Title: Unidad 4.
Course: Matemáticas Plus + 1 BGU > Section: Libro Digital

Rectas en ℝ2 y derivada de la función cuadrática

Matemática y otras ciencias

Todos los cálculos que se realizan en física, química y biología se basan en la matemática. El uso de funciones y sus derivadas son importantes para medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación determinada, como, por ejemplo, la velocidad instantánea en función del tiempo, la distancia o las temperaturas. Las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones que pueden demostrarse mediante la práctica. En química, han sido fundamentales para expresar y calcular razones de cambio, reacciones químicas en función de las concentraciones de cada uno de los reactivos que intervienen o para encontrar la compresibilidad isotérmica de una sustancia, cuando su temperatura es constante y el volumen depende de la presión.

Bloques curriculares
Geometría y medida
Álgebra y funciones​

  Objetivos

- O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿Qué usos tienen los compuestos químicos que se producen en un laboratorio?
- ¿Cómo puede ser útil la Matemática en un laboratorio bioquímico?
- ¿De qué manera se relaciona la Matemática con otras ciencias como la Física, la Química y la Biología?

Ecuación vectorial de la recta

DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.

● Ecuación vectorial de la recta

Saberes previos

¿Qué es un sistema de referencia ortogonal del plano?

Desequilibrio cognitivo

¿Es posible determinar las características cinemáticas de una partícula en movimiento con el uso de las ecuaciones vectoriales y paramétricas de la recta?

Definición. Sean (0, , ) un sistema de referencia ortogonal del plano, , ∈ ℝ^2 fijos con ≠ 0. El conjunto L definido como se llama recta que pasa por y es paralela a . El vector se llama vector director o vector generador de la recta de L.

La ecuación se llama ecuación vectorial de la recta L.

De la definición se sigue que L ⊂ ℝ^2. Además, cada elemento de la recta L es de la forma para algún más aún, se tiene la siguiente equivalencia:

^

su negación se escribe:

^

Los vectores con t ∈ ℝ, t ≠ 0, son colineales. En la Figura 4.1. se muestran los vectores y el conjunto L; recta que pasa por los extremos de y .

Ejercicio resuelto

Sean = (−2, 0) y = = (0, 1). El subconjunto L de ℝ^2 queda definido como sigue, L = { (t) = (−2, 0) + t(0, 1)|t ∈ℝ}, y se denomina recta L que pasa por (–2, 0) y es paralela al vector . Esta es una recta paralela al eje Y.

Una ecuación vectorial de esta recta es:

(t) = (–2, 0) + t(0, 1) = (–2t, 1), t ∈ℝ. Por ejemplo, para t = 0, se tiene (0) = (–2, 0) =  , para t = 1, (1) = (–2, 1), para t = –2,  (–2) = (–2, –2). En la Figura 4.2. se muestra la recta L.

De manera más general, sea = (a, 0) con a ∈ ℝ, a ≠ 0, = = (0, 1). La recta que pasa por y es paralela a ​ es el conjunto L definido como

Una ecuación vectorial de esta recta está dada como (t) = (a, t), t ∈ ℝ.

Otra ecuación vectorial de la recta L está definida como sigue:

(t) = (a, –2) + t(0, –1), t ∈ ℝ.

Esta recta es paralela al eje Y. En la Figura 4.3. se muestra esta recta L.

▲ Figura 4.1.

▲ Figura 4.2.

▲ Figura 4.3.

Recuerda la definición

Dados dos puntos distintos A, B cualesquiera en el plano, existe una y solo una recta L que los contiene.

Segmentos de recta

Sean , ∈ ℝ^2 con ≠ 0. La recta L que pasa por y es paralela a es el conjunto La ecuación vectorial viene definida como

Recuerda que...

Sean A, B dos puntos distintos cualesquiera y C ∈ . Se dice que los tres puntos A, B, C están alineados o que son colineales.

Sea t_0 , t_1 ∈ ℝ, tal que t_0 < t_1. Ponemos

Al vector le asociamos el punto A y al vector , el punto B. El segmento de recta de extremos los puntos A, B denotamos con [A, B]. AB o también [ , ] y es subconjunto de L definido como

La ecuación vectorial del segmento de recta [A, B] está definido como:

▲ Figura 4.4.

En la Figura 4.4. se muestran los vectores , , la recta L y el segmento de recta [A, B].

Ejercicios resueltos

1) Sean L = {(3, 1) + t(–1, 2)|t ∈ℝ},  t_0 = –2 y t_1 = 3. La ecuación vectorial de la recta L está definida como

(t)=(3,1)+t(-1,2), t ∈ℝ.

Para t_0 = –2, = (–2) = (3, 1) –2(–1, 2) = (5, –3).

Para t_1 = 3, = (3) = (3, 1) +3(–1, 2) = (0, 7).

A los vectores , les asociamos los puntos A y B. El segmento de recta [A, B] está definido como el subconjunto de L siguiente:

[A,B] = {(3, 1) + t(–1, 2)|t ∈ [–2,3]}.

La ecuación vectorial de este segmento de recta está definido como

(t) =  (3, 1) + t(–1, 2), t ∈ [t_0, t_1].

▲ Figura 4.5.

En la Figura 4.5. se muestra el segmento [A, B].

2) Sean = (–2, –3), = (4, 2), obtén la ecuación vectorial de la recta que pasa por estos puntos.

(t) = (–2, –3) + t[(4, 2) – (–2, –3)] = (–2, –3) + t(6, 5), t ∈ℝ.

Para t = 0, se tiene (0) = (–2, –3) =  y para t = 1, = (4, 2) = . Por lo tanto, el segmento de recta que une los puntos y está definido como, el siguiente subconjunto de ℝ^2:

[ , ] = {(–2, –3) + t(6, 5) / t ∈ [0, 1]}.

La ecuación vectorial de este segmento de recta está definido como

(t) = (–2, –3) + t(6, 5), t ∈ [0, 1].

De manera general, sean , , ∈ ℝ^2 con ≠ , la ecuación vectorial del segmento de recta que une los puntos , está definida como (t) = + t( – ),  t ∈ [0, 1]. Nota que (0) = y (1) = , luego,

[ , ] = { + t( – ) / t ∈ [0, 1]}.

Recuerda que...

Para determinar la ecuación vectorial de una recta, es necesario conocer un punto de la recta y un vector director no nulo o dos puntos distintos de la recta.

Dados el punto = (–2, 0) y el vector = (0, 1), la ecuación vectorial de la recta es (t) = (–2, 0) + t(0, 1)=(-2,t) , t ∈ ℝ.

Ecuación paramétrica de la recta

DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.

● Ecuación paramétrica de la recta

Saberes previos

¿Cuál es la ecuación general de la recta?

Desequilibrio cognitivo

¿Por qué el estudio de las ecuaciones cartesiana y vectorial de la recta es condición previa para el estudio de derivadas?

Simbología matemática

El par de ecuaciones

^

se llaman ecuaciones paramétricas de la recta L, donde la variable t ∈ ℝ se llama parámetro.

La ecuación definida como:

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que

^
se llama ecuación cartesiana de la recta L. También se expresa como (x, y) ∈ ℝ^2 tal que y − y_0 = m(x − x_0).

