Title: Por defecto en Matemáticas 1 BGU Plus Autores
Course: Matemáticas Plus + 1 BGU

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Q: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones y selecciona la respuesta correcta.

\( \sqrt[3]{3 \frac{7}{x+y} +4} \times x \)
- 45 Respuesta correcta
- 2
- 2 (hasta 4)
A: 45 Respuesta correcta

Q: Aproxima el número real x =  \( \sqrt[]{171} \) con seis cifras después del punto decimal.
A: 13,076697 / 13,076 697 / 13, 076 697 / 13, 076697

Q: Por la propiedad asociativa para la adición, se tiene x + (y + z) = (x + y) + z. Escoge otras maneras posibles de sumar estos tres números reales.
- x + y + z
- z + (y + x)
- y + (x + z)
- (z + x) + y
- z (x + y)
- x + (yz)
A: x + y + z; z + (y + x); y + (x + z); (z + x) + y

Q: Determina si la siguiente igualdad es verdadera o falsa.

\( (a+b-c)^2= a^2+b^2+c^2 -2ab+2ac-2bc \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean \( x, y \in \ \mathbb{R}  \). Elige todas las opciones que permitan obtener el resultado propuesto:

el producto de xy es negativo.
- (+x)(-y)
- (-x)y
- -(xy)
- (-x)(-y)
- -(-x)y
A: (+x)(-y); (-x)y; -(xy)

Q: Sean \( x, y \in \mathbb{R}  \). Elige todas las opciones que permitan obtener el resultado propuesto:

el producto de xy es positivo y la suma x + y es negativa.
- (+x)(+y)
- (-x)(-y)
- (-x) +(-y)
- (-x)(+y)
A: (-x)(-y); (-x) +(-y)

Q: Escoge el gráfico que represente el intervalo [-2, 3]
- [Image]
- [Image]
- [Image]
A: [Image]

Q: Elige la recta que representa el intervalo (-\( \infty \), 3[
- [Image]
- [Image]
- [Image]
A: [Image]

Q: Al simplificar la escritura del número real \( r=10 \sqrt[]{2} - 7\sqrt[]{8} + 2\sqrt[]{32} \), r toma el valor de \( r=11\ \sqrt[]{8} \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Indica si la igualdad es verdadera o falsa:

\( \frac{ \sqrt[]{x} }{ \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} } - \frac{ \sqrt[]{y} }{ \sqrt[]{x} - \sqrt[]{y} } = 1- 2 \frac{ \sqrt[]{xy} }{x-y} \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La idea principal de la racionalización es:

Expresar el número real de modo que en el numerador no figuren raíces cuadradas de números reales.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Para que x exista en: \( x= \sqrt[]{(a \sqrt[]{b}) } \), se deben cumplir con las siguientes condiciones:

a < 0; b > 0
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La solución del siguiente sistema de ecuaciones es:

\( {3x+2y=16 \brace -x+y=3} \)
- x = 0, y = 2
- x = 2, y = 5
- x = 1, y = 2
A: x = 2, y = 5

Q: Sean \( a, b \in \mathbb{R} \). Entonces \( (a^2+b^2)- (a^2-b^2) \) es igual a:
- \( 4a^2 b^2 \)
- \(a^2 b^2\)
- \(-2a^2 b^2\)
A: \( 4a^2 b^2 \)

Q: Al preguntar a un grupo de familias sobre el número de habitaciones que tienen en su casa, las respuestas fueron las que se muestran en la tabla:

x | 1 | 2 | 3 | 4
f | 4 | 3 | 2 | 1

 ¿Cuál es la media del conjunto de datos?
- 3
- 2
- 3,5
- 2,5
A: 2

Q: Al preguntar a un grupo de familias sobre el número de habitaciones que tienen en su casa, las respuestas fueron las que se muestran en la tabla:

x | 1 | 2 | 3 | 4
f | 4 | 3 | 2 | 1

La moda del conjunto de datos es 1.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Al preguntar a un grupo de familias sobre el número de habitaciones que tienen en su casa, las respuestas fueron las que se muestran en la tabla:

x | 1 | 2 | 3 | 4
f | 4 | 3 | 2 | 1

La mediana del conjunto de datos es 4.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona las opciones correctas tomando en cuenta la información que se presenta.
En la tabla se registró el tiempo en minutos de un grupo de personas que tardan en trasladarse de su casa al trabajo:

Minutos | [45  -  55) | [55   -   65) | [65   -   75) | [75   -  85)
Núm.^ Personas | 4 | 10 | 12 | 8
- La moda del conjunto de datos es 68,3.
- La media aritmética del conjunto de datos es 67,06.
- El promedio del conjunto de datos es 66,5.
- La mediana del conjunto de datos es 67,5.
- El rango del conjunto de datos es 30.
A: La moda del conjunto de datos es 68,3.; La media aritmética del conjunto de datos es 67,06.; El promedio del conjunto de datos es 66,5.

