Title: Unidad 5.
Course: Matemáticas Plus + 1 BGU > Section: Libro Digital

Polinomios reales con coeficiente en ℝ y distancia de un punto a una recta

Pendiente en rampas de acceso

Según la Constitución de nuestro país, los establecimientos educativos deben cumplir con normas de accesibilidad para personas con discapacidad, eliminando de alguna manera las barreras arquitectónicas.

Para la construcción de rampas de acceso para personas con discapacidad, existen normas mínimas que garantizan su accesibilidad, dependiendo del tipo de edificación.

Así, por ejemplo, en rampas peatonales accesibles, la anchura libre mínima de paso es de 1,80 m, la longitud máxima de cada tramo es de 10,00 m y las pendientes máximas longitudinales, según el tramo, son del 12 %, hasta 1,5 m; del 10 %, hasta 3,00 m; y del 8 % del tramo, hasta 10 m. La pendiente transversal máxima será del 2 % (Discapacidad Online, 2011).

Adaptado de: http://www.minsa.gob.pe/ogdn/cd1/pdf/nls_24/rm072-99-sa.pdf

Bloques curriculares
Geometría y medida
Álgebra y funciones​

  Objetivos

- O.G.M.3. Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problemáticas del medio.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.

Observa y contesta

- ¿Qué entiendes por pendiente?
- ¿En tu colegio existen áreas para que las personas con discapacidad puedan acceder con facilidad?
- ¿Cuál es la longitud máxima de una rampa y qué pendiente máxima puede tener?

Distancia de un punto a una recta

DCCD: M.5.2.12. Calcular la distancia de un punto P a una recta, utilizando la condición de ortogonalidad del vector dirección de la recta y el vector PP’ en la resolución de problemas (distancia entre dos rectas paralelas). M.5.2.13. Determinar la ecuación de la recta bisectriz de un ángulo como aplicación de la distancia de un punto a una recta.

● Distancia de un punto a una recta

Saberes previos

¿Cómo calculas la  distancia de un punto a una recta?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué es un vector generador? Explica tu respuesta.

Sean con un subespacio de ℝ^2. El conjunto V representa, como ya se ha dicho, una recta que pasa por el origen y es paralela al vector . El vector se llama vector generador o director de la recta. Escribiremos, es decir, A esta la denominaremos recta que pasa por el origen y está generada por .
Denotamos con al conjunto definido como

Simbología matemática

V = {t | t ∈ ℝ} es el conjunto que representa a una recta que pasa por el origen y es paralela a .
 es el vector generador de la recta.

L( ) = V es la recta que pasa por el origen y está generado por .
L( , ), es la recta que pasa por y es paralela a la recta L( ​).

▲ Figura 5.1.

El conjunto representa una recta que pasa por y es paralela a En la Figura 5.1. se muestran las rectas

Definición

Sea La distancia de a se nota y se define como

donde es el mínimo de las distancias

del punto al punto de la recta.

Se prueba que la distancia de a la recta se expresa como ||D|| , donde:

Ejercicio resuelto 1

Sean La recta que pasa por y es paralela al vector ​ es el conjunto

Calculemos la distancia de a esta recta Puesto que

^ se sigue que:

luego, de donde

▲ Figura 5.2.

▲ Figura 5.3.

Veamos otra forma de calcular la distancia de a la recta La recta perpendicular a que pasa por está definida como

donde Tal vector se puede seleccionar como La ecuación cartesiana de es x – 2y + 2 = 0, y la ecuación cartesiana de es 2x + y – 4 = 0. Sea Tal punto es solución del sistema de ecuaciones

Se tiene .Luego, el punto de intersección de estas dos rectas es Entonces,

y en consecuencia,

En la Figura 5.2. se muestra el punto (1,2), la recta L(A, B) que pasa por y es paralela a así como la recta ortogonal a L(A, B).

Recuerda que...

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

Bisectriz de un ángulo

Sean S_1, S_2 dos semirrectas. La bisectriz del ángulo formado por las semirrectas S_1 y S_2 es la semirrecta S, cuyos puntos son equidistantes de S_1 y S_2. Las semirrectas S_1 y S_2 se llaman lados del ángulo α. En la Figura 5.3. se muestra el ángulo α con sus lados S_1 y S_2 y la bisectriz S.

Sean con no nulos y no colineales (linealmente independientes). Consideramos las rectas

^

y siendo linealmente independientes, las rectas y se cortan en el único punto Es decir,

^

▲ Figura 5.4.

En la Figura 5.4. se muestran estas dos rectas y el punto .

Sean De la definición de las rectas  existen t_1, t_2 ∈ ℝ, tal que:

^

Entonces,

^

▲ Figura 5.5.

▲ Figura 5.6.

Designamos con α ℝ [0, π] al ángulo que forman estos dos vectores. Sea P = (x, y) ∈ ℝ^2 un punto cualquiera de la bisectriz R. En la Figura 5.5. se muestran las dos rectas y y los puntos seleccionados M y N , así como el punto P en la bisectriz R.

