Title: Unidad 3.
Course: Matemáticas Plus + 1 BGU > Section: Libro Digital

Función cuadrática y el espacio vectorial en R2

La arquitectura y la parábola

El Ecuador es un país muy diverso y tiene muchos atractivos turísticos, tanto antiguos como modernos. Un ejemplo de ello es el centro histórico de Quito, el cual fue declarado Patrimonio Cultural de la Humanidad por la Unesco, el 8 de septiembre de1978. Así, el casco colonial tiene alrededor de ciento treinta edificaciones monumentales, donde se aloja una gran diversidad de arte pictórico y escultórico, principalmente de carácter religioso, inspirado en una multifacética gama de escuelas y estilos, además de cinco mil inmuebles registrados en el inventario municipal de bienes patrimoniales. Una de estas edificaciones es la catedral primada de Quito; sus arcos, su techo y altar barrocos, sus coros neoclásicos y su fachada la hacen única y deslumbrante.

Tomado de: http://museosquitoecuador.blogspot.com/2015/05/catedral-primada-de-quito.html​

Bloques curriculares
Álgebra y funciones​
Geometría y medida

  Objetivos

- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿Qué formas reconoces en las imágenes?
- ¿Cómo asociarías la función cuadrática con estas imágenes?
- ¿Dónde has observado parábolas en la vida cotidiana?
- ¿Cómo crece el turismo en Quito?

Análisis de la función cuadrática

DCCD: M.5.1.20 Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones reales utilizando TIC. (Ref. DCCD: M.5.1.20)

● Análisis de la función cuadrática

Saberes previos

En la notación de determinación de conjuntos, A = {x∈E | p(x)}, siendo p una función proposicional definida en el conjunto referencial E, ¿qué elementos intervienen en la definición de función?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo determinas las raíces de las ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales?

La función cuadrática es una función que aparece en muchas partes de la matemática y tiene numerosas aplicaciones. Sin embargo, por el momento centraremos nuestro estudio en obtener el recorrido de la función cuadrática, en los intervalos en los que es creciente o decreciente, en la determinación del máximo o mínimo y en el cociente incremental.

Definición

Sean a, b, c ∈ ℝ con a ≠ 0. La función f de ℝ en ℝ, definida como f(x ) = ax^2 + bx + c , ∀ x∈ℝ, se llama función cuadrática. Los números reales a, b, y c se llaman coeficientes de la función cuadrática.

A la función f la llamaremos polinomio de grado 2 con coeficientes reales.

Definición

Sean a_1 , a_2 , b_1 , b_2 , c_1 , c_2 ∈ ℝ con a_1 ≠ 0, a_2 ≠ 0, f, g las funciones de ℝ en ℝ definidas como f(x) = a_1x^2 + b_1x + c_1, ∀x∈ℝ, g(x) = a_2x^2 + b_2x + c_2, ∀x∈ℝ. Diremos que f = g si y solo si a_1 = a_2 , b_1 = b_2 , c_1 = c_2 .

El dominio de f es todo ℝ. Esto es, Dom(f) = ℝ.

Determinemos el recorrido de f. Para el efecto, sea y = f(x).

Como a ≠ 0, existe a^–1 ∈ ℝ, tal que aa^–1 = 1. Consecuentemente sumamos y restamos el término obtenemos
de donde  x ∈ ℝ,

Conexiones con las TIC

Visita el siguiente enlace:

www.mayedu.ec/matbu1/p122

El objetivo de esta actividad
es que los estudiantes se familiaricen con el uso y el valor numérico de la función cuadrática y que también descubran la importancia de la aplicación de esta función en el contexto que los rodea.

Identificamos dos casos: a > 0 y a < 0. Comencemos con el caso a > 0.

Puesto que para todo entonces

  ≥ 0, de donde con lo cual el

recorrido de f es el conjunto

Simbología matemática

⊂: subconjunto

≠: diferente de

ℝ: conjunto de números reales

Dom(f): dominio de f

Rec(f): recorrido de f

]−∞,p] : intervalo cerrado a la derecha

[p,∞[ : intervalo cerrado a izquierda

Ahora tratamos el caso a < 0.

Nuevamente, para todo y siendo a < 0, resulta Luego, de donde

En este caso, el recorrido de f es el conjunto

En conclusión, |

En un capítulo posterior se estudiarán las cónicas. Allí se verá que la gráfica de la función cuadrática representa a una parábola que se abre hacia arriba, si a > 0, y hacia abajo, si a < 0. El punto se llama vértice de la parábola.

Recuerda que...

- El mínimo global de la función cuadrática es el mínimo de la función que se representa como:

- Si a < 0, y la función cuadrática f no tiene mínimo global, escribiremos:

 o simplemente,

 no existe.

- El máximo global de la función cuadrática es el máximo de la función que se representa como:

- Si a > 0, y la función cuadrática f no tiene máximo global, escribiremos:

 o simplemente,

 no existe.

Máximos y mínimos de las funciones cuadráticas

Mínimo de la función cuadrática

Sea a > 0. Puesto que para todo el número real se llama mínimo global de la función cuadrática.

Escribiremos:

^

que se lee "m es el mínimo de la función f en todo ℝ".

Máximo de la función cuadrática

Sea a < 0. Como para todo el número real se llama máximo global de la función cuadrática.

Escribiremos:

que se lee "M es el máximo de la función f en todo ℝ".

Nótese que:

Intervalos de la función cuadrática donde es decreciente o creciente

▲ Figura 3.1.

▲ Figura 3.2.

Si a>0, la función cuadrática es estrictamente decreciente en el intervalo y creciente en el intervalo este resultado lo interpretamos en el diagrama siguiente (Figura 3.1.):

Si a<0, la función cuadrática es estrictamente creciente en el intervalo y decreciente en el intervalo

En la Figura 3.2. se interpreta este resultado.

Ejercicios resueltos

1. Consideremos la función cuadrática f, definida por f (x) = x^2 + x + 1, ∀. Se tiene Dom(f) = ℝ. Como:

y dado que ∀x∈ℝ, entonces y se sigue que

Para calcular algunos valores de la función f, se procede así:

▲ Figura 3.3.

En la Figura 3.3. se muestra la gráfica de f . Esta es una parábola que se abre hacia arriba (a = 1) y su vértice es el punto

Obsérvese que y en general Luego,

Se tiene Por otro lado, la función f es estrictamente decreciente sobre el intervalo y estrictamente creciente sobre el intervalo

En efecto, sean x_1 , x_2 con x_1< x_2 .

Interdisciplinariedad

Matemática con la vida cotidiana

Las funciones cuadráticas son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios y la ingeniería. La parábola, puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botear de una pelota o definir la curvatura en estructuras como reflectores y antenas parabólicas que forman, respectivamente, los faros de los carros y la base de los platos satelitales. ¿Qué otro tipo de aplicaciones tienen las funciones cuadráticas?

▲ Antena parabólica satelital.

Entonces Sumando  en la desigualdad, se obtiene de donde y sumando en esta última desigualdad, se deduce , es decir que

De modo similar, se muestra que si x_1 , x_2 tal que x_1 < x_2, entonces La prueba se propone como ejercicio.

En la gráfica siguiente se interpretan estos dos resultados (Figura 3.4.).

▲ Figura 3.4.

1. Consideremos la función g, definida como
g(x) = −x^2 + 4x − 4, ∀x∈ℝ.
Puesto que
g(x) = −x^2 + 4x − 4 = −(x^2 −4x + 4x) = −(x −2)^2, ∀x∈ℝ, y tomando en consideración que (x −2)^2 ≥ 0, ∀x∈ℝ, resulta g(x)^ ≥ 0 ∀x∈ℝ, es decir que el recorrido de g es el conjunto Rec(g) = ]−∞, 0]. El dominio de g es obviamente el conjunto ℝ.
Calculemos algunos valores de la función g.
g(2) = –(2 − 2)^2 = 0, g (1) = − (1 − 2)^2 = − 1,  g(3) = −(3 − 2)^2 = −1.

▲ Figura 3.5.

En la Figura 3.5. se muestra la gráfica de la función g.

Esta es una parábola que se abre hacia abajo,

g(x) = −(x −2)^2, ∀x∈ℝ, y su vértice es el punto (2, 0).

Se tiene

Esta función es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2] y estrictamente decreciente sobre el intervalo [2, ∞[ .

Probemos que es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2].

Sean x_1, x_2 ∈]–∞, 2], tal que x_1<_ x_2 ≤ 2. Sumando –2 en la desigualdad, obtenemos x_1 –2 < x_2 –2 ≤ 0, de donde  (x_1 − 2)^2 >(x_2 − 2)^2, y multiplicando por –1, en esta última desigualdad, se deduce −(x_1 − 2)^2 < −(x_2 − 2)^2 es decir que g(x_1) < g(x_2).