Q: Aplica el método de eliminación para verificar la afirmación que se encuentra a continuación.

La solución del sistema de ecuaciones:

\( {500a + 150b = 1 800 \brace -5a - 1,5b = 60} \),

es a = 5, b = -2
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean \( x, y \in \mathbb{R}^+ \), con \( x \neq y \)

Encuentra la respuesta correcta:
- \( ( \sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) ( \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} ) = \) | x - y
- \( \frac{ \sqrt[]{20} - \sqrt[]{5} }{ \sqrt[]{5} } \ \) | 1
- \( ( \sqrt[]{11}-7 )^2 -38 \frac{7- \sqrt[]{11} }{7+ \sqrt[]{11} } \) | 0

Q: Resuelve \( ( \sqrt[]{2} ) ^ 5 \) y escoge la respuesta correcta.
- 1
- 4\( \sqrt[]{2} \)
- 8
A: 4\( \sqrt[]{2} \)

Q: Al elevar una raíz al exponente 0, como se muestra en el ejemplo, la repuesta es siempre 1:

\( ( \sqrt[]{5} ) ^0 \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Sean \( a, b \in \mathbb{R}^+, m, n \in \mathbb{Z}^+ \). Escoge la respuesta correcta de:

\( a^ \frac{m}{2} a^ \frac{n}{2} \)
- \( a^ \frac{n}{2} \)
- \( a^ {\frac {1}{2}(m+n)} \)
- \( a^ {-\frac{1}{2} (m+n)} \)
A: \( a^ {\frac {1}{2}(m+n)} \)

Q: Sean P, Q, R, S \( \in \Pi \), tal que [P,Q] = [R,S], [P, Q] || [R,S]. Los vectores \( \binom { \rightarrow } {PQ} ~ y~  \binom { \rightarrow } {RS} \) tienen:

[Image]
- igual magnitud, dirección y sentido.
- igual magnitud y dirección, pero diferente sentido.
- diferente magnitud, igual dirección y sentido.
A: igual magnitud, dirección y sentido.

Q: Los vectores \( \binom { \rightarrow } {AB} ~ y~   \binom { \rightarrow } {CD} \) son iguales si y solo si:
- los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen el mismo punto medio.
- los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen la misma dirección.
- los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen el mismo sentido.
- los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen la misma longitud.
A: los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen la misma longitud.

Q: Las funciones reales \( f, g \) están dadas como \( f(x)=2x + 1, g(x)= x^3, x\in \mathbb R \). La función compuesta \( g\circ f \) está definida como:
- \( (g \circ f) (x) = g[f(x)]= (2x+1)^2 \)
- \( (g \circ f) (x) = g[f(x)]= (2x+1)^3 \)
- \( (g \circ f) (x) = g[f(x)]= 2x^2+1 \)
- \( (g \circ f) (x) = g[f(x)]= 2x^3+1 \)
A: \( (g \circ f) (x) = g[f(x)]= (2x+1)^3 \)

Q: Dadas las siguientes funciones, escoge la respuesta correcta:

\( f (x)= \frac{x+2}{2x+1} \)

\( g (x)= \sqrt[]{x} \)
- \( \sqrt[]{ \frac{x+2}{2x+1} } \) | gof
- \( \frac{ \sqrt[]{x}+2 }{2\sqrt[]{x}+1} \) | fog
- \( \sqrt[4]{x} \) | gog
- \( \frac{5x + 4}{4x + 5} \) | fof

Q: Escoge las respuestas correctas de v \( \circ \) u considerando los conjuntos:

A= {-2, -1, 0, 1, 2}, B= {4, 8, 12, 16, 20}, C= {15, 18, 21, 24, 27}; u la función de A en B y v la función de B en C, que en cada caso se define.

u(-2) = 4, u(-1) = 8, u(0) = 12, u(1) = 8, u(2) = 4, v(4) = 15, v(8) = 18, v(12) = 24, v(16) = 27, v(20) = 15.
- (v \( \circ \) u)(-2) = 15
- (v \( \circ \) u)(0) = 24
- (v \( \circ \) u)(1) = 18
- (v \( \circ \) u)(1) = 24
- (v \( \circ \) u)(2) = 18
A: (v \( \circ \) u)(-2) = 15; (v \( \circ \) u)(0) = 24; (v \( \circ \) u)(1) = 18

Q: La composición de funciones es una operación conmutativa.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean las funciones reales \( f, g \)

\( f(x)=3x+2; g(x)= \frac{x+3}{2x+1}, x \neq - \frac{1}{2} \)

calcula \( (f \circ g) (x) \) y escoge la opción correcta.
- \( (\frac{7x+11}{2x+1}), x \neq - \frac {1}{2} \)
- \( (\frac{x+3}{2x+1}), x \neq - \frac {1}{2} \)
- \( (\frac{7x+2}{2x+1}), x \neq - \frac {1}{2} \)
A: \( (\frac{7x+11}{2x+1}), x \neq - \frac {1}{2} \)

Q: Aproxima el número real \( x= -800 \sqrt[5]{4} \) con cuatro cifras después del punto decimal.
A: -1055,6063 / -1 055, 606 3 / - 1055, 6063

Q: Verifica si la siguiente igualdad es verdadera o falsa.