Los ángulos α_1 y α_2 formados por los vectores así como por son congruentes. Esto es, ∡MQP ≅∡PQN , con lo que α_1 = m (∡MQP),  α_2 = m (∡PQN), entonces, En la Figura 5.6. se exhiben los ángulos congruentes que forman los tres vectores , , y  su medida común

De la definición del ángulo que forman dos vectores, se sigue

Luego,

De esta última igualdad, se simplifica ≠ 0, con lo que se obtiene

^

y de esta se deduce la siguiente ecuación:

^

Puesto que resulta

Esta última igualdad define la ecuación cartesiana de la bisectriz R del ángulo α ∈ [0, π], formado por las rectas

Ejercicio resuelto 2

Consideremos las rectas R_1, R_2 de ecuaciones cartesianas:

^

De la definición, resulta

▲ Figura 5.7.

Ponemos Claramente se obtiene con lo que estas dos rectas son ortogonales y con

En la Figura 5.7. se muestran estas dos rectas, junto con los vectores Por la ortogonalidad de estas rectas y su gráfica, la bisectriz del ángulo que forman los vectores es el eje y.

Probemos que efectivamente es así. Para ello, elegimos y designamos con R a la biscectriz. Sea P = (x, y) ∈ ℝ. La ecuación cartesiana de la bisectriz R está definida como:

Interdisciplinariedad

La utilidad del cálculo de las bisectrices se encuentra en la construcción. Por ejemplo, cuando se construye un sitio estratégico (como una estación de policía), la construcción debe ser hecha de tal forma que la respuesta a una llamada de emergencia sea en el menor tiempo posible desde la estación más cercana.

▲ Unidad de Policía Comunitaria.

Así, tenemos los siguientes resultados:

Reemplazando estos resultados en la ecuación de la bisectriz, se obtiene

Es decir, (x, y) = (0, y) ∈ R. Esto es,

R = {(0, y)|y∈R} que es el eje y.

Ejercicio resuelto 3

Sean R_1, R_2 dos rectas definidas como

▲ Figura 5.8.

Estas dos rectas se cortan en el punto (0, 0), que es solución del sistema de ecuaciones

Así, obtenemos

Para x = 0, reemplazando en la ecuación de la recta R_1, obtenemos y = –1 y, reemplazando en la ecuación de la recta R_2, resulta y = 2. Así,

^

Consideramos el ángulo α∈[0, π] que forman estas dos rectas. En la Figura 5.8. se muestran las rectas R_1, R_2, la bisectriz y los vectores y .

La ecuación cartesiana de la bisectriz está definida como sigue:

Conexiones con las TIC

Existen softwares libres, como, por ejemplo, GeoGebra, que permiten el cálculo de las bisectrices de un ángulo.

Tenemos los siguientes resultados:

Reemplazando en la ecuación cartesiana de la bisectriz, se obtiene

en donde

Aplicaciones geométricas del producto escalar en ℝ2. Teorema de Pitágoras

DCCD: M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero, y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con elementos de ℝ^2^ apoyándose con el uso de las TIC.

● Aplicaciones geométricas del producto escalar en ℝ^2. Teorema de Pitágoras

Saberes previos

¿Cuál es el enunciado del teorema de Pitágoras?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué resultado obtienes del producto escalar de dos vectores?

Recuerda que...

El cálculo del producto escalar de dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre sí.

Si son perpendiculares, el ángulo forma 90° y el producto es cero.

En secciones anteriores se trató el producto escalar o producto interno o producto punto en ℝ^2. En esta sección tratamos tres resultados importantes: ley del paralelogramo, el teorema de Pitágoras y la ley de los cosenos. Para el efecto, veamos las propiedades del producto escalar que se presentan en el siguiente teorema.

Teorema

Sean  , ,  ∈ ℝ ^2, α ∈ ℝ. El producto escalar en ℝ^2 satisface las propiedades siguientes:

Demostración.

Sean = ( a_1, b_1), = ( a_2, b_2), = ( a_3, b_3), tres elementos de ℝ^2. Las propiedades i) y iii) son inmediatas, y se dejan como ejercicio. Probamos las propiedades ii) y iv).

ii) En primer lugar,

 +  = (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1+ a_2, b_1 + b_2).

Luego, por la definición del producto escalar en ℝ^2, obtenemos

 ·  = a_1a_3 + b_1b_3_,
 ·  = a_2a_3 + b_2b_3,

entonces

Conclusión:

iv) Es claro que si = (0, 0), se tiene ·  = 0. Supongamos que ·  = 0

De la definición del producto escalar se tiene de donde que implica a_1 = 0; de manera similar, que implica b_1 = 0, con lo cual = (0, 0).
Además, si = ( a_1, b_1) ≠ (0, 0), al menos un componente de es no nulo.

Supongamos a_1 ≠ 0. Entonces,

Así,

Recíprocamente, si al menos uno de los números reales a_1 o b_1 es no nulo. Luego ≠  .

La propiedad i) muestra que el producto escalar en ℝ^2 es conmutativo. Las propiedades ii), iii) pueden escribirse en una sola. Así, sean α, λ ∈ ℝ, ,  ,   ∈ ℝ ^2. Entonces,

La propiedad iv) es la no negatividad del producto escalar. En lo sucesivo, haremos referencia a las propiedades i) a iv) del teorema como propiedades de la definición del producto escalar.

Interdisciplinariedad

Matemática e historia

Pitágoras es muy conocido, a pesar de que no publicó ningún escrito durante su vida. Lo que sabemos de Pitágoras ha llegado a través de otros filósofos e historiadores. Pitágoras fue un filósofo y matemático griego conocido por introducir el teorema que lleva su nombre, que indica que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de los catetos. El teorema no es sólo un postulado geométrico; también tiene aplicaciones en el mundo real.