Así, x_1, x_2 ∈]–∞, 2], x_1 < x_2  ⇒g(x_1) < g(x_2), lo que muestra que g es creciente en el conjunto I = ]–∞, 2]. En forma similar, se prueba que g es decreciente en el conjunto I = [2, ∞[.

Ecuación de segundo grado

DCCD: M.5.1.26. Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado en la factorización de la función cuadrática.

● Ecuación de segundo grado

Saberes previos

¿Qué es una ecuación cuadrática en el conjunto ℝ?

Desequilibrio cognitivo

Si v es una expresión algebraica en ℝ y k es un real negativo, entonces, ¿qué tipo de solución tendrá la ecuación v^2 = –k?

Sean a, b, c ∈ℝ con a ≠ 0 y f la función de ℝ en ℝ, definida por f(x) = ax^2 + bx + c, ∀x∈ℝ. Consideremos la ecuación: hallar x∈ℝ tal que f (x) = 0, que en forma explícita se escribe como sigue:

hallar x∈ℝtal que  ax^2 + bx + c = 0

Esta ecuación se llama ecuación de segundo grado, donde x es la incógnita. En la práctica, esta ecuación surge en muchas aplicaciones, por lo que es importante saber las condiciones bajo las cuales tiene soluciones reales y cómo calcularlas, además de conocer las condiciones para las que la ecuación no tiene soluciones reales.

Ejercicios resueltos

1. Sea P(t) = 10 − 7t + t^2,^ ∀x∈ℝ. Los números reales r_1 = 2 y r_2 = 5 son raíces del polinomio o función P.
En efecto,  P(2) = 10 − 7 × 2 + 2^2 = 0, P(5) = 10 − 7 × 5 + 5^2 = 0.
2. Los polinomios siguientes, P(t) = t^2 + 1, ∀t∈ℝ, Q(t) = t^2 + t + 1,^ ∀t∈ℝ, R(t) = t^2 − t + 2,^ ∀t∈ℝno tienen raíces en el conjunto ℝ, pues para todo t∈ℝ, t^2 + 1 > 0, t^2 + t + 1 > 0, t^2 – t + 2 > 0. Así, P(t) ≠ 0, Q(t) ≠ 0, R(t) ≠ 0, para todo t∈ℝ.
Resolver en ℝ la ecuación ax^2 + bx + c = 0, donde a, b, c ∈ℝ, a ≠ 0, significa hallar, si existe, al menos, un elemento x∈ℝque satisface la ecuación. Si existe x∈ℝ, tal que ^ , ^ es una raíz de la ecuación de segundo grado y diremos que la ecuación de segundo grado tiene solución en ℝ. Si no existe un número real que satisfaga la ecuación de segundo grado, se dirá que esta no tiene solución en ℝ.

Recuerda la definición

i. Un número real r se dice una raíz de la función f si satisface la condición f(r)=0.

ii. Se dice que la función f no tiene raíces en ℝ si f(x)≠0 para todo ×∈ℝ.

Definición

i. Se dice que r ∈ℝ es una raíz simple de f si para todo x∈ℝ, f(x) = (x − r)Q(x), donde Q es un polinomio de grado 1 y Q(r) ≠ 0.

ii. Se dice que r ∈ℝ es una raíz doble o de multiplicidad 2 si existe una constante α ∈ℝ, α ≠ 0, tal que f(x) = α(x − r)^2, ∀x∈ℝ.

Ejercicio resuelto

1. Sea f(t) = 2t^2 + 16t + 32, ∀t∈ℝ. Entonces r = –4 es una raíz de f, pues f(–4) = 0, luego, f(t) = (t –(–4)) Q(t) = (t + 4)Q(t), ∀t∈ℝ, donde Q(t) = at + b, ∀t∈ℝ, a, b∈ℝ con a ≠ 0. Estudiemos si r = –4 es una raíz doble. Puesto que  f(t) = (t + 4)(at + b) = at^2 + (b + 4a)t + 4b = 2t^2 + 16t + 32, y, por la igualdad de polinomios, tenemos a = 2, b + 4a = 16, 4b = 32, con lo cual a = 2 y b = 8. Luego, f(t) = (t + 4)(2t + 8) = 2(t + 4)^2, ∀t∈ℝ.
Es decir que r = –4 es una raíz doble o de multiplicidad 2. La escritura de la función f, en la forma f(t) = 2(t + 4)^2, ∀t∈ℝ, se conoce como factorización del polinomio f.

Recuerda la definición

Sean a, b, c∈ℝ con a ≠ 0. El número real d = b^2 – 4ac se llama discriminante.

Pasemos a la resolución de la ecuación ax^2 + bx + c = 0, donde a, b, c ∈ℝ, a ≠ 0. Como a ≠ 0, a^–1 ∙ a = 1.

Multiplicando por a^–1 tenemos:

 de donde

Sumando en ambos miembros de la última igualdad, tenemos:

El lado izquierdo de la última ecuación es un número real no negativo, mientras que el lado derecho puede ser positivo, negativo o cero; es decir que su signo depende del discriminante d = b^2 –4ac. Entonces,

^

Estudiemos en qué casos esta ecuación tiene solución.

i. Si d < 0, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales. Así:

Nótese en este caso que para x ∈ℝ, con lo cual y, en consecuencia, para todo x ∈ℝ se tienen las desigualdades siguientes:

Esto se representa gráficamente en la Figura 3.6.

▲ Figura 3.6.

ii. Si d = 0 se tiene con lo cual de donde Por lo tanto, si d = 0, es una raíz doble de la ecuación de segundo grado. Es decir que f (x) se expresa en la forma

El conjunto solución es

Tenemos que es una raíz doble de la ecuación f (x) = 0.

Esto se representa gráficamente en la Figura 3.7.

▲ Figura 3.7.

iii. Si d > 0, la ecuación y, por tanto, la ecuación de segundo grado tiene solución en ℝ. Calculemos la solución. Los números reales son tales que su cuadrado es esto es

Como , de la ecuación se tiene

 que y, de la definición de valor absoluto, se deduce que

 con lo cual

Abreviadamente escribiremos:

Como resulta

Si a > 0, |a| = a, entonces

Si a < 0, |a| = –a, luego

▲ Figura 3.8.

En cualquiera de los casos anteriores, indicamos con x_1, x_2 las dos raíces dadas por:

Los números reales x_1, x_2 son soluciones de la ecuación de segundo grado, pues f(x_1) = f(x_2) = 0. Además x_1 ≠ x_2. Por lo tanto, si d = b^2 – 4ac > 0,el conjunto solución S está definido como:

                                       S = {x ∈ℝ| ax^2 + bx + c = 0 } = {x_1, x_2 }

Por comodidad, se utiliza la fórmula para posteriormente determinar si la ecuación de segundo grado tiene o no solución en ℝ, según d ≥ 0 o d < 0. Para su representación gráfica, observa la Figura 3.8.

Ejercicios resueltos

1. Considera la ecuación x^2 + x + 1 = 0 en el conjunto ℝ. Puesto que

El primer miembro de la última igualdad es no negativo, mientras que el segundo miembro es negativo. Por tanto, la ecuación no tiene solución en ℝ o, lo que es lo mismo, el conjunto solución S = , pues no existe un número real cuyo cuadrado sea

Nótese que ∀x∈ℝ, con lo cual, f(x)= x^2 + x +1 > 0, ∀x∈ℝ.

En este caso, la gráfica de f no corta al eje x.

1. Si es posible, factoriza la función f definida por
f(x) = x^2 + 2x + 2, ∀x∈ℝ.
En primer lugar, estudiemos la existencia de raíces reales de la ecuación x^2 + 2x + 2 = 0. Para el efecto, calculamos el discriminante d de dicha ecuación. Tenemos a = 1, b = 2, c = 2, luego, d = b^2 – 4ac = 4 – 8 = –4 < 0.
La ecuación x^2 + 2x + 2 = 0 no tiene raíces reales, por lo tanto, la función real f no puede factorizarse en la forma f(x) = (x – x_1)(x – x_2), x∈ℝ, con x_1, x_2 ∈ℝ.
Obsérvese que
f(x) = x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 ≥ 1, ∀x∈ℝ,
con lo que

Recuerda que...

- Hemos visto que la función f se escribe como

Además, la ecuación en ℝ, f(x) = 0 ⇔ ax^2 + bx + c = 0, tiene solución en ℝ si y solo si el discriminante d = b^2 − 4ac ≥ 0, en cuyo caso sus raíces reales son:

- En conclusión, dada la función cuadrática f, definida como f(x) = ax^2 + bx + c, ∀x∈ℝ, con a, b, c ∈ℝ, a ≠ 0, las raíces reales x_1, x_2 de la ecuación ax^2 + bx + c = 0 satisfacen las relaciones ^ y .

Además, la función f se factoriza en la forma f(x) =a(x − x_1)(x − x_2), x∈ℝ.

Obsérvese la equivalencia f(x) = 0 ⇔ a(x − x_1)(x − x_2) = 0 y siendo a ≠ 0, se deduce

Este último resultado muestra que la ecuación de segundo grado tiene, a lo más, dos raíces reales y distintas.