\( (a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + 2ab + 2c - 2bc \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Racionaliza y simplifica el resultado de:

\( \frac{2}{ 5\sqrt[]{7} } \)

Escoge la respuesta correcta.
- \( \frac{2}{ \sqrt[]{7}} \)
- \( \frac{2 \sqrt[]{7} }{35} \)
- \( \frac{ \sqrt[]{7} }{5} \)
A: \( \frac{2 \sqrt[]{7} }{35} \)

Q: Racionaliza y simplifica \( \frac{6}{7 \sqrt[5]{4^2} } \)

Escoge la respuesta correcta.
- \( \frac{3 \sqrt[5]{2} }{7} \)
- \( \frac{6 \sqrt[]{2} }{2} \)
- \( \frac{6 \sqrt[5]{2} }{7 \sqrt[5]{2^5} } \)
A: \( \frac{3 \sqrt[5]{2} }{7} \)

Q: Calcula los valores de las siguientes potencias:
- \( 16^{ \frac{3}{2}} \) | 64
- \( 81^{0,75} \) | 27
- \( 8^ \frac{2}{3} \) | 4

Q: Resuelve \( \frac{2- \sqrt[]{3} }{ \sqrt[]{2} -3} \times \frac{2+\sqrt[]{3} }{ \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}} \times \frac{ \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} }{2- \sqrt[]{3} } \) y escoge la respuesta correcta.
- \( \frac{-(2+ \sqrt[]{3}) ( \sqrt[]{2}+3) }{7} \)
- \( \frac{(2+ \sqrt[]{3}) ( \sqrt[]{2} )}{7} \)
- \( \frac{(2+ \sqrt[]{3})( \sqrt[]{2}+3) }{7} \)
A: \( \frac{-(2+ \sqrt[]{3}) ( \sqrt[]{2}+3) }{7} \)

Q: Determina el dominio y recorrido de la función:

\( f(t)= \sqrt[]{2t-1} \)
- Dominio: \( [ \frac{1}{2}, \infty) \), recorrido: \( [0, \infty) \)
- Dominio: \( ( \frac{1}{2}, \infty) \), recorrido: \( [0, 5] \)
- Dominio: \( (- \infty, \infty) \), recorrido: \( (- \infty, \infty) \)
A: Dominio: \( [ \frac{1}{2}, \infty) \), recorrido: \( [0, \infty) \)

Q: Determina el dominio y el recorrido de la función representada en la gráfica: [Image]
- Dominio: \( (- \infty, \infty) \), recorrido: \( (- \infty, \infty) \)
- Dominio: \( (- \infty, \infty) \), recorrido: \( [-5, \infty) \)
- Dominio: \( (-5, \infty) \), recorrido: \( (- \infty, \infty) \)
A: Dominio: \( (- \infty, \infty) \), recorrido: \( (- \infty, \infty) \)

Q: \( f (t)= \frac{1}{3t+5} \) es una función real, cuyo dominio es igual a \( (- \infty, - \frac{5}{3}) \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La función real \( f (x)= \sqrt[]{2x}-5 \) es decreciente.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sea f la función real definida como \( f(t)= \sqrt[]{4-t}, \forall t \in ]- \infty, 4] \)

f   es estrictamente decreciente.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Encuentra la composición de función \( f \circ g \), sea \( f(x)=x^2 + 1, g(x)= \sqrt[]{x}, x \geq 0 \)
- \( (f \circ g) (x) = x + 1 \)
- \( (f \circ g) (x)= x^2 \) (\( (f \circ g) (x)= x - 1 \))
A: \( (f \circ g) (x) = x + 1 \)

Q: Encuentra la composición de funciones y su dominio: \( f \circ g \), sea \( f(x) = 2x - 5 \),  \( g(x)= \frac{1}{x}, x \neq 0 \)
- \( (f \circ g) (x) = \frac{2-5x}{x}; ~ \mathbb {R}\ - \) {0}
- \( (f \circ g) (x) = \frac{2-5x}{x}; ~ \mathbb {R}\ \)
- \( (f \circ g) (x) = \frac{2-x}{x}; \mathbb {R}\ ^+ \)
A: \( (f \circ g) (x) = \frac{2-5x}{x}; ~ \mathbb {R}\ - \) {0}

Q: Sean \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V_2 \), tal que \( || \vec{u}|| = 3, || \vec{v}|| = 4, || \vec{w}|| = 5 \).