Sean con y L el subconjunto de ℝ^2 definido así:

Como se ha dicho en las páginas precedentes, este conjunto L representa una recta que pasa por y es paralela al vector . Una ecuación vectorial de L está dada por:

De la definición del subconjunto L de ℝ^2, se tiene la siguiente equivalencia: (x, y) ∈ L ⇔ ∃ t ∈ ℝ, tal que

Ponemos = (x_0, y_0),  = (a, b) con ≠  , es decir que al menos un componente es no nulo. De la equivalencia precedente se sigue que (x, y) ∈ L ⇔ ∃ t ∈ ℝ, tal que (x, y) = (x_0, y_0) + t(a, b) = (x_0 + ta, y_0 + tb)

^

El par de ecuaciones se llama ecuaciones paramétricas de la recta L, donde t ∈ℝ se conoce como parámetro de las ecuaciones que definen L.

Como dijimos,  = ( a, b) ≠ (0, 0), esto es, al menos uno de los componentes es no nulo. Supongamos que a ≠ 0. De la ecuación x = x_0 + ta se obtiene Reemplazando en la ecuación y = y_0 + tb, obtenemos el resultado siguiente:

^

La ecuación definida como:

^

se llama ecuación cartesiana de la recta L que pasa por  = (x_0, y_0) y es paralela a = ( a, b) ≠ (0, 0).

▲ Figura 4.6.

El número real se llama pendiente de la recta y se lo representa con m = ​. La ecuación cartesiana de la recta L se expresa como

(x, y) ∈ℝ^2 tal que y – y_0 = m(x – x_0),

que a su vez se escribe con y = a + mx, x ∈ℝ, con a = y_0 – mx_0.

▲ Figura 4.7.

En la Figura 4.6. se muestra la recta L que pasa por (x_0, y_0) y es paralela al vector

En el caso en que a = 0, como = ( a, b) ≠ (0, 0), se tiene b ≠ 0. En consecuencia, de las ecuaciones paramétricas de la recta L se obtiene y reemplazando en la ecuación x = x_0 + ta = x_0, se tiene la siguiente ecuación cartesiana de L: x = x_0,  ∀y  ∈ ℝ.

Observa que de la equivalencia.

(x, y) ∈ L ⇔ ∃ t ∈ ℝ tal que (x, y) = (x_0, y_0) + t(a, b) = (x_0 + ta, y_0 + tb), y a = 0, se sigue que (x_0, y) ∈ L ⇔ y = y_0 + tb para algún .

Recuerda que...

Si la ecuación vectorial de una recta L está definida como

^

O de la forma

^

Entonces,

- Si (x, y) ∈ L, existe t_0 ∈ ℝ, tal que ^
de donde
que son las ecuaciones paramétricas de L.
- Eliminamos el parámetro t_0. Obtenemos t_0 = –1 –y. Luego, la ecuación cartesiana de L está definida como: ^
- Advertimos inmediatamente que L es una recta paralela al eje Y que pasa por el punto No se define la pendiente de esta recta.

En este caso, la recta L es paralela al eje Y y no se define la pendiente de la recta L. En la Figura 4.7. se muestra la recta L paralela al vector

Supongamos que  = (0, y_0) y  = ( a, 0) con a ≠ 0. Tenemos

El conjunto L es una recta que pasa por el punto (0, y_0) y es paralela al eje x. La ecuación vectorial de la recta L es:

(t) = ( t_a, y_0), t ∈ ℝ.

Obtengamos la ecuación cartesiana. Tenemos

 tal que

Este último par de ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de L.

De la ecuación x = ta se obtiene . La ecuación cartesiana de la recta L está definida como y = y_0, ∀ x ∈ ℝ.

La pendiente de la recta L se define como m = 0. En la Figura 4.8. se muestra una recta L paralela al eje X.

En resumen:

1. Ecuación cartesiana de la recta L paralela al eje X: y = y_0 , ∀ x ∈ ℝ.
2. Ecuación cartesiana de la recta L paralela al eje Y: x = x_0 , ∀ y ∈ ℝ.
3. Ecuación cartesiana de la recta L que es transversal a los ejes coordenados X e Y:
( x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – y_0 = m(x – x_0),
donde m es la pendiente de la recta L.

▲ Figura 4.8.

Dada la ecuación cartesiana de la recta L, obtengamos la ecuación vectorial de L y por consiguiente el subconjunto L de R^2. Para el efecto, sea L una recta que pasa por (x_0, y _0) ∈ ℝ^2^ y tiene pendiente m ∈ ℝ. Obtengamos la ecuación vectorial de L. De la equivalencia:

(x, y) ∈ L ⇔ y – y_0 = m(x – x_0), se sigue que

(x, y) = (x, y_0 + m(x – x_0)) = (x, mx) + (0, y_0 – mx_0)

                 = x(1, m) + (0, y_0 – mx_0), x ∈ ℝ.

Se define = (0, y_0 – mx_0) y = (1,  m). La ecuación vectorial de la recta L está definida como
(x) =  + x , x ∈ ℝ.

Ecuación cartesiana de la recta

DCCD: M.5.2.10. Identificar la pendiente de una recta a partir de la ecuación vectorial de la recta, para escribir la ecuación cartesiana de la recta y la ecuación general de la recta.

● Ecuación cartesiana de la recta

Saberes previos

¿Qué es la pendiente de una recta?

Desequilibrio cognitivo

¿Por qué se dice que mientras mayor inclinación tiene una recta, mayor es su pendiente?

Pendiente de una recta

Primeramente, cada recta del plano ∏ tiene una inclinación, un declive que es el mismo en cualquier parte de la recta. Asociamos el plano ∏ con el sistema de coordenadas rectangulares y consideramos una recta L en este plano. A la inclinación o declive de esta recta la podemos medir con la razón:

a la que denominamos pendiente de la recta L, siempre que el cambio en el eje x no sea nulo. Esta razón en cualquier parte de la recta es siempre constante. A la inclinación de la recta L la podemos medir con el ángulo que forman el eje x con la recta L.

Recuerda que...

En la Figura 4.10. se muestra una porción de un plano ∏, A, B ∈ ∏ con A ≠ B y una porción de la recta L que pasa por A y B que tiene una inclinación con la horizontal.

▲ Figura 4.10.

Por otro lado, hemos definido ℝ^2 como el producto cartesiano ℝ × ℝ, esto es,

ℝ^2  = {(x, y)| x, y ∈ ℝ}.

Como ya se ha dicho anteriormente, al plano ∏ lo identificamos con el conjunto ℝ​^2, es decir que cada punto P ∈ ∏ está en correspondencia con un único par (x, y) ∈ ℝ^2 escribimos P =(x, y). Al par ordenado (0, 0), origen, le asociamos el punto O, o sea, O = (0, 0).

Denotamos con la medida de este ángulo. Para una recta dada L, esta medida θ es constante, con lo que la pendiente también lo es. En la Figura 4.11. se muestra una recta L y el ángulo θ que forma con el eje x.

▲ Figura 4.11.

Sean A = (x_1 , y_1), B = (x_2 , y_2) dos elementos de ℝ^2, tal que x_1 ≠​ x_2 y L una recta que pasa por los puntos A, B. La pendiente de L es número real denotado con m y se ha definido como la razón:

^

Ecuación cartesiana de la recta

Sea w = (x, y) ∈ L. Puesto que la pendiente de la recta L es constante, se tiene

^_

y de esta obtenemos la ecuación

se conoce con el nombre de ecuación cartesiana de la recta L que pasa por los puntos A = (x_1 , y_1), B = (x_2 , y_2) x_1 ≠​ x_2 .