Propiedades de la raíces. Factorización de funciones cuadráticas

Consideremos la función cuadrática f, dada por f(x) = ax^2 + bx + c, x∈ℝ, donde a, b, c ∈ℝ con a ≠ 0.

Calculemos x_1 + x_2. Tenemos:

Luego, la suma de las raíces x_1, x_2 de la ecuación de segundo grado satisfacen la relación

Calculemos x_1 ∙ x_2 :

Por lo tanto, el producto de las raíces x_1, x_2 de la ecuación de segundo grado satisface la relación . En consecuencia, la función f se escribe como sigue:

Nótese que hemos utilizado la propiedad distributiva de los números reales y la identidad a(−b + c) = −a(b − c),  ∀ a, b, c ∈ℝ. Así, la función cuadrática f o polinomio de grado 2 con coeficientes en ℝ se escribe en la forma f(x) = a(x − x_1)(x + x_2), x∈ℝ.  Es decir que la función f se ha factorizado.

Ecuaciones que se reducen a una ecuación de segundo grado

DCCD: M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

● Ecuaciones que se reducen a una ecuación de segundo grado

Saberes previos

¿Qué procesos conoces para resolver ecuaciones cuadráticas?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo encontrarías la solución de una ecuación de cuarto grado de la forma ax^4 + bx^2 + c = 0, con a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0?

Ecuación de la forma at^4 + bt^2 + c

Sean a, b, c ∈ ℝ con a ≠ 0. Consideremos la función definida por f(t)=at^4+bt^2+c, t ∈ ℝ.

Esta función es un polinomio de grado 4. Determinemos si existe t ∈ ℝ, solución de la ecuación at^4 + bt^2 + c = 0. Denotamos con S su conjunto solución. Ponemos x = t^2, entonces x^2 = t^4 y la ecuación se expresa en la forma ax^2 + bx + c = 0.

Puesto que

se sigue que si d = b^2 − 4ac ≥ 0, entonces o

Recuerda que..

Toda solución de la ecuación at^4 + bt^2 + c = 0 es solución de las ecuaciones t^2 = x_1, o t^2 = x_2 y, recíprocamente, resulta S = S_1, siendo x_1, x_2 soluciones de ax^2 + bx + c = 0.

Por consiguiente, la sustitución x = t^2 permite transformar la ecuación at^4 + bt^2 + c = 0 a una ecuación de segundo grado y si d ≥ 0, el par de ecuaciones t^2 = x_1, t^2 = x_2 permiten determinar el conjunto solución S.

Si d < 0, es S ≠ 0 y con mayor razón S_1 ≠ 0. Además, si d > 0 y x_1 < 0, x_2 < 0, entonces S_1 ≠ 0, en cuyo caso, para todo t∈ℝ, t^2 – x_1 > 0, t^2 – x_2 > 0, de donde

Por otro lado, las raíces de la ecuación ax^2 + bx + c = 0 están dadas por

y como x = t^2, se obtiene así el par de ecuaciones t^2 = x_1, t^2 = x_2. Sea S_1 su conjunto solución, es decir, S_1 = {t ∈ ℝ | t^2 = x_1 ⋁ t^2 = x_2 }.

Ejercicios resueltos

1. Consideremos la ecuación: t∈ ℝ tal que 4t^4 – 37t^2 + 9 = 0. Sea x = t^2, entonces la ecuación propuesta se transforma en la ecuación 4x^2 – 37x + 9 = 0, cuyas raíces son

Resolvamos el par de ecuaciones

Resulta

El conjunto solución es:

Nótese que

Además, P(t) = 4t^4 − 37t^2 + 9, t ∈ ℝ se factoriza en la forma

Recuerda que...

Tenemos la ecuación ^ donde a, b, c, d ∈ ℝ con a ≠0, c ≠ 0. Sean u, v las funciones reales definidas por ^

entonces

Dom(u) ={x ∈ ℝ| ax + b ≥ 0},

Dom(v) = ℝ

Si v(x) ≥ 0 para x ∈ Dom(u), la igualdad ^ es compatible para, al menos, un número real x ∈ Dom(u).

En tal caso, procedemos a resolver la ecuación. Elevamos ambos miembros al cuadrado. Si el discriminante de esta ecuación de segundo grado es negativo, la ecuación ^ no tiene solución en ℝ.

Ecuación de la forma

Ejercicios resueltos

1.  Hallar x ∈ ℝ, si existe solución de la ecuación
En primer lugar, la raíz cuadrada de números reales está bien definida para números reales no negativos. En consecuencia, 2x – 3 ≥ 0, de donde Además, para con lo que la igualdad tiene sentido si y solo si

Sea entonces Multiplicando por –1 a esta última desigualdad, se obtiene y sumando 1 en ambos miembros, se tiene Así, es decir que –x + 1 es negativo para lo que significa que la igualdad es contradictoria. Por lo tanto, la ecuación propuesta no tiene solución en ℝ. Sean u, v las funciones definidas por

Se tiene En la Figura 3.9. se muestran las gráficas de las funciones u y v, se ve que no se cortan.

▲ Figura 3.9.

▲ Figura 3.10.

2. Considérese la ecuación

Sean u, v las funciones reales definidas por

Entonces En la Figura 3.10. se muestran las gráficas de las funciones u y v, las cuales se cortan en un punto. Nótese que está bien definido, si y

Además, para por lo que la igualdad es compatible en el conjunto

¿Tiene solución esta ecuación? Para dar respuesta a esta pregunta, elevamos al cuadrado ambos miembros de donde 2x – 3 = x^2 – 2x +1, con lo que (x – 2)^2 = 0.

La solución pertenece al conjunto.

Se verifica inmediatamente que es la única solución del sistema.

Intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones

DCCD: M.5.1.28. Identificar la intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrática y otra lineal.

M.5.1.29. Identificar la intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas.

● Intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones

Saberes previos

¿Qué es para ti un sistema de ecuaciones?

Desequilibrio cognitivo

Si la recta L no interseca a la parábola, entonces, ¿el sistema tiene solución?

Conexiones con las TIC

Para ampliar tus conocimientos sobre la intersección de una recta y una parábola, visita el siguiente enlace:

www.mayedu.ec/matbu1/p138

Consideremos la parábola  P ={(x , y) ∈ℝ| y = ax^2 + bx + c}, donde a, b, c ∈ℝ a ≠ 0 y la recta L ={(x , y) ∈ℝ^2| y = αx + β} donde, α, β ∈ℝ. Para fijar las ideas, se supone que a > 0, α > 0. Analicemos tres casos.

1. En la Figura 3.11. se muestran las gráficas de esta parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abscisas x_1 y x_2. Es decir que (x_1,y_1),(x_2,y_2) ∈ P⋂ L más aún, P⋂L = {(x_1,y_1),(x_2,y_2)}.

▲ Figura 3.11.

Este par de puntos son solución del par de ecuaciones

Al igualar miembro a miembro, se tiene:

De esta última igualdad, para que existan estos dos puntos de corte distintos, se debe verificar que

▲ Figura 3.12.

2. En la Figura 3.12. se muestran las gráficas de la parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en un punto de abscisa x, es decir que (x , y) ∈P⋂L, más aún, P⋂L = {(x , y)}.

Este punto es solución del sistema de ecuaciones

del que, procediendo del mismo modo que el anterior, se obtiene:

De esta última igualdad, y para que exista un punto de corte, se debe verificar que

con lo que

 y, en consecuencia, (x , y)∈ P⋂L.

▲ Figura 3.13.

3. En la Figura 3.13. se muestran las gráficas de la parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas no se cortan.

En este caso, procediendo de modo similar al precedente, se tiene:

con lo que el sistema de ecuaciones

no tiene solución en el conjunto de los números reales. Entonces, resulta P⋂L = Ø.

Conexiones con las TIC

Hay calculadoras, como la fx-9860, que te permiten resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas.

Intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones

Ahora, consideremos la intersección de dos parábolas designadas con P_1 y P_2:

P_1 ={(x , y) ∈ℝ^2 | y = ax^2 + bx + c}

P_2 ={(x , y) ∈ℝ^2 | y = 𝛼x^2 + 𝛽x + 𝜆}

donde a, b, c, 𝛼, β, λ, ∈ ℝ a ≠ 0 y α ≠ 0 son constantes. Se supone que P_1 ≠ P_2.

Analizaremos dos casos (los restantes se dejan como ejercicio).

▲ Figura 3.14.

1. En la Figura 3.14. se muestran las gráficas de las parábolas P_1 y P_2.

Nótese que se ha supuesto que a > 0, α > 0. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abscisas x_1 y x_2. Es decir que(x_1,y_1),(x_2,y_2) ∈ P_1 ⋂ P_2 , más aún, P_1 ⋂ P_2 = {(x_1,y_1),(x_2,y_2)}.