Se verifica que \( \vec{u} \cdot ( \vec{v} - \vec{w} ) = \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{w} \ \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Dadas las funciones reales f, g siguientes:

\( f(x)=2x+3, \forall x \in \mathbb R \)

\( g(x)= \frac{x-3}{2}, \forall x \in \mathbb R \)

Escoge la respuesta correcta de \( (f \circ g) (x) \)
- x
- 2x
- \( \frac{x}{2} \)
A: x

Q: Empareja cada función afín con la gráfica que le corresponde.
- [Image] | f(x) = -0,5x -2
- [Image] | f(x) = 5x
- [Image] | f(x) = -x + 2

Q: La función f dada por \( f(x)=5x^2 - 2 \sqrt[]{10}x +2, x \in \mathbb{ R} \) es creciente sobre el intervalo \( ]- \infty, - \frac{ \sqrt[]{10} }{5} ] \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La función cuadrática f dada por \( f(x)=5x^2 - 2 \sqrt[]{10}x+2, x \in \mathbb{R} \) es creciente sobre el intervalo \( [ -\frac{ \sqrt[]{10} }{5}, \infty[ \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Dada la función cuadrática h, definida por \( h(x)= \frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}x+\frac{1}{16}, x \in \mathbb {R} \), indica si la función es creciente o decreciente en los intervalos dados.
- \( ]- \infty, -\frac{3}{8}] \) | Decreciente
- \( [-\frac{3}{8}, \infty[ \) | Creciente
- \( [0, \infty[ \) | Creciente
- \( ]- \infty, -1] \) | Decreciente

Q: Considera la función cuadrática \( f \) dada por \( f(x)= 5x^2 - 2 x +2, x \in \mathbb {R} \):

\(f\) es decreciente sobre el intervalo  \( (- \infty, \frac{1}{5} ] \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Considera la función cuadrática  dada por \( f(x) = -5x^2 - 2x +2, x \in \mathbb {R} \):

\(f\) es creciente sobre el intervalo \( [ \frac{9}{5}; + \infty) \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Empareja la función con su máximo o con su mínimo global.
- \( f (x) = \frac{4}{9} x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{16} \) | 0
- \( h(x)= -2x^2 + \sqrt[]{3} x + 1 \) | 1,38
- \( g(x)= -3x^2 + 7x+9 \) | 13,083
- \( p(x)= \frac{1}{2}x^2 +3x -5 \) | -9,5

Q: Calcula las raíces reales de la ecuación \( p(x)=0 \)

\( p(x)= 3x^2 -2x, \forall x \in \mathbb{R} \)
- x_1 = 0, x_2 = \( \frac{2}{3} \)
- x_1 = 0, x_2 = \( \frac{5}{2} \)
- x_1 = \( -\frac{2}{5} \), x_2 = -2
A: x_1 = 0, x_2 = \( \frac{2}{3} \)

Q: Calcula las raíces reales de la ecuación \( p(x)=0 \)
 \( p(x)= 2x^2 +5x, \forall x \in \mathbb{R} \)
- x1 = 0, x_2 = \( -\frac{5}{2} \)
- x_1 = \( \frac{5}{2} \), x_2 = -1
- x_1 = 0, x_2 = -1
A: x1 = 0, x_2 = \( -\frac{5}{2} \)

Q: Calcula las raíces reales de la ecuación \( p(x)=0 \), luego responde:  ¿al calcular las raíces de \( p(x)= \frac {1}{16} x^2 - \frac {49}{81}, \forall x \in \mathbb {R} \) se obtienen dos raíces imaginarias?
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Estudia si cada función es factorizable en \( \mathbb {R} \). En caso de ser factorizable, escoge la respuesta correcta.
- \( f (x) = -x + x^2 \) | x1 = 0, x2 = 1
- \( u (x) = x^2 - 13x +40 \) | x1 = 8, x2 = 5
- \( v(x) = 6+9x+3x^2 \) | x1 = -1, x2 = -2
- \( \phi (x)=x^2 - x+5 \) | No es factorizable

Q: Estudia y resuelve en \( \mathbb {R} \) la ecuación que se propone, donde x denota la incógnita:

\( 2x^ {\frac{4}{3}} -3x^ {\frac{2}{3}} - 20 = 0 \).

