Title: Unidad 6.
Course: Matemáticas Plus + 1 BGU > Section: Libro Digital

División de polinomios reales con coeficientes en ℝ. Probabilidad

La matemática y la planificación financiera

Las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, la química, la economía y las ciencias sociales. Este tipo de ecuaciones son útiles para describir movimientos, trayectorias, ganancias y costos.

Los polinomios pueden ser utilizados en la planificación financiera. Por ejemplo, una ecuación polinómica se puede utilizar para calcular la cantidad de interés que se devengará de una cantidad de depósito inicial en una inversión o cuenta de ahorros a una tasa de interés dada.

(Martínez, 2015).

Bloques curriculares
Álgebra y funciones
Estadística y probabilidad​

  Objetivos

- O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿De qué manera asocias la imagen con la planificación financiera?
- ¿Qué relación encuentras entre la descripción y la graficación de curvas de diferente tipo y las funciones?
- ¿Qué situación de la vida cotidiana puedes relacionar con el uso de las funciones polinomiales?

División de polinomios. Teorema del residuo

DCCD:M.5.1.40. Aplicar las operaciones entre polinomios de grados ≤ 4, esquema de Hörner, teorema del residuo y sus respectivas propiedades para factorizar polinomios de grados ≤ 4 y reescribir los polinomios.

● División de polinomios. Teorema del residuo

Saberes previos

¿Qué significa que el grado de un polinomio sea ≤ 4?

¿Cuál es el opuesto aditivo de un polinomio? ¿Cuándo dos polinomios son iguales?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué funciones importantes se aproximan con polinomios?

Recuerda que...

Al realizar la división de 35 para 8, se obtiene por cociente 4 y residuo 3, que se escribe
35 = 4 × 8 + 3, o en forma equivalente,

De manera similar, si dividimos 32 para 8, se obtiene por cociente 4 y residuo 0. Así

En este caso decimos que 8 divide a 32. De manera general, dados dos números enteros positivos a, b con a ≥ b, al realizar la división de a para b se obtiene el cociente c∈ℤ^+ y un residuo r∈ℤ^+, de modo que 0 ≤ r < b,

El número entero a se llama dividendo y b, se llama divisor. Cuando r = 0, se dice que b divide a.

La división de números enteros tiene una estrecha analogía con la división de polinomios que se describe a continuación.

Sean p, q dos polinomios reales no nulos, esto es, p, q ∈ 𝕂[ℝ]; se trata de un proceso que permite encontrar c, r ∈ 𝕂[ℝ], con grado del polinomio r menor que el grado del polinomio q, tal que

p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x ∈ ℝ.

La p se llama dividendo, q se llama divisor, c se llama cociente, r se llama residuo. Se prueba que dados p, q ∈ 𝕂[ℝ], siempre se pueden hallar los polinomios c y r que satisfacen la condición anterior. Cuando r(x) = 0, ∀x ∈ ℝ, decimos que el polinomio q divide al polinomio p, y escribimos o también, ∀x ∈ ℝ, siempre que q(x) ≠ 0.

Si p, q son dos polinomios reales no nulos, tal que grad(p) < grad(q), entonces p = 0 × q + r, con el cociente c = 0, residuo r = p.

Ejercicios resueltos

1. Sean p, c, q los polinomios definidos como

^

Entonces,

                                         p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x ∈ ℝ,

es decir que q divide a p, siendo c el cociente, y r(x) = 0, ∀x ∈ ℝ el residuo. Luego,

1. Sean p, c, q los polinomios definidos como

Entonces,

p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x ∈ ℝ.

La división de p para q tiene como cociente c, y residuo r, siendo el grado de r menor que el grado de q. Luego,

^

Recuerda que...

Dados los polinomios p, q:

p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4,

q(t) = at^3, ∀t ∈ ℝ.

Se tiene grad(q) = 3;

La división de p para q se realiza como sigue:

El cociente c es el polinomio de grado 1:

y el residuo r es es el polinomio de grado 2:

Nota que el grado del polinomio r es menor que el grado de q. Así,

1. Sean p, q ∈ 𝕂[ℝ] no nulos, dados como
p(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + a_4t^4, ∀t ∈ ℝ, con a_4 ≠ 0, de modo que grad(p) = 4; q(t) = at, ∀x ∈ ℝ, siendo a ≠ 0, con lo que grad(q) = 1. La división de un polinomio p para un monomio como q se encuentra fácilmente. Observa

^

Claramente, el cociente c es el polinomio de grado 3:

^

y el residuo r es el polinomio de grado 0:

                                               r(t) = a_∩, ∀t ∈ ℝ

De modo que p(t) = c(t)q(t) + r(t), ∀t ∈ ℝ

1. Sean

Procedemos a dividir el polinomio p para q. Empezamos con encontrar un monomio w que se obtiene dividiendo el término de grado más alto del polinomio p para el término de grado más alto del polinomio q, esto es,

^

Entonces, p(x) = w(x)q(x) + R_1(x),
de donde R_1 se obtiene como

Como el grado de R_1 coincide con el de q, el proceso de división continúa. Se divide el término de más alto grado de R_1 para el término de más alto grado de q:

^

Luego, R_1(x) = w_1(x)q(x) + R_2(x), y de esta igualdad obtenemos R_2:

El grado de R_2 es menor que el grado de q. El proceso concluye. Así:

^

El cociente c está definido como c(x)= 3x +7,  y el residuo r es r(x) = 2.

Interdisciplinariedad

Matemática y el mercado de valores

Los polinomios también pueden utilizarse para modelar situaciones diferentes, como en el mercado de valores para prever cómo pueden variar los valores con el tiempo.

Las personas de negocios también utilizan polinomios para modelar mercados, por ejemplo, para advertir cómo el aumento del precio de un bien afectará sus ventas.

Los polinomios son utilizados para aproximar valores de funciones trigonométricas como sen(x), cos(x) o valores de la función exponencial e^x, entre otras funciones.

Los polinomios son la base para el diseño de algoritmos que, a su vez, sirven para el diseño electrónico de calculadoras científicas.

▲ Hombre de negocios.

1. Sean p, q los polinomios definidos como

Realiza la división de p para q y halla el cociente c y el residuo r.
Divide el término de más alto grado de p para el término de más alto grado de q:

de donde: R_1(x) = p(x) − w_1(x)q(x)

Como grad(R_1) = grad(q) = 2, se divide el término de más alto grado de R_1 para el término de más alto grado de q:

^

Luego, R_2(x) = R_1(x) − w_2(x)q(x)

^

Como 1 = grad(R_2) < grad(q) = 2, el proceso concluye. Resulta

Así, el cociente y el residuo son los polinomios definidos como

Recuerda que...

Teorema del residuo

Sean p ∈ 𝕂[ℝ] con grad(p) ≥ 1, a ∈ ℝ, q(x) = x – a, ∀x ∈ ℝ.

El residuo de la división de p para q está dado como p(a), esto es,
p(x) = c(x)(x – a) + p(a), ∀x ∈  ℝ.

Teorema del residuo

Sea p un polinomio de grado mayor o igual que 1 y q(x) = x – a, donde a ∈ R.