Este par de puntos son solución del par de ecuaciones

Procediendo en forma similar al caso de intersección de una recta con una parábola, al igualar miembro a miembro, se tiene:

Si a ≠ α, a – α ≠ 0, y podemos dividir la última ecuación para a – α, resulta:

▲ Figura 3.15.

De esta última igualdad, para que existan dos puntos de corte distintos, se debe verificar que

En el caso a = α, a – α = 0, resulta: (b – β) x + c – λ = 0.

Si b – β = 0, se tiene b = β, con lo que c = λ contradice el supuesto de que P_1 ≠ P_2. En consecuencia, b – β ≠ 0, en cuyo caso, la solución de la ecuación precedente es b ≠ β, de donde luego

Se deja como ejercicio trazar las gráficas de las parábolas que satisfacen esta condición.

En la Figura 3.15. se muestran las gráficas de las parábolas P_1 y P_2. Se observa que estas dos gráficas no se cortan. Se ha supuesto que a > 0, α < 0. El análisis matemático respectivo se deja como ejercicio.

Conexiones con las TIC

Visita el siguiente enlace para que puedas practicar este tema:

www.mayedu.ec/matbu1/p141

Ejercicio resuelto

En física se estudia el movimiento rectilíneo uniforme y variado de cuerpos. Se obtienen dos ecuaciones elementales que relacionan el desplazamiento (posición) x en términos de la velocidad inicial v_0, la aceleración a y el tiempo t. Así:

En una avenida, el auto 1 se mueve con velocidad constante de veinte metros por segundo, lo cual se escribe 20 m/s (72 km/h). La persona que conduce observa en un panel una advertencia de entrada y salida de autos. El auto 2 ingresa a la avenida con una velocidad inicial v_0= 2 m/s, una aceleración de 1m/s^2. Al instante en que el auto 2 ingresa a la avenida, el auto 1 se encuentra a 60 m a la izquierda del ingreso. ¿Existe o no accidente (choque por alcance)?

Para saber si existe o no choque, denotamos con x la posición de los autos t segundos más tarde. Con la información suministrada, obtenemos el par de ecuaciones:

donde x y t son las incógnitas.

Graficamos las dos ecuaciones.

Conclusión: ¡Si se produce un accidente!

La solución de este problema nos muestra varias reflexiones. En un tiempo aproximado de 3,72 segundos, se produce el accidente por impericia y descuido de los dos conductores de los autos. El conductor del auto 1 no toma en consideración la advertencia y al observar el ingreso del auto 2, no reduce la velocidad. El conductor del auto 2 desestima la posición y velocidad del auto 1, y comete la imprudencia de ingresar a la avenida. En lo sucesivo, toma en consideración las advertencias en las vías, las velocidades, tiempos y distancias. Este ejemplo nos muestra cómo la matemática ayuda a comprender esta clase de riesgos y a tomar precauciones en las vías. Ten presente que en 3 s el auto 1 recorre 60 m.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en forma analítica

DCCD: M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: una de primer grado y una de segundo grado; y sistemas de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, de forma analítica.

● Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en forma analítica

Saberes previos

¿Para qué sirve analizar el discriminante?

Desequilibrio cognitivo

¿Crees que un sistema de ecuaciones cuadráticas puede tener infinitas soluciones? ¿Por qué?

Específicamente, trataremos sistemas de ecuaciones no lineales de la la siguiente forma:

donde (x, y) ∈ℝ^2 denotan las incógnitas, a_i, b_i, c_i, d_i, f_i ∈ℝ i = 1, 2 son los coeficientes y e_i, e_2 ∈ ℝ se llaman términos independientes.

Resolver en el conjunto ℝ^2 el sistema de ecuaciones no lineales con coeficientes y términos independientes en ℝ significa hallar dos números reales x, y, que se escriben (x, y)∈ℝ^2 y que satisfacen dichas ecuaciones. Si no es posible hallar (x, y) ∈ℝ^2 que satisfaga el sistema de ecuaciones dado, se dirá que dicho sistema no tiene solución en el conjunto ℝ^2.

Si existe (x, y) ∈ℝ^2, que satisface el sistema de ecuaciones, el par (x, y) es la solución de dicho sistema.

Recuerda que...

El estudio de rectas y parábolas nos lleva a resolver sistemas formados por:

El estudio de un sistema formado por dos parábolas nos lleva a resolver sistemas cuadráticos formados por:

con x, y ∈ ℝ, las incógnitas.

Ejercicios resueltos

1. Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

(x, y)∈ ℝ^2 y

Para hallar la solución de este sistema de ecuaciones, si acaso existe, observamos que se facilita obtener la incógnita y de la segunda ecuación y luego reemplazarla en la primera. Así, tenemos

luego  o bien 2x^2 + 5x − 1 = 0.

El discriminante de esta ecuación es d = 5^2 − 4 × 2 × (− 1) = 33, que muestra que la ecuación de segundo grado precedente tiene dos raíces reales y distintas x_1, x_2, dadas por

Como Reemplazamos x por x_1 y x_2, y obtenemos y_1 y y_2, definidos por:

Las soluciones del sistema de ecuaciones no lineal propuesto está constituido por el conjunto S = {(x_1, y_1), (x_2, y_2)}

Interdisciplinariedad

Matemática y economía

En economía se usan las ecuaciones cuadráticas para representar modelos económicos de oferta y demanda. Este tipo de modelos se asemeja más a la realidad, en comparación del modelo que usa las ecuaciones de primer grado. Las ecuaciones cuadráticas son realmente útiles porque nos ayudan en distintos objetivos, dependiendo de la profesión que una persona ejerza. Si una persona no sabe resolverlas, no estará en la posibilidad de aprender temas superiores debido a que son la base de las matemáticas. Además, las ecuaciones cuadráticas ayudan a los economistas a tener una orientación de la situación económica de un mercado.

2. Considera el sistema de ecuaciones no lineales caracterizado por
(x, y)∈ℝ^2 tal que

Obtenemos x de la segunda ecuación, esto es, x = –1 – y, y reemplazamos en la primera. Tenemos entonces: (–1 –y)^2 + y^2 = 5, de la que, luego de realizar simplificaciones, obtenemos y^2 + y – 2 = 0. Las raíces de estas ecuaciones están definidas como

puesto que x = –1 – y. Reemplazando y por y_1 ,^ y_2, obtenemos x_1 ,^ x_2, definidos por:

x_1 = –1 – y_1 = –1 – (–2) = 1, x_2 = –1 – y_2 = – 1 – 1 = – 2

Así, el conjunto solución S del sistema de ecuaciones no lineales es

S = {(x_1, y_1), (x_2, y_2)} = {(1, –2), (–2, 1)} .

3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

Usamos una incógnita auxiliar v definida como con y ≠ 0. Así, x = vy.

Reemplaza en las dos ecuaciones del sistema dado y obtenemos

De la segunda ecuación, obtenemos con v ≠ –3.

Reemplazando en la primera, resulta

Simplificando, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado, 2v^2 = 18, de donde v = ±√9 = ±3. Ponemos v_1 = –3, v_2 = 3. Luego, con lo cual y = ±√1 = ±1. Ponemos y_1=-1,y_2=1.

Como se sigue que x = vy. Entonces, x_1 = v_2y_1 = 3 × (–1) = –3, x_2 = v_2y_2 = 3 × 1 = 3. Por otro lado, como  con v ≠ –3,

la solución v_1 = –3 queda descartada, pues para v_1 = –3 la variable y no está definida. Así, la solución del sistema de ecuaciones no lineales propuesta está dada por el conjunto S, constituido por (x_1, y_1), (x_2, y_2), o sea, S = {(–3, –1), (3, 1)}.

Modelos matemáticos con funciones cuadráticas

DCCD: M.5.1.31. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, que pueden ser modelizados con funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos.

● Modelos matemáticos con funciones cuadráticas

Saberes previos

¿Qué es un modelo matemático?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué factores intervienen en el crecimiento urbano de la ciudad?

Crecimiento del área urbana de una ciudad

Para la planificación de las ciudades, es muy importante encontrar o construir funciones a partir de datos históricos que permitan calcular, en forma aproximada, su crecimiento. En este ejemplo, se plantea el crecimiento que experimenta el área urbana de una pequeña ciudad del Ecuador. En la siguiente tabla se muestran los resultados:

Año | t | Área urbana aproximada (km²)
1950 | 0 | 15,0
1970 | 20 | 23,0
1990 | 40 | 39,8
2007 | 57 | 61,0

^Fuente: Dr. H. Benalcázar, 2017

Conexiones con las TIC

Visita el siguiente enlace:

www.mayedu.ec/matbu1/p148

Esta actividad ampliará tu conocimiento sobre la aplicación de ecuaciones cuadráticas para resolver problemas en situaciones del mundo real.

Nótese que al año 1950 se lo asocia con 0; a 1970, con 20; a 1990, con 40; y al año 2007, con 57. Estos datos se grafican en el sistema de coordenadas rectangulares (Figura 3.16.).