Escoge todas las raíces de la ecuación.
- x1 = - 8, x2 = 8
- x1 = - 4, x2 = 4
- x1 = -2,5, x2 = 2,5
- x1 = -2,5; x2 = 0
A: x1 = - 8, x2 = 8

Q: La ecuación \( 0,36x+1,2x^ {\frac{1}{2}} + 1 = 0 \) no tiene solución en \( \mathbb {R} \).
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Escoge la respuesta correcta para la ecuación:

\( \sqrt[]{x+5} = -2x + 1 \)
- x = \( \frac{5- \sqrt[]{89} }{8} \)
- No tiene solución en \( \mathbb {R} \).
- x = \( \frac{5- \sqrt[]{80} }{2} \)
- x = \( \frac{5}{ \sqrt[]{80}} \)
A: x = \( \frac{5- \sqrt[]{89} }{8} \)

Q: Estudia y resuelve en \( \mathbb {R} \) las ecuaciones que se dan a continuación:
- \( \sqrt[]{x^2 + x +1} = x-1 \) | No tiene solución dentro de los reales.
- \( \sqrt[]{1- 2x- x^2} = 2x +3 \) | -0,8
- \( \sqrt[]{x^2 + 8x} = -3x +2 \) | 0, 2192

Q: Resuelve en \( \mathbb {R}^2 \) el sistema de ecuaciones siendo x, y las incógnitas:

\( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}=1 \) ,

\( x+y=4\).
- x = 2, y = 2
- x = -2, y =- 2
- x = 2, y =- 2
A: x = 2, y = 2

Q: El sistema no tiene solución en \( \mathbb {R} \), al resolver en \( \mathbb {R}^2 \) el sistema de ecuaciones:

\( x^2+ \frac{1}{2} y = -1 \) ,

\( x + 3y=0 \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El sistema no tiene solución en \( \mathbb {R} \), al resolver en \( \mathbb {R}^2 \) el sistema de ecuaciones:

\( x+ 0,01y = 10 \) ,

\( x^2 + y^2 =9 \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Resuelve en \( \mathbb {R}^2 \) el sistema de ecuaciones:

\( -x+ y = -7 \) ,

\( -xy =8 \) .
- \( x = \frac{7 \pm \sqrt[]{17}}{2} \); \( y = \frac{-7 \pm \sqrt[]{17}}{2} \)
- No tiene solución en \( \mathbb {R} \)
- \( x = \frac{8 \pm \sqrt[]{7}}{2} \); \( y = \frac{-8 \pm \sqrt[]{7}}{2} \)
A: \( x = \frac{7 \pm \sqrt[]{17}}{2} \); \( y = \frac{-7 \pm \sqrt[]{17}}{2} \)

Q: Determina la solución de los sistemas de ecuaciones no lineales, selecciona la respuesta correcta.
- \( \left. x + y = 7 \atop x y = 12 \right\} \) | (4, 3) y (3, 4)
- \( \left. x + y = 10 \atop x^2 + y^2 = 68 \right\} \) | (2, 8) y (8, 2)
- \( \left. x2 + y^2 = 25 \atop 2x - y = 5 \right\} \) | (0, -5) y (4, 2)

Q: Con los datos proporcionados en la gráfica, calcula las constantes \( \alpha_i, \beta_i \) \( i=1,2,3 \) si

\( D_1(0) = D_2 (0) = D_3 (0) \) y

\( D_1 (0,5) = D_2 ( \frac{3}{4} ) = D_3 (1) = 20 km, D_1, D_2, D_3 \) representan la distancia recorrida por un auto en un día feriado, en un día laboral que no es hora pico y en un día laboral en hora pico.

[Image]

\( \alpha_1 \beta_1= \) [...]

\( \alpha_2 \beta_2= \) [...]

\( \alpha_3 \beta_3= \) [...]
Also offered: 10; 15; 33
A: 40; 26, 667; 20

Q: Calcula \( D_1 (1,5), D_2 (1,5) y D_3 (1,5) \)

[Image]

\( D_1 (1,5)= \)  [...]

\( D_2 (1,5)= \) [...]

\( D_3 (1,5)= \) [...]
Also offered: 50; 25; 20
A: 60; 40; 30

Q: Selecciona el opuesto aditivo de P de \( \mathbb {R}^2 \), verifica que \( P + (-P)= O \)

\( P = (2, \sqrt[]{2}) \).
- \( -P = (-2, -\sqrt[]{2}) \)
- \( -P = ( \frac{1}{2}, \frac{1}{ \sqrt[]{2}}) \)
- \( -P = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{ \sqrt[]{2}}) \)
A: \( -P = (-2, -\sqrt[]{2}) \)

Q: Selecciona el opuesto aditivo de P de \( \mathbb {R}^2 \), verifica que \( P+(-P) = O \)

\( P= ( -\frac{1}{3}, \frac{2}{5}) \).
- \( -P = ( \frac{1}{3}, -\frac{2}{5}) \)
- \( -P = ( -\frac{1}{3}, -\frac{2}{5}) \)
- \( -P = ( -3, \frac{5}{2}) \)
A: \( -P = ( \frac{1}{3}, -\frac{2}{5}) \)

Q: Escoge el opuesto aditivo para P de \( \mathbb {R}^2 \)

