5x}{x-5} \) y \( g(x)= \frac{x^2-25}{5x-10} \) es:
- \( \frac{x^2+5x}{x-2} \)
- \( \frac{x+5}{x-2} \)
- \( \frac{x}{x-5} \)
A: \( \frac{x^2+5x}{x-2} \)

Q: La fracción \( \frac{2x+5}{x^2+3} \)  es una fracción impropia.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Una de las fracciones parciales en las que se puede descomponer la fracción \( \frac{x}{x^2-x-6} \) tiene como denominador:
A: x-3 / x+2 / x - 3

Q: Empareja cada fracción con sus fracciones parciales.
- ( \frac{3x-4}{(x-2)^2} \) | \( \frac{3}{x-2} + \frac{2}{(x-2)^2} \)\
- ( \frac{3x-4}{(x-2)^2} \) | \( \frac{3}{x-2} + \frac{2}{(x-2)^2} \)\
- ( \frac{3x-4}{(x-2)^2} \) | \( \frac{3}{x-2} + \frac{2}{(x-2)^2} \)\

Q: Las fracciones parciales en las que se descompone la fracción \( \frac{3x-4}{(x-2)^2}\ \) son:
- \( \frac{3}{x-2} + \frac{2}{(x-2)^2} \)
- \( \frac{2}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2} \)
- \( \frac{3}{x-2}-\frac{2}{(x-2)^2} \)
A: \( \frac{3}{x-2} + \frac{2}{(x-2)^2} \)

Q: ¿En cuántas fracciones parciales se descompone la fracción \( \frac{4x^2-20x + 7}{(x-1)^2(x-4)} \)?
A: 3

Q: El siguiente sistema no tiene solución

\( \left. \begin{array}{rcl} 5x + y +6 z & = & 10 \\ -2x+y-z& = & 6 \\ y+z & = & -2 \end{array} \right\} \ \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El siguiente sistema de ecuaciones tiene al menos una solución:

\( \left. \begin{array}{rcl} 3x+2y+z & = & 5 \\ x-2y+3z & = & 8 \\\end{array} \right\} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:

\( \left. \begin{array}{rcl} 2x-y+3z & = & 2 \\ 4x-2y+6z & = & 7 \\\end{array} \right\} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: ¿Cuál es valor de la variable z que resulta de resolver el siguiente sistema?

\( \left. \begin{array}{rcl} x+y+3z & = & -5 \\ 2x+2y+12z & = & 14 \\\end{array} \right\} \)
A: 4

Q: ¿Cuál es el valor de k para que el siguiente sistema no tenga solución?

\( \left. \begin{array}{rcl} x-2y+z & = & 2 \\ 3x-6y+kz & = & 9 \\\end{array} \right\} \)
A: 3

Q: Selecciona los valores de x, y, z que NO son solución para el siguiente sistema:

\( \left. \begin{array}{rcl} x+2y+3z & = & 6 \\ x+3y+z & = & 5 \\\end{array} \right\} \)
- (-6, 3, 2)
- (-1, -3, -1)
- (8, -1, 0)
A: (-1, -3, -1)

Q: El siguiente sistema de ecuaciones tiene solución única:
\( \left. \begin{array}{rcl} x+y+2z & = & 4 \\ 2x+3y-z & = & 2 \\ 2x+2y+4z & = & 6 \end{array} \right\} \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: El siguiente sistema de ecuaciones es inconsistente:
\( \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y-z & = & 8 \\ x+5y-2z & = & 10 \\ 4x+8y-2z & = & 9 \end{array} \right\} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Empareja los siguientes sistemas de acuerdo a su solución.
- \( \left. \begin{array}{rcl} 2x+y+z & = & 3 \\ 4x+2y+2z & = &4 \\ x+2y+3z & = &10 \end{array} \right\} \) | Sistema inconsistente
- \( \left. \begin{array}{rcl} 2x+3y+z & = & 11 \\ x+y+z & = & 8 \\ x-y+2z & = & 4 \end{array} \right\} \) | Sistema consistente
- \( \left. \begin{array}{rcl} x+y+3z & = & 2 \\ 2x-y+z & = & 12 \\ 3x+3y+9z & = & 6 \end{array} \right\} \) | Sistema sobredeterminado

Q: Determina el valor de k para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones:

\( \left. \begin{array}{rcl} x-y+2z & = & 8 \\ x+y+3z & = & 7 \\ 2x-2y+4z & = & k \end{array} \right\} \)
A: 16

Q: Selecciona la solución para el siguiente sistema:

\( \left. \begin{array}{rcl} 3x-11y+4z & = & 30 \\ x+5y-z & = & -12 \\ 2x+y+z & = & 0 \end{array} \right\} \)
- (0, -2, 2)
- (0, 2, -2)
- (0, 3, -3)
A: (0, -2, 2)
Partly right: (0, 2, -2) (50%)

Q: El siguiente sistema de ecuaciones es indeterminado:

\( \left. \begin{array}{rcl} x+2y = & -1 \\ 4x+3y& = & 1 \\ 2x+3y& = & -1 \end{array} \right\} \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: El siguiente sistema de ecuaciones es inconsistente:

\( \left. \begin{array}{rcl} 3x-2y & = & 12 \\ 5x+4y & = & -40 \\ 3x+5y & = & 4 \end{array} \right\} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Determina el valor de k, para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones:

\( \left. \begin{array}{rcl} 2x-y & = & 6 \\ 4x-ky & = &12 \\ 6x-3y & = & 18\end{array} \right\} \)
A: 2

Q: Empareja los siguientes sistemas de acuerdo a su solución:
- \( \left. \begin{array}{rcl} x-y & = & -1 \\ x+2y & = & 0 \\ 3x+y & = & -1\end{array} \right\} \) | Sistema inconsistente
- \( \left. \begin{array}{rcl} x+3y & = & 4 \\ 2x+y & = &3 \\ x+y & = & 2\end{array} \right\} \) | Sistema consistente
- \( \left. \begin{array}{rcl} 4x+6y & = & 8 \\ 2x+3y & = &4 \\ x+ \frac{3}{2} y & = & 2\end{array} \right\} \) | Sistema sobredeterminado

Q: Selecciona el par ordenado que corresponde a la solución del sistema:

\( \left. \begin{array}{rcl} x-y & = & 3 \\ 2x+3y & = &-9 \\ 3x+4y & = & -12\end{array} \right\} \)
- (0, -3)
- (0, 3)
- (6, 3)
A: (0, -3)
Partly right: (0, 3) (50%)

Q: Sean A y B dos sucesos aleatorios con \( p(A)=\frac{1}{2}, p(B)=\frac{1}{3}, p(A\cap B)=\frac{1}{4} \). Determina las siguientes probabilidades:
- \( p(A|B) \) | 3/4
- \( p(B|A) \) | 1/2
- \( p(A\cup B) \) | 7/12
Also offered: 1/4

Q: En un colegio, los alumnos pueden optar por tomar como actividad deportiva fútbol o básquet. En el segundo de BGU, el 90 % de los alumnos toma fútbol y el resto, básquet. De quienes toman fútbol, el 30 % son mujeres y de quienes toman básquet el 60 % son hombres. Si se elige a un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
A: 0.69 / 69
Feedback ("0.69"): Expresa el resultado como un número decimal.

Q: Tres máquinas (A, B y C) producen el 40 %, el 35 % y el 25 %, respectivamente, del total de las piezas manufacturadas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3 %, del 4 % y del 5 %, respectivamente.

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar una pieza que sea defectuosa?
A: 3,85 / 3,85 % / 3,85%

Q: En la ciudad ABC del Ecuador, se eligen al azar 1 000 jóvenes de 18 años: 500 mujeres y 500 hombres. Resulta que 400 tienen un trabajo temporal y que 800 son bachilleres. De este grupo de bachilleres, 300 tienen trabajo temporal.

Calcula la probabilidad del evento que se define en cada caso.
- Un bachiller con trabajo temporal y que sea mujer. | 7,5 %
- Con trabajo temporal y que no sea bachiller hombre. | 4 %
- Sin trabajo temporal o que sea bachiller mujer. | 15 %
- Que esté desempleado o que no sea bachiller. | 30 %
Also offered: 25 %

Q: Una urna contiene 9 bolas rojas y 5 negras. Se extraen sucesivamente 2 bolas. La probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda, negra es:
- 24,7 %
- 75,3 %
- 14,3 %
A: 24,7 %

Q: Determina la solución del sistema de ecuaciones:

\( \left. \begin{array}{rcl} x+2y+z & = & 8 \\ 2x+y-z & = & 1 \\ 3x-2y+2z & = & 5 \end{array} \right\} \)
- x = 1; y = 2; z = 3
- x = 3; y = 1; z = 3
- x = 2 ; y = 2; z = 2
A: x = 1; y = 2; z = 3

Q: Cuál de las siguientes NO es solución del sistema de ecuaciones:

\( \left. \begin{array}{rcl} 3x+2y-z & = & 8\\ x+y+z & = & 7 \end{array} \right\} \)
- x = 3; y = 1; z = 3
- x = 2; y = 2; z = 3
- x = -6; y = 13; z = 0
A: x = 2; y = 2; z = 3

Q: El siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:

\( \left. \begin{array}{rcl} 2x-y & = & 3 \\ 4x-2y & = & 2 \\x+y& = & 0\end{array} \right\} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 4 personas en una fila de asientos?
A: 24

Q: ¿Cuántas comisiones de 4 personas se pueden formar en un grupo de 30 asistentes a una asamblea?
A: 27 405

Q: En cierta casa de salud de una ciudad, se conoce que el 42 % de los médicos son mujeres, y que el 24 % de ellas y el 16 % de los médicos varones se encuentran en paro.

La probabilidad de que un médico elegido al azar esté en paro es del 60 %.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, \( p(A \cap B) \) = 1/5. La probabilidad de p(A|B) es:
- 4/5
- 1/5
- 1/4
A: 4/5

Q: La función \( f(x) = \frac{2x}{x - 3} \) tiene como asíntotas vertical y horizontal respectivamente:
- x = 3 ; y = 2
- x = 2 ; y = 3
- x = -3 ; y = -2
A: x = 3 ; y = 2

Q: La función \( f(x)= \frac{x^2+1}{x+1} \) tiene una asíntota vertical y una asíntota oblicua.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La norma del vector \( \overrightarrow{A}=(-3,-4) \) es:
A: 5

Q: ¿Puede un vector no nulo, tener como norma cero?
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Determina el valor positivo de k en el vector \( \overrightarrow{B}=(-6,k) \) de tal manera que su longitud sea igual a 10.
A: 8

Q: Determina el producto escalar de los vectores dados.
- \( \overrightarrow{A}=(-4,5); \overrightarrow{B}=(-2,3) \) | -7
- \( \overrightarrow{A}=(6,-2); \overrightarrow{B}=(0,8) \) | -16
- \( \overrightarrow{A}=(-9,-6); \overrightarrow{B}=(4,-4) \ \) | -12
Also offered: 7

Q: Determina el valor de m para que los vectores \( \overrightarrow{A}=(2,m) \) y \( \overrightarrow{B}=(-8,4) \) sean ortogonales.
A: 4

Q: Encuentra la distancia entre los puntos \( A=(-5,6) \) y \( B=(3,-2) \).
- \( 8 \sqrt{2} \)
- 16
- 0
A: \( 8 \sqrt{2} \)

Q: El radio de la circunferencia que tiene por ecuación \( x^2+y^2-6x+2y-15=0 \) es:
A: 5

Q: Determina el centro y el radio de cada una de las circunferencias.
- \( x^2+y^2-10y=0 \ \) | (0, 5) ; 5
- \( x^2+y^2-8x+10y-12=0 \) | (4, -5); 7,3
- \( x^2+y^2+8x-12y+34=0 \) | (-4, 6); 4,2
Also offered: (1, 5); 16