▲ Pitágoras.

Ejercicios resueltos

1. Sea ∈ ℝ ^2. Si .  = 0 para todo ∈ ℝ ^2, demostrar que = 0. Supongamos que para todo ∈ ℝ ^2 se verifica que  .  = , en particular. Si  =  , se tiene ·  =  y por la propiedad iv) de la definición de producto escalar, se concluye que =  .
2. Sean , ,  ∈ ℝ. Si ·  =  ·  para todo  ∈ ℝ ^2, entonces  = . Supongamos que para todo ∈ ℝ ^2, se tiene ·  =  ·  entonces,   · ( −  ) = 0 para todo ∈ ℝ ^2. En particular para =  −  , se tiene ( −  ) · ( −  ) = 0 y por iv) del teorema precedente, se deduce que −  = 0, o sea, =  .

Ley del paralelogramo

Teorema

Sean , ∈ ℝ ^2. Se verifica

Demostración. De la definición de norma, se tiene

y sumando miembro a miembro estos dos resultados se obtiene

▲ Figura 5.12.

Sean , ∈ ℝ ^2. En la Figura 5.12. se muestran los vectores , y los vectores  +  y   –   que forman las diagonales del paralelogramo. También se muestran los vectores − y  −  .

Un resultado muy conocido de la geometría plana es el famoso teorema de Pitágoras que se enuncia como sigue: en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este resultado es extendido al espacio euclídeo ℝ^2.

Teorema de Pitágoras

Sean , ∈ ℝ ^2. Entonces, ⟘  si y solo si

Interdisciplinariedad

Los geólogos usan el teorema de Pitágoras cuando se rastrea la actividad de un terremoto. Los terremotos tienen dos tipos de ondas: una que es más lenta que la otra. Al triangular la distancia recorrida por la onda más rápida con la correspondiente a la onda más lenta, los geólogos pueden determinar el centro o la fuente del terremoto.

▲ Sismo provincia de Manabí 2016.

Demostración. Debemos probar una equivalencia.

⇒) Supongamos que ⟘  . Por la definición de vectores perpendiculares, se tiene .  = . Luego, de la definición de norma y de las propiedades del producto escalar, se deduce

⇐) Recíprocamente, sean  , ∈ ℝ ^2, tal que Nuevamente, de la definición de norma y de las propiedades del producto escalar, se obtiene

De esta igualdad y por la hipótesis, resulta que

Por la ley cancelativa de la adición (cancelando ), se sigue que .  = con lo cual ⟘  .

Ley de los cosenos

Teorema

Sean , ∈ ℝ ^2 no nulos y θ ∈ [0, π] el ángulo que forman los vectores y  . Entonces,

Demostración. De la definición del producto escalar, se tiene

▲ Figura 5.13.

Como ^ resulta que

En la Figura 5.13. se muestran los vectores ,  ,  −  y el ángulo comprendido entre los vectores y ​.

Proyección ortogonal

Teorema

Sean , ∈ ℝ ^2 no nulos. Existen un vector ∈ ℝ ^2 y

El número real λ se llama coeficiente de Fourier, y está definido como

^

El vector λ se llama proyección de ​ sobre .

▲ Figura 5.14.

Demostración. En la Figura 5.14. se muestran los vectores y , el vector ortogonal a  y a λ (vector colineal a ).

En primer lugar, la condición de ortogonalidad ⟘  significa  ​ ·  = 0,

con lo que se deben encontrar ∈ ℝ ^2  y λ ∈ ℝ, tal que ^

Tomando en consideración la igualdad λ +  =  y multiplicando escalarmente por ambos miembros de la igualdad precedente, se obtiene (λ + ) ·  =  ·  . Por las propiedades del producto escalar, resulta

λ ( ​ ·  ) +  ​ ·  =  ​​ ·

Como  ​ ·  = 0, se sigue que λ ( ​ ·  ) =  ·  de donde

De la igualdad λ +  =  , se obtiene =  − λ . Luego,

^

Los vectores y  son ortogonales.

El conjunto de polinomios con coeficientes reales

DCCD: M.5.1.38. Reconocer funciones polinomiales de grado n (entero positivo) con coeficientes reales en diversos ejemplos. M.5.1.39. Realizar operaciones de suma entre funciones polinomiales en ejercicios algebraicos de simplificación.

● El conjunto de polinomios con coeficientes reales

Saberes previos

¿Cuál es el algoritmo para el cálculo de valores de polinomios?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué es un polinomio en ℝ con coeficientes en ℝ?

Interdisciplinariedad

Matemática y tecnología

El estudio de los polinomios puede ser utilizado para el cálculo de la alineación de antenas electromagnéticas.

Por ejemplo, para obtener una antena ranurada resonante para aplicarla a redes WiFi en la banda de 2,4 GHz. El diseño de la antena se hace empleando los polinomios de Chebyshev para determinar la distribución de la corriente a cada elemento.

▲  Mástil de telecomunicaciones.

En esta sección definiremos los polinomios en ℝ con coeficientes en ℝ, de todos estos polinomios, la igualdad de polinomios y tres operaciones: dos internas, que son la adición y el producto de polinomios; y una exterior, que es el producto de números reales por polinomios.