De acuerdo con proceso de la división, se tiene

^

siendo c(x) el cociente y r(x) el residuo. Entonces,

^

En consecuencia,

^

Este resultado se conoce como teorema del residuo.

Recuerda que...

Del teorema del residuo, se desprende el siguiente resultado: a es raíz de la ecuación p(x) = 0 si y solo si p(x) es divisible por x – a. En tal caso, el polinomio p se factoriza como

p(x) = (x – a)c(x),

siendo c(x) el cociente, r(x) = 0 el residuo. Si c(x) es divisible por x – b con b ∈ ℝ, entonces

c(x) = (x – b)c_1(x),

p(x) = (x – a)(x – b)c_1(x), ∀t ∈ ℝ.

Si grad(c_1) ≥ 1, el proceso continúa.

Sean p ∈ 𝕂[ℝ] con grad(p) ≥ 1, a ∈ ℝ. Cuando p(a) = 0, se dice que a es raíz de la ecuación p(x) = 0.

En la tabla siguiente se muestra el grado del polinomio y el número de raíces reales.

Grado del polinomio p | Número de raíces reales
1 | 1
2 | 0, 2
3 | 1, 3
4 | 0, 2, 4
5 | 1, 3, 5

Por ejemplo, p(x) = x^2 + 1, ∀x ∈ ℝ, no tiene raíces reales; mientras que p(x) = k(x − a)(x + b), ∀x ∈ ℝ, con k, a, b ∈ ℝ, k ≠ 0, tiene dos raíces reales, a x = a, x = b.

Ejercicios resueltos

1. Sean

Apliquemos el teorema del residuo. Por el esquema de Hörner,

Luego,

1. Sean

Factoriza p. Por el teorema del residuo, se tiene p(–6) = 0, es decir, el residuo r(x) = 0; con lo que a = –6 es raíz de la ecuación p(x) = 0. En consecuencia, x + 6 divide a p(x); luego,

Nota que el cociente es c(x) = x^2 + ax + b, con a, b ∈ ℝ por determinarse. Por la definición de igualdad de polinomios, se obtiene a = 1, b = –6. Así,

Para completar el proceso de factorización, resolvemos la ecuación de segundo grado:

x_1 = –3, x_2 = 2 son las raíces de esta ecuación.

Los polinomios q1(x) = x + 3, q_2(x) = x – 2, dividen a p. Por lo tanto,

Aplicación de polinomios en la informática

DCCD: M.5.1.41. Resolver aplicaciones de los polinomios de grados ≤ 4 en la informática (sistemas de numeración, conversión de sistema de numeración binario a decimal y viceversa) en la solución de problemas.

● Aplicación de polinomios en la informática

Saberes previos

¿Con qué conjuntos de números trabajamos los polinomios? Con tus palabras, explica qué es un polinomio.

Desequilibrio cognitivo

Los coeficientes de los polinomios pueden pertenecer a los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ o ℝ. ¿Por qué?

Recuerda que...

El sistema de numeración decimal posicional o de base 10 es el más utilizado. En este sistema de numeración, las cifras que empleamos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que se leen cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, respectivamente.

El número cero, como tal, no es considerado una cifra significativa, a diferencia de las demás cifras que sí lo son. Como unidad simple, se toma el número 1. Las unidades de primer orden son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Cuando alcanzamos la cantidad de diez unidades de primer orden, esto es, el número 10 (diez), se tiene una decena. A continuación obtenemos 11 = 1 + 10 (once) y así hasta el 19 = 9 + 10 (diecinueve). Estos números se forman con una decena más las unidades de primer orden.

El número 20 = 2 x 10 equivale a dos decenas. Los números 21 = 1 + 2 x 10 (veintiuno) hasta el 29 = 9 + 2 x 10 (veintinueve) se forman con la suma de dos decenas y las unidades de primer orden.

¿Cómo se formará el número 109?

La posición de cada cifra del sistema decimal posicional tiene su importancia en la escritura de un número natural en dicho sistema. Debemos tener presente que, por convención, las unidades de primer orden se posicionan a la derecha. Inmediatamente, se posicionan las decenas un lugar a la izquierda. Después, se colocan las centenas una posición a la izquierda y así sucesivamente. El número se escribe de izquierda a derecha, partiendo de la cifra de orden mayor hasta llegar a las unidades de primer orden.

Así, el número natural 378 921 significa:

300 000 | 3 unidades de sexto orden (3 centenas de millar)
70 000 | 7 unidades de quinto orden (7 decenas de millar)
8 000 | 8 unidades de cuarto orden (8 unidades de millar)
900 | 9 unidades de tercer orden (9 centenas)
20 | 2 unidades de segundo orden (2 decenas)
1 | 1 unidad de primer orden (1 unidad simple)

Este número se escribe en forma ascendente con potencias de 10:

378 921 = 1 + 2 × 10 + 9 × 10^2 + 8 × 10^3 + 7 × 10^4 + 3 × 10^5.

Y en forma descendente con potencias de 10 como se indica:

378 921 = 3 × 10^5 + 7 × 10^4 + 8 × 10^3 + 9 × 10^2 + 2 × 10 + 1.

Este número se lee "trescientos setenta y ocho mil novecientos veintiuno".

Sea M ∈​ N con M ≠ 0. Para indicar su representación decimal, escribiremos: M = m_nm_n_−1 ... m_0, donde m_1∈ {0,1,2,...,9} para i = 0,1,...,n, son las cifras del número M. Esta representación decimal puede ser escrita en la forma ascendente con potencias de 10. Así:

M = m_0 + m_1 × 10 + m_2 × 10^2 + ... + m_n_−1 × 10^n−1 + m_n × 10^n.

Además, a la representación decimal de M la asociamos con el polinomio
P(x) = m_0 + m_1x + m_2x^2 + ... + m_nx^n, ∀ x ∈  ℕ. Utilizando el esquema de Hörner,
P(x) = m_0 + x(m_1 + x(m_2 + ... + x(m_n_−1 + m_nx)...)), ∀ x ∈ ℕ, podemos calcular M = P(10).

Ejercicio resuelto

Sea M = 2 165. En primer lugar, observemos que

2 165 =5 + 5 × 10 + 1 × 10^2 + 2 × 10^3.

Luego, de esta escritura obtenemos el polinomio asociado a M:

P(x) = 5 + 6x + x^2 + 2x^3 = 5 + x (6 + x(1 + 2x)), ∀ x ∈ ℕ,

que evaluado en x = 10 es 2 165 = P(10). Obsérvese que m_0 = 5, m_1 = 6, m_2 = 1, m_3 = 2 son las cifras de M = 2 165.

Conversión de binario a decimal y viceversa

Sea A = (a_na_n_–1... a_0)_2 un número binario. Para convertir el número A al sistema decimal, lo asociamos al polinomio

P(x) = a0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, ∀ x ∈ ℕ,

Recuerda que...

El procedimiento descrito para obtener las cifras binarias de un número en base 10 puede extenderse fácilmente a otras bases. Debe tenerse presente el algoritmo de Euclides: dados M en el sistema decimal y N la nueva base, existen c, r ∈ ℕ con 0 ≤ r < N, tal que M = r + cN, donde c es el cociente y r el residuo.