▲ Figura 3.16.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

François Viète (Francia, 1540-1603)

Fue un matemático francés que consideró las ecuaciones cuadráticas de la manera general, ax^2 + bx + c = 0, donde a, b, c son cantidades conocidas. Gracias a esto, es posible escribir la fórmula de resolución de la ecuación cuadrática para resolver ecuaciones de este tipo y convertir otras reducibles a cuadráticas.

▲ François Viète

Se asume que el crecimiento es continuo, lo que permite trazar una curva continua que pasa por dichos puntos. El crecimiento que experimenta la ciudad se modela con una función cuadrática de la forma  donde a, b, c ∈ℝ son constantes. Para esa información, se ha encontrado que a = 15, b = 0,18, c = 0,001, con lo que la función A se escribe como sigue:

A(t) = 15 + 0,18t + 0,011t^2 = 15 + t(0,18+0,011t), t ≥ 0.

Nótese que A(0) = 15, A(20) = 23, A(40) = 39,8, A(57) = 60,999 y A(0) < A(20) < A(40) < A(57). De manera general, si t_1 , t_2 ∈ℝ^+ con t_1 < t_2, se tiene A(t_1) < A(t_2), es decir que la función A es estrictamente creciente.

Por otro lado, de mantenerse la misma tendencia de crecimiento urbano de esta ciudad, para los años 2015, 2020, 2030 y 2050, ¿qué áreas urbanas aproximadas experimentará esta ciudad?

En la siguiente tabla se muestran los resultados de A(t) en t = 65, 70, 80, 100:

Año | t | A(t)
2015 | 65 | 73,175
2020 | 70 | 81,5
2030 | 80 | 99,8
2050 | 100 | 143,0

^Fuente: Dr. H. Benalcázar, 2017

Nota. Los modelos matemáticos de crecimiento urbano son mucho más complejos que los que estamos proponiendo en esta parte.

Eje transversal

Ciudadanía

Al analizar los modelos de crecimiento urbano surgen, sin duda alguna, innumerables preguntas como las anotadas en esta página. Las soluciones a todas estas interrogantes y a otras conducen a establecer estrategias de planificación urbana y a implementar soluciones para mejorar la calidad de vida de la población.

Sin embargo, nos interesa la información cuantitativa que obtenemos de este modelo simple para fines de planificación. Así, junto con este crecimiento del área urbana, crecen también las necesidades, algunas de las cuales se plantean como interrogantes:

- ¿Cuánta agua potable se requerirá sucesivamente?
- ¿Cuántos kilómetros de alcantarillado se deberán construir?
- ¿Cuáles serán los nuevos consumos eléctricos?
- ¿Cuántas escuelas y colegios deben construirse y cuántos docentes deben incorporarse sucesivamente?
- ¿Cuánta basura se producirá?
- ¿Cuántas rutas de transporte deberán generarse?
- ¿Cuántos policías deberán incorporarse para la seguridad ciudadana?
- ¿Cuántos recursos económicos deberán invertirse?

Estas son solo unas pocas interrogantes de las muchas que podemos plantear. Entonces, te dejamos como ejercicio reflexionar acerca de ellas y proponer otras en torno al crecimiento de la ciudad.

Igualmente, te recomendamos investigar cómo obtener información y procesarla para responder cada una de las preguntas planteadas. Por último, te recomendamos también indagar sobre modelos mucho más complejos que conduzcan a soluciones mucho más precisas.

▲ Desarrollo urbano de una ciudad.

El conjunto ℝ2. Operaciones

DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adición entre elementos de ℝ^2^ y de producto por un número escalar de manera analítica aplicando propiedades de los números reales.

● El conjunto ℝ^2. Operaciones

Saberes previos

¿Qué es el sistema de coordenadas cartesianas?

Desequilibrio cognitivo

El par ordenado (a, b) es igual al par ordenado (b, a). Explica.

Adición en ℝ^2

Definición

Sean U = (a,b), V = (c,d) dos elementos de ℝ^2. Se define la suma de U con V, que se escribe U + V, como sigue:

U + V = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

La definición expresa que la suma de dos elementos de ℝ^2 se realiza sumando sus respectivos componentes. El resultado es otro elemento de ℝ​^2.

Recuerda que...

Se designa con ℝ^2 al producto cartesiano ℝ×ℝ. Esto es,

ℝ^2 = {(x , y)| x , y ∈ ℝ}.

Los elementos de ℝ^2 son pares ordenados. Si (x,y) ∈ℝ^2 ,x ∈ℝ se denomina primera componente o abscisa y ∈ ℝ se denomina segunda componente u ordenada.

A los elementos de ℝ^2 los representamos con las letras mayúsculas del alfabeto, y a sus componentes, siempre con letras minúsculas del alfabeto o con subíndices. A es un par ordenado, esto es, existen a, b ∈ ℝ, tal que A = (a, b). Se tiene la siguiente equivalencia, A∈ ℝ^2 ⟺ ∃a, b ∈ ℝ, tal que A = (a, b).

Ejercicios resueltos

1. Sean U = (−5, 8), V = (3,5; −6,3). Entonces

      U + V =(−5, 8) + (3,5; −6,3) = (−5+3,5; 8−6,3) = (−1,5; 1,7).

2. Dado a ∈ℝ, se definen U = (a, −a), V = (−a, a) ∈ℝ^2.

      Entonces U + V = (a, −a)+(−a, a) = (a−a,−a+a) = (0, 0) = O.

3. Dado a ∈ ℝ y U = (a, −5a) ∈ ℝ^2, se tiene

      U + O = (a, −5a) + (0, 0) = (a + 0, −5a + 0) = (a, −5a) = U.

De la definición precedente, se sigue que la suma de dos elementos de ℝ^2 es otro elemento de ℝ^2. Más aún, la operación adición en ℝ^2 es una ley de composición interna. Esto es, "+" es una función de ℝ^2 ×^ ℝ^2 en ℝ^2, definida como sigue:

donde U + V está arriba definido. Se tiene así la propiedad clausurativa, que se expresa del modo siguiente:

                                         ∀ U, V ∈ ℝ^2 ⇒ U + V ∈ ℝ^2.

Antes de describir otras propiedades de la adición en ℝ^2, es conveniente recordar las propiedades de la adición de números reales.

Propiedades de la adición en ℝ^2

La operación "+" en ℝ^2 satisface las propiedades siguientes:

i. Conmutativa: para todo U, V ∈ ℝ^2, U + V = V + U.

ii. Asociativa: para todo U, V, W ∈ ℝ^2, U + (V + W) = (U + V) + W.

iii. Existencia del elemento neutro: existe O ∈ ℝ^2, tal que para todo U ∈ ℝ^2, U + O = O + U = U.

iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada U ∈ ℝ existe V ∈ ℝ^2, tal que U + V = O.

Recuerda que...

Propiedades de la adición de números reales

i. Conmutativa: para todo x, y ∈ ℝ, x + y = y + x.

ii. Asociativa: para todo x, y, z ∈ ℝ, x + (y + z) = (x + y) + z.

iii. Existencia del elemento neutro: existe 0 ∈ ℝ, tal que para todo x ∈ ℝ, x + 0 = 0 + x = x.

iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada x ∈ ℝ, existe –x ∈ ℝ, tal que x + (–x) = 0.

Debido a la propiedad asociativa de la operación "+" en ℝ, se escribe x + y + z en vez de x + (y + z) o de (x + y) + z. El elemento neutro es único. Igualmente, dado que x ∈ ℝ, el opuesto aditivo –x es único.

Sean A = (a, b), B = (x, y) ∈ ℝ^2. Diremos que A es igual a B, que se escribe A = B, si y solo si a = x y b = y, es decir, A = B ⇔ a = x ^ b = y.

Demostración

Sean U = (a, b), V = (c, d), W = (p, q) tres elementos arbitrarios de ℝ^2.

i. Conmutativa. De la definición de suma de elementos en ℝ^2, se tiene
U + V = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Además V + U = (c, d) + (a, b) = (c+a, d+b), y por la propiedad
conmutativa de la operación "+" en ℝ, obtenemos
V + U = (a + c, b + d). Por la definición de igualdad de elementos
en ℝ^2, se tiene U + V = V + U=(a + c, b + d).

Conclusión: U + V = V + U.

ii. Asociativa. Por la definición de la adición "+" en ℝ^2, se tiene
V + W = (c, d)+(p, q) = (c + p, d + q).

Luego, y debido a la propiedad asociativa de la adición en ℝ,
resulta U + (V + W)= (a, b) + (c + p, d + q), a + (c + p)= a + c + p,
b + (d + q) = b + d + q, con lo cual
U + (V + W) = (a + c + p, b+ d + q).

Por otro lado, U + V = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). Luego,
(U + V) + W = (a + c, b + d) + (p, q) = ((a + c)+ p,(b + d)+ q).