Definición

Un polinomio en ℝ con coeficientes en ℝ se define como

P(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + ... + a_nt^n,

donde a_0, a_1, a_2, ..., a_n son números reales fijos, n ∈ ℝ y t ∈ ℝ arbitrario.

Los números enteros a_0, a_1, a_2, ..., a_n se llaman coeficientes del polinomio P(t).

Si a_n ≠ 0, al número natural n se lo llama grado del polinomio P(t) y se lo denota con grad(P). Esto es, grad(P) = n. Si a_0 ≠ 0, a_i = 0, i = 1, ...,n, grado(P) = 0.

Si a_i = 0, i = 0,1, ..., n, P(t) es el polinomio nulo. Es decir que P(t) = 0 para todo t ∈ ℝ. El grado del polinomio nulo no se define.

Debe notarse que para todo t ∈ ℝ, t^k , k = 0,1, ..., n es la potencia de un número real con exponentes naturales.

El polinomio P(t) se dice que está ordenado en forma decreciente con relación a las potencias de t, si este se escribe como:

P(t) = a_nt^n + ... + a_1t + a_0.

Esquema de Hörner

Consideremos el polinomio siguiente, ordenado en forma ascendente:

P(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + ... + a_nt^n.

Dado t ∈ ℝ, para calcular P(t), utilizamos la siguiente escritura de P(t):

P(t) = a_0 + t(a_1 + a_2t + ... + a_nt^n–1) = a_0 + t(a_1 + t (a_2 + a_3t + ... + a_nt^n–2)) = ...
= a_0 + t(a_1 + t (a_2 + t(a_3 + ... + t(a_n–1 + a_nt)...))).

A esta escritura se lo denomina esquema de Hörner. Para calcular P(t) en un asignado punto t ∈ ℝ, escribimos, en primer lugar, P(t) en la forma del esquema de Hörner.

P(t) = a_0 + t(a_1 + t(a_3 + ... + t(a_n–1 + a_nt)...))).

A continuación, el cálculo de P(t) se inicia desde el paréntesis más interno hacia los más externos.

Recuerda que...

Al conjunto constituido por todos los polinomios en ℝ con coeficientes en ℝ lo denotamos con 𝕂 [ℝ].

Asumiremos que cada elemento está ordenado de forma creciente o decreciente con respecto de las potencias de t de la variable, en nuestro caso t.

El polinomio P se dice de grado 1 si grad(P) = 1, de grado 2 si grad (P) = 2, de tercer grado si n = 3, y así sucesivamente.

Ejercicios resueltos

1. Consideremos el polinomio P definido como P(t) = 50, t ∈ ℝ. Se tiene que P es un polinomio de grado 0.

El único coeficiente no nulo de P(t) es a_0 = 50.

Calculemos algunos valores de P(t) para t ∈ ℝ. Así,

P(0) = 50,
P(10) = 50,
P(1 000) = 50.

1. Sea Q el polinomio definido como Q(t) = 3 + 8t, t ∈ ℝ. Resulta que Q es un polinomio de grado 1.

Los coeficientes de Q(t) son a_0 = 3, a_1 = 8.

Calculemos algunos valores Q(t) para t ∈ ℝ.

Q(0) = 3 + 8 × 0 = 3,
Q(8) = 3 + 8 × 8 = 67,
Q(50) = 3 + 8 × 50 = 403.

1. El polinomio R(t) =15t + 208t^2, t ∈ ℝ es un polinomio de grado 2. Sus coeficientes son a_0 = 0, a_1 =15, a_2 = 208.

Utilicemos el esquema de Hörner para calcular algunos valores de R(t) con t ∈ ℝ. Tenemos R(t) = t(15 + 208t). Luego, R(1) = 1 × (15 + 208 × 1) = 223,
R(20) = 20 × (15 + 208 × 20) = 20 × (15 + 4 160) = 20 × 4 175 = 83 500.

Conexiones con las TIC

Para efectuar cálculo de operaciones combinadas donde existen varios signos de agrupación, puedes emplear una calculadora científica.

▲ Calculadora científica.

1. Dado P(t) = 3 + 2t – 8t^2 – 7t^3, t ∈ ℝ, observamos que este es un polinomio de grado 3, ordenado de forma creciente con respecto de las potencias de t.

Mediante el esquema de Hörner, la escritura de P(t) es

P(t) = 3 + t(2 + t(–8 – 7t)). Calculemos algunos valores de P(t):
P(0) = 3 + 0(2 + 0(–8 – 7 × 0)) = 3,
P(–2) = 3 + (–2)(2 + (–2)(–8 – 7(–2))) =23,
P(–10) = 3 + (–10)(2 + (–10)(–8 –7(–10))) = 6 183,
P(5) = 3 + 5(2 + 5(–8 – 7 × 5)) = – 1 062.

1. Consideremos el polinomio P(t) siguiente: P(t) = 1 + 2t + 5t^2 + 4t^3 + 7t^4, t ∈ ℝ. Escribamos P(t) en la forma del esquema de Hörner: P(t) =1 + t(2 + t(5 + t(4 + 7t))), t ∈ ℝ.

Por ejemplo, para t =10 , tenemos
P(10) = 1 + 10(2 + 10(5 + 10(4 + 7 × 10))) =1 + 10(2 + 10(5 + 10 × 74))
=1 + 10(2 + 10 × 745) =1 + 10 × 745 274 521 = 74 521.