Q: La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 1); B(1, 3) y C(9, 2) es:
- \( 8x^2+8y^2-79x-32y+95=0 \)
- \( x^2+y^2-79x-32y+95=0 \)
- \( 8x^2+8y^2+79x+32y-95=0 \)
A: \( 8x^2+8y^2-79x-32y+95=0 \)

Q: Determina el valor de k para que la ecuación \( x^2+y^2-8x+10y+k=0 \) represente una circunferencia de radio igual a 7.
A: -8 / - 8

Q: La circunferencia que tiene por ecuación \( x^2+y^2+8x-6y+9=0 \) tiene su centro en el punto (-4, 3) y es tangente al eje y.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Aplica la reducción gaussiana para resolver el sistema:

\( \left. \begin{array}{rcl} x+y+z & = & 3 \\ 2x-y+3z & = & 19 \\ 3x+y-2z & = & -5 \end{array} \right\} \)
- x = 2; y = -3; z = 4
- x = 1; y = 1; z = 1
- x = 2; y = 1; z = 0
A: x = 2; y = -3; z = 4

Q: Determina el foco de la parábola de ecuación \( y^2+4y-8x+36=0 \).
A: (6, - 2) / (6, -2) / (6,-2) / (6,- 2)

Q: Halla la ecuación de la parábola de vértice en el punto (0, 0), su eje el de coordenadas y, y pasa por el punto (6, -3).
- \( x^2+12y=0 \)
- \( x^2-12y=0 \)
- \( y^2+12x=0 \)
A: \( x^2+12y=0 \)

Q: Determina la ecuación de la elipse de la figura:

[Image]
- \( x^2+4y^2-4x-8y-92=0 \)
- \( 4x^2+4y^2-4x-8y-92=0 \)
- \( x^2+4y^2-8x-4y-92=0 \)
A: \( x^2+4y^2-4x-8y-92=0 \)

Q: La ecuación de la elipse cuyo semieje menor es igual a 8 y sus focos son los puntos F (0, -6) y F' (0, 6) es \( \frac{x^2}{64}- \frac{y^2}{100}=1 \) .
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La ecuación de la hipérbola cuyo eje real mide 8 unidades y sus focos son los puntos \( ( \pm5,0) \) es:
- \( 9x^2-16y^2-144=0 \)
- \( 9x^2+16y^2-144=0 \)
- \( 16x^2-9y^2-144=0 \)
A: \( 9x^2-16y^2-144=0 \)

Q: Escribe la ecuación de la asíntota horizontal de la función \( f(x)= \frac{4x}{x^2-4} \).
A: y = 0

Q: La función \( f(x)= \frac{5x}{x^2-9} \)  tiene  como asíntota horizontal a la recta \( y=0 \).
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El resultado de la diferencia de las funciones \( f(x)=\frac{x+1}{x-1} \) y \( g(x)=\frac{x+1}{1-x} \) es la función nula.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La diferencia de las funciones \( f(x)= \frac{3}{x+3} \ \) y \( g(x)= \frac{4x}{x^2-9} \) es:
- \( \frac{-x-9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \)
- \( \frac{x-9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \)
- \( \frac{x+9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \)
A: \( \frac{-x-9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \)

Q: La fracción \( \frac{2x^2+10x+75}{\left(x^2-25\right)\left(x+2\right)} \) se descompone en las fracciones parciales\( \frac{5x}{x^2-25}-\frac{3}{x+2} \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Encuentra las fracciones parciales de la fracción \( \frac{7x-16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)} \):
- \( \frac{11}{2(x+4)}+\frac{3}{2(x-4)} \)
- \( \frac{11}{2(x-4)}+\frac{3}{2(x+4)} \)
- \( \frac{22}{(x+4)}+\frac{6}{(x-4)} \)
A: \( \frac{11}{2(x+4)}+\frac{3}{2(x-4)} \)

Q: Determina el valor de m para que los vectores \( \overrightarrow{A}=(m,5) \) y \( \overrightarrow{B}=(10,-8) \) sean ortogonales.
A: 4

Q: El radio de la circunferencia que tiene su centro en el origen y que pasa por el punto (3, -4) es:
A: 5

Q: La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (6, -2) y tiene como directriz a la recta x -2 = 0 es:
- \( y^2+4y-8x+36=0 \)
- \( y^2-4y+8x-36=0 \)
- \( x^2-4x+8y+36=0 \)
A: \( y^2+4y-8x+36=0 \)

Q: La longitud del semieje mayor de la elipse \( 225x^2+289y^2=65\:025 \) es 15.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Determina la ecuación de la hipérbola cuyo centro es el punto (0, 0), sus ejes son los ejes de coordenadas y pasa por los puntos (3, 1) y (9,5).
- \( x^2-3y^2-6=0 \)
- \( x^2+3y^2-6=0 \)
- \( y^2-3x^2-6=0 \)
A: \( x^2-3y^2-6=0 \)

Q: ¿Cuál es el primer término de una sucesión numérica cuyo segundo y tercer término son respectivamente 7 y 17?
A: -3 / -3

Q: La serie que corresponde a cada fórmula es:
- 2n - 4 | -2, 0, 2, 4,...
- 2n + 3 | 5, 7, 9, 11, ...
- 2n - 1 | 1, 3, 5, 7,...
Also offered: 0, 2, 4, 6, ...

Q: ¿Cuál es el término general para la serie \( \frac{1}{2},\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8},...? \)
- \( \frac{2n-1}{2n} \)
- \( \frac{2n+1}{2n} \)
- \( \frac{2n-1}{n+2} \)
A: \( \frac{2n-1}{2n} \)

Q: ¿Cuál es el término general para la serie 9, 13, 17, 21,...?
A: 4n + 5 / 4n+5

Q: Halla el cuarto término ({n}) = 4 de la sucesión 3, 6, 11,...
- {={n}*{n}+2}
- {={n}+2}
- {={n}*{n}}
A: {={n}*{n}+2} (formula; values not in the backup's text)
Feedback: Determina la fórmula para el término general en función de n

Q: Halla el quinto término de la sucesión 2, 5, 10, 17,..
- 26
- 27
- 28
A: 26

Q: La sucesión 3, 9, 27,...es una progresión aritmética.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Calcula \( \ a_{50} \ \) en una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y su diferencia es 2.
A: 103

Q: Con los datos dados, determina el décimo término en cada progresión aritmética.
- \( \ a_{1}=3; a_{5}= 23 \) | 48
- \( \ a_{1}=4; a_{6}= 24 \) | 40
- \( \ a_{1}=5; a_{6}= 30 \) | 50
Also offered: 60

Q: Determina el valor de x para que la sucesión 3x +1, x + 4, 2x +3 sea una progresión aritmética.
A: 4/3 / 1,3 / 1,33

Q: En una progresión aritmética, el cuarto y décimo término son -5 y 5 respectivamente. El primer término es:
- -10.
- 10.
- 20.
A: -10.

Q: Completa la siguiente sucesión de modo que forme una progresión aritmética. Arrastra los números al lugar correcto.

9, [...], [...], [...], [...], [...], - 9
Also offered: 4; 2; - 2; - 4
A: 6; 3; 0; - 3; - 6

Q: Encuentra la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: -2, 1, 4, 7, 10,...
A: 530

Q: En una progresión aritmética \( a_3 =0 \) y \( S_{15} =-300 \), determina  \( S_{10} \).
A: -200 / - 100

Q: Determina el primer término de una progresión aritmética cuyo quinto y décimo término son 14 y 29, respectivamente.
- 2
- 4
- 7
A: 2

Q: El sexto término de una progresión aritmética es 15. Si su diferencia es 3/2, encuentra \( a_{16} \).
A: 30

Q: Determina la razón de la progresión geométrica que empieza en 4 y cuyo quinto término es 64.
A: 2

Q: Arrastra los números a los cuadros correctos.

1. El octavo término de la progresión 2, 6, 18,... es [...].

2. El sexto término de la progresión 2 000, 1 000, 500, 250,... es [...].

3. El noveno término de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es 3, es [...].

4. La razón de la progresión geométrica que empieza en 3 y cuyo quinto término es 48, es[...].
Also offered: 3
A: 4 374; 62,5; 6 561; 2

Q: La razón de la progresión geométrica \( 2a^n, 4a^{n+1}, 8a^{n+2},... \) es \( 2a^{n} \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: El quinto término de la progresión 250, 50, 10,... es:
- 0,4.
- 2.
- 5.
A: 0,4.

Q: En una progresión geométrica se tiene: \( a _1=6 \) y \( a_4=750 \). El valor de la razón es:
A: 5

Q: Completa la siguiente sucesión de modo que forme una progresión geométrica

7, [...], [...], [...], [...], [...], 5 103.
Also offered: 28; 112; 448
A: - 21; 63; - 189; 567; - 1 701

Q: Encuentra la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica: 160, 80, 40,...
A: 315

Q: En una progresión geométrica de 6 términos se tiene: \( ( a_1= \frac{1}{2} \) y \( a_6=512 \) \) Determina  el valor de r.
A: 4

Q: Determina el primer y cuarto término de una progresión geométrica cuya razón es 3 y la suma de sus 4 términos es 280.
- 7 y 189
- 189 y 1
- 2 y 190
A: 7 y 189

Q: En una progresión geométrica se tiene: \( a_1=8; r=0,5 \) y \( a_6=0,25 \). La suma de los cinco primeros términos es:
A: 15,5 / 15.5

Q: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire, no se obtenga ninguna cara?
A: 1/4 / 0,25 / 25% / 25 %

Q: La siguiente tabla muestra las probabilidades de obtener cara, cuando se lanzan dos monedas al aire:

[Image]

Determina la función de probabilidad en cada caso:
- \( p[0<{x} \leq1]= \) | 1/4
- \( p[x>2]= \) | 0
- \( p[x \leq1]= \) | 3/4
Also offered: 1/2

Q: Se desea realizar un estudio sobre el número de crías en una camada. Se define la variable aleatoria discreta X = “número de crías de una camada”; x_i toma los valores 0, 1, 2, 3, con las probabilidades que se muestran en la tabla.

[Image]

Determina la probabilidad de que el número de crías sea menor o igual a 2,2.
A: 0,80 / 0,8 / 80% / 80 %

Q: Se desea realizar un estudio sobre el número de crías en una camada. Se define la variable aleatoria discreta X = “número de crías de una camada”; x_i toma los valores 0, 1, 2, 3, con las probabilidades que se muestran en la tabla.

[Image]

Para \( 1 \leq{x}<2 \), F(x) = 0,5
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Para la siguiente función de probabilidad, determina la media y la desviación típica.

[Image]
- 5 y 2,19
- 4 y 4,8
- 3 y 4,8
A: 5 y 2,19

Q: Se define la variable aleatoria X como: X = “camiones que se usan para repartición de mercaderías en un día de trabajo”. La distribución de probabilidad para la empresa A y la empresa B es:

[Image]

Calcula la media y la varianza para cada empresa.
- La media de la empresa A es: | 2,05
- La media de la empresa B es: | 2,1
- La varianza de la empresa A es: | 0,55
- La varianza de la empresa B es: | 1,29
Also offered: 1,5

Q: Halla el décimo término de la progresión - 6, -2, 2,...
A: 30

Q: La suma de los 11 primeros términos de la  progresión 15, 12, 9,... es cero.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El séptimo término de la progresión \( \sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3} \) es:
- \( 27 \sqrt{3} \)
- \( \sqrt{3} \)
- \( 3\sqrt{3} \)
A: \( 27 \sqrt{3} \)

Q: Completa la siguiente sucesión de modo que forme una progresión aritmética. Arrastra los números a los cuadros correctos.