\( P = (-1+ \sqrt[]{5}, \frac{1}{3}-3 \sqrt[]{3}) \)
- \( -P = (1 - \sqrt[]{5}, -\frac{1}{3} + 3 \sqrt[]{3}) \)
- \( -P = (1 - \frac{1}{\sqrt[]{5}}, -3 + \frac {\sqrt[]{3}}{3}) \)
- \( -P = (-1 + \frac{1}{\sqrt[]{5}}, 3 - \frac {\sqrt[]{3}}{3}) \)
A: \( -P = (1 - \sqrt[]{5}, -\frac{1}{3} + 3 \sqrt[]{3}) \)

Q: Sean \( A=(2,3), B=(- \frac{1}{2}, 1), C=(4, - \frac{1}{3}) \), realiza las sumas que se proponen en cada caso y escoge la respuesta correcta para cada una.
- \( ( \frac{11}{2}, \frac{2}{3}) \) | A + B + C
- \( ( \frac{13}{2}, \frac{5}{3}) \) | A - B + C
- \( ( -\frac{13}{2}, -\frac{5}{3}) \) | -A + B - C

Q: Sean \( \vec{A}, \vec{B} \in \mathbb {R}^2 \) los vectores \( \vec{A} = ( \sqrt[]{3}, -\sqrt[]{5}), \vec{B} = ( \frac{2}{\sqrt[]{5}}, \sqrt[]{12}) \).

\( \vec{A} \perp \vec{B} \)
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean \( \vec{A}, \vec{B} \in \mathbb {R}^2 \) los vectores \( \vec{A} = ( \frac{\sqrt[]{3}}{2}, \frac{1}{2}), \vec{B} = (2, -\sqrt[]{12}) \)

\( \vec{A} \perp \vec{B} \)

()^()()^()
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Sean \( a, b, c, d \in \mathbb {R} \) con \( a \neq0 \) y u una función real, definida por \( u(x)= ax^4 + bx^2 + c, x \in \mathbb {R} \),

la ecuación \( u(x)=0, x \in \mathbb {R} \) puede tener una sola raíz real simple.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean \( a, b, c, d \in \mathbb {R} \) con \( a \neq0 \) y u una función real, definida por \( u(x)= ax^4 + bx^2 + c, x \in \mathbb {R} \),

la ecuación \( u(x)=0, x \in \mathbb {R} \) puede tener cuatro raíces reales simples.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: En la siguiente tabla se muestran los años y el número de autos matriculados en la región DDDD.

Autos matriculados
Año | 1950 | 1990 | 2000
Número de autos | 25 000 | 180 000 | 25 0000

Con esta información, se busca una función P del tipo \( P(t)= a+b(t-1950)+c(t-1950)^2, t \geq 1950 \). Si
- 1
- 2
- 3
A: 3

Q: En la siguiente tabla se muestran los años y el número de autos matriculados en la región DDDD.

Autos matriculados
Año | 1950 | 1990 | 2000
Número de autos | 25 000 | 180 000 | 25 0000

Si \( P(t)= a+b(t-1950)+c(t-1950)^2, t \geq 1950 \), el resultado de calcular P (2007) será mayor que P (1950).
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Dados los vectores

\( \vec{A} = (-3,1), \vec{B}=(2, -2), \vec{C}=(0,3) \), obtén el vector \( \vec{u} = 10 \vec{A} - 8 \vec{B} + \vec{C} \)
- \( \vec{u} = (-46, 38) \)
- \( \vec{u} = (-16, 32) \)
- \( \vec{u} = (32, 12) \)
A: \( \vec{u} = (-46, 38) \)

Q: Determina la condición que debe verificar \( x \in \mathbb{R} \) para que \( \vec{v}=(10, x) \) sea colineal con \( \vec{u} \). Sea el vector \( \vec{u} = (1,2) \).
- 20
- -5
- 5
- 10
A: 20

Q: \( ||\vec{u}||=2, ||\vec{v}||=1, ||\vec{w}||=4 \)

\( \vec{v} \) es un vector horizontal, y  \( \vec{u} \) y  \( \vec{w} \) forman un ángulo de \( 120^ \circ \) respecto de la horizontal y en sentido antihorario.

[Image]

Calcula la norma y determina el ángulo que forma el vector resultante de \( \vec{ \alpha}= \vec{v} + \vec{u} \) respecto a la horizontal y en el sentido antihorario.
- \( || \alpha|| = \sqrt[]{3} \) \( \theta= 90^ \circ \)
- \( || \alpha|| = \sqrt[]{7} \) \( \theta= 45^ \circ \)
- \( || \alpha|| = 2 \) \( \theta= 60^ \circ \)
A: \( || \alpha|| = \sqrt[]{3} \) \( \theta= 90^ \circ \)

Q: \( ||\vec{u}||=2, ||\vec{v}||=1, ||\vec{w}||=4 \)

\( \vec{v} \) es un vector horizontal, y  \( \vec{u} \) y  \( \vec{w} \) forman un ángulo de \( 120^ \circ \) respecto de la horizontal y en sentido antihorario.