Simbología matemática

Denotamos un número binario por
A = (a_na_n_–1... a_0)_2 .

y evaluamos P(2), usando el esquema de Hörner. Así, A = P(2).

Veamos el problema recíproco.

Sea M ∈ ℕ con M ≠ 0 en base 10. Supongamos que M tiene la siguiente representación en binario: M = (a_na_n_–1... a_2 a_1 a_0)_2 , cuyo polinomio asociado en x = 2 es

P(2) = a0 + a_1 × 2 + a_2 × 2^2 + ... + a_n_ × 2^n = M.

Para determinar las cifras binarias a_0, a_1, ..., a_n_ , procedemos como sigue: el número a_1 × 2 + a_2 × 2^2 + ... + a_n_ × 2^n es par.

Entonces, Determinada la cifra a_0,

pasamos a determinar la cifra a_1. Definimos

Luego, De manera análoga,

entonces, Continuando con este proceso

n veces, obtenemos las cifras binarias a_k, k = 0,1, ..., n.

Queda por determinar el número n que corresponde a las n + 1 cifras binarias. Para ello, notemos que dado M ∈ ℕ, existe n ∈ ℕ, tal que 2^n ≤ M < 2^n^+1.

Recordemos que N = [0] ∪ [1], con [0], [1] las clases residuales módulo 2: [0] = {2n | n ∈ ℕ} es el conjunto de números naturales pares, [1] = {2m + 1 | m ∈ ℕ} es el conjunto de los números naturales impares. El procedimiento anterior equivale a utilizar el algoritmo de la división de Euclides: a = 2c + r, con c ∈ ℕ y r = 0 o 1. Luego, M_k ∈ [r], entonces, a_k = r, k = 0,1, ..., n.

Ejercicios resueltos

1. Sea M = 2 412. Puesto que 2^11 = 2 048 ≤ M < 2^12 = 4 096, se sigue que n = 11. Luego, 2 412 = (a_11a_10 ...a_1a_0)_2. Determinamos las cifras binarias a_0, a_1, ..., a_11 .

i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11
Mi | 2 412 | 1 206 | 603 | 301 | 150 | 75 | 37 | 18 | 9 | 4 | 2 | 1
a_i | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1

^Fuente: archivo editorial, 2017

Por lo tanto, 2 412 = (100101101100)_2.

Modelos matemáticos con funciones polinomiales

DCCD: M.5.1.42. Resolver problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones polinomiales, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

● Modelos matemáticos con funciones polinomiales

Saberes previos

¿Cómo identificas el grado de una función polinomial?

Desequilibrio cognitivo

¿Las funciones polinomiales son expresiones algebraicas?

Modelo 1. Consumo de energía eléctrica y calidad de vida

La calidad de vida es un concepto subjetivo que puede ser cuantificado de diferentes maneras. Uno de los parámetros utilizados es el consumo de electricidad. La relación entre consumo de energía eléctrica y calidad de vida es reportado sucesivamente por casi todos los países del mundo. De manera similar, algunos países reportan internamente consumos energéticos de sus regiones y establecen relaciones con el desarrollo de la región. En la Tabla 1 se muestran los consumos per cápita de electricidad de la provincia XYZW (nombre ficticio y datos acomodados con fines didácticos para enfrentar situaciones reales) en los últimos cinco años.

Año | Provincia XYZW Consumo (vatios/persona)
2010 | 150
2011 | 154,71
2012 | 161,76
2013 | 172,71
2014 | 189,36

▲ Tabla 1
^Fuente: archivo editorial, 2017

Para periodos cortos, se puede modelar con polinomios de grado ≤ 4 de la forma

p(t) = a_0+a_1(t-2010)+a_2 (t -2010)^2 +a_3(t -2010)^3+a_4(t-2010)^4 ,

siendo t ∈ ℝ, _ a_0 , a_1 , a_2 , a_3 , a_4 constantes reales que deben determinarse mediante la información suministrada en la Tabla 1. La variable independiente t representa el tiempo y, con el propósito de este estudio, se introduce la restricción t ≤ 2010. Para facilitar el cálculo, se realiza el cambio de variable T = t – 2010:

Año t: | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017
T: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

▲ Consumo de electricidad.

Interesa calcular en forma aproximada los consumos de electricidad en los próximos tres años. Para el efecto, se deben obtener los coeficientes de la función polinomial p. De la definición de esta función y de los datos de la Tabla 1, se tiene:

Simbología matemática

Un polinomio de grado ≤ 4 tiene la forma
p(t) = a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + a_4t^4,
siendo t ∈ ℝ, a_0, a_1, a_2, a_3, a_4
constantes reales.

Se puede verificar que la solución de este sistema de ecuaciones es a_1 = 4, a_2 = 0,5, a_3 = 0,2, a_4 = 0,01, y la función polinomial p está definida como:

 p(t) = 150 + 4(t − 2010) + 0,5(t − 2010)^2 + 0,2(t − 2010)^3 + 0,01(t − 2010)^4,
∀  t ≥ 2010.

La función es expresada con el esquema de Hörner, así:

p(T + 2010) = 150 + 4T + 0,5T^2 + 0,2T^3 + 0,01T^4
= 150 + T(4 + T(0,5 + T(0,2 + 0,01T))), T = 5, 6, 7.

Recuerda que...

En la Organización de las Naciones Unidas se calcula una cantidad llamada Índice de Desarrollo Humano, HDI (Human Development Index, por sus siglas en inglés), que mide el desarrollo humano de un país o de una región. Para ello, se utilizan tres categorías: esperanza de vida, educación y producto interno bruto. Este índice se expresa con el número HDI ∈ [0,1].

Con esta función se calculan los consumos de electricidad en los próximos tres años:

p(2015) = 150 + 5(4 + 5(4 + 5(0,5 + 5(0,2 + 0,01 x 5))) = 213,75,

p(2016) = 150 + 6(4 + 6(4 + 6(0,5 + 6(0,2 + 0,01 x 6))) = 248,16,

p(2017) = 150 + 7(4 + 7(4 + 7(0,5 + 7(0,2 + 0,01 x 7))) = 295,11.

El dato procesado de consumo energético proporcionado por las autoridades de la provincia XYZW, en el año 2015, es 207 vatios/persona y, en el mes de julio de 2016, se reporta un consumo de 221,4 vatios/persona. Aplicando la función polinomial, se obtiene p(2016,5) = 229,550 625. Los resultados obtenidos con la función polinomial construida muestran satisfactoriamente la tendencia de crecimiento de consumo de electricidad en la provincia XYZW. Es así que en 8 años se espera duplicar el consumo de electricidad del estimado en el año 2010, lo que debe reflejar mejores condiciones de vida de su población.

▲ Persona cantando.

Modelo 2. Mi cantante favorito

Mi cantante favorito/a promociona su nuevo éxito, lo que sacude las redes sociales. En las primeras 36 horas, se registra el número de visitas, que se muestran en la Tabla 2.