1/4, [...], [...], [...], 3/4
Also offered: 1/4; 3/4
A: 3/8; 1/2; 5/8

Q: Completa la siguiente sucesión de modo que forme una progresión geométrica. Arrastra los números a los cuadros correctos.

6, [...], [...], [...], [...], 2/81
Also offered: 12; 3; 1/3; 18; 1
A: 2; 2/3; 2/9; 2/27

Q: En una progresión aritmética, se tiene que \( d=4;n=8;S_8=152 \). El octavo término es:
A: 33

Q: Determina la razón de una progresión geométrica en la que \( a=1/2 \) y \( a_6=512 \).
A: 4

Q: Determina la tasa de variación media de la función \( f(x)=5x^2 -2x \) en los intervalos.
- [-2, 0] | 12
- [0, 2] | 8
- [2, 3] | 39
Also offered: - 8

Q: Calcula la tasa de variación media de la función \( f(x)=x^2-5x+3 \) en el intervalo [-1, 3].
A: - 3 / -3

Q: Determina la tasa de variación media de la función \( f(x)=x^2-1 \) en el intervalo [2, 5].
A: 7

Q: La tasa de variación media de la función \( y=x^2+2 \) en el intervalo [1, 4] es 3.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La siguiente tabla muestra las ganancias de una pequeña empresa en miles de dólares durante los primeros 5 años de funcionamiento:

[Image].

Determina la razón de cambio promedio entre el primero y quinto año.

.
- 14,75
- 11,8
- 59
A: 14,75

Q: La derivada de la función \( f(x)=6-x^3 \) en el punto \( x=-2 \) es:
A: -12 / - 12

Q: Determina el valor de la derivada de cada función en los puntos señalados.

1. \( f(x) = x^2- 6x + 2 \) en \( x=3 \) ; \( f'(x)= \) [...]

2. \( f(x) = 2x^2- 3x + 5 \) en \( x=2 \) ; \( f'(x)= \) [...]

3. \( f(x) = -x^3+ 4x^2 \) en \( x=-1 \) ; \( f'(x)= \) [...]
Also offered: -12; 8; -3
A: 0; 5; -11

Q: La derivada de la función \( f(x)=2x^3-x+10 \) en el punto \( x=-2 \) es:
A: 23

Q: Determina la derivada de la función \( y= \frac{x^2}{2}-9x+1 \).
- \( x-9 \)
- \( \frac{x}{2}-9 \)
- \( 2x-8 \)
A: \( x-9 \)

Q: La derivada de una recta paralela al eje x es siempre cero.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Selecciona la ecuación de la tangente a cada función en el punto dado.
- \( y=4x^2+3x; x=-2 \) | y = - 13x -16
- \( y=3x^2-5; x=1 \) | y = 6x - 8
- \( y=-2x^2+6; x=2 \) | y = - 8x + 14
Also offered: y = 4x - 3

Q: El valor de la pendiente de la normal a la función \( f(x)=-x^2+6 \) en el punto \( x=-2 \) es:
A: -1/4 / - 1/4 / -0,25 / - 0,25

Q: Halla la ecuación de la recta tangente a la curva \( f(x)=x^2-x-2 \) y que sea paralela a la recta \( y=-3x-7 \) .
- \( y=-3x-3 \)
- \( y=-3x+3 \)
- \( y=-3x-1 \)
A: \( y=-3x-3 \)

Q: La ecuación de la recta tangente a la curva \( f(x) = x^2+4 \) y que es perpendicular a la recta \( x+2y=6 \) es \( y=2x+3 \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Determina el valor de la pendiente de la recta normal de la función \( f(x)=-x^3+1 \) en el punto de abscisa 2.
A: 1/12

Q: Determina la ecuación de la recta normal de la función \( f(x)=-x^3+1 \) en el punto de abscisa 2.
- \( x - 12y = 86 \)
- \( x - 12y = 82 \)
- \( 12x-y=88 \)
A: \( x - 12y = 86 \)

Q: El valor de la derivada de la función \( f(x)=3x^3+x^2-2x+1 \) en el punto \( x=1 \) es:
A: 9

Q: Determina la derivada de la función mediante la definición de límite:

\( f(x)=\frac{2x}{x+4} \)
- \( \frac{8}{\left(x+4\right)^2} \)
- \( \frac{4}{\left(x+4\right)^2} \)
- \( \frac{8x}{\left(x+4\right)^2} \)
A: \( \frac{8}{\left(x+4\right)^2} \)

Q: Si \( f(x)=2x^{-1}-x+5x^2 \), su derivada es \( f'(x)=-2x-1+10x \).
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Encuentra el valor de la derivada en el punto dado.
- \( f(x)=\frac{-3}{x+1} \); \( x=1 \) | 3/4
- \( f(x)=\frac{2x}{x-5} \); \( x=4 \) | -10
- \( f(x)=5x^2-6x+2 \);\( x=1 \) | 4
Also offered: 6

Q: La derivada de la función \( f(x)=3x^{-2} \) en el punto \( x=1 \) es:
A: -6 / - 6

Q: La velocidad instantánea es definida como el límite de la velocidad media cuando \( \Delta{t} \) tiende a cero.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El desplazamiento en función del tiempo de una partícula que se mueve en trayectoria rectilínea es: \( s(t)=-t^3+2t^2+6t-10 \). La velocidad instantánea para t = 1 s es:
- 7 m/s.
- 1 m/s.
- 5 m/s.
A: 7 m/s.

Q: Determina el valor numérico de la aceleración instantánea de una partícula cuyo desplazamiento en función del tiempo es  \( s(t)=t^3-1 \), para t = 1 s.
A: 6

Q: La altura en función del tiempo de un proyectil está dada por la función \( h(t)=-10t^2+50t+30 \). Determina la velocidad del proyectil al cabo de 2 segundos.
A: 10 m/s / 10

Q: Determina el valor de la segunda derivada de cada función para el valor de x dado.
- \( f(x)=3x^3-2x^2-1; x=-1 \) | - 22
- \( f(x)=-4x^3-9x^2+2x-1;x=0 \) | -18
- \( f(x)=-6x^3+12x^2-18x+10; x=-2 \) | 96
Also offered: -48

Q: La tasa de variación media de la función \( f(x)=-2x^2 -3x \) en el intervalo [0, 3] es 3.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: En la ciudad de Ambato, la temperatura en cierto entre las 9h00 y las 12h00 se incrementó de 12^o C a 18^o C. Determina el valor de la tasa de variación de la temperatura.
A: 2

Q: Determina \( \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{2x}\right) \).
- \( \frac{-1}{2x^2} \)
- \( -2x^2 \)
- \( \frac{1}{2x^2} \)
A: \( \frac{-1}{2x^2} \)

Q: Determina el valor de la derivada de cada función en el punto dado, arrastra la respuesta al cuadro correcto:

1) La derivada de \( f(x)=3x^3-10x \)  en \( x=-2 \) es [...]

2) La derivada de \( f(x)= \frac{3x}{x+1} \)  en \( x=3 \) es [...]

3) La derivada de \( f(x)=4x^3-2x^2 \) en \( x=-1 \) es [...]

4) La derivada de \( f(x)=3x-5x^{-2} \) en \( x=1 \) es [...]
Also offered: 3/7; - 8; - 7
A: 26; 3/16; 16; 13

Q: El desplazamiento en metros en función del tiempo en segundos de una partícula es \( s(t)=t^3-3t^2-30t \). Determina el tiempo en el que la partícula alcanza una velocidad de 15 m/s.
A: 5 s / 5 segundos / 5

Q: Determina el valor de la segunda derivada de la función \( f(x)=5x^3-7x^2+3x-6 \) en el punto de abscisa \( x=2 \) .
A: 46

Q: La función \( f(x)=x^3-3x^2 \) es creciente en el intervalo ]0,  2[.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Hala los términos a los cuadros correctos.

1) Una función es [...] en un intervalo, si para dos puntos a, b  de ese intervalo tales que a < b, se cumple que f (a) < f (b).

2) Una función es [...] en un intervalo, si para dos puntos a, b  de ese intervalo tales que a < b, se cumple que f (a) > f (b).

3) Una función es [...] en un intervalo si para cualquier valor x  del intervalo, se tiene que f (x) = k.

4) Si la derivada de una función en un punto determinado es [...], la función es creciente .

5) Si la derivada de una función en un punto determinado es [...], la función es decreciente.
A: creciente; decreciente; constante; positiva; negativa

Q: La función \( f(x)=2x^3+3x^2-12x \) en el intervalo ]-2, 1[ es:
A: Decreciente / decreciente

Q: La función \( f(x)=x^3-3x^2+12 \) tiene un máximo relativo en el punto:
- (0, 12).
- (2, 8).
- (12, 0).
A: (0, 12).

Q: La función \( f(x)=x^3-3x+2 \) es decreciente en el intervalo:
A: ]-1,1[ / ]- 1, 1[ / ]-1,1[ / ]- 1,1[ / (-1, 1)

Q: La función \( f(x)=-x^2+2x-1 \) tiene un máximo absoluto en el punto:
A: (1, 0) / (1,0) / (1; 0)

Q: El período de la función \( f(x)=3Sen(2x) \) es \( 2 \pi \) .
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Determina la amplitud y frecuencia de la función \( f(x)=2sen(4x+ \pi) \).
A: 2 y 4 / 2, 4 / 2; 4

Q: La ecuación de la función de la gráfica es:

[Image]
- \( y=3sen(2x)+1 \)
- \( y=-3sen(2x)+1 \)
- \( y=3sen(x)+1 \)
A: \( y=3sen(2x)+1 \)

Q: ¿Cuántas unidades a la derecha se desplaza en el eje horizontal la función \( y=5sen(2x-6) \)?
A: 3

Q: Determina la ecuación de la función seno cuyos parámetros son:

amplitud = 3;

frecuencia = 2;

período = \( \pi \);

desplazamiento horizontal = \( - \pi/2 \)

desplazamiento vertical = 2.
- \( y=3sen(2x+ \pi)+2 \)
- \( y=3sen(x+ \pi)-2 \)
- \( y=3sen(2x- \pi)+2 \)
A: \( y=3sen(2x+ \pi)+2 \)

Q: El período de la función \( y=2cos(2x+ \pi/2) \) es \( 2 \pi \).
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Determina la amplitud y frecuencia de la función \( f(x)=cos(2x+ \pi) \).
A: 1 y 2 / 1, 2 / 1; 2

Q: La ecuación de la gráfica de la función es:

[Image]
- \( y=2cos(2x)+1 \)
- \( y=cos(2x)+1 \)
- \( y=2cos(2x) \)
A: \( y=2cos(2x)+1 \)

Q: ¿Cuántas unidades hacia arriba se desplaza la función \( y=3cos(x+1)+2 \)?
A: 2

Q: Determina la ecuación de la función coseno cuyos parámetros son:

amplitud = 4;

frecuencia = 1;

desplazamiento horizontal = \( \pi \);

desplazamiento vertical = -1.
- \( y=4cos(x- \pi)-1 \)
- \( y=4cos(2x- \pi)+1 \)
- \( y=2cos(4x- \pi)-1 \)
A: \( y=4cos(x- \pi)-1 \)

Q: La función \( f(x)=2tan( \frac{x}{2}+ \pi ) \) tiene un período de \( \frac{ \pi}{2} \).
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Determina la frecuencia de la función \( y=3tan(2x+4) \).
A: 2

Q: Determina la frecuencia de cada función dada.
- \( y=tan( \frac{x}{2}+1) \) | 1/2
- \( y=tan( 2x+3) \) | 2
- \( y=tan( 4x-1) \) | 4
Also offered: 1/4

Q: Determina el período de la función \( y=tan( \frac{x}{2}-3) \).
- \( 2 \pi \)
- \( \pi \)
- \( \frac{ \pi }{2} \)
A: \( 2 \pi \)

Q: Determina el período y la ecuación de las asíntotas de la función de la gráfica.
[Image]
- \( T=4 \pi \) y \( x=4k \pi \)
- \( T=4 \pi \) y \( x=2k \pi \)
- \( T=2 \pi \) y \( x=4k \pi \)
A: \( T=4 \pi \) y \( x=4k \pi \)
Partly right: \( T=4 \pi \) y \( x=2k \pi \) (50%); \( T=2 \pi \) y \( x=4k \pi \) (50%)

Q: La función \( f(x) = 2cot(x+ \pi) \) tiene una amplitud igual a 2.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Determina el desplazamiento de fase de la función \( y=cot(2x+3) \).
A: -3/2 / - 3/2 / -1,5 / - 1,5

Q: El período de la función \( y=2cot( \frac{x}{2} - \pi) \) es:
- \( 2 \pi \) .
- \( \pi \) .
- \( \frac{ \pi }{2} \) .
A: \( 2 \pi \) .