▲ Figura 4.12.

En la Figura 4.12. se muestra una recta L que pasa por los puntos A y B y el triángulo rectángulo cuyos vértices son A, B y C = (x_2, y_1) con su ángulo recto en C.

Sea θ la medida del ángulo que forma el eje x con la recta L. Con referencia al triángulo rectángulo ACB en la Figura 4.12. se tiene

que es la pendiente de la recta L, a la que notamos

Recuerda que...

La pendiente de la recta   L es número real denotado con  m y se define como la razón:

La ecuación cartesiana de la recta L que pasa por A = (x_1, y_1) y B = (x_2, y_2) con x_1 ≠ x_2 se escribe como:

lo que es lo mismo

En forma conjuntista, escribimos

y a esto lo denominamos recta L. Se tiene L ⊂ ℝ^2 , L ≠ ∅. Además, si la pendiente m > 0, la recta tiene un inclinación hacia la derecha, y si la pendiente m < 0, la recta tiene una inclinación hacia la izquierda.

Conexiones con las TIC

Para recordar las ecuaciones de la recta, te sugerimos mirar este video tutorial:

www.mayedu.ec/matbu1/p185

Ejercicio resuelto

Sean A = (–1, 1), B = (2, 3). Determina la ecuación cartesiana de la recta L que pasa por A y B.

Comenzamos con el cálculo de la pendiente. Tenemos x_1 = –1, y_1 = 1 , x_2 = 2, y_2 = 3, luego

▲ Figura 4.13.

En la Figura 4.13. se muestran los puntos A, B, y la recta L que pasa por A y B.

La ecuación cartesiana de la recta L se escribe como:

Si en la ecuación cartesiana hacemos x = 0, obtenemos y para x = 2, tenemos y = 3. El punto de corte de L con el eje x se obtiene haciendo y = 0 y resolviendo la ecuación: x ∈ ℝ tal que de donde El punto (–5/2, 0) es el punto de corte del eje x con L.

Rectas paralelas y perpendiculares. Intersección de rectas

DCCD: M.5.2.11. Determinar la posición relativa de dos rectas en ℝ^2 (rectas paralelas, que se cortan, perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones o de barcos para determinar si se interceptan).

● Rectas paralelas y perpendiculares. Intersección de rectas

Saberes previos

¿Cómo se define la ecuación cartesiana de la recta que pasa por dos puntos?

Desequilibrio cognitivo

¿De qué manera identificas si dos rectas en el plano son paralelas o son perpendiculares?

En esta sección establecemos las condiciones de paralelismo y perpendicularidad en términos de las pendientes de las rectas.

Sean L_1 , L_2 dos rectas del plano con ecuaciones cartesianas respectivamente:

En la sección precedente se ha visto que cada conjunto,

representa una recta si y solo si |a_1| + |b_1| > 0, |a_2| + |b_2| > 0.

Recuerda que...

La ecuaciones de la recta son:

Vectorial
^

Cartesiana
^

Paramétrica
^

Si b_1 ≠ 0, la pendiente de L_1 está definida como y si b_2 ≠ 0, la pendiente de L_2 es .

Condición de paralelismo

Se establece la siguiente condición de paralelismo:

si m_1 = m_2 entonces L_1 es paralela a L_2.

Si L_1 es paralela a L_2, escribimos L_1 || _ L_2. Nota que L_1 es paralela a L_2 si y solo si tienen la misma inclinación. A su vez,

Por lo tanto,

Simbología matemática

- Para indicar que L_1 no es paralela a L_2, escribimos L_1 ∦_ L_2.
- Si L_1 es perpendicular a L_2, escribimos L_1 ⟘  L_2. Diremos también L_1 ortogonal a L_2.

Se identifican dos casos:

1. L_1 =_ L_2 si y solo si existe λ ∈ ℝ, tal que c_1 = λ c_2. En este caso se dice que las rectas L_1 y L_2 son coincidentes.

En efecto, supongamos b_2 ≠ 0, de la condición de paralelismo precedente obtenemos . Sea ( x, y) ∈ L_1 entonces (x, y) ∈ L_2, _ por lo tanto, a_2x + b_2y + c_2 = 0. Luego,

0 = a_2b_1x + b_2b_1y + b_2c_1 = b_1 (a_2 x + b_2 y) + b_2c_1 = b_1 (–c_2) + b_2c_1 ,

y de esta última igualdad obtenemos .

1. L_1 ||_ _ L_2 y L_1 ≠_ L_2.

Supongamos b_1 ≠ 0 y b_2 ≠ 0. De la definición de los conjuntos L_1 y L_2 tenemos Luego,

▲ Figura 4.14.

De manera similar,

Para x ∈ ℝ, como L_1 ≠ L_2, se tiene

de donde o bien

Así, si L_1 ||_ _ L_2 y L_1 ≠_ _ L_2, entonces

En la Figura 4.14. se muestran dos rectas paralelas L_1, L_2. _ Arriba se tiene el caso en que las dos rectas coinciden, esto es L_1= L_2, mientras que abajo se tiene dos rectas paralelas y no coincidentes, es decir, L_1 ||_ _ L_2 con L_1 ≠_ _ L_2.

Para indicar que L_1 no es paralela a L_2, _ escribimos L_1∦L_2.

Particular atención se da al caso en que las pendientes de las rectas no existen, esto significa que las rectas son paralelas al eje y.

▲ Figura 4.15.

Condición de perpendicularidad

Si m_1 ≠ 0 y m_2 ≠ 0, entonces L_1 es perpendicular a L_2 si y solo si m_2m_1 = –1.

Si L_1 es perpendicular a L_2, escribimos L_1 ⊥ L_2. Diremos también L_1 ortogonal a L_2.

De la condición de ortogonalidad se sigue que m_1≠ 0_ , m_2≠ 0_ , y

de donde b_1b_2 + a_1a_2 = 0. Consecuentemente

a_1a_2 + b_1b_2 = 0 ⇒ L_1 ⊥ L_2.

▲ Figura 4.16.

En la Figura 4.15. se muestran dos rectas ortogonales L_1, L_2. Nuevamente ponemos atención al caso en que una sola de las pendientes de las rectas L_1, L_2 es nula, digamos L_1. En tal caso la otra pendiente no está definida, lo que significa a su vez que L_1 es paralela al eje x, mientras L_2 es paralela al eje y.

Observación. En la Figura 4.16. se muestran tres rectas L_1, L_2, L_3, tal que L_2 ⎥⎥_ _ L_3 con L_2 ≠_ L_3 , y L_1 ⊥ L_2. _ Por lo tanto, L_1 ⊥ L_3. Nota que las pendientes de L_2 y L_3 son nulas, mientras que la de L_1 no está definida.

Intersección de rectas

Determinemos el conjunto L_1 ∩ L_2. Identificamos tres casos.