[Image]

Calcula la norma y determina el ángulo que forma el vector resultante de \( \vec{\alpha}=\vec{v}-\vec{u} \) respecto de la horizontal y en sentido antihorario.
- \( || \alpha|| = \sqrt[]{7} \) \( \theta=139, 11^ \circ \)
- \( || \alpha|| = \sqrt[]{5} \) \( \theta=180^ \circ \)
- \( || \alpha|| = \sqrt[]{2} \) \( \theta=124, 23^ \circ \)
A: \( || \alpha|| = \sqrt[]{7} \) \( \theta=139, 11^ \circ \)

Q: \( ||\vec{u}||=2, ||\vec{v}||=1, ||\vec{w}||=4 \)

\( \vec{v} \) es un vector horizontal, y  \( \vec{u} \) y  \( \vec{w} \) forman un ángulo de \( 120^ \circ \) respecto de la horizontal y en sentido antihorario.

[Image]

Calcula la norma y determina el ángulo que forma el vector resultante de \( \vec{ \alpha}= \vec{v} + \vec{w} \) respecto a la horizontal y en el sentido antihorario.
- \( ||\alpha||= \sqrt[]{13} \) \( \theta = 73, 89^ \circ \)
- \( ||\alpha||= \sqrt[]{10} \) \( \theta = 75, 89^ \circ \)
- \( ||\alpha||= \sqrt[]{20} \) \( \theta = 80^ \circ \)
A: \( ||\alpha||= \sqrt[]{13} \) \( \theta = 73, 89^ \circ \)

Q: \( ||\vec{u}||=2, ||\vec{v}||=1, ||\vec{w}||=4 \)

\( \vec{v} \) es un vector horizontal, y  \( \vec{u} \) y  \( \vec{w} \) forman un ángulo de \( 120^ \circ \) respecto de la horizontal y en sentido antihorario.

[Image]

Calcula la norma y determina el ángulo que forma el vector resultante de \( \vec{ \alpha}= \vec{v} - \vec{w} \) respecto a la horizontal y en el sentido antihorario.
- \( ||\alpha||= \sqrt[]{21} \) \( \ \theta = 310,9^\circ \)
- \( ||\alpha||= \sqrt[]{20} \) \( \ \theta = 360^\circ \)
- \( ||\alpha||= \sqrt[]{23} \) \( \ \theta = 285, 4^\circ \)
A: \( ||\alpha||= \sqrt[]{21} \) \( \ \theta = 310,9^\circ \)

Q: Una vez obtenida la recta L que pasa por el origen y es paralela al vector no nulo \( \vec{a}=(0,-2) \) \( \vec{a} \in \mathbb{R}^2 \), se puede afirmar que la ecuación vectorial de L es  \( \vec{x}=-2t \) .
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: La ecuación  \( L=t(-1,-2)| t \in \mathbb{R} \) representa a la recta L que pasa por el origen y es paralela al vector \( \vec{a}=(-1,-2) \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Selecciona la opción que representa la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el vector \( \vec{u}= (1,1) \) y es paralela a \( \vec{v}=(5,1) \) .
- \( \vec{x} (t)= (1,1) + t(5,1) \)
- \( \vec{x} (t)= (5,1) + t(1,1) \)
- \( \vec{x} (t)= t + (5,1) \)
A: \( \vec{x} (t)= (1,1) + t(5,1) \)

Q: Calcula las ecuaciones paramétricas de cada una de las rectas que se definen a continuación:
- \( L= {(a - 1, a - 2)|a \in \mathbb{R} } \) | x = a - 1, y = a - 2
- \( L= {(-2a, -a)|a \in \mathbb{R} } \) | x = -2a, y = -a
- \( L= {(a + 2, 1)|a \in \mathbb{R} } \) | x = a + 2, y = 1

Q: El punto \( A = (-2, 2) \) pertenece a la recta \( L= \lbrace{{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y= -\frac{1}{2}x +1}}\rbrace \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El punto \( B = (0, 1) \) pertenece a la recta \( L= \lbrace{{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y= -\frac{1}{2}x +1}}\rbrace \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El punto \( C = (4, -1) \) pertenece a la recta \( L= \lbrace{{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y= -\frac{1}{2}x +1}}\rbrace \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: El punto \( D=( \sqrt[]{2}, -\frac{ \sqrt[]{2}}{2}+1) \) pertenece a la recta \( L= \lbrace{{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y= -\frac{1}{2}x +1}}\rbrace \) .
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Si \( A= (2,1), B= (4,5) \) y \( C=(1, -1) \). La recta que pasa por A y B es L y  \(L_1 \) es la recta que pasa por B y C, entonces \( L=L_1 \).
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Si \( A=(2,1)~ y ~B=(4,5) \) , la recta L que pasa por A y B es igual a:
- y = 2x - 3
- y = x - 3
- y = 2x + 5
A: y = 2x - 3