Q: Determina la forma general de las asíntotas de la función \( f(x)=cot(2x- \frac{3 \pi }{2}) \).
- \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{2} \)
- \( x= \frac{3 \pi }{2} + \frac{k \pi }{2} \)
- \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{4} \)
A: \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{2} \)
Partly right: \( x= \frac{3 \pi }{2} + \frac{k \pi }{2} \) (50%); \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{4} \) (50%)

Q: Determina el desplazamiento vertical de la función \( f(x)=3cot(x+ \pi)+2 \).
A: 2

Q: Para la gráfica de la función de la figura:

[Image]

el período y recorrido son respectivamente: \( \pi \) y \( (- \infty;-2]U[2; \infty) \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Determina la forma general de las asíntotas verticales de la la función \( y=sec(2x- \frac{ \pi }{2}) \).
- \( x= \frac{k \pi }{2} \)
- \( x= \frac{k \pi }{4} \)
- \( x= \pi+ \frac{k \pi }{2} \)
A: \( x= \frac{k \pi }{2} \)

Q: Determina el desplazamiento vertical de la función de la gráfica.
[Image]
A: 2

Q: Selecciona la ecuación de la función secante que contiene los elementos:

recorrido: \( (- \infty;-2]U[2; \infty) \);

período: \( 2 \pi \);

desplazamiento de fase: \( \pi \) hacia la derecha;

desplazamiento vertical: 2.
- \( y=2sec(x- \pi)+2 \)
- \( y=2sec(2x- \pi)+2 \)
- \( y=2sec(x- \frac{ \pi }{2} )+2 \)
A: \( y=2sec(x- \pi)+2 \)
Partly right: \( y=2sec(2x- \pi)+2 \) (50%); \( y=2sec(x- \frac{ \pi }{2} )+2 \) (50%)

Q: La función de la gráfica tiene un desplazamiento de fase de \(- 2 \pi \). Su ecuación es \( y=3sec(x+2 \pi) \).

[Image]
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El período de la función de la gráfica es \( 2 \pi \).

[Image]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Determina el desplazamiento vertical de la función de la gráfica.
[Image]
A: 1

Q: Las asíntotas de la función \( y=csc(2x+ \pi) \) tienen la forma:
- \( x= \frac{k \pi }{2}- \frac{ \pi}{2} \)
- \( x= \frac{k \pi }{2}+ \frac{ \pi}{2} \)
- \( x= \frac{k \pi }{4}- \frac{ \pi}{4} \)
A: \( x= \frac{k \pi }{2}- \frac{ \pi}{2} \)
Partly right: \( x= \frac{k \pi }{2}+ \frac{ \pi}{2} \) (50%); \( x= \frac{k \pi }{4}- \frac{ \pi}{4} \) (30%)

Q: El dominio de la función \( y=4csc( \frac{x}{4}) \) es \( \mathbb R-\left\{4k\pi ;k \in \mathbb Z \right\} \).
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Selecciona la ecuación de la función cosecante que contiene los elementos:

recorrido: \( (- \infty;1]U[3; \infty) \);

período: \( 2 \pi \);

desplazamiento de fase: \( - \frac{ \pi }{2} \) hacia la derecha;

desplazamiento vertical: 2.
- \( y=csc(x+ \frac{ \pi }{2}) +2 \)
- \( y=csc(x- \frac{ \pi }{2}) +2 \)
- \( y=csc(x+ \pi) +2 \)
A: \( y=csc(x+ \frac{ \pi }{2}) +2 \)
Partly right: \( y=csc(x- \frac{ \pi }{2}) +2 \) (50%); \( y=csc(x+ \pi) +2 \) (30%)

Q: La amplitud de la función \( y=-3cos(x+ \pi) \) es -3.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Empareja la función con su amplitud y frecuencia.
- \( y=2sen(3x+ \pi)+1 \) | 2 y 3
- \( y=3sen(2x+ \pi)+1 \) | 3 y 2
- \( y=sen(3x+ \pi)+2 \) | 1 y 3
Also offered: 3 y 1

Q: Selecciona la ecuación de la función secante que contiene los elementos:

Recorrido: \( (- \infty;-1]U[1; \infty) \);

Período: \(\pi \);

Desplazamiento de fase: \( -\frac{ \pi}{2} \)

Desplazamiento vertical: 0.
- \( y=sec(2x+ \pi) \)
- \( y=sec(2x- \pi) \)
- \( y=sec(x+ 2\pi) \)
A: \( y=sec(2x+ \pi) \)
Partly right: \( y=sec(2x- \pi) \) (50%)

Q: Selecciona la ecuación correspondiente a la gráfica.
[Image]
- \( y=tan(4x) \)
- \( y=tan(2x) \)
- \( y=tan( \frac{x}{4}) \)
A: \( y=tan(4x) \)

Arrastra la función a la gráfica correspondiente.

Q: Arrastra la función trigonométrica hacia su respectiva gráfica.
- Zone 1 | y = cos (2x)
- Zone 2 | y = csc(2x)
- Zone 3 | y = sec (2x)
- Zone 4 | y = sen (2x)

Q: La función \( y=cot(3x+ \pi) \) tiene como período \( \frac{ \pi }{3} \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Determina el desplazamiento de fase de la función \( y=tan(4x- \frac{ \pi }{2}) \) .
- \( \frac{ \pi }{8} \)
- \( -\frac{ \pi }{8} \)
- \( \frac{ \pi }{4} \)
A: \( \frac{ \pi }{8} \)

Q: Arrastra la función trigonométrica a la gráfica correspondidente.
- Zone 1 | y = cos (2x)
- Zone 2 | y = csc(2x)
- Zone 3 | y = sec(2x)
- Zone 4 | y = sen(2x)

Q: La función \( y=x \) es una función biyectiva.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, con f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3. La función:
- no es inyectiva.
- es inyectiva.
- es sobreyectiva.
A: no es inyectiva.

Q: Empareja a cada diagrama con el tipo de función correspondiente.
- [Image] | Inyectiva
- [Image] | No es función
- [Image] | Sobreyectiva
Also offered: Biyectiva

Q: Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z} y la función de A en B, definida por las correspondencias f(1) = x, f(2) = z, f(3) = x, f(4) = z, es una función sobreyectiva.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La función de la gráfica:

[Image]

Es una función [...], pero no es [...], por tanto no es [...].
A: sobreyectiva; inyectiva; biyectiva

Q: Sean A = {a, b, c, d}, B = {–3, –2, –1, 0}, C = {0, 10, 20, 30}; f la función de A en B definida como f(a) = –1, f(b) = –2, f(c) = –3, f(d) = 0; g la función de B en C, dada como se indica a continuación: g(0) = 30, g(–1) = 0, g(–2) = 20, g(–3) = 10.

Determina la función compuesta \( g \circ f \)
- \( (g \circ f)(a) \) | 0
- \( (g \circ f)(b) \) | 20
- \( (g \circ f)(c) \) | 10
- \( (g \circ f)(d) \) | 30

Q: Sean las funciones \( f(x) = x+1 \) y \( g(x)=2 \), determina el valor de \( f[g(x)] \) .
A: 3

Q: Para las funciones \( f(x)= \frac{x}{x-1} \) y \( g(x)=x^2+1 \), determina el valor de \( (f \circ g)(-1) \) .
A: 2

Q: Para las funciones \( f\left(x\right)=2x-3 \) y \( g(x)=3x^2+2 \), determina la función \( (f \circ g)(x) \).
- \( 6x^2+1 \)
- \( 6x^2-1 \)
- \( 12x^2-36x+29 \)
A: \( 6x^2+1 \)

Q: Para las funciones  \( f(x)= \frac{1}{x+1} \) y \( g(x)= \frac{1-x}{x} \), la función \( (f \circ g)(x)=x \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Para dos funciones f(x) y g(x), si una es inversa de la otra, se cumple que \( f(x) \circ g(x) = 1 \).
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Encuentra la inversa de la función \( f(x)= \frac{3x}{x+5} \)
- \( f^{-1}(x)= \frac{-5x}{x-3} \)
- \( f^{-1}(x)= \frac{5x}{x-3} \)
- \( f^{-1}(x)= \frac{-3x}{x-5} \)
A: \( f^{-1}(x)= \frac{-5x}{x-3} \)
Partly right: \( f^{-1}(x)= \frac{5x}{x-3} \) (50%)

Q: Sea la función \( f(x)= \frac{x-3}{4x} \), encuentra el valor de lo siguiente:
- \( f^{-1}(0) \) | 3
- \( f^{-1}(1) \) | -1
- \( f^{-1}(-2) \) | 1/3
Also offered: 1

Q: Para la función \( f(x)=3x+6 \), determina el valor de \( f^{-1}(-3) \).
A: -3 / - 3

Q: La función inversa de \( f(x)= \frac{x+3}{x-3} \) es \( f^{-1}(x)= \frac{3(x+1)}{x-1} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El punto A=(-1, 2, 3) está en el segundo octante.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Indica el octante en el que está ubicado cada punto dado.
- A=(-2, - 3, 2) | Tercer octante
- B=(1, -4, 6) | Cuarto octante
- C=(1, 1, -5) | Quinto octante
- D=(-2, 3, -3) | Sexto octante
Also offered: Séptimo octante

Q: Halla el valor de y para que los elementos de \( \mathbb R \): \( A=(4,y+3,5) \) y \( B=(4,-3,5) \) sean iguales.
A: y = - 6 / y=-6 / -6

Q: Determina las coordenadas del punto B.

[Image]
- (-4, -3, 3)
- (4, -3, 3)
- (-4, 3, 3)
A: (-4, -3, 3)
Partly right: (4, -3, 3) (50%); (-4, 3, 3) (50%)

Q: Las coordenadas del punto C, son C = (-5, -3, -2).