1. L_1 = L_2.
2. L_1 ||_ _ L_2 con L_1 ≠ L_2.
3. L_1 ∦_ L_2.

1. Si L_1 =_ _ L_2, las rectas son coincidentes y la pendiente de L_1 es
 con b_1 ≠ 0. La pendiente de L_2 está dada como
 con b_2 ≠ 0. Tenemos que sus pendientes coinciden, luego, . En consecuencia , y se obtienen las siguientes equivalencias:

▲ Figura 4.17.

Así, L_1 ∩_ _ L_2 = L_2 = {(x, y) ∈ ℝ^2 |^ a_2x + b_2y + c_2 = 0},

es decir que el sistema de ecuaciones

se reduce a la sola ecuación: (x, y) ∈ ℝ^2 tal que a_2x + b_2y + c_2 = 0,

cuyo conjunto solución S está definido como

que representa una recta que pasa por (x_0, y_0) y tiene pendiente

​ con b_2 ≠ 0, donde (x_0, y_0) es cualquier solución de a_2x +b_2y +c_2 ≠ 0, o sea, a_2x_0 +b_2y_0 +c_2 = 0.

La Figura 4.17. muestra la recta común L = L_1 ∩_ _ L_2 _ con la ecuación cartesiana de L_1.

▲ Figura 4.18.

1. Si L_1 ||_ L_2 con L_1 ≠_ L_2, se tiene , b_2 ≠ 0. Para todo x ∈ ℝ,
pero Resulta que el conjunto L_1 ∩_ _ L_2 = 0, es decir que el sistema de ecuaciones

​no tiene solución.

En la Figura 4.18. se muestran estas dos rectas.

Recuerda que...

La mediana de un triángulo es el segmento que une uno de sus vértices con el
punto medio de su lado opuesto. Las medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro.

La longitud de la mediana se calcula a partir del teorema de las medianas.

▲ Figura 4.19.

1. Supongamos que L_1 ∦_ _ L_2. Probemos que existe un único punto (x_0 , y_0) ∈ ℝ^2, tal que L_1 ∩_ _ L_2 = {( x_0 , y_0)}, es decir que (x_0 , y_0) ∈ L_1 , (x_0 , y_0) ∈ L_2,_ consecuentemente ( x_0 , y_0) es el único elemento que satisface el par de ecuaciones, esto es,

^

Supongamos que b_1 ≠ 0, y b_2 ≠ 0. Como L_1 ∦_ _ L_2, entonces

a_1 b_2 – a_2 b_1 ≠ 0, de donde . Además,

De esta última ecuación se obtiene

^

Se verifica inmediatamente que (x_0 , y_0) ∈ L_1 ∩_ _ L_2. Probemos que el punto es único. Para ello, supongamos que existe otro elemento ( u, v) ∈ L_1 ∩_ _ L_2, entonces

Ponemos p = x_0 – u, q = y_0 –v, o sea, x_0 = p + u, y_0 = q + v. Entonces,

de donde x_0 = u, y_0 = v. Así, L_1 ∩_ _ L_2 = {(x_0 , y_0)}.

▲ Figura 4.20.

En la Figura 4.20. se muestran dos rectas L_1, L_2, tal que L_1 ∦_ _ L_2.

Si b_1 ≠ 0 y b_2 = 0, de la condición | a_2 |+ | b_2 |> 0, se tiene a_2 ≠ 0 y a_2x + c_2 = 0, con lo que , consecuentemente,

^

Ponemos Tenemos L_1 ∩_ _ L_2 =_ {(x_0, y_0)}.
Nota que la pendiente de la recta L_2 no está definida.

Distancia entre dos números reales

DCCD: M.5.1.32. Calcular, de manera intuitiva, el límite cuando h→0 de una función cuadrática con el uso de la calculadora como una distancia entre dos número reales.

● Distancia entre dos números reales

Saberes previos

¿Cómo se define el valor absoluto de un número real? ¿Cuáles son las propiedades más importantes?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo se define la distancia entre dos números reales?

Recuerda que...

Si u = x – y, v = y – z, se tiene u + v = x – y + (y –z) = x – z, y la desigualdad
| u + v| ≤ |u| + |v|
se transforma en
| x – z| ≤ |x – y| + |y –z|;
esto en términos de la distancia entre dos números reales se expresa como
d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z).
que hemos obtenido en la demostración iv.

De manera intuitiva, las ideas de proximidad, de tendencia, de aproximación y de cercanía a un punto, a un valor numérico o también de tendencia a alejarse, están ligadas con la distancia entre dos puntos en la recta numérica, a la cual definimos a continuación.

Definición. Sean x, y ∈ ℝ. La distancia de x a y se denota d (x, y) y se define como

d (x, y) = |x – y|.

De la definición de valor absoluto y de la distancia entre dos números reales, se tiene:

A la distancia entre dos números reales la denominaremos métrica usual en ℝ y, como se dijo, esta nos permite medir la proximidad o lejanía entre dos números reales.

Ejercicios resueltos

1. Para x = –3, y = 1, se tiene d (–3, 1) = |–3 –1| = |–4| = 4.
2. Si x = 4,6 = y, entonces d (4,6; 4,6) = |4,6 – 4,6| = 0.
3. d (–8, –2) = |–8 –(–2)| = |–8 + 2| = |–6| = 6.

Simbología matemática

A la distancia entre dos números reales la denominamos métrica usual en ℝ y se representa por
d (x, y) = |x – y|, x, y ∈ ℝ.

Propiedades de la métrica usual en ℝ

Teorema. Sean x, y, z ∈ ℝ. Se verifican las siguientes propiedades.

i. d(x, y) ≥ 0.

ii. d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

iii. d(x, y) ≥ d (y, x).

iv. d(x, z) ≤ d (x, y) + d (y,z) (desigualdad triangular).

Demostración. Estas propiedades resultan inmediatamente de las propiedades del valor absoluto.

i. Puesto que |x – y| ≥ 0, se sigue que d (x, y) = |x – y| ≥ 0.

ii. De la definición de distancia entre dos números reales, se tiene d(x, y) = |x – y|, luego,
d(x, y) = 0 ⇔ |x – y| = 0 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y.
Por lo tanto, d (x, y) = 0 ⇔ x = y.

iii. Tenemos d(x, y) = |– 1(y – x)| = |–1||y – x| = d(y, x). Así,
d (x, y) = d (y, x).

iv. Por la desigualdad triangular del valor absoluto, se tiene
d(x, y) = |x – y|, d(y, z) = |y – z|. Luego,
d(x, z) = |x – z|=|x – y + y – z| ≤ |x – y|+|y – z| = d(x, y) + d(y, z).

Conclusión: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

h | x = –2,5 + h | d (–2,5; x)
0,1 | –2,4 | 0,1
0,01 | –2,49 | 0,01
0,005 | –2,495 | 0,005
0,000 1 | –2,499 9 | 0,000 1
0,000 01 | –2,499 99 | 0,000 01
0,000 002 | –2,499 998 | 0,000 002

^▲ Tabla 1

Otra propiedad de la distancia entre dos números reales es:

|d (x, y) – d(y, z)| ≤ d(y, z), x, y, z ∈ ℝ.

Esta desigualdad es consecuencia inmediata de la siguiente:

||u| – |v|| ≤ |u – v|, u_ , v ∈ ℝ.