Obsérvese que el cálculo de P(10) se inicia desde el paréntesis más interno hacia los más externos.

1. Sea P el polinomio definido como P(x) = x^2 + x^4 + x^5 + x^6, x ∈ ℝ. Apliquemos el esquema de Hörner. Entonces tenemos

P(x) = x^2 + x^4 + x^5 + x^6 = x^2 + x^4(1 + x(1 + x)) = x^2(1 + x^2(1 + x(1 + x))) , x ∈ ℝ.

Calculemos P(2) y P(5) usando este esquema. De esta manera, tenemos

P(2) = 2^2(1 + 2^2(1 + 2(1 + 2))) = 2^2(1 + 2^2(1 + 2 × 3)) = 2^2(1 + 4 × 7) = 4 × 29 = 116,
P(5) = 5^2(1 + 5^2(1 + 5(1 + 5))) = 5^2(1 + 5^2(1 + 30)) = 5^2(1 + 25 × 31)= 25 × 776 = 19 400.

Recuerda la definición

Teorema

Hay que tener presente que si P es un polinomio de grado ≤ n, para cada t∈ ℝ, P(t)∈ ℝ, las operaciones de adición, producto y producto por escalares de polinomios heredan las propiedades de la adición y del producto en ℝ.

El conjunto de polinomios con coeficiente real y con la operación adición es un grupo abeliano, es decir que se verifican las propiedades siguientes:

1. Conmutativa: para todo P, Q polinomios con coeficiente real,
P + Q = Q + P.
2. Asociativa: para todo
P, Q, R polinomios con coeficiente real,
P + (Q + R) = (P + Q) + R.
3. Existencia de un elemento neutro (polinomio nulo): existe 0 elemento de los polinomios con coeficiente real, tal que para todo P
P + 0 = 0 + P = P.
4. Existencia de opuestos aditivos: para todo
P elemento de los polinomios con coeficiente real, existe Q elemento de los polinomios con coeficiente real, tal que P + Q = 0.

Igualdad de polinomios

Definición

Sean con

Diremos que P = Q si y solo si grad(P) = grad(Q) = m = n; y, a_i = b_i, i = 0,1, ..., n.

Un polinomio queda perfectamente bien definido si se conocen sus coeficientes a_0, a_1, ..., a_n ∈ ℝ.

Operaciones con polinomios

En el conjunto 𝕂[ℝ] definiremos dos operaciones internas: adición y producto.

Adición

Sean a, b, k, t ∈ ℝ. Los monomios at^k y bt^k son semejantes. Su suma es
at^k + bt^k = (a + b)t^k.

Consideremos los polinomios en ℝ con coeficientes en ℝ siguientes, escritos en forma creciente con relación a las potencias de t:

Definiremos la suma de los polinomios P(t) y Q(t). Para el efecto, consideramos dos casos.

Caso I. Si m = n. La suma de P(t) con Q(t) se define en la forma habitual de funciones reales como:

(P + Q)(t) = P(t) + Q(t), ∀ t ∈ ℝ,

donde

(P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = a_0 + b_0 + (a_1 + b_1)t + ... +(a_n + b_n)t^n, ∀ t ∈ ℝ.

Nótese que la suma de polinomios se la hace para cada punto t ∈ ℝ.

Caso II. Si m > n. Podemos asumir que los coeficientes del polinomio Q(t) de los términos de mayor grado que n hasta m inclusive son nulos, es decir que b_n+1 = 0, b_n+2 = 0, ..., b_m = 0. Entonces,

Q(t) = b_0 + b_1t + ... + b_nt^n + 0t^n+1 + ... + 0t^n, ∀ t ∈ ℝ,

La suma de los polinomios P(t) y Q(t) se realiza del mismo modo que en el caso I.

Ejercicios resueltos

1. Sean P, Q los polinomios siguientes:

P(t) = 2 − 5t + 8t^2, ∀ t ∈ ℝ,

Q(t) = − 5 + 7t^2 + t^4, ∀ t ∈ ℝ,

Entonces,

(P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = –3 – 5t + 15t^2 + t^4, ∀ t ∈ ℝ,

Recuerda que...

Debido a la propiedad asociativa y conmutativa, a la suma de los polinomios P, Q, R la escribiremos P + Q + R, en vez de P + (Q + R) o en vez de (P + Q) + R.

Demostración de las propiedades de la adición de polinomios

Sin pérdida de generalidad, supondremos que los polinomios que consideraremos tienen el mismo grado n:

donde a_i, b_i, c_i, ∈ ℝ, i = 0,1, ..., n, t ∈ ℝ.

i. Conmutativa

Tomando en cuenta que a_i + b_i = b_i + a_i , i =0,1, ..., n, para todo t ∈ ℝ, se tiene

(P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = a_0 + b_0 = (a_1 + b_1)t + ... + (b_n + a_n)t^n
_                      = b_0 + a_0 + (b_1 + a_1)t + ... + (b_n + a_n)t^n
                      = Q(t) + P(t) = (Q + P)(t).

Conclusión: P + Q = Q + P.

Interdisciplinariedad

Matemática y economía

Los polinomios se pueden utilizar para modelar situaciones de mercado, como, por ejemplo, para el análisis de la variación de los precios de un producto en función del tiempo.
Las personas del ámbito del negocio suelen utilizar estas
expresiones para determinar acciones que afectan
a sus ventas.