Tiempo transcurrido en horas | Número de visitas
4 | 60
10 | 930
18 | 5 562
36 | 45 468

▲ Tabla 2
^Fuente: Dr. H Benalcázar, 2017

Dada la información de la que se dispone, los promotores están interesados en conocer la evolución de las visitas en las primeras cien horas. Quieren saber si en este tiempo se supera el millón de visitas. Para el efecto, se propone modelar con polinomios de grado ≤ 4 de la forma

                                     v(t) = c_0 + c_1t +  c_2t^2 +  c_3t^3 +  c_4t^4,

siendo t ∈ ℝ, c_0 , c_1 , c_2 , c_3 , c_4 constantes reales (son las incógnitas), que deben obtenerse de la información suministrada en la Tabla.

Interdisciplinariedad

Matemática y tecnología industrial

Las funciones polinomiales se aplican en la fabricación de cajas para la envoltura de productos. El diseño de dichas cajas requiere la optimización del material y de su capacidad.

i. La variable independiente t representa el tiempo. Introducimos, entonces, la restricción t ≥ 0. Puesto que al instante t = 0 no se tienen visitas, entonces, c_0 = 0, y la función polinomial tiene la forma

                                    v(t) = c_1t + c_2t ^2+  c_3t ^3+  c_4t^4 , t ≥ 0.

ii. De la definición de esta función y de los datos de la Tabla, se tiene

iii. Este sistema de ecuaciones se reduce al siguiente:

iv. La resolución del sistema de ecuaciones se deja como tarea. Se obtiene c_1 = 3, c_2 = –1, c_3 = 1, c_4 = 0, es decir que la función polinomial buscada está definida como

                                              v(t) = 3t – t^2 + t^3, t ≥ 0.

Claramente, v(t) = 3t – t^2 + t^3 es un polinomio de grado 3.

v. Para calcular valores de esta función, escribimos el polinomio usando el esquema de Hörner. Entonces, se obtiene:

                                 v(t) = 3t – t^2 + t^3 = t(3 + t(–1 + t)), t ≥ 0.

Tiempo transcurrido en horas | Número de visitas pronosticadas | Número de visitas reales
48 | v(48) = 108 432 | 107 001
60 | v(60) = 212 580 | 210 500
72 | v(72) = 368 280 | 365 230
100 | v(100) = 990 300 | 970 509

▲ Tabla 3
^Fuente: Dr. H Benalcázar, 2017

vi. En la Tabla 3 se obtienen algunos valores de visitas reales y las pronosticadas por el modelo.

vii. Con toda esta información, ¿cuáles son las conclusiones que pueden precisarse? Con la función construida (modelo matemático) se calculan valores que muestran la tendencia de visitas en este periodo corto en forma muy satisfactoria. Por otro lado, se tenía como expectativa superar el millón de visitas, lo que no aconteció, como fue pronosticado con los resultados del modelo.

Modelo 3. Crecimiento del área urbana de una ciudad

Año | t | Área urbana aproximada (km²)
1950 | 0 | 15
1970 | 20 | 18,6
1990 | 40 | 36,44
2010 | 60 | 84,27

▲ Tabla 4
^Fuente: Dr. H Benalcázar, 2017

Para la planificación de las ciudades, es muy importante encontrar o construir funciones a partir de datos históricos que permitan calcular su crecimiento de forma aproximada. En este ejemplo, se plantea el crecimiento que experimenta el área urbana de una pequeña ciudad del Ecuador, cuyo modelo matemático, por supuesto muy sencillo, está constituido por un polinomio de grado 3. En la Tabla 4 se muestran estos resultados.

Nótese que al año 1950 se lo asocia con 0; a 1970, con 20; a 1990, con 40; y al año 2010, con 60. Al representar estos datos en el sistema de coordenadas rectangulares, se asume que el crecimiento es ininterrumpido, lo que permite trazar una curva continua que pasa por dichos puntos. El crecimiento que experimenta la ciudad se modela con un polinomio de grado 3, de la forma

                                                A(t) = a + bt + ct^2 + dt^3, t ≥ 0.

donde a, b, c, d ∈ ℝ son constantes. Para esa información, se ha encontrado que a = 15, b = 0,02, c = 0,000 9, d = 0,000 3, con lo que la función A se escribe, usando el esquema de Hörner, como sigue:

                                  A(t) =15 + 0,02t + 0,000 9t^2 + 0,000 3t^3 =
                                 = 15 + t(0,02 + t(0,000 9 + 0,000 3t), t ≥ 0.

Nótese que

A(0) = 15,   A(20) = 18,6,   A(40) = 36,44,    A(60) = 84,27,

y A(0) < A(20) < A(40) < A(60). De manera general, si t_1, t_2 ∈ ℝ^+ con t_1 < t_2, se tiene A(t_1 ) < A(t_2 ), es decir que la función A es estrictamente creciente.

▲ Figura 6.1.

Por otro lado, de mantenerse la misma tendencia de crecimiento urbano de esta ciudad, para los años 2015, 2020, 2030 y 2050, ¿qué áreas urbanas aproximadas experimentará la ciudad? En la Tabla 5 se muestran los resultados de A(t) en t = 70, 80, 90, 100 y la proyección del área de la ciudad. En la Figura 6.1. se muestra la gráfica de la función A(t).

Año | t | A (t)
2020 | 70 | 123,71
2030 | 80 | 175,96
2040 | 90 | 242,79
2050 | 100 | 326

▲ Tabla 5
^Fuente: Dr. H Benalcázar, 2017

Eje transversal

Ciudadanía

Las soluciones en torno al crecimiento de la ciudad conducen a mejorar la calidad de vida de la población. Esto es, la aplicación de las funciones polinomiales constituye una parte de la estrategia para mejorar la calidad de vida.

▲ Niños en clases.

Interdisciplinariedad

Matemática y economía

Los economistas utilizan de manera frecuente las funciones, sobre todo sus gráficas, para visualizar el comportamiento, por ejemplo, de la oferta y la demanda, con el fin de determinar los puntos de equilibrio entre las dos variables.

▲ Análisis gráfico de negocios.

Nos interesa la información cuantitativa que obtenemos de este modelo simple con fines de planificación. Así, junto con este crecimiento del área urbana, crecen las necesidades, algunas de las cuales se plantean como interrogantes:

- ¿Cuánta agua potable se requerirá sucesivamente?
- ¿Cuántos kilómetros de alcantarillado deberán construirse?
- ¿Cuáles serán los nuevos consumos eléctricos?
- ¿Cuántas escuelas y colegios deberán construirse y cuántos docentes deberán incorporarse sucesivamente?
- ¿Cuánta basura se producirá?
- ¿Cuántas rutas de transporte deberán generarse?
- ¿Cuántos policías deberán incorporarse para la seguridad ciudadana?

Estas son tan solo unas pocas interrogantes que deberíamos plantearnos. En este sentido, le dejamos al estudiante, como ejercicio, reflexionar acerca de otros problemas en torno al crecimiento de la ciudad. Igualmente, dejamos que el aprendiz investigue cómo obtener información y cómo procesarla para responder cada una de las preguntas planteadas. Además, deberá también averiguar sobre modelos mucho más complejos que conduzcan a soluciones mucho más precisas.