Poniendo u = x – y, v = z – y en la desigualdad precedente, obtenemos

||x – y| – |z – y|| ≤ |x – y – (z – y)| = |x – z|

y tomando en consideración que d(y, z) = d (z, y), se deduce que

|d (x, y) – d (y, z)| ≤ d(x, z).

h | y = –3,2 + h | d (3,2; y) = h
0,1 | 3,3 | 0,1
0,01 | 3,21 | 0,01
0,001 | 3,201 | 0,001
0,000 2 | 3,2002 | 0,000 2
0,000 04 | 3,20004 | 0,000 04
0,000 000 1 | 3,2000001 | 0,000 001

^▲ Tabla 2

h | y = 0,3 + h | d (0,3; y)= –h
–0,2 | 0,1 | 0,2
–0,05 | 0,25 | 0,05
–0,001 | 0,299 | 0,001
–0,000 025 | 0,299 995 | 0,000 025
–0,000 0001 | 0,299 999 9 | 0,000 0001

^▲ Tabla 3

Ejercicio resuelto

1. Sean x_0 = –2,5; x = –2,5 + h, h ∈ ℝ. Calculemos las distancias que se muestran en la Tabla 1:

d(–2,5; –2,49) = |–2,5 – (–2,49)| = 2,5 – 2,49 = 0,01;

d(–2,5; –2,495) = |–2,5 – (–2,495)| = 2,5 – 2,495 = 0,005;

d(–2,5; –2,499 9) = |–2,5 – (–2,499 9)| = 2,5 – 2,499 9 = 0,000 1;

d(–2,5; –2,499 98) = |–2,5 – (–2,499 998)| = 2,5 – 2,499 998 = 0,000 002;

Observamos que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 9; –2,499 998 se aproximan cada vez más a –2,5. Para h > 0 y x = –2,5 + h, se tiene d (–2,5; x) = d (2,5; –2,5 + h) = |–2,5 + h – (–2,5)| = –2,5 + h –(–2,5) = h.

Si asignamos valores a h > 0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x = – 2,5 + h se aproxima cada vez más a x_0 = –2,5. En la tabla 1 se muestran algunos de estos valores y

d (–2,5, x) = |–2,5 –(–2,5 + h) | = h.

1. Sean x_0 = 3,2; y = 3,2 + h, h ∈ ℝ. En la Tabla 2 se muestran algunos valores de h > 0, de y = 3,2 + h y la distancia

d (3,2; y) = |3,2 – (3,2 + h) | = h.

Observamos que para valores de h > 0 que tienden a cero,
y = 3,2 + h tiende a 3,2. Nota que para valores de h > 0 cada vez más pequeños, se tiene que d (3,2; y) = d (3,2; 3,2 + h) = h son igualmente cada vez más pequeños.

Conexiones con las TIC

Para profundizar sobre el estudio de valor absoluto y distancia entre dos puntos, puedes visitar la siguiente página:

www.mayedu.ec/matbu1/p193

1. Sea x_0 = 0,3. Consideramos y = 0,3 + h, h ∈ . En la Tabla 3 se muestran algunos valores de h < 0, de y = 0,3 + h y la distancia d (0,3; y) = d (0,3; 0,3 + h) =| 0,3 – (0,3 + h)|= –h.

Los resultados de la tabla muestran que para h < 0 y h que se aproxima a cero, y = 0,3 + h se aproxima cada vez a 0,3.

Sean h < 0, y x = x_0 + h, entonces x < x_0 , y
d (x, x_0) = d (x_0 + h, x_0) = x_0 – (x_0 + h) = x_0 –x_0 – h = – h > 0.

Para valores de h < 0 y h cada vez más próximos de cero, x_0 + h es cada vez más próximo de x_0.

Noción intuitiva de límite

Las nociones que introducimos en esta sección corresponden a los primeros pasos que se dan en el cálculo diferencial e integral.

Recuerda que...

Los conceptos de límite y continuidad son la base del estudio del cálculo diferencial e integral; sobre estos conceptos daremos aquí los primeros pasos. Observemos el significado más próximo al matemático de la palabra “límite”, dado por el  diccionario de la lengua española. Encontramos lo siguiente: “término”, “fin”, “extremo”, “confinante”, “aledaño”, “línea que separa dos terrenos contiguos”, “punto del cual no se puede extender una acción, una influencia, un estado”. En cuanto a la palabra “continuo”, encontramos “sin interrupción en el tiempo o en el espacio”, “que se hace o se extiende sin interrupción”, “todo compuesto de partes unidas entre si”, “incesante” y de la palabra “continuidad” encontramos “calidad o condición de las funciones
o transformaciones continuas”.

Recordemos la definición de valor absoluto de un número real t:

^

De esta definición y de la distancia entre dos números reales, se tiene:

si x ≥ y, entonces x – y ≥ 0, con lo que d (x, y) = |x – y| = x – y. Si x < y, entonces x – y < 0, con lo que d (x, y) = |x – y| = –(x – y) = y – x.

Ejercicios resueltos

1. Para x = –3, y = 1, se tiene d (–3, –1) = |–3 –1| = |–4| =4.
2. Si x = 4,6 = y, entonces d (4,6; 4,6) = |4,6 – 4,6| = 0.

Significados de x → 0, x → x_0^+ y x → x_0^–

Para introducir los términos "pequeño" y "suficientemente pequeño", utilizaremos las relaciones de orden "menor que <" y "mayor que >" en el siguiente sentido: sea diremos que x ∈ R con x ≠ 0 es pequeño (suficientemente pequeño) con respecto de si se verifica que

Ejercicio resuelto

1. Sea δ = 0,1. Todo número real x ≠ 0 tal que |x| < 0,1 es pequeño con respecto de δ = 0,1. Así, si x = –0,05, se tiene |–0,05|= 0,05 < 0,1; con lo que x = –0,05 es pequeño respecto de δ = 0,1. Por el contrario, x = 0,15 no es pequeño respecto de δ = 0,1, pues x = 0,15 > 0,1 = δ.

Simbología matemática

Algunas letras del alfabeto griego.

alfa α
beta β
gamma γ
delta δ
épsilon ε
zeta ζ
eta 𝛜
theta (tita) 𝜏
iota ι
kappa κ
lambda λ
mu μ

Notación

Escribiremos x → 0, que se lee "x tiende a cero" o también "x se aproxima a cero", para indicar que |x| puede hacerse tan pequeño como se quiera. Es decir que para cada 𝛜 > 0, se tiene |x|< 𝛜.

También se dice "|x| es suficientemente pequeño". Damos a continuación una interpretación de esta formulación.

Sea x_0 ∈ R fijo. Dado x ∈ R con x_ ≠ _ x_0, por la propiedad de tricotomía, se verifica una y solo una de las dos condiciones siguientes: i) x < x_0; ii) x > x_0.

Para precisar la notación x → x_0 que se lee "x tiende a _ x_0"_ o también "x se aproxima a x_0"_ , veamos algunos ejemplos que nos permitan comprender este significado.

Simbología matemática

x → 0 se lee "x tiende a cero" o también "x se aproxima a cero".
x → x_0 que se lee "x tiende a x_0"_ o también "x se aproxima a x_0".