▲ Discusión de datos financieros.

ii. Existencia de elemento neutro

Tenemos que a_i + 0 = a_i = 0 + a_i, i =0,1, ..., n, y de la definición del polinomio nulo, se sigue que para todo t ∈ ℝ,

(P + 0)(t) = P(t) + Q(t)
_                      = a_0 + 0 + (a_1 + 0)t + ... + (a_n + 0)t^n
                      = a_0 + a_1t + ... + a_nt^n
                     = P(t).

De manera similar, se muestra que (0 + P)(t) = P(t) para todo t ∈ ℝ.

Conclusión: P + 0 = 0 + P = P.

La demostración del resto de propiedades del teorema se deja como tarea para el estudiante.

Resta

Sea Q un polinomio con coeficientes reales. Existe el opuesto aditivo –Q de Q tal que Q + (–Q) = 0. Si P un polinomio, podemos sumar P con el opuesto aditivo de Q que nos da el polinomio P + (–Q). Este hecho nos conduce a definir otra operación en polinomios con coeficiente real que es la resta.

Definición

Para todo P, Q polinomios con coeficiente real, el polinomio notado P – Q se define como:

                                            (P – Q) (t) = P(t) – Q(t), t∈ℝ.

Ejercicio resuelto

1. Sean P, Q los polinomios definidos por

^

El opuesto aditivo de Q es el polinomio –Q dado por –Q(t) = 7 – 4t + 9t^2.

Entonces, P – Q es el polinomio

(P – Q)(t) = P(t) + (–Q(t)) = P(t) – Q(t)
= 3 – 8t + 5t^2 – 2t^3 + 7 – 4t + 9t^2 = 10 – 12t + 14t^2 – 2t^3, ∀ t ∈ ℝ

Multiplicación de polinomios

DCCD: M.5.1.39. Realizar operaciones de multiplicación, entre funciones polinomiales, y multiplicación de números reales por polinomios, en ejercicios algebraicos de simplificación.

● Multiplicación de polinomios

Saberes previos

¿Qué es un polinomio de grado menor o igual que n?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es la relación entre la multiplicación y la potenciación?

Recuerda que...

El producto de polinomios satisface las propiedades siguientes:

i. Conmutativa: para todo P, Q ∈  k_ ℝ], PQ = QP.

ii. Asociativa: para todo P, Q , R ∈  k_ ℝ], P(QR) = (PQ)R.

iii. Existencia del elemento unidad: existe 1 ∈ 𝕂[ℝ], tal que para todo P ∈ 𝕂[ℝ], 1P = P.

iv. Distributiva: para todo P, Q ∈ 𝕂[ℝ], P(Q + R) = PQ + PR.

Producto

Sean a, b, n, m, t ∈ ℝ. Utilizando las propiedades del producto de números reales, así como la potenciación de números reales con exponentes naturales, el producto de los monomios at^n y bt^m nos da el resultado siguiente:

(at^n )(bt^m) = abt^nt^m = abt^n+m.

Sean P, Q ∈ 𝕂[ℝ]. Pongamos

Sean j, k ∈ ℕ y t ∈ ℝ. Entonces, t^jt^k = t^j+k. La multiplicación de P con Q se denota con PQ y se define como sigue:

(PQ)(t) = P(t) × Q(t) = (a_0 + a_1t + ... + a_nt^n) (b_0 + b_1t + ... + b_mt^m)
= a_0b_0 + (a_1b_0 + a_0b_1)t + ... + (a_n_−​1b_m + a_nb_m_−​1)t^m+n^−1 + ( a_nb_m)t^m+n.

Nótese que el producto de dos polinomios es otro polinomio, es decir que si P, Q ∈ 𝕂[ℝ], entonces, P, Q ∈ 𝕂[ℝ]. Además, si grad (P) = m y grad (Q) = n, entonces, grad (PQ) = m + n.

Se define la operación producto "." en 𝕂[ℝ] como la función a cada par de polinomios P, Q de 𝕂[ℝ] le asigna un único polinomio P . Q antes definido:

Potencia de polinomios

Sea P ∈ 𝕂[ℝ]. Las potencias P^0, P^1, P^2, ... se definen a continuación. Para todo t ∈_ ℝ,

(P^0)(t) = 1 si P(t) ≠ 0,
( P^1)(t) = P(t),
( P^2)(t) = P(t) × P(t),
( P^3)(t) = P(t)^2 × P(t).

En general, si k ∈ ℕ, para todo t ∈ ℝ, (P^k+1)(t) = (P^k)(t)^ P(t).

Ejemplos

1. Sea P el polinomio definido por P(t) = 8t^6 – 7t^4, t ∈​_ ℝ. Entonces,

P^1(t) = P(t) = t^4(8t^2 – 7),
P^2(t) = P(t) P(t) = [t^4(8t^2 – 7)]^2 = t^8(8t^2 – 7)^2 = 64t^12 – 112t^10 + 49t^8,
P^3(t) = (P^2)(t)P(t) = t^8(8t^2 – 7)^2 [t^4(8t^2 – 7)] = t^12(8t^2 – 7)^3
= 512t^18 + 1 344t^16 + 1 176t^14 + 343t^12.

Recuerda que...