Nota. Los modelos matemáticos de crecimiento urbano son mucho más complejos que los que estamos proponiendo en esta sección. Para precisar las ideas, suponemos que una ciudad ocupa una región Ω(t) ⊂ ℝ^2 al instante t ≥ 0 de área A(t), que escribimos A(t) = a(Ω(t)). Nos interesa la evolución de Ω(t) y, con esta, la de A(t), a la que podemos modelar con una ecuación diferencial:

donde el término atracciones se refiere a factores que motivan la movilización de las personas a esas nuevas zonas urbanas  que se ponen adherentes a Ω(t) como, por ejemplo, la calidad de servicios (agua potable, electricidad, alcantarillado, vías de acceso, transportes, escuelas, centros médicos, supermercados, etc.). El término resistencias se refiere a las limitaciones de acceso debido a factores geográficos como quebradas, parques, carencia de vías de comunicación, carencia de agua potable, etc. Todos estos elementos deben cuantificarse para construir la función (t, A(t), atracciones, resistencias) y la nueva región , donde t ∈ [T_0, T]
tienen una área

Como se puede apreciar, las dificultades aparecen por doquier y este es, aún, un modelo simplificado a regiones planas.

Son desafíos a superar por investigadores, científicos y por ustedes.

Experimentos aleatorios

DCCD: M.5.3.7. Reconocer los experimentos y eventos en un problema de texto, y aplicar el concepto de probabilidad y los axiomas de probabilidad en la resolución de problemas. M.5.3.8. Determinar la probabilidad empírica de un evento repitiendo el experimento aleatorio tantas veces como sea posible (50, 100... veces), con apoyo de las TIC.

● Experimentos aleatorios

Saberes previos

¿En qué consisten las operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica?

Desequilibrio cognitivo

¿Existe alguna relación entre experimentos determinísticos y aleatorios? ¿Cuál es?

Recuerda que...

i. Cuando un experimento aleatorio se repite varias veces, a cada intento se lo llama un ensayo.
ii. Un espacio muestral puede ser finito, infinito numerable (que se puede contar) o infinitamente no numerable.

Se identifican dos clases de modelos: los determinísticos y los aleatorios. En esta sección, se presentan ejemplos de experimentos aleatorios, que son una parte de los modelos aleatorios.

Ejemplos

1. Las caras de un dado de forma cúbica están numeradas del 1 al 6. El experimento consiste en lanzar el dado y observar el número que aparece en la cara superior.
2. Una basquetbolista se prepara para la ejecución de lanzamientos libres. Lanza 10 veces al cesto y cuenta el número de veces que encesta.
3. Una urna contiene esferas de colores blanco (B), negro (N), rojo (R), verde (V), dos de cada color, las cuales están muy bien mezcladas. El experimento consiste en extraer una esfera y anotar su color.
4. En una empresa textil se fabrican pantalones de varias tallas: pequeña (P), mediana (M) y grande (G). De una talla específica, se cuenta el número de pantalones defectuosos.

Todos estos experimentos tienen aspectos en común que, se describen a continuación:

1. Se establece un procedimiento para realizar un experimento.
2. Las condiciones del experimento no cambian, de modo que puede realizarse indefinidamente.

Interdisciplinariedad

La teoría de la probabilidad en la actualidad se usa extensamente en varias áreas del conocimiento, por ejemplo, en la biología, en la física, la matemática, en las ciencias políticas, en la economía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de que un evento ocurra y así poder tomar decisiones.

▲ Persona tomando apuntes.

Espacio muestral

Definición

Dado un experimento aleatorio, el espacio muestral se define como el conjunto de todos los resultados posibles del experimento, que se denota con S.

Los ejemplos que siguen están relacionados respectivamente con los cuatro ejemplos precedentes.

1. El espacio muestral S del experimento del ejemplo 1 es
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. El espacio muestral S del experimento del ejemplo 2 es
S = {0, 1, ..., 10}.

Ejercicio resuelto

De manera general, una moneda tiene la cara (C) y el sello (T). Un experimento consiste en lanzar la moneda varias veces y contar el número total de caras obtenidas. Así, cuando se lanza una moneda tres veces, se observa el número de caras y sellos obtenidos. El espacio muestral S es:

S = {(C; C; C); (C; C; T); (C; T; C); (T; C; C); (C; T; T); (T; C; T); (T; T; C); (T; T; T)}.

Los ejemplos 1 y 2 son espacios muestrales finitos.

Recuerda la definición

La probabilidad empírica se trata de la frecuencia relativa observada con la que ocurre un evento.

Por ejemplo, en el lanzamiento de un par de monedas se observaron 98 caras de 300 lanzamientos. La probabilidad empírica del evento de una cara fue de 98/300.

* La regla de Laplace para el cálculo de probabilidades establece que la probabilidad de un suceso cualquiera A es el cociente entre el número de casos favorables de A sobre el número de casos posibles.

Las propiedades de la probabilidad son:

0 ≤ P (A) ≤ 1. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.

P(E) = 1, P (∅) = 0. La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0.

La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es:

P(A ∪ C) = P(A) + P(B),
P(A^C) = 1 – P(A).

Definición

Considera un experimento aleatorio y el respectivo espacio muestral S. Un suceso A es simplemente un conjunto de resultados posibles del experimento, esto es, A ⊂ S.

De esta definición resulta que A = S o A = ∅; son sucesos.

Ejercicios resueltos

1. Se lanza un dado y se observa que el número resultante sea par, entonces, A = {2, 4, 6}.
2. Se lanza una moneda tres veces y se observa que se tengan dos caras y un sello. Entonces, se tiene:
A = {(C, C, T); (C, T, C); (T, C, C)}.
3. Una urna contiene esferas de colores blanco (B), negro (N), rojo (R), verde (V), dos de cada color. Se extraen dos esferas y se observa que al menos una sea blanca. Entonces,
A = {(B, B); (B, N); (B, R); (B, V ); (N, B); (R, B); (V, B)}.

Operaciones con sucesos

Sea E un conjunto referencial, a las partes de E se las denota P(E). Las operaciones habituales con conjuntos que han sido tratadas son unión, intersección, diferencia, complemento, diferencia simétrica. Así, sean A, B ∈ P (E). Se han definido los conjuntos
A ∪ B, A ∩ B, A ∖ B, E ∖  A = A^C, A Δ B.

Sea S un espacio muestral, las operaciones con sucesos son las operaciones conjuntistas precedentes. Así, sea A, B ∈ S.

i. A ∪ B es un suceso si y solo si A o B ocurren.

ii. A ∩ B es un suceso si y solo si A y B ocurren.

iii. A ∖ B es un suceso si y solo si el suceso A ocurre pero no B.

iv. E ∖ A = A^C es un suceso que ocurre si y solo si el suceso A no ocurre.

Definición

Sea S un espacio muestral, A, B dos sucesos. Se dice que A, B son sucesos mutuamente excluyentes si y solo si A ∩ B = ∅.

Ejercicios resueltos

1. Se lanza un dado y se observa el número marcado en la cara superior. Los sucesos A constituidos por números de caras pares y los sucesos B constituidos por números de caras impares son sucesos mutuamente excluyentes, pues A = {2, 4, 6}; B = {1, 3, 5}; A ∩ B = ∅.
2. Se lanza una moneda tres veces y se observan los siguientes resultados: A, el suceso en el que se tengan dos caras; y B, el suceso en el que se tengan dos sellos. Entonces,

A = {(C, C, T ); (C, T, C); (T, C, C)}.