[Image]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona la propiedad que se aplica en cada operación.
- \( \bullet \) \( (2, 5, 0) +(-1, -5, 1)=(-1,-5,1)+(2,5,0)=(1,0,1) \) | Conmutativa
- \( \bullet \)\( (0,0,1)+(1,0,0)+(0,1,0)=(0,0,1)+(1,1,0) \) | Asociativa
- \( \bullet \)\( (-1,0,0)+(1,0,0)=(0,0,0) \) | Opuesto aditivo
- \( \bullet \)\( (3,-3,0)+(0,0,0)=(3,-3,0) \) | Elemento neutro
Also offered: Clausurativa

Q: Sean \( \vec{A}=( \sqrt{3}, -2, 3) \) y \( \vec{B}=( \sqrt{3}, -3, 2) \) halla \( \vec{A}+\vec{B} \) .
- \( (2 \sqrt{3},-5,5) \)
- \( (\sqrt{6},-5,5) \)
- \( (\sqrt{3},-5,5) \)
A: \( (2 \sqrt{3},-5,5) \)

Q: Arrastra los números y completa las siguientes operaciones:

1) ([...], [...], 2) + (4, 1, [...]) = (1, 6, -3)

2) ([...], [...], -1) - (-4, 3, [...]) = (0, -1, -2)
A: -3; 5; -5; -4; 2; 1

Q: Encuentra los valores de a y b para que se cumpla la igualdad:

(2, -2, 0) + (b, 0, -1) + (a, 3a, 4) = (6, 1, 3)
- a = 1; b = 3
- a = 3; b = 1
- a = 2; b = -2
A: a = 1; b = 3

Q: Encuentra el valor de x para que se cumpla la igualdad:

(-3x, -2, 4) - (x + 4, -6, -1) = (x - 9, 4, 5)
A: 1

Q: Arrastra los números y completa las siguientes operaciones:

a) (2 + [...])(-1, [...], [...]) = (-5, 5, 10)

b) (2, [...], -4) + 2([...], 3, 4) = (0, -1, [...])
A: 3; 1; 2; -7; -1; 4

Q: Encuentra los valores de a y b para que se cumpla la igualdad:

a(-1, 4, -3) - b(2, -3, 5) = (-10, 20, -26)
- a = 2; b = 4
- a = 4; b = 2
- a = 3; b = -4
A: a = 2; b = 4

Q: Encuentra el valor de x para que se cumpla la igualdad:

x(-1, 2, 5) - (-1, 4, 8) = (-2, 2, 7)
A: 3

Q: Para los vectores \( A=(a, b, c) \) y \( B=(c, d, e) \) se cumple:

\( (3+4)(A+B)= 3A + 4B \).
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Halla el resultado de \( \sqrt{2}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2)-\sqrt{3}(\sqrt{3}, \sqrt{2},5) \) .
- \( (-1,0, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \)
- \( (-1,2\sqrt{6}, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \)
- \( (-1,2\sqrt{6},-3\sqrt{6}) \)
A: \( (-1,0, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \)
Partly right: \( (-1,2\sqrt{6}, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \) (50%)

Q: La función de la gráfica es biyectiva.

[Image]
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La función del diagrama es sobreyectiva.

[Image]
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Sean las funciones \( f(x) = 2x+1 \) y \( g(x)=x-2 \). Determina el valor de \( f[g(3)] \) .
A: 3

Q: Para las funciones \( f(x)= \frac{2x}{x+3} \) y \( g(x)=x+5 \). Determina el valor de \( (f \circ g)(1) \). Escribe la solución como una fracción.
A: 4/3

Q: Sea la función \( f(x)= \frac{x+2}{5x} \), encuentra el valor de lo siguiente:
- \( f^{-1}(1) \) | 1/2
- \( f^{-1}(0) \) | -2
- \( f^{-1}(3) \) | 1/7
Also offered: 1/5

Q: Determina las coordenadas del punto A.

[Image]
- (5, -4, 4)
- (-5, -4, 4)
- (5, 4, 4)
A: (5, -4, 4)

Q: Arrastra los números y completa las siguientes operaciones:

(3, [...], 5) + 2([...], -2, 4) = (5, -5, [...])
Also offered: 10
A: -1; 1; 13

Q: Descompón en fracciones parciales la fracción \( \frac{x}{x^2-x-6} \):
- \( \frac{2}{5(x+2)} +\frac{3}{5(x-3)} \)
- \( \frac{2}{(x-2)} +\frac{3}{(x-3)} \)
- \( \frac{2}{5(x-3)} +\frac{3}{5(x-2)} \)
A: \( \frac{2}{5(x+2)} +\frac{3}{5(x-3)} \)
Partly right: \( \frac{2}{(x-2)} +\frac{3}{(x-3)} \) (20%)

Q: La suma de las funciones \( f(x)=\frac{2x}{x-5} \) y \( g(x)=\frac{x}{2x-3} \)
- \( \frac{5x^2-11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)
- \( \frac{5x^2+11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)
- \( \frac{3x^2-11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)
A: \( \frac{5x^2-11x}{\left(x-5\right)\left(2x-3\right)} \)

Q: El producto de las funciones \( f(x) = \frac{2x+12}{2x-1} \) y \( g(x) =\frac{3x}{x^2-36} \) es: \( \frac{6x}{\left(x-6\right)\left(2x-1\right)} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La diferencia de las funciones \( f(x)= \frac{1}{x+2} \ \) y \( g(x)= \frac{x}{(x+2)(x-2)} \)
- \( - \frac{2}{(x+2)(x-2)} \)
- \( \frac{2}{(x+2)(x-2)} \)
- \( -\frac{2}{(x+2)} \)
A: \( - \frac{2}{(x+2)(x-2)} \)

Q: La fracción \( \frac{2x+5}{x^2+3} \) es una fracción impropia.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: ¿En cuantas fracciones parciales se descompone la fracción \( \frac{4x^2-20x + 7}{(x-1)^2(x-4)} \)?
A: 3

Q: La función \( f(x) = \frac{2x}{x - 3} \)tiene como asíntotas vertical y horizontal respectivamente:
- x = 3 ; y = 2
- x = 2 ; y = 3
- x = -3 ; y = -2
A: x = 3 ; y = 2

Q: La función \( f(x)= \frac{x^2-1}{x+1} \) tiene una asíntota vertical y una asíntota oblícua.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Determina el valor de m para que los vectores \( \overrightarrow{A}=(2,m) \) y \( \overrightarrow{B}=(-8,4) \) sean ortogonales
A: 4

Q: Encuentra la distancia entre los puntos\( A=(-5,6) \) y \( B=(3,-2) \)
- \( 8 \sqrt{2} \)
- 16
- 0
A: \( 8 \sqrt{2} \)

Q: Determina la ecuación de la elipse de la figura.

[Image]
- \( x^2+4y^2-4x-8y-92=0 \)
- \( 4x^2+4y^2-4x-8y-92=0 \)
- \( x^2+4y^2-8x-4y-92=0 \)
A: \( x^2+4y^2-4x-8y-92=0 \)

Q: La ecuación de la elipse cuyo semieje menor es igual a 8 y sus focos son los puntos F (0, -6) y F' (0, 6) es \( \frac{x^2}{64}- \frac{y^2}{100}=1 \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La función \( f(x)= \frac{4x}{x^2-4} \) tiene  como asíntota vertical a la recta:
A: y = 0

Q: La función \( f(x)= \frac{5x}{x^2-9} \) tiene  como asíntota vertical a la recta \( y=0 \):
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El resultado de la diferencia de las funciones \( f(x)=\frac{x+1}{x-1} \) y \( g(x)=\frac{x+1}{1-x} \)es la función nula.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Encuentra las fracciones parciales de la \( \frac{7x-16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)} \)fracción
- \( \frac{3x}{x^2-16}+\frac{4}{x+4} \)
- \( \frac{3x}{x^2-16}-\frac{4}{x+4} \)
- \( \frac{4x}{x^2-16}+\frac{3}{x+4} \)
A: \( \frac{3x}{x^2-16}+\frac{4}{x+4} \)

Q: Determina el valor de m para que los vectores \( \overrightarrow{A}=(m,5) \) y \( \overrightarrow{B}=(10,-8) \) sean ortogonales
A: 4

Q: La longitud del semieje mayor de la elipse \( 225x^2+289y^2=65\:025 \) es 15
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: ¿Cuál es el primer termino de una sucesión numérica cuyo segundo y tercer término son respectivamente 7 y 17?
A: -3 / -3

Q: La serie que corresponde a la fórmula es:
- 2n - 4 | -2, 0, 2, 4,...
- 2n + 3 | 5, 7, 9, 11, ...
- 2n - 1 | 1, 3, 5, 7,...
Also offered: 0, 2, 4, 6, ...

Q: Calcula \( \ a_{50} \ \) en una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y su diferencia 2.
A: 103

Q: En una progresión aritmética el cuarto y décimo término son -5 y 5 respectivamente. El primer término es:
- -10
- 10
- 20
A: -10

Q: Completa la siguiente sucesión de modo que forme una progresión aritmética

9, [...], [...], [...], [...], [...], - 9
Also offered: 4; 2; - 2; - 4
A: 6; 3; 0; - 3; - 6

Q: En una progresión aritmética, \( a_3 =0 \) y \( S_{15} =-300 \). Determina  \( S_{10} \).
A: -100 / - 100

Q: Determina el primer término de una progresión aritmética cuyo quinto y décimo término son respectivamente 14 y 29.
- 2
- 4
- 7
A: 2

Q: El sexto término de una progresión aritmética es 15. Si su diferencia es 3/2, encuentra \( a_{16} \).
A: 21

Q: 1. El octavo término de la progresión 2, 6, 18,... es [...].

2. El noveno término de la progresión 2 000, 1 000, 500, 250,... es [...].

3. El noveno término de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es 3, es [...].

4. La razón de la progresión geométrica que empieza en 3 y cuyo quinto término es 48, es[...].
Also offered: 3
A: 4 374; 0,5; 6 561; 2

Q: La razón dela progresión geométrica \( 2a^n, 4a^{n+1}, 8a^{n+2},... \) es \( 2a^{n} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El quinto término de la progresión 250, 50, 10,... es:
- 0,4
- 2
- 5
A: 0,4

Q: Encuentra la suma de los 7 primeros términos de la progresión aritmética: 160, 80, 40,...
A: 315

Q: En una progresión geométrica se tiene: \( a_1=12 \) y \( a_6=512 \). Determina  el valor de r
A: 4

Q: Determina el primer y cuarto término de una progresión geométrica cuya razón es 3 y la suma de sus 4 términos es 280.
- 1 y 289
- 189 y 1
- 2 y 190
A: 1 y 289

Q: En una progresión geométrica se tiene: \( a_1=8; r=0,5 \) y \( a_5=0,25 \). La suma de los cinco primeros términos es:
A: 15,5 / 15.5

Q: La siguiente tabla muestra las probabilidades de obtener "cara" cuando se lanzan dos monedas al aire:

[Image]

Determina la función de probabilidad en cada caso:
- \( p[0<{x} \leq1]= \) | 1/4
- \( p[x>2]= \) | 0
- \( p[x \leq1]= \) | 3/4
Also offered: 1/2

Q: Se define la variable aleatoria X como: X = “camiones que se usan para repartición de mercaderías en un día de trabajo”. La distribución de probabilidad para la empresa A y la empresa B es:

[Image]

Calcula la media y la varianza para cada empresa.
- La media de la empresa A es: | 2,05
- La media de la empresa B es: | 2,1
- La varianza de la empresa A es: | 0,55
- La varianza de la empresa A es: | 1,29
Also offered: 1,5

Q: Completa la siguiente sucesión de modo que forme una progresión aritmética

1/4, [...], [...], [...], 3/2
Also offered: 1/4; 3/4
A: 3/8; 1/2; 5/8

Q: Completa la siguiente sucesión de modo que forme una progresión geométrica.

6, [...], [...], [...], [...], 2/81
Also offered: 12; 3; 1/3; 18; 1
A: 2; 2/3; 2/9; 2/27

Q: Determina la razón de una progresión geométrica en la que \( a=12 \) y\( a_6=512 \)
A: 4

Q: Determina la tasa de variación media de la función \( f(x)=5x^2 -2x \) en los intervalos.
- [-2; 0] | 12
- [0; 2] | 8
- [2; 3] | 23
Also offered: - 8

Q: Calcula la tasa de variación media de la función \( f(x)=x^2-5x+3 \) en el intervalo [-1; 3].
A: - 3 / -3

Q: Determina la tasa de variación media de la función \( f(x)=x^2-1 \) en el intervalo [2; 5].
A: 7

Q: La tasa de variación media de la función \( y=x^2+2 \) en el intervalo [1; 4] es 3.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La siguiente tabla muestra las ganancias de una pequeña empresa en miles de dólares durante los primeros 5 años de funcionamiento.