Teorema

Sean P, Q ∈  k[ℝ] y a, b ∈ _ ℝ. Se verifican las propiedades siguientes:

i. (ab)P = a(bP) =
     = b(aP) = abP.

ii. a(P + Q) = aP + aQ.

iii. (a + b)P = aP + bP.

iv. 1.P = P (1∈ℝ).

v. (–1)P = – P.

Las operaciones de adición y producto en ℝ están relacionadas mediante la propiedad distributiva.

El conjunto 𝕂[ℝ] en el que se ha definido la operación de adición con la que (𝕂[ℝ], +) es grupo conmutativo (página 232) y el producto de números reales por polinomios de 𝕂[ℝ] que verifica las propiedades indicadas arriba, en el teorema, tiene estructura de espacio vectorial real, llamadas espacio vectorial real de polinomios.

Producto de números reales por polinomios

Sean el polinomio

∀ t ∈ ℝ.

El producto de a por P se nota aP y se define del modo siguiente:
para todo t ∈ ℝ,

(aP)(t) = aP(t) = aa_0 + aa_1t + ... + aa_nt^n.

Nótese que si a ∈ ℝ y P ∈ 𝕂[ℝ], a P ∈ 𝕂[ℝ].

Ejercicios resueltos

1. Si a = –8 y P = 2 – 3t + 8t^2, t ∈ ℝ, el polinomio aP está definido por: (–8P)(t) = –8(2–3t + 8t^2) = – 16 + 24t – 64t^2.
2. Sean P, Q los polinomios siguientes:

P(t) = 2–4t + 8t^2, Q(t) = –9 + 4t – 2t^3.

Calcula (5P – 3Q)(1).

Solución

Determinemos los polinomios 5P, –3Q y 5P – 3Q. A este último lo escribimos usando el esquema de Hörner. Así, tenemos

(5P)(t) = 5 P (t) = 5(2 – 4t + 8t^2) = 10 – 20t + 40t^2

(–3Q)(t) = – 3Q (t) = –3( –9 + 4t – 2t^3) = 27 – 12t + 6t^3.

Luego,

(5P – 3Q)(t) = 10 – 20t + 40t^2 + 27 – 12t + 6t^3 = 37 – 32t + 40t^2 + 6t^3
= 37 + t(–32 + t(40 + 6t)).

Para t = 1, se tiene

(5P – 3Q)(1) = 37 + 1(–32 + 1(40 + 6) = 51.

Nótese que

P(1) = 6, Q(1) = –7, (5P)(1) = 5P(1) = 30, (–3Q)(1)= –3Q(1) = 21,
5P(1) – 3Q(1) = 30 + 21 = 51 = (5P – 3Q)(1).

1. Sean P, Q los polinomios P(t) = –2 + 3t, Q(t)= 2 – 3t + 2t^2.

Verificar que (P + Q)^2 = P^2 + 2PQ + Q^2.

Solución

Calculemos (P + Q)^2 con t ∈ ℝ. Tenemos

(P + Q)^2(t) = (P + Q)(t) × (P + Q)(t) = [P (t) + Q(t)] [P(t)+ Q(t)] = [P(t) + Q(t)]^2
= (–2 + 3t + 2 – 3t + 2t^2)^2 = (2t^2)^2 = 4t^4.

Así, (P + Q)^2(t) = 4t^4. Por otro lado,

(P^2 + 2PQ + Q^2)(t) = P^2(t) + 2P(t) × Q(t) + Q^2(t)
= (–2 + 3t)^2 + 2(–2 + 3t)(2 – 3t + 2t^2)+ (2 – 3t + 2t^2)^2

= 4+9t^2+4t^4-12t+8t^2-12t^3+4+9t^2-12t+2(-4+6t-4t^2+6t-9t^2+6t^3).

En consecuencia, para todo t ∈ ℝ,

(P + Q)^2(t) = 4t^4 = (P^2 + 2PQ + Q^2)(t),

que muestra que (P + Q)^2 = P^2 + 2 PQ + Q^2.

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y la accesibilidad

¿Qué tiene que ver la matemática con la construcción de accesos para personas con discapacidad? En realidad, mucho. Hoy en día, y como parte de la inclusión social y accesibilidad, las instituciones públicas y privadas deben tener accesos para personas que utilizan sillas de ruedas. Para su construcción, es necesario conocer varios elementos, como, por ejemplo, la altura de la puerta respecto a la vereda, la distancia horizontal de la puerta a la vereda y el cálculo de las pendientes en el tramo de la rampa, de manera que se cumpla con la norma establecida de construcción.

Una de las normas para las rampas accesibles en obras de edificación hace referencia a la longitud del tramo. Este debe ser de máximo 9 m. La anchura libre debe ser de 1,20 m, como mínimo. Además, se debe disponer de una superficie horizontal al principio y al final de cada tramo, con una longitud de 1,20 m, como mínimo, en la dirección de la rampa.

Adaptado de http://www.minsa.gob.pe/ogdn/cd1/pdf/nls_24/rm072-99-sa.pdf

▲ Rampa para acceso en silla de ruedas.

La Matemática y las profesiones

La Matemática y las profesiones

Arquitecto

Para optar por la carrera de Arquitectura, debes haber culminado con éxito tu bachillerato en Ciencias y haber ingresado a alguna de las universidades que ofertan esta carrera reconocida por el Senescyt.