B = {(C, T, T ); (T, C, T ); (T, T, C)}.

Resulta A ∩ B = ∅. En consecuencia, son sucesos mutuamente excluyentes.

Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan

DCCD: M.5.3.9. Realizar operaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento, leyes de Morgan, en la resolución de problemas.

● Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan

Saberes previos

¿Cómo explicas qué es un experimento aleatorio?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué relación existe entre los conectivos lógicos: negación, conjunción, disyunción?

Recuerda que...

Sean A, B los subconjuntos de ℤ, definidos como sigue:

A = {7k + 3/k ∈ ℤ}.
B = {7m –18/m ∈ ℤ}.

A simple vista, estos conjuntos no parecen ser iguales. La realidad es diferente: estos dos conjuntos son iguales.

Un elemento x del conjunto A se escribe como x = 7k + 3; mientras que un elemento y de B se escribe como y = 7m –18, donde k, m ∈ ℤ son escogidos de manera apropiada.

De la igualdad de conjuntos probaremos que: A ⊂ B y B ⊂ A.

Probemos que A ⊂ B, es decir, todo elemento de A es un elemento de B, que como proposición se escribe:
∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B.

En efecto, sea x ⊂ A existe k ∈ ℤ tal que x = 7k + 3. Escribamos x = 7k + 3 en forma apropiada, de modo que x se escriba como un elemento del conjunto B. Tenemos x = 7k + 3 = 7k + 21 – 18 = 7 (k + 3) – 18 = 7m –18 ∈ B,
donde m = k + 3 ∈ ℤ. Así, x ∈ A ⇒ x ∈ B, o sea, A ⊂ B.

Probemos que B ⊂ A. Sea y ∈ B, existe m ∈ ℤ, tal que y = 7m – 18.

Luego, y = 7m – 18 = 7m – 21 +3
                y = 7(m – 3) + 3 ∈ B

Unión

Definición. Sean A, B subconjuntos de un conjunto E. Se denomina unión de A y B al subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A dicho conjunto lo notamos con A ∪ B, es decir que

A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

La función proposicional p(x) sobre E que interviene en el conjunto A ∪ B está dada como p(x) : x ∈ E, tal que x ∈ A ∨ x ∈ B.

Además, para cada x ∈ E, la función proposicional p(x) se transforma en una proposición, la cual es falsa (definición de disyunción) cuando las proposiciones x ∈ A, x ∈ B son ambas falsas. En los casos restantes, p(x) es siempre verdadera. Se tiene la siguiente equivalencia:

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B,

y la negación

x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A ∧ x ∉ B.

La última proposición nos indica cuando un elemento x no pertenece a la unión. Nótese que se ha utilizado una de las leyes de De Morgan:

¬ (p ∨ q) ⇔ [(¬p) ∧ (¬p)].

En la práctica, la unión de los conjuntos A y B, expresada en forma tabular, se obtiene juntando en un solo conjunto los elementos de A y de B. Los elementos que son comunes a los dos conjuntos se escriben una sola vez. Sean A, B, C tres subconjuntos de E. Se prueba que

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ B = C ∪ (B ∪ A).

Y este resultado común se escribe A ∪ B ∪C.

Intersección. Conjuntos disjuntos

Definición. Sean A, B subconjuntos de un conjunto E. Se denomina intersección de A y B al subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen a A y a B. A dicho conjunto lo notamos A∩B, es decir,

                                         A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

La función proposicional p(x) sobre E está definida como p(x): x ∈ E, tal que x ∈ A ∧ x ∈ B. Para cada x ∈ E, la función proposicional p(x) se transforma en una proposición que puede ser verdadera o falsa. Es verdadera cuando x ∈ A y x ∈ B. Esto es, x ∈ A ∩ B. En los casos restantes, p(x) es siempre falsa. Se tienen las siguientes equivalencias:

                                             x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B,
                                            x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B.

La última equivalencia es la negación de la primera y nos muestra las condiciones bajo las cuales un elemento x no pertenece a la intersección. Obsérvese que se ha utilizado una de las leyes de De Morgan:

                                           ¬ (p ∧ q) ⇔ [(¬p) ∨ (¬p)].

Diferencia

Recuerda que...

Definición.

Sean A, B dos conjuntos de E. Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si
A ∩ B = ∅.

Sean A, B, C tres subconjuntos de E. Se prueba que
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
= (A ∩ C) ∩ B.
A este resultado común se lo escribe A ∩ B ∩ C.

Las propiedades más importantes de las operaciones entre conjuntos son:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ ∅ = A.
A ∪ E = E.
A ⊂ B ⇔ A ∪ B
A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B

Definición. Sean A, B subconjuntos cualesquiera de un conjunto referencial E. La diferencia de A y B, que se nota A ∖ B, es el subconjunto de E, constituido por aquellos elementos E que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Es decir que

                                         A ∖ B = {x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

De la definición de diferencia de los conjuntos A, B se sigue que la función proposicional p(x) sobre E está definida como p(x): x ∈ E, tal que x ∈ A ∧ x ∉ B. Para cada x ∈ E, p(x) es una proposición que puede ser verdadera o falsa. Es verdadera cuando x ∈ A y x ∉ B, y es falsa en los casos restantes. Se tiene la siguiente equivalencia:

                                       x ∈ A ∖ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B),

y su negación,

                                       x ∉ A ∖ B ⇔ (x ∉ A ∧ x ∈ B).

Complemento

Definición. Sea A un subconjunto cualesquiera de un conjunto referencial E. El complementario de A, que se nota A^c o también A^c_E, es el subconjunto de E, constituido por aquellos elementos de E que no pertenecen a A. Es decir que A^c = {x ∈ E | x ∉ A} = E ∖​ A.
De la definición resulta la siguiente equivalencia:

                                            x ∈ A^c ⇔ x ∈ E ∧ x ∉ A.

Obsérvese que la función proposicional p(x) sobre E está definida como p(x): x ∈ E ∧ x ∉ A.

Simbología matemática

- Sean A, B subconjuntos cualesquiera, la diferencia de A y B se nota A ∖ B.
- Sea A un subconjunto cualesquiera de un conjunto referencial E. El complementario de A se nota A^c o también A^c_E.
- Sea A un conjunto con un número finito de elementos. Este número de elementos se designa como n(A), que se lee "número de elementos del conjunto A".

Ejercicio resuelto

En vacaciones, un grupo de estudiantes decide practicar básquetbol y ajedrez. Se inscriben 20 para practicar básquetbol, 16 para practicar ajedrez y 10 para practicar ambos. Determinemos exactamente el número de estudiantes que practican únicamente básquetbol, ajedrez y el total de estudiantes.

Denotemos con A el conjunto de estudiantes que practican básquetbol. Entonces, n(A) = 20, B el conjunto de estudiantes que practica ajedrez, n(B) = 16. Así, A ∩ B es el conjunto de estudiantes que practican básquetbol y ajedrez. Luego, n (A ∩ B)=10. La estrategia para la solución es expresar los conjuntos A, B como uniones apropiadas de conjuntos disjuntos. Esto es,

                                        A = (A ∖ B) ∪ (A ∩ B),
                                       B = (B ∖ A) ∪ (A ∩ B),

siendo (A ∖ B) y A ∩ B conjuntos disjuntos, al igual que B ∖ A y A ∩ B. Entonces, n (A) = n (A ∖ B) + n (A ∩ B), de donde

n (A) = n (A) – n (A ∩ B) = 20 – 10 = 10.