Por la misma propiedad asociativa de la adición en ℝ, se obtiene
(U + V) + W = (a + c + p, b + d + q).

De la definición de igualdad de elementos de ℝ^2, se concluye que
U + (V + W) = (a, b) + (c + p, d + q) = (a + (c + p), b + (d + q)),
U + (V + W) = (U + V) + W = (a + c + p, b + d + q).

Conclusión: U + (V + W) = (U + V) + W.

iii. Existencia del elemento neutro. El elemento O = (0, 0) pertenece a ℝ^2, donde 0∈ℝ es el elemento neutro.

Entonces, U + O = (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0).

Como a + 0 = a, b + 0 = b se sigue que U + O = (a + 0, b + 0) = (a, b) =U.

Conclusión: O∈ℝ^2 es tal que para todo U∈ℝ^2, U∈ℝ^2, U + O = U.

De manera similar, se prueba que O + U = U.

iv. Existencia de opuestos aditivos. Dado U = (a, b) ∈ℝ^2 y como a, b ∈ ℝ, por la existencia de opuestos aditivos en ℝ, existen –a, –b ∈ ℝ ,
tal que a + (−a)= 0, b+(−b)= 0. Definimos V =(−a,−b)∈ℝ^2.

Entonces U + V = (a, b) + (−a,−b) = (a + (−a), b +(−b)) = (0,0) = O.

Conclusión: dado U = (a, b) ∈ℝ, existe V =(−a,−b) ∈ℝ^2, tal que U + V = O.

Ejercicios resueltos

1. Sean U = (2, 3), V = (4, –1), W = (8, –10). Entonces,

U + V + W = (2,–3) + (4,–1) + (8,–10) = (2 + 4 + 8, –3–1–10) = (14, –14).

Recuerda que...

Notaciones

1. Por la propiedad asociativa de la adición "+" en ℝ^2, escribiremos U + V + W en vez de U + (V + W) o de (U + V) + W. Además, si U = (a, b), V = (c, d), W = (p, q), entonces U + V + W = (a + c + p, b + d + q).

2. Debido a la existencia de opuestos aditivos en ℝ^2, dado U = (a, b)∈ ℝ^2, el opuesto aditivo de U es V = (–a, –b), que se nota con –U. Esto es, –U = (–a, –b), con lo que la citada propiedad se expresa del modo siguiente: para cada U ∈ ℝ^2 existe – U ∈ ℝ^2, tal que U + (–U) = 0.

Grupo conmutativo (ℝ^2, +)

El conjunto ℝ^2 en el que se ha definido la igualdad de elementos de ℝ^2, junto con la operación adición "+", tiene estructura algebraica de grupo abeliano o conmutativo. Esto es, la operación adición "+" es cerrada en ℝ^2 y satisface las propiedades desde el literal i. hasta el literal iv. de las propiedades en ℝ^2.

Resta en ℝ^2

Definición

Sean U = (a, b), V = (c, d) ∈ℝ^2. Se define U – V como sigue:

U − V = U + (−V ) = (a − c, b − d).

Obsérvese que el opuesto aditivo de V = (c, d) ∈ℝ^2 es –V = (–c, –d) ∈ℝ^2 y que U – V se opera como la suma de U con el opuesto aditivo de V.

Teorema

Sean U = (a, b), V = (c, d) dos elementos de ℝ^2.

Entonces −(U + V) = (−U) + (−V).

La demostración se propone como ejercicio para el estudiante.

Teorema

Ley cancelativa

Para todo A, B, C ∈ℝ^2, A+ B = A + C ⇔ B = C.

Demostración

⇒) Probemos la implicación A+ B = A + C ⇒ B = C. Supongamos que se tiene A+ B = A + C. Mostremos que B = C. En efecto, como A ∈ ℝ^2, existe – A ∈ ℝ^2 opuesto aditivo de A, tal que A + (−A) = O.

Entonces, por la existencia de elemento neutro y por las propiedades conmutativa y asociativa, se tiene:

B = B + O = B + A + (−A) = (A + B) + (−A) = A + C + (−A) = C + A + (−A) = C + O = C.

Así,  A+ B = A +C ⇒ B = C.

⇒) Supongamos que B = C. Mostremos que A + B = A + C

Puesto que la operación adición "+" en ℝ^2 es una función de ℝ^2 ×^ ℝ^2 en ℝ^2, se sigue que al par (A, B) lo asocia el único elemento A + B de ℝ^2 y como B = C, en la suma A + B, se reemplaza C por B y se tiene A+ B = A+ C.

Conclusión: A+ B = A + C ⇔ B = C.

Teorema

i. El elemento O de ℝ^2 es único.

ii. Dado U∈ℝ^2, el opuesto aditivo –U∈ ℝ^2 es único.

Demostración

i. Supongamos que existe otro elemento nulo P de ℝ^2, tal que para todo U∈ ℝ^2, P + U = U, y en particular para U = O ∈ ℝ^2, se tiene P + O = O. Como O∈ ℝ^2 es tal que O + U = U, realizando U = P ∈ ℝ^2 y reemplazando en la igualdad precedente, se tiene O + P = P. Así, O = P + O = O + P = P, que contradice la hipótesis. Por lo tanto, O∈ ℝ​^2 es único.

ii. Se propone como ejercicio.

Recuerda que...

Antes de describir las propiedades del producto de escalares por elementos de ℝ^2, recordemos algunas propiedades del producto “∙” de números reales.

i. Conmutativa: para todo x, y ∈ ℝ, x ∙ y = y ∙ x.

ii. Asociativa: para todo x, y, z ∈ ℝ, x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z.

iii. Existencia de elemento unidad: existe 1∈ ℝ tal, que para todo x ∈ ℝ, 1 ∙ x = x.

iv. Existencia de opuestos multiplicativos: para cada x ∈ ℝ, x ≠ 0, existe

^ , tal que xx^–1 = 1.

La adición y el producto de números reales están ligados por la propiedad distributiva: para todo x, y, z ∈ ℝ, x (y + z) = xy + xz.

El conjuntoℝ^2 en el que se ha definido la igualdad, la operación adición "+" con la que (ℝ^2, +) es grupo conmutativo, y el producto de escalares por elemento de ℝ^2 que verifican las propiedades del i al iv del Teorema precedente, tiene estructura de espacio vectorial.

El conjunto ℝ con la adición "+" y el producto "×" tiene también estructura de espacio vectorial, pues tiene propiedade similares a las del espacia ℝ^2.

Producto de escalares por elementos de ℝ^2

En lo sucesivo, a los elementos de ℝ los denominamos escalares.

Definición

Sean a ∈ ℝ y U = (x, y) ∈ ℝ^2. Se define el producto de a por U, que se escribe a . U, como sigue: a ∙ U = a ∙ (x, y) = (ax, ay).

De la definición, se sigue que el producto de un número real por un elemento de ℝ^2 es otro elemento de ℝ^2, cuyos componentes son los productos del número real por los respectivos componentes del par ordenado.

El producto de escalares (números reales) por pares ordenados de ℝ^2 es una operación a la que notamos "∙"  y es una función de ℝ × ℝ^2 en ℝ^2 definida como sigue:

con a ∙ U arriba definido. Además, se asume que a.U = U.a = (ax , ay), donde a∈ℝ, U = (x , y)∈ ℝ^2. Siempre que no haya peligro de confusión, se escribirá aU en lugar de a.U.

Ejercicios resueltos

1. Para se tiene

2. Sea U = (a, b) ∈ℝ^2. Como a, b ∈ ℝ y 0∙a = 0, 0∙b = 0, entonces
0∙U = 0∙(a, b) = (0 × a, 0 × b) = (0, 0) = O.

Conclusión: para todo U ∈ ℝ^2, 0∙U = O

3. Sea a ∈ ℝ. Entonces a∙O = a∙(0, 0) = (a × 0, a × 0) = (0, 0) = O.

Conclusión: para todo a ∈ ℝa, a∙O = O.

Propiedades del producto de escalares por elementos de ℝ^2

Teorema

Para todo a, b ∈ ℝ y para todo U, V ∈ ℝ^2, se verifican las siguientes propiedades:

i.    a(bU) = (ab)U = b(aU).

ii. (a + b)U = aU+ bU.

iii. a(U + V) = aU + aV.

iv. 1∙V = V.

Demostración de la propiedad 2

i. Por la definición del producto de números reales por pares ordenados de ℝ^2 y la propiedad distributiva en ℝ, se tiene:

(a + b) U = (a + b) (p, q) = ((a + b) p; (a + b) q).

Por otro lado, aU + bU = a(p, q) + b(p, q) = (ap, aq) + (bp, bq) = (ap + bp, ap + bq) = ((a + b) p, (a + b) q).

Por la definición de igualdad de elementos de ℝ^2, se concluye que (a + b) U= aU + bU= ((a + b) p, (a + b) q).

Conclusión: para todo a, b ∈ ℝ, U ∈ ℝ​^2, (a+ b) U = aU + bU.