[Image].

Determina la razón de cambio promedio entre el primero y quinto año.

.
- 14,75
- 11,8
- 59
A: 14,75

Q: La derivada de la función \( f(x)=6-x^3 \) en el punto \( x=-2 \) es:
A: 0

Q: Determina el valor de la derivada de cada función en los puntos señalados.

1. \( f(x) = x^2- 6x + 2 \) en \( x=3 \) ; \( f'(x)= \) [...]

2. \( f(x) = 2x^2- 3x + 5 \) en \( x=2 \) ; \( f'(x)= \) [...]

3. \( f(x) = x^3+ 4x^2 \) en \( x=-1 \) ; \( f'(x)= \) [...]
Also offered: -12; 8; -3
A: 0; 5; -11

Q: Determina la derivada de la función \( y= \frac{x^2}{2}-9x+1 \)
- \( x-9 \)
- \( \frac{x}{2}-9 \)
- \( 2x-8 \)
A: \( x-9 \)

Q: Halla la ecuación de la recta tangente a la curva \( f(x)=x^2-x-2 \) y que sea paralela a la recta \( y=-3x-7 \)
- \( y=-3x-3 \)
- \( y=-3x+3 \)
- \( y=-3x-1 \)
A: \( y=-3x-3 \)

Q: La ecuación de la recta tangente a la curva \( f(x) = x^2+4 \) y que es perpendicular a la recta \( x+2y=6 \) es \( y=2x+3 \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El período de la función \( f(x)=3Sen(2x) \) es \( 2 \pi \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Determina la ecuación de la función seno cuyos parámetros son:

Amplitud = 3;

Frecuencia = 2;

Período = \( \pi \);

Desplazamiento horizontal = \( - \pi/2 \)

Desplazamiento vertical = 2
- \( y=3sen(2x+ \pi)+2 \)
- \( y=3sen(x+ \pi)-2 \)
- \( y=3sen(2x- \pi)+2 \)
A: \( y=3sen(2x+ \pi)+2 \)

Q: Determina la ecuación de la función coseno cuyos parámetros son:

Amplitud = 4;

Frecuencia = 1;

Desplazamiento horizontal = \( \pi \);

Desplazamiento vertical = -1
- \( y=4cos(x- \pi)-1 \)
- \( y=4cos(2x- \pi)+1 \)
- \( y=2cos(4x- \pi)-1 \)
A: \( y=4cos(x- \pi)-1 \)

Q: Determina el período de la función \( y=tan( \frac{x}{2}-3) \)
- \( 2 \pi \)
- \( \pi \)
- \( \frac{ \pi }{2} \)
A: \( 2 \pi \)

Q: Determina el desplazamiento de fase de la función \( y=cot(2x+3) \)
A: -3/2 / - 3/2 / -1,5 / - 1,5

Q: El período de la función \( y=2cot( \frac{x}{2} - \pi) \) es:
- \( 2 \pi \)
- \( \pi \)
- \( \frac{ \pi }{2} \)
A: \( 2 \pi \)

Q: Determina la forma general de las asíntotas de la función \( f(x)=cot(2x- \frac{3 \pi }{2}) \)
- \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{2} \)
- \( x= \frac{3 \pi }{2} + \frac{k \pi }{2} \)
- \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{4} \)
A: \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{2} \)
Partly right: \( x= \frac{3 \pi }{2} + \frac{k \pi }{2} \) (50%); \( x= \frac{3 \pi }{4} + \frac{k \pi }{4} \) (50%)

Q: Determina el desplazamiento vertical de la función \( f(x)=3cot(x+ \pi)+2 \)
A: 2

Q: Para la gráfica de la función de la figura:

[Image]

El período y recorrido son respectivamente: \( \pi \) y \( (- \infty;-2]U[2; \infty) \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Selecciona la ecuación de la función secante que contiene los elementos:

Recorrido: \( (- \infty;-2]U[2; \infty) \);

Período: \( 2 \pi \);

Desplazamiento de fase: \( \pi \) hacia la derecha;

Desplazamiento vertical: 2.
- \( y=2sec(x- \pi)+2 \)
- \( y=2sec(2x- \pi)+2 \)
- \( y=2sec(x- \frac{ \pi }{2} )+2 \)
A: \( y=2sec(x- \pi)+2 \)
Partly right: \( y=2sec(2x- \pi)+2 \) (50%); \( y=2sec(x- \frac{ \pi }{2} )+2 \) (50%)

Q: Selecciona la ecuación de la función cosecante que contiene los elementos:

Recorrido: \( (- \infty;1]U[3; \infty) \);

Período: \( 2 \pi \);

Desplazamiento de fase: \( - \frac{ \pi }{2} \) hacia la derecha;

Desplazamiento vertical: 2.
- \( y=csc(x+ \frac{ \pi }{2}) +2 \)
- \( y=csc(x- \frac{ \pi }{2}) +2 \)
- \( y=csc(x+ \pi) +2 \)
A: \( y=csc(x+ \frac{ \pi }{2}) +2 \)
Partly right: \( y=csc(x- \frac{ \pi }{2}) +2 \) (50%); \( y=csc(x+ \pi) +2 \) (30%)

Q: La amplitud de la función\( y=-3cos(x+ \pi) \) es -3
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La función \( y=cot(3x+ \pi) \) tiene como período \( \frac{ \pi }{3} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Determina el desplazamiento de fase de la función \( y=tan(4x- \frac{ \pi }{2}) \)
- \( \frac{ \pi }{8} \)
- \( -\frac{ \pi }{8} \)
- \( \frac{ \pi }{4} \)
A: \( \frac{ \pi }{8} \)

Q: Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, con f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3. La función:
- No es inyectiva
- Es inyectiva
- Es sobreyectiva
A: No es inyectiva

Q: Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z} y la función de A en B, definida por las correspondencias f(1) = x, f(2) = z, f(3) = x, f(4) = z. Es una función sobreyectiva.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La función de la gráfica:

[Image]

En una función [...], pero no es [...], por tanto no es [...].
A: sobreyectiva; inyectiva; biyectiva

Q: Sean A = {a, b, c, d}, B = {–3, –2, –1, 0}, C = {0, 10, 20, 30}; f la función de A en B definida como f(a) = –1, f(b) = –2, f(c) = –3, f(d) = 0; g la función de B en C, dada como se indica a continuación: g(0) = 30, g(–1) = 0, g(–2) = 20, g(–3) = 10.
Determina la función compuesta \( g \circ f \)
- \( (g \circ f)(a) \) | 0
- \( (g \circ f)(b) \) | 20
- \( (g \circ f)(c) \) | 10
- \( (g \circ f)(d) \) | 30

Q: Sean las funciones \( f(x) = x+1 \) y \( g(x)=2 \). Determina el valor de \( f[g(x)] \)
A: 3

Q: Para las funciones \( f(x)= \frac{x}{x-1} \) y \( g(x)=x^2+1 \). Determina el valor de \( (f \circ g)(-1) \)
A: 2

Q: Para las funciones \( f\left(x\right)=2x-3 \) y \( g(x)=3x^2+2 \). Determina la función \( (f \circ g)(x) \).
- \( 6x^2+1 \)
- \( 6x^2-1 \)
- \( 12x^2-36x+29 \)
A: \( 6x^2+1 \)

Q: Para las funciones  \( f(x)= \frac{1}{x+1} \) y \( g(x)= \frac{1-x}{x} \), la función \( (f \circ g)(x)=x \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Para dos funciones f(x) y g(x), si una es inversa de la otra, se cumple que \( f(x) \circ g(x) = 1 \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean \( \vec{A}=( \sqrt{3}, -2, 3) \) y \( \vec{B}=( \sqrt{3}, -3, 2) \) halla \( \vec{A}+\vec{B} \)
- \( (2 \sqrt{3},-5,5) \)
- \( (\sqrt{6},-5,5) \)
- \( (\sqrt{3},-5,5) \)
A: \( (2 \sqrt{3},-5,5) \)

Q: Encuentra los valores de a y b para que se cumpla la igualdad:

(2, -2, 0) + (b, 0, -1) + (a, 3a,4) = (6, 1, 3)
- a = 1; b = 3
- a = 3; b = 1
- a = 2; b = -2
A: a = 1; b = 3

Q: Arrastra los números y completa las siguientes operaciones:

1) (2 + [...])(-1, [...], [...]) = (-5, 5, 10)

2) (2, [...], -4) + 2([...], 3, 4) = (0, -1, [...])
A: 3; 1; 2; -7; -1; 4

Q: Para los vectores \( A=(a, b, c) \) y \( B=(c, d, e) \) se cumple:

\( (3+4)(A+B)= 3A + 4B \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Halla el resultado de \( \sqrt{2}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2)-\sqrt{3}(\sqrt{3}, \sqrt{2},5) \)
- \( (-1,0, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \)
- \( (-1,2\sqrt{6}, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \)
- \( (-1,2\sqrt{6},-3\sqrt{6}) \)
A: \( (-1,0, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \)
Partly right: \( (-1,2\sqrt{6}, 2\sqrt{2}-5\sqrt{3}) \) (50%)

Q: Sean las funciones \( f(x) = 2x+1 \) y \( g(x)=x-2 \). Determina el valor de \( f[g(3)] \)
A: 3

Q: Para las funciones \( f(x)= \frac{2x}{x+3} \) y \( g(x)=x+5 \). Determina el valor de \( (f \circ g)(1) \)
A: 4/3

Q: Sea la función \( f(x)= \frac{x+2}{5x} \), encuentra el valor de lo siguiente:
- \( f^{-1}(1) \) | 1/2
- \( f^{-1}(0) \) | -1/3
- \( f^{-1}(3) \) | 1/7
Also offered: 1/5

Q: Determina las coordenadas del punto A.

[Image]
- (5, 4, 4)
- (-5, -4, 4)
- (5, 4, 4)
A: (5, 4, 4)

Evaluación formativa

Considera el sistema de ecuaciones lineales definido por

[Image]

Aplica tres variantes del método de sustitución para hallar la solución del sistema propuesto, y comprueba que en cada variante se obtiene la solución (–1, 3, 0).

Considera el sistema de ecuaciones lineales definido por

[Image]

Aplica el método de sustitución eligiendo primero la incógnita y de la segunda ecuación, y halla la solución del sistema de ecuaciones propuesto. Además, verifica que la solución es (2,0,1/5).

Aplica el método de sustitución para hallar la solución de los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen en cada ítem donde x, y, z E R designan las incógnitas. Comprueba la solución.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Plantea un sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres incógnitas y resuelve en tu cuaderno.

a) La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es 48. Dentro de diez años el doble de la suma de las edades de los hijos excederá en 6 años a la edad del padre. Cuando nació el pequeño, la edad del padre excedía 26 unidades al triple de la edad que tenía el hijo mayor. ¿Cuál es la edad de los tres?

b) Un grupo de personas se reúnen para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión?

Apliquen el método de sustitución para hallar la solución de los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen en cada ítem donde x, y, z E R designan las incógnitas. Comprueben la solución.

[Image]

Consideren el sistema de ecuaciones:

[Image]

Apliquen todas las variantes (4 en total) del método de sustitución para hallar la solución de dicho sistema; solución:

[Image]

Evaluación formativa

Analiza y determina las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales diagonal, triangular superior y triangular inferiores.

a) En el sistema de ecuaciones lineales diagonal, definido como:
[Image]
¿cuáles son las soluciones? Verifica tu respuesta.

b) En el sistema de ecuaciones lineal triangular superior, definido como:
[Image]
¿cuáles son las soluciones?

c) En el sistema de ecuaciones lineales triangular inferior, definido por:
[Image]
¿cuáles son las soluciones?