1. Consideremos el caso x > x_0. Se tiene d(x_0, x) = |x_0 –x| = x_ – x_0 >_ 0.

Sea x_0 = –2,5. Consideremos la función real f, definida como f(h) = –2,5 + h, h ∈ R. Primeramente, calculemos las distancias que se muestran en la Tabla 4:

d (–2,5; –2,49) = |–2,5 – f(0,01)|= 2,5 –2,49 = 0,01;

d (–2,5; –2,495) = |–2,5 – f(0,001)|= 2,5 –2,499 = 0,001;

d (–2,5; –2,499 9) = |–2,5 – f(0,000 1)|= 2,5 –2,499 9 = 0,000 1;

d (–2,5; –2,499 998) = |–2,5 – f(0,000 002)|= 2,5 –2,499 998 = 0,000 002.

Se observa que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 98 se aproximan cada vez más a –2,5. Para h > 0 y x = f(h) = 2,5 + h, se tiene d (–2,5; f(h)) = d (–2,5; –2,5 + h) =| –2,5 + h – (–2,5) |= –2,5 + h –(2,5) = h.

h | f (h) = –2,5 + h | d (–2,5; f (h))
0,1 | –2,4 | 0,1
0,01 | –2,49 | 0,01
0,001 | –2,499 | 0,001
0,000 1 | –2,499 9 | 0,0001
0,000 01 | –2,499 99 | 0,000 01
0,000 002 | –2,499 998 | 0,000 002

^▲ Tabla 4

Si asignamos valores a h > 0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x = f(h) = –2,5 + h se aproxima cada vez más a x_0 = f(0) = –2,5. En la Tabla 4 se muestran algunos de estos valores y
d (–2,5; f(h)) = |–2,5– (–2,5 + h)|= h.

Noción de límite de una función real

La noción de límite se limita al tipo de funciones afines, cuadráticas, ya tratadas.

Definición

Sea f una función real definida en todo .

Se dice que f(x) tiende a L cuando x tiende a x₀, si y solo si se verifica la condición:

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que 0 < d(x, x_0) < δ ⇒ d (f(x), L) < ε.

Se escribe

Así, para cada ε > 0 tal que d (f(x), L) < ε podemos encontrar δ > 0 de modo que si h = x – x_0, 0 < |h| < δ siempre se verifica d (f(x), L) < ε.

Recuerda que...

Del punto de vista intuitivo, a medida que |h| se hace cada vez más pequeño o próximo a cero, la distancia de f(h) a L es también muy pequeño.

Ejercicio resuelto

1. Sea la función real f definida como f(h) = L + 2h^2_ , h ∈ R. Tenemos  , pues si 𝛜 > 0, y tomando en consideración que si |h| < 1, se tiene h^2 ≤ |h|, entonces

Elegimos Luego 0 < |h| < δ ⇒ d(f (h), x_0) < ε​.

Esta última implicación significa que

En otras palabras, f(h) = L + 2h^2 se aproxima a |L|, conforme h se aproxima a cero, o lo que es lo mismo, la distancia de f(h) = L + 2h^2 a L es suficientemente pequeña conforme h es suficientemente pequeño.

Cociente incremental. Noción de derivada

DCCD: M.5.1.33. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones cuadráticas, a partir del cociente incremental.

● Cociente incremental. Noción de derivada

Saberes previos

¿Qué es una cantidad suficientemente pequeña?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo interpretas de manera geométrica la tangente a una curva?

En el cálculo de la derivada de una función, aparece el denominado cociente incremental, al que definimos a continuación.

Definición. Sean A, B dos intervalos de ℝ, f una función de A en B, a ∈ A fijo y h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0, y, a + h ∈ A. El cociente incremental de la función f en el punto a se denota Q(h) y se define como sigue:

^

En general, los valores de |h| ≠ 0 son suficientemente pequeños.

Recuerda que...

Los trabajos de Leibniz que buscaban un método general para hallar la tangente a una curva dieron origen a la noción de derivada como el cociente incremental o el cociente de diferencias de una función
y = f (x).

Conexiones con las TIC

Para profundizar sobre el estudio de valor absoluto y distancia entre dos puntos puedes visitar la siguiente página:

www.mayedu.ec/matbu1/p198

Ejercicios resueltos

1. Sea f la función real definida como f(x) = 2x – 1 con x ∈ ℝ. Fijemos el punto a = –2. Sea x = –2 + h con h ≠ 0, tenemos f(–2) = 2(–2) –1 = –5, y, f(–2 + h) = –5 + 2h. Note que si |h| es suficientemente pequeño, 2|h| también lo es. El cociente incremental está definido como

es decir que el cociente incremental es constante y vale 2.

1. Sean λ ∈ ℝ con λ ≠ 0 y f la función real definida por f(x) = λ x^3, x ∈ ℝ. Calculemos el cociente incremental Q (h) para h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0. Sean a ∈ ℝ y h ≠ 0. De la definición de la función f y del cociente incremental, se tiene

h ≠ 0. Calculemos algunos valores de este cociente:

Para valores de h no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente incremental se aproxima cada vez a 3. Calculemos la distancia de 3 a Q(h), esto es, d(3, Q(h)), h ≠ 0. Tenemos

Recuerda la definición

En el estudio de funciones, nos interesa analizar las tasas de variación de las funciones, las cuales se facilitan con el cociente incremental:

El siguiente paso es el cálculo del límite del cociente. Con él obtenemos su derivada.

Observamos que para |h| no nulo y suficientemente pequeño, es también suficientemente pequeño. En efecto, sea ε > 0. Entonces, como h^2 ≤ | h|, y por la desigualdad triangular, se tiene

de donde , lo que significa que

A este número real se le llama derivada de la función f en el punto
x = 2. Se escribe

Interdisciplinariedad

Con mucha frecuencia el problema de encontrar la mejor manera de aprovechar la materia prima o los recursos con los que vamos a producir algo, conllevan a la aplicación del cociente incremental para con la aplicación de la derivada determinar la mayor superficie que se debe cultivar para obtener los máximos recursos económicos de producción.

▲ Campo de algodón y café.

1. Sean P la función real definida como P(x) = 8x + 35x^3, x ∈ ℝ con a, h ∈ ℝ con h ≠ 0. Calcula el cociente incremental

Para x = a + h, se tiene

P(a + h) = 8 (a + h) + 35 (a + h)^3 = 8a + 35a^3 + h (8 +105a^2 + 105 ah + 35h^2).

Luego,

P(a + h) – P(a) = 8a + 35a^3 + h(8 + 105a^2 + 105ah + 35h^2) –8a – 35a^3 = h(8 + 105a^2 + 105ah + 35h^2),

de donde

Por ejemplo, si a = 2, tenemos

Nota que fijado a, el cociente incremental se transforma en una función dependiente de h ≠ 0. En general, |h| es no nulo y suficientemente pequeño. Calculemos algunos valores de Q(h).

Q(0,1) = 428 + 210 × 0,1 + 35 (0,1)^2= 449,35;
Q(–0,1) = 428 – 210 × 0,1 + 35 (–0,1)^2= 407,35;
Q(0,001) = 428 + 210 × 0,001 + 35 (0,001)^2= 428,210 000 4;
Q(–0,001) = 428 – 210 × 0,001 + 35 (–0,001)^2= 427,790 035;

Calculemos la distancia de 428 a Q(h), esto es, d(428, Q(h)), h ≠ 0. Tenemos

d(428, Q(h)) |=| Q(h) – 428 |=| 428 + 210h + 35h^2 – 428 |=| 210h + 35h^2 | , h ≠ 0.