Interpretación geométrica de las operaciones en ℝ2

DCCD: M.5.2.6. Reconocer los vectores como elementos geométricos de ℝ^2.

● Interpretación geométrica de las operaciones en ℝ^2

Saberes previos

¿Qué es la norma de un vector?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo se determina la adición de vectores en ℝ^2?

Consideremos el sistema de coordenadas rectangulares xy y denotemos con O el punto de intersección del eje x con el eje y.

Sea A = (a, b)  ∈ ℝ^2. Representamos el punto A en este sistema de coordenadas y asociamos al punto A el vector geométrico ^ , con lo que se establece una identificación entre los vectores geométricos ^ y los puntos A de ℝ^2.

Notación. Debido a la identificación entre los elementos de ℝ​^2 y los vectores geométricos, escribimos ^ = (a, b)  ∈ ℝ^2 al vector geométrico ^ . Esto justifica, en parte, la escritura de los elementos de ℝ^2 como ^ , ^ , ^ , etc., que arriba se ha mencionado. En la gráfica de la Figura 3.17. se muestra el vector.

▲ Figura 3.17.

Recuerda que...

El punto A = (a, b) ∈ ℝ^2 se representa en la forma habitual como punto del plano y luego se identifica con el vector ^ , que a su vez se identifica con el vector geométrico ^ .

Interpretación geométrica de la suma de vectores

Sean A = (a_1, b_2), B = (a_1, b_2) dos elementos de ℝ^2. Representemos geométricamente los vectores ^ y ^ . Tracemos, por el extremo del vector ^ , el vector ^ . Luego, el vector geométrico que une el origen con el extremo del vector trasladado ^ al extremo de ^ es la suma ^ + ^ , que coincide con el punto

^ + ^ = (a_1 + a_2, b_1 + b_2). De manera similar, por el extremo del vector ^ , tracemos el vector ^ . El vector resultante que une el origen con el extremo del vector trasladado ^ al extremo de ^ es la suma ^ + ^ , que coincide con la representación del par ordenado (a_1 + a_2, b_1 + b_2). En la Figura 3.18. se muestra la representación geométrica de ^ + ^ .

▲ Figura 3.18.

Interpretación geométrica del producto de un escalar por un vector

Sean ^ = (a, b)∈ ℝ^2, λ∈ ℝ. A continuación, se presenta la interpretación geométrica del producto λA. Para el efecto, trazamos el vector ^ y consideramos tres casos: λ>0, λ=0, λ<0. Si λ>0, el vector λ ^ tiene la misma dirección y sentido que el vector ^ . Si λ = 0, λ ^ = 0, ^ = 0 es el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Si λ<0, el vector λ ^ tiene la misma dirección que ^ , pero es de sentido opuesto a ^ . En los tres casos, λ ^ = (λa, λb). En la Figura 3.19. se muestran el caso λ<0 y el caso λ>0.

▲ Figura 3.19.

Ejercicios resueltos

1. Sean ^ = (3, 2), ^ = (−2, 1) .Entonces ^ + ^ = (1, 3). En la Figura 3.20. se muestran los vectores ^ , ^ y ^ + ^ .

2. Sean Entonces

En la Figura 3.21. se muestran los vectores ^ , ^ , α^ y β^ .

▲ Figura 3.20.

▲ Figura 3.21.

▲ Figura 3.22.

Vectores colineales

Definición

Sean u, v ∈ ℝ^2 con u ≠ 0. Se dice que los vectores ^ y ^ son colineales si y solo si existe un número real λ∈ ℝ, tal que ^ = λ^ .

En la definición precedente, nótese que si λ > 0, los vectores ^ y ^ tienen la misma dirección y sentido. También, si λ < 0, los vectores ^ y ^ tienen la misma dirección, pero son de sentidos opuestos. En la Figura 3.22. se muestran dos vectores colineales a ^ para los dos casos λ > 0 y λ < 0.

Recuerda que...

Puesto que ^ , el vector nulo es colineal a todo vector de ℝ^2.

Dos vectores no nulos de ℝ^2 se dicen linealmente independientes si no son colineales.

Los vectores colineales se dicen también linealmente dependientes.

Tres vectores no nulos de ℝ^2 son linealmente dependientes. Investiga por qué.

Ejercicio resuelto

1. Sea ^ = (3, 1) y λ∈ ℝ. Entonces ^ = λ^ = λ(3, 1) = (3λ, λ) es colineal a ^ . Para λ = 2, se obtiene ^ = (6, 2) y para λ = –1, se tiene ^ = (-3, -1). En la Figura 3.23. se muestran los vectores ^ y ^ colineales a ^ .

▲ Figura 3.23.

2. Los vectores ^ (1, 2), ^ (1, 3) no son colineales. Sin embargo, supongamos que lo son. Entonces, existe x ∈ ℝ tal que ^ = x^ .

Luego,

De la primera igualdad, se obtiene x = 1. Al reemplazar x = 1 en la segunda igualdad, resulta 3 = 2, lo que es un absurdo. Este hecho se produce por haber supuesto que los vectores ^ , ^ son colineales. Lo correcto es que ^ , ^ no son colineales.

Teorema

Sean ^ = (a, b), ^ = (c, d) dos vectores de ℝ^2 con ^ . Entonces, ^ y ^ son colineales si y solo si ac − bd = 0.

La demostración se deja como investigación para el estudiante.

El espacio euclídeo ℝ2

DCCD: M.5.2.7. Calcular el producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector para determinar la distancia entre dos puntos A y B en ℝ^2^ como la norma del vector AB. M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con operaciones y elementos en ℝ^2^, apoyándose en el uso de las TIC (software como GeoGebra, calculadora gráfica, applets e Internet).

● El espacio euclídeo ℝ^2

Saberes previos

¿Cuál es el enunciado del teorema de Pitágoras?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo pruebas que dos vectores son ortogonales?

En esta sección, estudiaremos el espacio vectorial ℝ^2 que posee una estructura adicional conocida como espacio con producto escalar, producto interno o producto punto.

Producto escalar en ℝ^2

Definición

Sean ^ , ^ ∈ ℝ^2 con ^ = (a_1, b_2), ^ = (a_1, b_2). Un producto escalar de ^ con ^ representado por ^ ∙^ está definido como ^ ∙^ = a_1a_2 + b_1b_2.

El número real ^ ∙^ se llama producto escalar, producto punto o producto interior de ^ con ^ .

Nótese que el producto escalar de dos vectores de ℝ^2 es un número real.

Recuerda que...

El producto escalar en ℝ^2 que hemos definido es el más utilizado. Cabe precisar que un producto escalar en ℝ^2 es una función

y satisface las propiedades similares desde el literal i. hasta el iv. del teorema precedente.

Teorema

Sean El producto escalar en ℝ^2 arriba definido satisface las propiedades siguientes:

i.
ii.
iii.
iv.

Ejercicios resueltos

1. Sean . Entonces,  .
2. Sean . Entonces, .

Demostración

Sean tres elementos de ℝ^2.

i. De la definición de producto escalar, se tiene

ii. En primer lugar,
      Luego, por la definición del producto escalar en ℝ^2, obtenemos
       entonces

     Luego,

Las otras propiedades se proponen como ejercicios para el estudiante.

Definición de Subespacio Vectorial

Un subconjunto V de ℝ^2 es un subespacio vectorial de ℝ^2 si este con las mismas operaciones de adición "+" y producto de escalares por elementos de ℝ^2, satisface las mismas propiedades del espacio vectorial ℝ ^2.

Ejemplo

V = {t(a, b)|t ∈ ℝ}, donde (a, b) ∈ ℝ^2 no nulo, es un subespacio vectorial de ℝ^2.

Recuerda que...

En las figuras siguientes, se muestran el vector y el triángulo rectángulo que se forma con el eje X. Obsérvese que en el punto de abscisa a, se tiene el ángulo recto.

 = | a| ∀ a ∈ ℝ. Si = (a, 0) con a ∈ ℝ, entonces .

Longitud o norma de un vector

Otro de los conceptos importantes en matemática, y muy particularmente en la geometría analítica plana, es el de norma de un vector. En el caso del producto escalar habitual, esta norma coincide con la longitud del vector.

Definición

Sea (a, b) ∈ ℝ^2. La longitud o norma de que se nota se define como .

Nótese que para todo (a, b) ∈ ℝ^2, por la propiedad iv. de la definición de producto escalar, se tiene , con lo cual está bien definido.

Ejercicios resueltos

1. Sea = (4, 3). Entonces, , luego
^ .
2. Si = (0, 0), entonces , y  .

Propiedades de la norma de un vector

Se verifican las siguientes propiedades:

Demostración

i. Sea ∈ ℝ ^2. Por la propiedad iv. de la definición del producto escalar, se tiene que , luego .

El resto de propiedades se deja al estudiante como investigación.