Este resultado muestra que 10 estudiantes practican únicamente básquetbol. De manera similar,

n (B) = n (B ∖ A) + n (A ∩ B),
n (B ∖ A) = n (B) – n (A ∩ B) = 16 – 10 = 6,

o sea, 6 estudiantes juegan únicamente ajedrez. Como

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) = 20 + 16 – 10 = 26.

En consecuencia, el total de estudiantes es 26.

Factorial de un número natural. Binomio de Newton

DCCD: M.5.3.10. Calcular el factorial de un número natural y el coeficiente binomial para determinar el binomio de Newton.

● Factorial de un número natural. Binomio de Newton

Saberes previos

¿Cómo explicas qué es el factorial de un número?

Desequilibrio cognitivo

¿Conoces el binomio de Newton? ¿Qué tiene que ver con los polinomios? ¿Qué relación tiene con (a + b)^n?

En esta sección definimos el factorial de un número natural, así como el coeficiente binomial, los cuales aparecen en muchas áreas de la matemática.

Definición. Sea n ∈ ℕ. El factorial de n se designa con n! y se define como sigue:

^

De la definición del factorial de n, se tiene 0! = 1,

1!= (1 − 1)! × 1 = 0! × 1 = 1 × 1 = 1,

2!= (2 − 1)! × 2 = 1! × 2 = 1 × 2 = 2,

3!= (3 − 1)! × 3 = 2! × 3 = 1 × 2 × 3 = 6,

4!= (4 − 1)! × 4 = 3! × 4 = 1 × 2 × 3 × 4 = 24,

n!= (n − 1)! × n = (n − 2)! × (n − 1) × n = ... = 1 × 2 × ... × (n − 1) × n.

Observemos que si n ≤ 1, n! = 1 × 2 × . . . n. Además, si 1< k< n, entonces,

n!= 1 × 2 × ... × k × ... ×n = k! × (k + 1) × (k + 2) × ... × n.

Simbología matemática

El coeficiente binomial se denota

Ejercicio resuelto

1. Calculamos .

Tenemos 10! =1 × 2 × ... × 5 × 6 × ... × 10 = 5! (6 × 7 × 8 × 9 × 10).

Luego,

De manera general, si n ∈ ℕ con n ≥1, se tiene

Definición. Sean k, n ∈ ℕ, tal que 0 ≤ k ≤ n. El coeficiente binomial  se denota y se define como

Ejercicios resueltos

1. Calculamos . Tomando en consideración que 0! = 1, se tiene

1. Calculamos . Tenemos k = 3 y n = 5. Luego, k ≤ n.

De la definición del coeficiente binomial obtenemos:

Recuerda que...

Definimos el coeficiente factorial como

Por ejemplo, para calcular , tenemos k = 3 y n =5.

Luego, k ≤ n, y obtenemos

Simbología matemática

Al coeficiente factorial lo
denotamos

n! es divisible por k!(n – k)!.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

Isaac Newton (1642-1727) fue un niño prematuro y su padre murió antes de su nacimiento, a los treinta y siete años. Isaac fue educado por su abuela, quien siempre se preocupó por la delicada salud de su nieto. Newton frecuentó la escuela del lugar y, siendo muy niño, manifestó un interés marcado por los juguetes mecánicos.
Newton descubrió los principios del cálculo diferencial e integral. Uno de sus aportes fue el binomio que lleva su nombre.

Tomado de: https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/03-1-b-newton.html

▲ Isaac Newton (1643-1727).

Binomio de Newton

Sean a, b ∈ ℝ con a ≠ 0, b ≠ 0. Como aplicación de la potenciación con exponentes naturales y de las propiedades algebraicas de los números reales, obtenemos estos resultados:

Tomando en consideración los coeficientes binomiales, las igualdades anteriores se expresan del modo siguiente:

Para n ∈ ℝ con n ≥ 1, los resultados anteriores pueden generalizarse y se tiene el siguiente desarrollo, que lleva el nombre de binomio de Newton en honor a Isaac Newton, el matemático que lo descubrió:

donde 1 ≤ k ≤ n.

Este desarrollo se expresa también de la siguiente manera:

Nótese que se han utilizado los siguientes resultados relativos a los coeficientes binomiales:

Este desarrollo puede ser demostrado por inducción. Así, denotamos con P(n) a la siguiente condición en n ∈ ℕ con n ≤1:

Probamos que P (n) es verdadera para todo n ∈ ℕ con n ≤1.
Verificamos que P (1) es verdadera.

En efecto, para n = 1, se tiene

Luego, (a + b)^1 = a + b = a^1 + b^1.

Después, introducimos la hipótesis inductiva P (k) para k ∈ ℕ con k ≥ 1,
esto es,

Probamos que P(k + 1) es verdadera.

Recuerda la definición

Al siguiente binomio (1 + x)^5 lo expresamos aplicando el binomio de Newton.

Sean x ∈ ℝ con x ≠ 0.

Entonces,

^

Simbología matemática

Al binomio de Newton lo denotamos de la siguiente forma:

^

Para a = 2, b = 1, se tiene:

^

En efecto, por la definición de potenciación de números reales con exponentes naturales, se tiene:

Además, por la hipótesis inductiva se verifica

Entonces,

Puesto que

y así sucesivamente. Luego,

que muestra que P (k + 1) es verdadera.

Conclusión. P (n) es verdadera para todo n ∈ ℕ, n ≥ 1. Es decir que

Para a = 1, b = 1 el desarrollo del binomio de Newton se expresa como sigue:

Si a = 1, b = –1 y tomando en consideración que

el binomio de Newton se expresa como sigue:

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y los empaques industriales

¿Qué tiene que ver la Matemática con la producción de cartones para embalar productos y, por ende, con las plantas de elaboración de empaques para productos industriales? En realidad, mucho, pues este tipo de productos es diseñado pensando en optimizar al máximo los materiales, pero sin descuidar la calidad y buena presentación. Para lograr esto, se requieren modelos matemáticos y simulaciones numéricas.

Por ejemplo, mediante la modelación de funciones polinomiales, se puede predecir, antes de fabricar los empaques, el máximo volumen de un cartón y el mínimo de materiales que se requieren, así como también la resistencia máxima y su espesor mínimo. De la misma manera, con estos modelos se puede definir el tipo de cartón que se utilizará (simple o doble) y sus diferentes gramajes.

La Matemática y las profesiones

La Matemática y las profesiones

Ingeniería en Diseño Industrial

Para optar por una Ingeniería en Diseño Industrial, se debe ingresar a una de las universidades reconocidas por la Senescyt.

La carrera de Ingeniería en Diseño Industrial ofrece las herramientas de diseño necesarias para la generación de productos, y le proporciona al postulante habilidades para crear, innovar, tomar y justificar decisiones que repercutirán en el resultado de los objetos por construirse.