Observamos que para |h| no nulo y suficientemente pequeño, d(428, Q(h)) =| 210h + 35h^2| es también suficientemente pequeño.

Se demuestra que

Al resultado de este límite se lo llama derivada de la función P en el punto x = 2. Se escribe

Interpretación geométrica y física del cociente incremental

DCCD: M.5.1.34. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC.

● Interpretación geométrica y física del cociente incremental

Saberes previos

¿Qué es una recta tangente en el punto P a una representación gráfica de una función?
¿A qué llamamos pendiente de la recta tangente?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo explicas el concepto de derivada? ¿Qué aplicaciones tiene el concepto de derivada?

Sean A, B dos intervalos de ℝ, f una función de A en B, a ∈ A fijo y h ∈ ℝ, tal que h ≠ 0, y a + h ∈ A. El grafo de la función f es el conjunto definido como G(f) = {(x, f (x))|x ∈ A}.

La representación gráfica de G(f) en el sistema de coordenadas rectangulares se llama gráfica de la función f o representación gráfica de la función f.

Consideramos dos puntos del grafo de f: P_0 = (a, f (a)), al que lo mantenemos fijo, y P = (a + h, f (a + h)) que variará conforme |h| se haga cada vez más pequeño. Determinemos la ecuación cartesiana de la recta L_h que pasa por estos dos puntos.

▲ Figura 4.21.

Observamos que la pendiente de la recta es el cociente incremental Q (h) que se define como:

Luego, la ecuación cartesiana de la recta L_h se escribe como

(x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – f (a) = Q (h)(x – a), con h ≠ 0.

En la Figura 4.21. se muestran las posiciones de los puntos P_2 , P_3 , P_4 , ..., que corresponden a valores de h > 0 cada vez más pequeños. También se muestran las posiciones de las rectas que pasan por P_0 y por cada uno de los puntos P_2 , P_3 , P_4 , ..., respectivamente, y la recta tangente L a la gráfica de la función f.

Recuerda que...

Si se conoce la pendiente de una recta y el punto P_0 = (x_0 , y_0), la ecuación cartesiana de la recta que pasa por (x_0, y_0) y tiene pendiente m está dada por (x, y) ∈ ℝ tal que y – y_0 = m(x – x_0).

Por otro lado, la ecuación cartesiana de la recta L que pasa por los puntos P_0 = (x_0 , y_0), y P_1 = (x_1 , y_1) con x_0 ≠ x_1 está definida como sigue: (x, y) ∈ ℝ^2 tal que

El número real

es la pendiente de la recta.

Desde el punto de vista intuitivo, podemos observar que para h > 0 cada vez más pequeño, la recta L_h se acerca cada vez más a la recta L, lo que implica que el cociente incremental Q (h) se aproxima cada vez más a la pendiente m de la recta tangente L que tiene como ecuación cartesiana (x, y) ∈ ℝ^2 tal que y – f (a) = m (x –a).

Se escribirá siempre que el límite exista y se le llamará derivada de f con respecto de x en el punto x = a, que se nota esto es,

En muchos libros se nota también
m = f '(a).

Podemos generalizar el cálculo de derivadas de otras funciones. Así, proponemos el siguiente procedimiento.

i. Formar el cociente incremental con h ≠ 0.

ii. Estudiar el límite del cociente incremental cuando h → 0^+ y cuando h → 0^–. Si estos dos límites coinciden, ese valor común es la derivada f'(x_0).

iii. Interpretar los resultados de i. y ii. Concluir.

Recuerda que...

Derivada de la función constante
Sean b ∈ ℝ y f la función real definida como
f(x) = b, ∀ x ∈  ℝ,
f ' (x) = 0, ∀ x ∈  ℝ.

Derivada de la función afín

Sean a, b ∈ ℝ con a ≠ 0. La función afín está definida como
f(x) = ax + b, ∀ x ∈ ℝ.

Conexiones con las TIC

Para conocer más sobre derivadas, te sugerimos visitarla siguiente página:

www.mayedu.ec/matbu1/p201

Derivada de la función cuadrática

Sean a, b ∈ ℝ con a ≠ 0. La función cuadrática está definida como: f (x) = ax^2 + bx + c, x ∈ ℝ.

Calculemos f'(x). Para el efecto, estudiemos el límite del cociente incremental.

Para x ∈ ℝ y h ≠ 0, de la definición de la función f se tiene

f (x + h) = a(x + h)^2 + b(x + h) + c = a(x^2 + 2xh + h^2) + b(x + h)+ c

= ax^2+2axh + ah^2 + bx + bh + c = ax^2 + bx + c + h (2ax + b + ah)

= f (x) + h(2ax + b +ah).

luego

Como a es constante, es claro que para |h| suficientemente pequeño, ah también lo es. Entonces

Así,

Conclusión: f (x) = ax^2+ bx + c,    ∀ x ∈ ℝ,    f' (x) = 2ax + b.

Ejercicios resueltos

1. f (x) = x^2, ∀x ∈ ℝ, f' (x) = 2x. Para x = –1, se tiene f' (–1) = –2.
2. f (x) = 10x^2 –3x + 1, ∀ x ∈ ℝ, f' (x) = 20x – 3. Para x = 0,4; f (0,4) = 5.
3. f (x) = –7 x^2 + 9, ∀ x ∈ ℝ, f' (x) = –14x, f' (0) = 0.

Velocidad y aceleración

DCCD: M.5.1.35. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC.  M.5.1.36. Interpretar de manera física la segunda derivada (aceleración media, aceleración instantánea) de una función cuadrática, con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). M.5.1.37. Resolver y plantear problemas, reales o hipotéticos, que pueden ser modelizados con derivadas de funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos.

● Velocidad y aceleración

Saberes previos

¿Qué utilidad práctica tiene la derivada en la solución de problemas?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo se aplica la derivada para resolver problemas de movimiento rectilíneo?

Al desplazamiento de un cuerpo que se mueve en una línea recta  lo expresamos con la función real S definida en un conjunto

 T = [t_0, t_f] ⊂ [0, ∞[.

El conjunto T representa un intervalo de tiempo; a los elementos del conjunto T los indicamos con t y este representa el tiempo que se mide en segundos (s). El número real S(t) denota el desplazamiento del cuerpo al instante t ∈ T, que se mide en metros (m). Así,

Interdisciplinariedad

Matemática y física

La mecánica es la más antigua de las ciencias físicas. En ella se estudian los problemas de movimiento de los cuerpos, las relaciones de las fuerzas que intervienen con el movimiento y las propiedades de los cuerpos. La cinemática se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos y la dinámica se encarga del estudio de las relaciones de las fuerzas, con movimientos y propiedades de los cuerpos.

▲ Motor de combustión interna.

La velocidad media de un cuerpo (partícula) se define como el desplazamiento neto realizado por el cuerpo en un tiempo Δt > 0. Si S(t) y S(t + Δt) son los desplazamientos a los instantes t y t + Δt, la velocidad media se expresa como:

^

Ejercicios resueltos

Una porción de ruta para atletas tiene una configuración recta que se extiende de izquierda a derecha y que mide 2 400 m. Al extremo izquierdo de esta ruta se le asigna el valor cero y al extremo derecho se le asigna el valor 2 400 m. Una atleta que se entrena en esta pista recorre según la siguiente función medida en metros:

Calculemos algunas velocidades medias:

Un ciclista se desplaza en esta pista obedeciendo a la siguiente función: S(t) = 0,012t^2, t ≥ 0.