Ejercicio resuelto

1. Sean . Verifiquemos las desigualdades de Cauchy-Schwarz. Tenemos:

▲ Figura 3.24.

Distancia entre dos puntos

Definición

Sean (a, b), = (c, d) ∈ ℝ^2 . Se llama distancia de a , que se nota , al número real no negativo .

Ejercicio resuelto

Los vértices de un triángulo son los vértices . = (−2, 1), = (1, 2), = (2, −3).

Primero, determinemos el perímetro del triángulo (Figura 3.24.). Para el efecto, calculemos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo. Tenemos

y de la definición de distancia entre dos puntos, obtenemos

Consecuentemente, el perímetro p es

Recuerda que...

Teorema

Sean , , ∈ ℝ^2. La distancia entre dos puntos de ℝ^2 verifica las propiedades siguientes:

(desigualdad triangular).

El espacio ℝ^2, provisto de la métrica o distancia d, se llama espacio métrico y se escribe (ℝ^2, d).

Ortogonalidad

Definición

i. Sean ,  ∈ ℝ^2. Se dice que es ortogonal o perpendicular a , que se escribe si y solo si

ii. Sean ∈ ℝ^2 y S⊂ℝ^2 con S ≠ ∅. Se dice que S es ortogonal al conjunto S, que se escribe ⟘ S, si y solo si .

iii. Sean R∙S dos subconjuntos no vacíos de ℝ^2. Se dice que R es ortogonal a S, que se escribe R ⟘ S, si y solo si

iv. Sea S ⊂ℝ^2 con S ≠ ∅. Se dice que S es un conjunto ortogonal si con A ≠ B.

v. Sea S ⊂ℝ^2 con  S ≠ ∅. El complemento ortogonal de S se nota con S^⟘ y se define como el conjunto

▲ Figura 3.25.

▲ Figura 3.26.

Ejercicios resueltos

1. Sean = (−2, 1), = (1, 2). (Figura 3.25.).
Entonces  ⟘  , pues  =  −2 + 2 = 0.
2. Sean  = (−2, 1) y S = {t (1, 2) | t ∈ ℝ}. Entonces, ⟘ S. En efecto, sea B ∈ S, entonces B es de la forma = t (1, 2) =(t, 2t) t ∈ ℝ.
Luego,  =  (−2)t + 2t = 0. Así, = 0 ∀ ∈ S. Nótese que el conjunto S es un subespacio de ℝ^2, que se identifica con una recta que pasa por el origen y es paralela al vector = (1, 2), llamado vector director de la recta.

En la Figura 3.26. se muestran el vector , el vector ∈ S y la recta S. Obsérvese que el símbolo ◇ ha sido dibujado para indicar que el vector ​ y el conjunto S forman un ángulo recto en el punto O.

Ángulo entre dos vectores

Recuerda que...

El teorema de Pitágoras enuncia que, en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este resultado es extendido al espacio euclídeo ℝ^2.

Teorema de Pitágoras

Sean A, B ∈ ℝ^2. Entonces, A⟘B si y solo si .

Definición

Sean ,  ∈ ℝ^2 no nulos. El ángulo θ ∈ [0, π] entre los vectores y ​ se define como .

De la definición del ángulo entre los vectores y , se sigue que con lo cual cos (θ) = 0, de donde

Por este motivo, dos vectores perpendiculares u ortogonales forman un ángulo recto.

Ejercicio resuelto

Los vértices de un triángulo son los puntos A = (0, 0), Calcular las medidas de los ángulos interiores del triángulo. En la Figura 3.27. se muestran los ángulos interiores del triángulo T.

▲ Figura 3.27.

Recuerda que...

Ley de cosenos

Sean  ,  ∈ ℝ^2 no nulos y θ ∈ [0, π] el ángulo que forman los vectores y . Como resulta que .

Cálculo de α. Sean ,  los vectores que se definen a continuación:

Entonces, Luego,

Cálculo de β. Para el efecto, se definen los vectores , , como sigue:

Calculamos sus longitudes y el producto, y obtenemos

Por lo tanto, ,  son ortogonales y, en consecuencia,

Así,

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y los problemas de desarrollo urbano

¿Qué tiene que ver la matemática con los problemas de movilidad y, como consecuencia, con el tránsito y el transporte? En realidad, mucho. En el desarrollo urbano, este tipo de problemas implica el uso de suelo, la asignación de rutas y frecuencias, la semaforización y la señalización, entre otros aspectos. Mediante una simulación, se puede predecir el comportamiento de las rutas de los buses y determinar los paraderos en los cuales las personas van a tomar el bus o donde llegan y se bajan de estos vehículos. De igual manera, estos procesos permiten establecer la sincronización de los semáforos de la ciudad y el tiempo que se toman los transportes de uso masivo para realizar su recorrido. La matemática, en este sentido, ayuda a planificar y a organizar el tránsito y un transporte masivo de calidad, sin dar lugar a la improvisación.

▲ Quito histórico y trolebus.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Maestría en Ingeniería Vial

Para optar por una Maestría en Ingeniería Vial, primero debes haber obtenido tu título de tercer nivel, de preferencia en Ingeniería Civil o Arquitectura, en una de las universidades legalmente reconocidas por el Senecyt.

El profesional graduado de Ingeniería Vial fundamenta sus acciones en una sólida formación científica, en la que las ciencias básicas, matemática, física, química y materiales constituyen el pilar fundamental y el cimiento sobre el que descansa la ingeniería.

El profesional graduado de la maestría en Ingeniería Vial está en condiciones de manejar las tecnologías modernas, realizar modelizaciones y simulaciones para la ubicación geográfica de las carreteras, desarrollar diseños geométricos y diseños estructurales de pavimentos, manejar políticas y planes viales públicos y privados, además de utilizar materiales y técnicas que eviten desperdicios y garanticen un buen nivel de servicio en las carreteras.

El entorno de trabajo de un magíster en Ingeniería Vial son las instituciones públicas y privadas, como ministerios, municipios, consejos provinciales, Policía Nacional, concesionarias, constructoras privadas y, en general, instituciones relacionadas con el sector vial.

Adaptado de http://www.puce.edu.ec/documentos/IngVial.pdf

▲ Trabajos de vías en construcción.

TIC

TIC

Uso de GeoGebra para determinar la solución gráfica de un sistema de ecuaciones cuadráticas

Sean (x , y) ∈ ℝ^2, determinar gráficamente la solución del sistema de ecuaciones:

Uso de GeoGebra en aplicaciones geométricas con elementos de ℝ^2

En el triángulo de vértices A (1, 1), B (–3, 2), C (–1, –4), determinar el perímetro y sus ángulos interiores.

Cálculo del perímetro

Cálculo de los ángulos interiores

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Construcción de fórmulas cuadráticas para contar colecciones

Recursos

- Una caja de palillos o paletas de helado por estudiante
- Mesa o tablero para armar las figuras
- Lápices y cuaderno para realizar los cálculos respectivos

Justificación

Muchas situaciones de razonamiento lógico están ligadas al conteo de elementos de una figura cuyo tamaño varía. Para lograr el conteo es necesario construir o deducir una fórmula cuadrática que cuente la cantidad de elementos que hay en una determinada figura o colección de figuras.

El momento en el que desafiamos a los estudiantes con actividades como la que planteamos en este proyecto es cuando cobra sentido la escritura de x^2, pues el trabajo algebraico que deben desarrollar surge de la necesidad de dar soluciones a situaciones reales.

Objetivos

- Deducir una fórmula cuadrática que cuente el número de palillos que se deben usar para formar una figura cuadrada con 3, 4, 5 palillos de base y luego determinar cuántos palillos se han de usar para formar una figura cuadrada con 56 palillos de base.

Actividades

▲ Series con palillos.

- Dividan el número de estudiantes del aula en grupos de 2 o 3 personas.
- Con palillos, armen un cuadrado reticulado como el de la figura, de la siguiente forma:
Este cuadrado tiene 3 palillos de lado.
- En grupo, analicen y respondan las siguientes preguntas:
– ¿Cuántos palillos se necesitan para armar esta figura?
– ¿Cuántos palillos se necesitan para armar una figura cuadrada cuya base tiene 4 palillos?
– ¿Cuántos palillos se necesitan para armar una figura cuadrada cuya base tiene 5 palillos?
- Extiendan su razonamiento cuando deban armar un cuadrado cuya base tenga 56 palillos.
- Determinen una fórmula que permita calcular la cantidad de palillos que necesitan para armar un cuadrado de n palillos de lado.

Conclusiones

Solicíteles a los estudiantes que muestren los resultados que alcanzaron al realizar este proyecto. Pruebe con el método de ensayo-error. Proponga que realicen una exposición de sus resultados y que luego analicen los razonamientos que los llevaron a obtener la fórmula cuadrática solicitada.

Extrapole este conocimiento con un nuevo desafío, por ejemplo: si n personas asisten a una reunión y todas se dan la mano, ¿cuántos apretones de mano hubo?

En síntesis

En síntesis