El profesional graduado de Arquitectura está en capacidad de diseñar espacios arquitectónicos y urbanos integrales, para mejorar la calidad de vida de los usuarios y responder a las necesidades del país. Adicionalmente, este profesional está en capacidad de aplicar los conocimientos técnicos, tecnológicos e instrumentales adquiridos  para configurar vínculos con la colectividad y el medio laboral, con responsabilidad, eficiencia y ética.

La carrera de Arquitectura tiene una duración de diez semestres. Luego de la aprobación del plan de estudios, debes presentar y defender un proyecto de tesis. De esta manera, obtendrás el título en Arquitectura.

El campo laboral se enmarca dentro del diseño y la planificación de edificaciones y espacios urbanos y regionales, la construcción de edificaciones y espacios urbanos, la gestión, administración y manejo de unidades productivas relacionadas con el quehacer profesional o la fiscalización y evaluación de proyectos arquitectónicos y urbanos, entre otras actividades.

Adaptado de http://www.puce.edu.ec/portal/content/Arquitectura/225?link=oln30.redirect

▲ Habitat III.

TIC

TIC

Uso de GeoGebra para el trazo de las líneas y puntos notables del triángulo

Trazo de las medianas de un triángulo

Sean (x, y) ∈ ℝ^2, determina gráficamente las medianas del triángulo de vértices A(2, 2), B(2, 5) y C(5, –1).

1. Haz clic en Nuevo Punto y localiza los vértices del triángulo.

1. Determina los puntos medios de los lados del triángulo. Haz clic en Punto Medio y señala dos vértices.
2. Haz clic en la recta que pasa por dos puntos y señala el vértice y el punto medio del lado opuesto. Se trazarán las medianas.
3. Haz clic en la Intersección de Dos Objetos y encuentra el baricentro H.
4. En Vista Algebraica, aparecerán los vértices del triángulo, los puntos medios, las ecuaciones de las medianas y el baricentro.

Trazo de las alturas de un triángulo

Sean (x, y) ∈ ℝ^2, determina gráficamente las alturas y las mediatrices del triángulo de vértices = (1, 1), = (–3, 2) y = (–1, –4).

1. Haz clic en Nuevo Punto y marca los vértices del triángulo.
2. Haz clic en Recta Perpendicular, selecciona el vértice del triángulo y el lado opuesto. Se trazarán las alturas.

Intersección de dos objetos

1. Haz clic en el ícono de intersección de dos objetos y obtendrás el ortocentro, punto de intersección de las tres alturas.
2. En Vista Algebraica, aparecerán las coordenadas de los vértices, las ecuaciones de las alturas y las coordenadas del ortocentro.

Trazo de las mediatrices del triángulo

En el triángulo anterior, determina las ecuaciones de las tres mediatrices y su punto de intersección o circuncentro.

1. Haz clic en Nuevo Punto y marca los vértices del triángulo.
2. Haz clic en Punto Medio y selecciona los dos extremos de cada lado del triangulo. Así , determinas el punto medio de cada lado del triángulo.
3. Haz clic en Recta Perpendicular, selecciona el punto medio y el lado de este punto medio. Así, se trazarán las alturas.
4. Selecciona Intersección de Dos Objetos, haz clic en Dos Alturas. Se marcará el ortocentro.
5. En Vista algebraica, aparecerán los vértices del triángulo, las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Construcción de rampas

Recursos

- Lápices
- Cuaderno para realizar los cálculos respectivos
- Cartón u otro material para construir una maqueta
- Pegamento
- Adornos y señalización para cada una de las maquetas

Justificación En la actualidad, en nuestro país existen carteras de Estado dedicadas exclusivamente a impulsar la inclusión económica y social para personas con discapacidad y sus familias. Para ello, la gestión se ampara en los principios de igualdad, inclusión, equidad, universalidad, integridad y correspondencia, que señala la Constitución. | ▲ Acceso para personas en silla de ruedas.

Objetivos

- Diseñar y construir una maqueta que cumpla con las especificaciones técnicas de construcción, de acuerdo con la normativa establecida para el efecto.

Actividades

- Dividan el número de estudiantes del aula en grupos de 2 o 3 personas.
- Cada grupo debe realizar una visita por sus sectores de residencia, con el fin de determinar si los lugares públicos son de fácil acceso para las personas que utilizan sillas de ruedas.
- Cada grupo debe construir una maqueta trabajada a escala, pero que, a la vez, debe cumplir con los requisitos mínimos para el ingreso de personas que utilizan sillas de ruedas.

▲ Trabajo de diseño y arquitectura.

- La maqueta a escala y las rampas de ingreso a sus edificaciones deben cumplir con los siguientes requisitos: la zona de aproximación a la rampa debe ser de 120 cm de ancho, la pendiente no debe ser mayor al 6 % de inclinación y la longitud no debe ser mayor de 600 cm. En caso de sobrepasar esta longitud, se deben incluir descansos de 150 cm de longitud.
- Adicionalmente, los grupos de trabajo deben investigar qué otros requisitos deben tener el piso y la señalización para cumplir con los accesos para personas que utilizan sillas de ruedas.

Conclusiones

En una exposición, que se podría planificar en el coliseo de la institución, los estudiantes podrían mostrar sus respectivas maquetas y explicar al público presente sobre la importancia de la matemática en la construcción de rampas de acceso para personas que se movilizan en silla de ruedas.

En síntesis

En síntesis