Calculemos algunas velocidades medias:

Recuerda que...

La velocidad se mide
en metros por segundo y el tiempo en segundos (s). La aceleración media se mide en metros por segundo al cuadrado

Eje transversal

Salud

El deporte y una apropiada nutrición permiten que tengamos una buena calidad de vida. En nuestro país existen parques y áreas verdes donde las personas pueden correr, trotar, montar bicicleta, caminar, entre otras muchas actividades más.

▲ Paseo en bicicleta.

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea (o simplemente velocidad), al instante t ∈ [t_0, t_f]  se define como la derivada siempre que exista, esto es,

^

Denotemos con V(t) a la velocidad instantánea en el tiempo t > 0; es decir,

Para el ejemplo anterior, la velocidad instantánea de la atleta es

es decir que la atleta corre a una velocidad constante de mientras que el ciclista corre a una velocidad

En el instante t = 400s, la velocidad instantánea es, por lo tanto,

^

Recorre S(400) = 0,012 (400)^2 = 1920 m.

Aceleración media e instantánea

La aceleración media se define como

^

La aceleración instantánea, o aceleración, se define como

^

siempre que el límite exista.

Ejercicios resueltos

1. Tomemos el ejemplo anterior. La atleta se desplaza según la función S(t) = 4t, t ≥ 0.

La velocidad (velocidad instantánea)

La aceleración media es:

^

Simplemente la atleta no acelera o no cambia su velocidad. Resulta que

^

La aceleración de la atleta es siempre cero. La velocidad del ciclista, por su parte, está dada por V (t) = 0,024t, t ≥ 0.

La aceleración es

El ciclista se mueve con una aceleración siempre constante de

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y el análisis financiero

En la actualidad, no cabe duda que la matemática se aplica en todos los campos de la ciencia y en cada momento de la vida cotidiana.

En el análisis financiero, se proporciona la información necesaria que permita conocer el desempeño financiero de una entidad, evaluar y tomar decisiones de carácter económico. Con el uso de funciones, sus máximos y mínimos, se puede conocer el nivel de rentabilidad, la capacidad financiera de crecimiento e incluso el flujo de fondos. La matemática y particularmente las derivadas se constituyen en una herramienta para el análisis de estados financieros.

Si quieres conocer más detalles sobre la relación de la matemática con el análisis financiero, ingresa a: http://www.gestiopolis.com/calculo-del-periodo-de-recuperacion-de-la-inversion-o-payback/

▲  La proyección de recursos y los puntos de mayor rentabilidad se muestran con gráficos de funciones.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

La matemática en la Ingeniería Química

La Ingeniería Química se enfoca en el diseño de nuevos materiales y tecnologías en el campo ambiental, contribuye al diseño de procesos ambientalmente amigables. Tiene que ver con la evaluación, optimización y operación de plantas de la industria de procesos y producción de compuestos y productos.

Un aspirante a Ingeniería Química debe haber desarrollado varias destrezas en el bachillerato, como por ejemplo:

- Conocimientos en lógica matemática y conjuntos, aplicaciones de propiedades algebraicas de números reales para analizar funciones reales, para analizar funciones polinomiales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, análisis de cónicas y rectas y planos en el espacio, análisis de datos estadísticos, cálculo de derivadas e integrales definidas, entre tantos otros.

▲ Alumnos que realizan un experimento.

La Ingeniería Química está involucrada en todas las actividades que se relacionen con el procesamiento de materias primas, cuyo fin es obtener productos de mayor valor y utilidad. Por lo tanto, pueden desarrollar sus actividades en:

- Plantas industriales / empresas productivas
- Empresas de construcción y montaje de plantas y equipos
- Empresas proveedoras de servicios técnicos (consultoría, control de calidad, mantenimiento, etc.)

Duración de la carrera
La carrera tiene una duración de entre nueve y diez semestres, más la tesis o proyecto de graduación.

Puedes consultar más sobre la Ingeniería Química en: http://www.ingenieriaquimica.org/ingenieria_quimica

Adaptado de: http://www.ingenieriaquimica.org/ingenieria_quimica

TIC

TIC

GeoGebra para comprender la interpretación geométrica de las derivadas

GeoGebra es un software dinámico de uso libre. Para ejercitar el uso de GeoGebra, puedes consultar en Internet acerca de su uso básico.

Vamos a hacer un arreglo geométrico que permita visualizar los cambios en las coordenadas al aproximar el punto Q hacia el punto A.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Maximización de costos y derivadas

Recursos

- Comprender los conceptos básicos del cálculo diferencial.
- Iniciarse de manera natural en el manejo de derivadas y darse cuenta de la necesidad de usarlas para encontrar la solución de problemas reales.
- Valorar la utilidad de sus conocimientos sobre derivadas, y encontrar usos adecuados en situaciones de la vida real.

Justificación

La importancia del estudio de las derivadas radica en la posibilidad de resolver situaciones en diversos ámbitos. Por ejemplo, en economía, en temas como costos, consumo, demanda, utilidad, ahorro o maximización de la producción.

Objetivos

- Formar equipos de trabajo, con no más de tres estudiantes por grupo.
- Analizar el problema planteado como modelo, y proponer una situación similar

Recursos

Modelo de problema resuelto

La gerente comercial de una empresa editorial estima que si el precio de un libro es de $ 20, vende 10 000 ejemplares. Por cada dólar que se incremente el precio, las ventas disminuyen en 400 ejemplares. ¿Qué precio deberá fijar a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea el máximo? ¿Cuál es el valor de dicho ingreso?

▲ Textos de investigación.

Solución: Los ingresos se calculan multiplicando el precio por el número de ejemplares vendidos.
L = 20 × 10 000, donde L es el ingreso.
Si x representa el número de dólares que se incrementa el precio de cada ejemplar, entonces 20 + x es el nuevo precio del libro y 10 000 – 4 000x es el nuevo número de ejemplares vendidos.
La función que representa el ingreso en términos del número de dólares en que se aumenta el precio del libro es:
L (x) = (20 + x)(10 000 – 400x).
Esta función I(x), recibe el nombre de función objetivo porque es la función que se requiere optimizar. La derivada de la función I(x) es:
L´(x) = (1)(10 000 – 400x) – 400(20 + x),
L´(x) = 10 000 – 400x – 8 000 – 400 x,
L´(x) = –8 00x + 2 000,
L´(x) = 0 ⇒ 800 x = 2 000,

Recordemos que x representa el número de dólares en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el ingreso máximo.
De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $ 2,5, se obtiene el ingreso máximo. Para calcular el ingreso máximo se sustituye x en la función L(x).
L (2,5) = (20 + 2,5) [10 000 – 400(2,5)]
L (2,5) = (22,5) [10 000 – (1 000)
L (2,5) = 202 500,00
Este valor representa el máximo ingreso.

Adaptado de http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/contenido_Derivadas.html

Conclusiones

Es importante recuperar la importancia de realizar cálculos reales cuando se trata de emprender una empresa.

En síntesis

En síntesis