Completa la solución, si existe, del sistema de ecuaciones lineales que se propone.

[Image]

Intercambia las ecuaciones del modo siguiente:
[Image]

Mantén fija la primera ecuación. Elimina x de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por
[Image]

Elimina y de la tercera ecuación.

Verifica si obtienes el siguiente sistema:

¿Qué indica la tercera igualdad? _____________________________

¿Qué sucede con la solución del sistema? _____________________

Aplica el método de eliminación gaussiana para hallar, si existe, la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen. En caso de calcular la solución, compruébala; de no ser posible, indica si el sistema de ecuaciones (donde x, y, z E R denotan las incógnitas) tiene infinitas soluciones o ninguna solución.

[Image]

[Image]

[Image]

Apliquen el método de eliminación gaussiana para hallar, si existe, la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen. En caso de calcular la solución, compruébenla; de no ser posible, indiquen si el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones o ninguna solución; x, y, z E R denotan las incógnitas.

[Image]

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen, donde x, y, z E R son las incógnitas. Exhibe, de ser posible, dos soluciones particulares.

[Image]

[Image]

[Image]

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen, donde x, y, z E R son las incógnitas.

[Image]

[Image]

Considera el sistema de ecuaciones lineales

[Image]

y sea S el conjunto solución. Esto es,

[Image]

a) Elimina la incógnita x del par de ecuaciones, expresa las incógnitas x, z en función de y E R, y demuestra que [Image]

b) Elimina la incógnita y del par de ecuaciones, expresa las incógnitas x, y en función de z, y comprueba que [Image]

c) Elimina z del par ordenado y expresa las incógnitas y, z en función de x. Demuestra que [Image]

Procede, como en el ejercicio 3 precedente, con los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, donde (x, y, z) E R^3 denota el vector de incógnitas.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

En cada literal se propone un sistema de ecuaciones lineales. Propongan tres alternativas de solución de cada sistema, donde a, b, c E R son las incógnitas.

[Image]

Resuelvan los sistemas de ecuaciones que se proponen en cada literal, donde x, y, z E R son las incógnitas.

[Image]

Sea a E R. Resuelvan las siguientes ecuaciones, y si es necesario impongan restricciones sobre a para que tenga solución, donde x, y, z E R designan las incógnitas.

[Image]

Evaluación formativa

Analiza, completa y responde. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

[Image]

Determina el conjunto solución S de este sistema. Elige la primera y segunda ecuaciones, y resuelve por sustitución.

• Al resolver, obtienes 0 = –8.
¿Qué significa esta expresión?

• ¿Qué sucede con el sistema de ecuaciones propuesto?

Resuelve las ecuaciones que en cada ítem se proponen, donde x, y E R denotan las incógnitas.

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[Image]

[Image]

[Image]

Resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, donde x, y, z E R denotan las incógnitas.

[Image]

Evaluación formativa

Sean A = {1, 2, 3}, B = {m, n}, C = {x, y, z}.

a) Obtén el producto cartesiano de A × B × C
(18 elementos en total).

b) Determina, ¿cuántos elementos tiene
n (A × B × C)?

c) Obtén el diagrama del árbol.

Sea M = {A, B, C}. Determina el producto cartesiano M × M = M2 (9 elementos en total).

Un niño tiene tres pantalones, cuatro camisas y dos pares de zapatos. Determina las diferentes combinaciones de vestir y elabora un diagrama del árbol. Considera:

[Image]

En un departamento viven Pedro, Juan, Luis, Margarita, Rebeca y Lucas. Ellos son estudiantes de la universidad. Cada semana se deben asignar equipos de dos personas para que realicen una de las tareas siguientes: limpieza de la cocina (LC), limpieza del baño (LB), arreglo de las habitaciones (AH).

a) Si Pedro y Margarita inician con la tarea (LC), ¿cuántos equipos se pueden formar para ejecutar las tareas (LB) y (AH)?

b) Si cada equipo consta de un hombre y una mujer, ¿cuántos equipos se pueden formar para la tarea (LC)? ¿Cuántos para la tarea (LB)? ¿Este número coincide con el número de equipos para realizar la tarea (AH)? Explica.

c) Por su buen rendimiento en la universidad, Rebeca ha sido exonerada del examen final, pero sus compañeros del departamento deben rendir exámenes finales. Rebeca decide colaborar con sus compañeros de departamento en dos de las tres tareas. ¿De cuántas formas pueden formarse equipos de trabajo?

d) Pedro realiza la tarea (AH) y Lucas, la tarea (LC). ¿De cuántas formas se integran los tres equipos?

Analiza y resuelve. Se dispone de pintura blanca, azul, roja, naranja y verde. Una región rectangular está dividida en 3 subrectángulos. Cada uno de estos debe ser pintado con un color distinto.

a) Calcula el número de combinaciones posibles y verifica que son 10.

b) Si el primer subrectángulo debe estar pintado con blanco, comprueba que el número de combinaciones es 6, y escribe estas combinaciones.

c) Si el primer subrectángulo debe estar pintado con blanco y el segundo, con verde, demuestra que el número de combinaciones es 3, y escribe estas combinaciones.

Rosa, Vilma y Carmen son profesoras de matemática del colegio ABCD. En el bachillerato se tienen 3 paralelos por curso (total, 9).

a) Calculen el número de permutaciones que pueden realizarse con las 3 profesoras.

b) Determinen el número de combinaciones posibles para dictar clase en los 9 paralelos, con las 3 profesoras.

c) Si una profesora dicta clases en cada curso, en un solo paralelo, ¿de cuántas formas puede organizarse en los tres cursos?

En nuestro juego tradicional de baraja cuarenta, se reparten 5 cartas a cada uno de los jugadores.

a) Calculen el número de combinaciones, en la primera mano.

b) En la segunda mano, se disponen 20 cartas. Calculen el número de combinaciones cuando se reparten 5 cartas a cada uno de los 4 jugadores.

¿Cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, si los dígitos no pueden repetirse?

Evaluación formativa

Sean A, B, C tres eventos con p(C) > 0. Tomando en consideración la definición de probabilidad condicional, verifica las siguientes propiedades.

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Sean A, B, C tres sucesos mutuamente independientes, comprueba con un ejemplo que las siguientes condiciones se verifican:

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Analiza y resuelve. El restaurante de la familia ABCD vende menestras con tres tipos de carnes: chancho, pollo y res. Estos platos pueden o no llevar patacones. En la tabla se muestran los porcentajes (probabilidades) de clientes que prefieren cada tipo.

[Image]

Calcula las siguientes probabilidades.

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Completa el proceso de solución del siguiente problema. En una urna hay 7 bolas rojas y 3 bolas azules. Se escogen al azar 3 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las bolas seleccionadas sean rojas?

[Image]

En la ciudad ABC del Ecuador, se eligen al azar 1 000 jóvenes de 18 años: 500 mujeres y 500 hombres. Resulta que 400 tienen un trabajo temporal, y que 800 son bachilleres. De este grupo de bachilleres, 300 tienen trabajo temporal. Calculen la probabilidad del evento que se define en cada caso.

a) Un bachiller con trabajo temporal y que sea mujer.

b) Con trabajo temporal y que no sea bachiller hombre.

c) Sin trabajo temporal o que sea bachiller mujer.

d) Que esté desempleado o que no sea bachiller.

Una urna contiene 9 bolas rojas y 5 negras. Se extraen sucesivamente 2 bolas. Calculen la probabilidad de que:

a) La primera bola sea roja y la segunda negra.

b) Una sea roja y la otra negra.

En una bolsa hay 4 canicas rojas, 4 azules y 2 verdes. Se extraen 3 canicas que resultan ser 2 rojas y una azul. Sin devolverlas a la bolsa, se saca otra canica. ¿De qué color es más probable que salga?

Evaluación formativa

Analiza y resuelve los siguientes problemas. En una institución educativa, para las evaluaciones quimestrales se aplica el mismo examen de matemática a los dos paralelos de segundo año de bachillerato. El paralelo A cuenta con 26 estudiantes, y el paralelo B, con 28 estudiantes. La probabilidad de aprobar con una nota mayor o igual a 7 del paralelo A es del 68 %, y del paralelo B es del 70 %. Si se analizan los resultados de los exámenes, se toma uno al azar y resulta que el estudiante aprobó el examen, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea del paralelo A?

a) Elabora el diagrama del árbol con la información del problema.

b) Calcula la probabilidad utilizando el teorema de Bayes.

En cierta casa de salud de una ciudad, se conoce que el 42 % de los médicos está formado por mujeres, y que el 24 % de ellas y el 16 % de los médicos varones se encuentran en paro.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un médico elegido al azar esté en paro?

b) Si el médico escogido al azar está en paro, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

En una fábrica se empacan cajas de chocolates. Para ello se utilizan 4 máquinas diferentes: M1, M2, M3, M4. El 45 % de la producción se empaca en M1, y el 15 %, 25 % y 15 % en M2, M3 y M4, respectivamente. El reporte de mantenimiento indica que no se empaca correctamente un pequeño porcentaje en cada máquina. Así: 2 % en M1, 3 % en M2, 2,5 % en M3 y el 1 % en M4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total sea defectuosa?

b) Si la caja seleccionada no está empacada correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que esa corresponda a la máquina 2 ó 3?

Tres máquinas (A, B y C) producen el 40 %, 35 % y 25 %, respectivamente, del total de las piezas manufacturadas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3 %, 4 % y 5 %, respectivamente.

a) ¿Cómo se representa la información del problema en el diagrama del árbol?

b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar una pieza que sea defectuosa?

c) Si tomamos una pieza al azar y resulta ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina B?

d) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la mencionada pieza defectuosa?

Para lograr que los estudiantes aprendan el tema de derivadas, se les enseña un nuevo método a 40 estudiantes de segundo año de bachillerato. En el mismo colegio, hay 42 estudiantes a quienes se les sigue enseñando el método tradicional. En total, en ambos casos, los estudiantes que aprenden el tema de derivadas son 50, de los cuales 30 han aprendido el tema gracias al nuevo método de enseñanza.

a) ¿Qué datos colocarías en la tabla para completar la información?
[Image]

b) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: aprenda el tema; no aprenda el tema; aprenda con el nuevo método de enseñanza; no aprenda con el nuevo método de enseñanza; aprenda con el método tradicional; no aprenda con el método antiguo?

Evaluación formativa

Considera el sistema de ecuaciones lineales definido por

[Image]

Resuelve el sistema por el método de sustitución.

Aplica el método de eliminación gaussiana para hallar, si existe, la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen. En caso de calcular la solución, compruébala; de no ser posible, indica si el sistema de ecuaciones (donde x, y, z E R denotan las incógnitas) tiene infinitas soluciones o ninguna solución.

[Image]

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen. Exhibe, de ser posible, dos soluciones particulares.

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[Image]

Resuelve las ecuaciones que se proponen en cada ítem, donde (x, y, z) E R^3 denotan las incógnitas.

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Resuelve el problema por alguno de los métodos de conteo. En un estudio médico, los pacientes se clasifican en 8 formas diferentes de acuerdo con su tipo de sangre, AB+, AB–, A+, A–, B+, B–, O+ u O–, y su presión sanguínea (baja, normal o alta). Encuentra el número de formas posibles para clasificar a un paciente.

Resuelve el problema de combinaciones. ¿Cuántos equipos de básquetbol se pueden formar con un grupo de 9 jugadoras, si se sabe que cada equipo está integrado por 5 jugadoras y cualquiera de ellas puede ocupar la posición que sea?