El profesional graduado en Ingeniería en Diseño Industrial está en condiciones de manejar la tecnología adecuada para diseñar modelos complejos (por ejemplo, superficies y sólidos en 3D), realizar simulaciones digitales y desarrollar metodologías propias durante el proceso de diseño. Además, el ingeniero en diseño industrial aprende a seleccionar la metodología óptima para cada proceso de diseño, así como a calcular honorarios y presupuestos, a negociar contratos, a comunicar ideas y a observar procesos ergonómicos y de seguridad industrial, habilidades que le servirán para motivar y potenciar el talento humano.

Si te interesa esta carrera, puedes seguirla en universidades reconocidas por el Senescyt.

Puedes revisar información en http://www.epn.edu.ec/

▲  Ingeniero industrial.

TIC

TIC

Representación de funciones en GeoGebra

1. Una vez que estás en el programa GeoGebra, en la ventana Apariencias, de la derecha, selecciona la opción Álgebra y Gráficos.
2. Con doble clic, en Vista Gráfica, selecciona Cuadrícula.

La cuadrícula nos facilitará la visualización de la gráfica.

1. Luego, en la barra de entrada, ingresa la función f(x)=x^2 para obtener la gráfica.

Para elegir las características de la gráfica, como color o grosor de la línea, y nombre, colócate sobre la gráfica, haz clic derecho y elige Propiedades del Objeto.

Aquí puedes cambiar el color de los ejes de coordenadas y la numeración.

1. Si te posicionas sobre la gráfica y haces clic sobre ella, sin soltar el botón, podrás moverla y obtener funciones afines, por ejemplo, f(x)=x^2+2, f(x)=x^2-4. De esta manera, comprenderás el comportamiento de las funciones.

Representación de un polinomio de grado 3

1. Una vez que estás en el programa GeoGebra, en la barra de entrada, ingresa la función v(t)=3t-t^2+t^3,t≥0 y haz clic.

En la pantalla, ahora puedes mirar la gráfica de una función polinomial de grado 3.

1. Sin embargo, para mirar mejor la gráfica, es preciso adecuar los valores del eje y.

Para esto, colócate sobre la ordenada, haz clic derecho y elige Eje X: Eje Y. Aparecen varias opciones: el primer número corresponde a los valores para el eje x y el segundo número, a los del eje y. Asegúrate de que x esté con valores de 1 en 1 y y con valores de 50 en 50. Con un nuevo clic se ejecutan estas posiciones y ya podrás mirar la gráfica con mayor amplitud.

1. Por otra parte, para encontrar el máximo valor de la función polinomial, selecciona la segunda opción y escoge Extremos Relativos.

En esta función, el máximo es indefinido y así lo muestra la Vista Algebraica.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Los gases contaminantes y el cambio climático

Recursos

- Lápices
- Cuaderno para realizar los cálculos respectivos
- GeoGebra para el trazo de la función lineal

Justificación

El cambio climático en la Tierra es evidente y somos los seres humanos los causantes. Su estudio es una tarea multidisciplinar que requiere de conocimientos de física, química, ingeniería, geología, economía y por supuesto matemática. La matemática es necesaria para estudiar, entender y buscar soluciones al fenómeno del cambio climático. Sin la utilización de la matemática, no sería posible la obtención de resultados que adviertan la necesidad de cambios en el modelo de vida, en el sistema económico y en el uso de energías alternativas.

Los científicos nos han hecho comprender que la emisión de gases, en particular la de CO_2, está provocando su acumulación y propiciando un incremento de la temperatura media del planeta.

▲ Efecto del cambio climático.

Año | Aumentode temperatura (°C)
1980 | 0
2000 | 0,42
2020 | 0,84
2040 | 1,26
2060 | 1,68
2080 | 2,10

▲ Tabla 12
^Fuente: Chapov, 2013.

Objetivos

- Comprender la proyección creciente que tiene la emisión de gases y su consecuente necesidad de mitigación.
- Analizar la función lineal que modeliza la realidad y su proyección para los próximos años.
- Comprender el fenómeno del cambio climático para implementar políticas de remediación.

Actividades

En el año 1896, un científico sueco fue el primero en hablar del efecto invernadero, como resultado de las emisiones de dióxido de carbono en el aire. La quema de combustibles fósiles produce 5,4 millones de toneladas de carbono al año, aproximadamente. Estas emisiones son absorbidas por la atmósfera y por los océanos. En la tabla, se muestra el aumento de la temperatura global, en grados Celsius, que se pronostica para la Tierra, considerada a partir de 1980 (Chapov, 2013).
A partir de esta información:

1. Representen gráficamente los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
2. Determinen la expresión algebraica (función lineal) que modeliza estos datos.
3. Realicen el gráfico de la función lineal obtenida.
4. Interpreten la pendiente y la ordenada al origen, en el contexto del problema.
5. Predigan la temperatura estimada para los años 2014, 2030 y 2110.

▲ Humo del tubo de escape de un auto.

Conclusiones

- Analizar, con los estudiantes, los resultados logrados y evaluar la necesidad urgente de involucrarnos en la problemática para, de esta manera, establecer un plan de acción.
- Confirmar, con los estudiantes, el rol de la matemática como lenguaje universal, y sus aplicaciones en la resolución de problemas y en el análisis y explicación de fenómenos.
- Tomar en cuenta que el estudio de la función lineal es solo un inicio frente a todas las posibilidades de análisis matemático que pueden hacerse, a propósito de problemas globales como el cambio climático.

En síntesis

En síntesis

Bibliografía

● Bibliografía

Benalcázar, H. (2008). Curso elemental de Geometría. Quito: PDF publicado por el autor en la Facultad de Ingeniería, Universidad Central del Ecuador.

------------------- (2012a). Matemática para Bachillerato. Tomo 2 y tomo 3. Quito: Preprinter (por publicarse).

Castro, L. (2013). Matemática. Quito: Maya Ediciones C. Ltda.

Galindo, E. (2015). Estadística, métodos y aplicaciones. Quito: Prociencia Editores.

Gómez, R., Wills, D., Guarin, H. y Londoño, N. (1976). Matemática moderna estructurada (Vols. 1-6). Bogotá: Editorial Norma.

Lara, J. y Benalcázar, H. (1991). Fundamentos de análisis matemático (Vols. I-III). Quito: Editorial Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.

Leithold, L. (1994). El cálculo (7.^a ed.). México D. F.: Grupo Mexicano Mapasa, S. A. de C. V.

Negro, A., Pérez, S., Cacho, S. y Thio de Pol, S. (1977). Cerca de la Matemática (3). Madrid: Editorial Alhambra.

Pérez, J., Caro, V. y Obonaga, E. (1986). Matemática (Vols. 1-6). Bogotá: Editorial Pime Editores S. A.

Sáenz, R., Lara, J., Benalcázar, H. y León, H. (2003). Matemática básica (2.^a ed.). Quito: Editorial Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.

Zemansky, M. (1967). Introducción al álgebra y análisis moderno. Barcelona: Editorial Montaner y Simón, S. A.

Webgrafía

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Matemática. Función cuadrática, parábolas y ecuaciones de segundo grado (2014), [en línea]. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educación. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/pdf/matematica_cuadratica_13_06_14.pdf [2016, 7 de abril].

Probabilidad (s. f.), [en línea]. Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado. Disponible en: http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T02.pdf [2016, 7 de junio].