Utiliza el teorema de Bayes y resuelve. En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25 % de las mujeres y el 10 % de los hombres son altos.

a) Si se elige al azar una persona y resulta ser alta, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre y no sea alta?

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por eliminación gaussiana. Considera que (x, y, z) E R^3 representan las incógnitas.

[Image]

La solución que obtienes es:

a) x = 2, y = –1, z = 3.
b) x = –2, y = 1, z = 3.
c) x = 2, y = 1, z = –3.
d) x = 2, y = 2, z = –3.

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con la palabra NOEL?

a) 10

b) 12

c) 20

d) 24

En un examen de matemáticas, un estudiante tiene que responder 7 de un total de 10 preguntas. ¿De cuántas maneras puede responder el examen?

a) 120 formas.

b) 56 formas.

c) 100 formas.

d) 80 formas.

En una clase, el 55 % son chicos y el 45 % restante, chicas. En el examen de una asignatura, ha aprobado el 80 % de los chicos y el 90 % de las chicas. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un o una estudiante al azar, este o esta haya aprobado?

a) 84,5 %.

b) 80,5 %.

c) 82,5 %.

d) 80 %.

Evaluación formativa

Analiza la siguiente demostración y verifícala. Sea x0 = 3,2. En la tabla siguiente se muestran algunos valores de h > 0, de x = 3,1 + h y la distancia d(3,2; 3,2 + h).

[Image]

Sea x0 = –3,33. Calcula x0 – h y x0 + h para los valores de h que se dan a continuación.

a) h = –0,002 5.
b) h = 0,002 5.
c) Para h suficientemente pequeño, ¿hacia qué valor tiende –3,33 – h y –3,33 + h? Justifica la respuesta.

Halla los límites que a continuación se indican. Justifica el resultado explicando la distancia entre dos puntos.

[Image]

Completa la siguiente tabla:

[Image]

Supón que para todo δ, 0 < δ < 1 se verifican las condiciones que en cada caso se indican. ¿Qué significa cada una de estas condiciones?

[Image]

En cada ítem, indica el significado del límite que se da.

[Image]

En cada ítem se define una función racional. Precisa su dominio y asíntotas. Traza la gráfica de la función.

[Image]

[Image]

Determina el dominio, las asíntotas, y traza la gráfica de la función que se precisa.

[Image]

Sea h E R con h ≠ 0 y x = 5 – 10h2.

[Image]

[Image]

Evaluación formativa

En cada ítem se definen dos funciones racionales f, g. Define la función f + g en cada punto [Image] y prueba que el resultado es el indicado.

[Image]

[Image]

[Image]

Sean p, q, r, s polinomios reales de grado ≤ 2, y f, g las funciones racionales definidas en [Image] como

[Image]

Demuestra la propiedad conmutativa: f + g = g + f, esto es, [Image]

Sean p, q, r, s, u, v polinomios reales de grado ≤ 2, y f, g, h las funciones racionales definidas en

[Image]

[Image]

Sean p, q polinomios reales de grado ≤ 2, y f la función racional definida como [Image] Demuestra que f + 0 = f, esto es, [Image]

En cada ítem se definen dos funciones racionales f, g. Define la función fg en cada punto [Image] y prueba que el resultado es el indicado.

[Image]

[Image]

Sean p, q, r, s polinomios reales de grado ≤ 2, y f, g las funciones racionales definidas en [Image] como

[Image]

Demuestra la propiedad asociativa fg = gf, esto es:

[Image]

En cada ítem se definen dos funciones f, g. Determina el dominio [Image] y encuentra las operaciones indicadas.
[Image]

Evaluación formativa

Demuestra las siguientes igualdades, donde x E R cumple la restricción indicada. Para ello, desarrolla el lado derecho y obtén el lado izquierdo, y luego parte del lado izquierdo y construye el lado derecho mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales apropiado.

[Image]

[Image]

Sean a, b, c, d E R, no nulos. Se demuestra que

[Image]

Para ello, se parte del lado izquierdo y se obtiene el lado derecho. Luego, se parte del lado derecho y se construye el lado izquierdo mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales apropiado. Aplica al siguiente ejercicio.

[Image]

Sean a, b, c, r, s, t E R no nulos. Se demuestra que [Image]

[Image]

Para ello, se parte del lado izquierdo y se obtiene el lado derecho. Luego, se parte del lado derecho y se construye el lado izquierdo mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales apropiado. Aplica al siguiente ejercicio:

[Image]

Prueba que se verifican las siguientes igualdades, donde x E R. Sugerencia: si en el denominador se tiene un término de la forma ax2 + bx + c ≠ 0 ∀x E R, la fracción que corresponde a este término tiene la forma

[Image] con α, β E R apropiados.

[Image]

[Image]

[Image]

Sean a, b, c, r, s, t E R no nulos. Supón que x2 + sx + t, ∀x E R. Demuestra

[Image]

Para ello, parte del lado izquierdo y obtén el lado derecho. Luego, parte del lado derecho y construye el lado izquierdo mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales apropiado.

Demuestra la siguiente igualdad, donde x E R cumple la restricción indicada.

[Image]

Dada la siguiente igualdad:

[Image]

[Image]

Evaluación formativa

Sean A, B E R^2, tal y como se indica en cada ítem, calcula A · B.

[Image]

Con los vectores u = (2, 4), v = (–1, 3), w = (–3, –2), verifica las igualdades que se indican en cada ítem. Para el efecto, desarrolla el lado izquierdo de la igualdad, luego el derecho, y comprueba.

[Image]

Con los vectores A, B E R^2, tal y como se indica en cada ítem, representa gráficamente dichos vectores y calcula [Image]

[Image]

Sean A, B E R^2, tal y como se indica en cada ítem, verifica las desigualdades siguientes:

[Image]

[Image]

Sean A, B, C E R^2 los vértices de un triángulo que en cada literal se propone, calcula el perímetro de cada triángulo e indica qué tipo de triángulo es rectángulo. Calcula el área de la región triangular.

[Image]

[Image]

Sean A, B, C E R^2 no nulos.

[Image]

Evaluación formativa

Verifica la siguiente demostración.

[Image]
[Image]
[Image]

En cada ítem se da el punto a = (a, b) E R^2 y el radio r > 0. Escribe la ecuación cartesiana de la circunferencia y representa gráficamente el conjunto C(a, r) en el sistema de coordenadas rectangulares.

a) a = (1, 0), r = 2.

b) a = (0, 2), r = 1.

c) a = (–3, 0), r = 1.

En cada ítem indica si el punto v = (a, b) E R^2 que se da pertenece o no al conjunto [Image]

a) v = (1, 1).

b) v = (2, 0).

En cada literal, encuentra la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por los tres puntos que se dan.

[Image]

[Image]

Verifica la solución y la gráfica. Considera la circunferencia [Image] [Image]

[Image]

[Image]

Sea C(0, 2) la circunferencia de centro 0 y radio 2.

[Image]

Evaluación formativa

La parábola [Image] se traslada al centro [Image]

[Image]

La parábola [Image] se traslada al centro [Image]

[Image]

En cada ítem se define una ecuación cuadrática. Muestra que esta es la ecuación de una parábola, precisa su centro, el eje con el foco y traza su gráfica.

[Image]

[Image]

Considera la parábola [Image] Encuentra las ecuaciones cartesianas de las rectas tangentes a la gráfica de 𝒫 en el punto de abscisa x0 = 3. Traza las gráficas de la parábola y de las tangentes.

Considera la parábola [Image] Obtén las ecuaciones cartesianas de las rectas tangentes a la gráfica de 𝒫 en el punto de abscisa x0 = –9. Comprueba que estas están definidas como:

[Image]

Traza las gráficas de la parábola y de las tangentes.

Sea 𝒫 la parábola definida como [Image]

[Image]

Sea 𝒫 la parábola definida como [Image]

a) Obtén la ecuación cartesiana de la recta tangente T a la gráfica de 𝒫 en el punto de abscisa x_0 = –2. Comprueba que esta
ecuación es:
T: (x, y) E R^2 tal que y – 2 = 2(x – 2).

b) Traza las gráficas de la parábola 𝒫 y de la tangente T.

Sea 𝒫 la parábola definida como [Image]

a) Obtengan la ecuación cartesiana de la recta tangente T a la gráfica de 𝒫 en el punto de abscisa x_0 = 0. Comprueben que esta
ecuación es:
T: (x, y) E R^2 tal que y – 1 = 2x.

b) Tracen las gráficas de la parábola 𝒫 y de la tangente T.

Evaluación formativa

Considera la elipse:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Considera la elipse:

[Image]

Obtén las coordenadas de los focos y calcula la excentricidad.

Compara su resultado con:

[Image]

Obtén la elipse E que pasa por los puntos [Image]

Para el efecto, toma en consideración que [Image]

Comprueba que [Image]

Obtén los focos, calcula la excentricidad y representa gráficamente esta elipse.

La elipse [Image] se traslada al centro c = (–1, 2).

[Image]

La elipse [Image] se traslada al centro c = (4, –1).

[Image]

En cada ítem se define una ecuación cuadrática. Muestra que esta es la ecuación de una elipse, precisa su centro, el eje traverso con los focos, y traza su gráfica.

[Image]

[Image]

Dada [Image]

[Image]

Evaluación formativa

Verifica el siguiente ejemplo resuelto:

[Image]
[Image]
[Image]

Considera la hipérbola:

[Image]

Sigue paso a paso la solución del ejercicio y, al final, traza las gráficas de la hipérbola y de la recta tangente T.

Considera la hipérbola siguiente:

[Image]

Halla la recta tangente a la hipérbola en el punto [Image]

[Image]
[Image]

La hipérbola [Image] se traslada al centro c = (–1, 2). Trabaja en tu cuaderno.
En el mismo sistema de coordenadas rectangulares, traza las gráficas de las hipérbolas ℋ  y ℋ(c, 5, 2) y sus asíntotas.

Obtengan la hipérbola ℋ que pasa por los puntos [Image] y tiene como eje principal el eje y.
a) Comprueben que
[Image]

b) Obtengan los focos.

c) Calculen la excentricidad.

d) Representen gráficamente esta hipérbola.

Evaluación formativa

En cada ítem se define una función racional. Precisa su dominio y asíntotas. Traza la gráfica de la función.

[Image]

Demuestra las siguientes igualdades, donde x E R cumple la restricción que se indica. Para ello, desarrolla el lado derecho y obtén el lado izquierdo, y luego parte del lado izquierdo y construye el lado derecho mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales apropiado.

[Image]

Encuentra la ecuación cartesiana de la recta L tangente a la circunferencia [Image] en el punto [Image]

A continuación se define una ecuación cuadrática. Muestra que esta es la ecuación de una parábola, precisa su vértice, el eje con el foco y traza su gráfica.

[Image]

Obtén la ecuación cartesiana de la recta tangente R a la elipse

[Image]

En el siguiente gráfico se observa la parábola P(0, 2)de ecuación y^2 = 8x y la recta tangente L de ecuación y = –x – 2. ¿Cuál es el punto de corte de la parábola con la tangente? Resuelve analíticamente.

[Image]

El dominio de la función racional [Image] es el conjunto:

[Image]

Una asíntota vertical de la función racional [Image] es el conjunto:

[Image]

Dada la gráfica de la función

[Image]

a) En la región x > –2 la función es estrictamente decreciente.

b) En la región x > –2 la función es estrictamente creciente.

c) En la región x > 2 la función es estrictamente creciente.

d) En la región x < –2 la función es estrictamente creciente.

La ecuación cartesiana de la recta L, tangente a la circunferencia C(0, 2) de centro 0 y radio 2, en el punto u = (0, 2), es:

a) y = 2.

b) y = –2.

c) y = 4.

d) y = –42.