Q: Obtén las rectas:

 \( L \) que pasa por \( A = (-2, -5) \) y \( B = (2, 3) \)

\( L_1 \) que pasa por \( C = (0, -1) \) y \(D = (1, 1) \)

\( L_2 \) que pasa por \( E = (-5, -11) \) y \( F = (5, 9) \)

Escoge la respuesta correcta respecto a las rectas obtenidas.
- \( L = L_2 \)
- \( L_1 \neq L_2 \)
- \( L = L_1 = L_2 \)
- \( L = 2x-1 \)
- \( L = x -4 \)
A: \( L = L_2 \); \( L = L_1 = L_2 \); \( L = 2x-1 \)

Q: Calcula la derivada para la función \( f(x) = \frac{1}{4}x -3 \).
- \( f'(x) = \frac{1}{4} \)
- \( f'(x) = 1 \)
- \( f'(x) = 0 \)
A: \( f'(x) = \frac{1}{4} \)

Q: Calcula la derivada de la función \( f(x) = 4x -2x^2 \).
- \( f'(x) =12-2x \)
- \( f'(x) = 4 - 4x \)
- \(f'(x) = 4 - 2x \)
A: \( f'(x) = 4 - 4x \)

Q: Calcula la derivada de  la función \( f(x) = \sqrt[]{x^2+1} \),  para f'(0).
- f'(0) = 0
- f'(0) = 1
- f'(0) = -1
A: f'(0) = 0

Q: Calcula la derivada de la función \( f(x)= -x^2+6x \).
- f'(x) = -2x + 6
- f'(x) = -2x - 6
- f'8x) = -2x
A: f'(x) = -2x + 6

Q: Obtén las ecuaciones vectorial, paramétrica y cartesiana de la recta \( L= \lbrace{t(-3,1) + (-2,1)| t \in \mathbb {R}}\rbrace \)
- \( x(t) = (-2, 1) + t(-3, 1) \) | Ecuación vectorial
- \( x = -2 -3t \) \( y = 1 + t \) | Ecuación paramétrica
- \( y= \frac{1}{3} (1 - x) \) | Ecuación cartesiana

Q: La recta, que pasa por dos puntos de la gráfica de la función, es:

[Image]
- secante.
- tangente.
- paralela.
A: secante.

Q: Calcula la pendiente de la recta L que pasa por u y por v:

u = (1,1), v = (5,1) .
- 0
- 1
- \( \frac{1}{2} \)
A: 0

Q: El subconjunto L de \( \mathbb {R}^2 )\ definido como \( L= \lbrace{\vec{x}(t)=| (2,-1)+t(-1,3)|t \in \mathbb {R}}\rbrace \) representa una recta que pasa por el punto (2, -1) y es paralela al vector \( \vec{v}= (-1,3) \).

Sea \( (x,y) \in L \). De la definición del conjunto \( L )\, existe \( t \in \mathbb {R} )\ tal que la ecuación cartesiana de L es:
- \( y= -3x - 5, x \in \mathbb {R} \)
- \( y= 3x + 5, x \in \mathbb {R} \)
- \( y= -3x + 5, x \in \mathbb {R} \)
- \( y= -3x - 15, x \in \mathbb {R} \)
A: \( y= -3x - 5, x \in \mathbb {R} \)

Q: El subconjunto L  definido como \( L= \lbrace{\vec{x}(t)=| (2,-1)+t(-1,3)|t \in \mathbb {R}}\rbrace \) representa una recta que pasa por el punto (2, -1) y es paralela al vector \( \vec{v}= (-1,3) \).

La ecuación paramétrica de la recta es:
- \( {x= 2-t \brace y= -1 +3t} \)
- \( {x= 2+t \brace y= -1 +3t} \)
- \( {x= 2-t \brace y= -1 -3t} \)
- \( {x= 2+t \brace y= 1 +3t} \)
A: \( {x= 2-t \brace y= -1 +3t} \)

Q: Considera la función real definida como  \( f(x) = \sqrt[]{4x+1}, x \geq 0 \) y calcula la derivada.
- \( f'(x) = \frac{2}{ \sqrt[]{4x+1} } \)
- \( f'(x) = \frac{1}{ \sqrt[]{4x+1} } \)
- \( f'(x) = \frac{4}{ \sqrt[]{4x+1} } \)
- \( f'(x) = \frac{2x}{ \sqrt[]{4x+1} } \)
A: \( f'(x) = \frac{2}{ \sqrt[]{4x+1} } \)

Q: Calcula la derivada de \( \frac{df}{dx} (x) \)

\( f(x)= \sqrt[]{x+1} \)
- \( \frac{1}{2 \sqrt[]{x+1} } \)
- \( \frac{1}{ \sqrt[]{x+1} } \)
- \( \frac{x}{ \sqrt[]{x+1} } \)
- \( \frac{1}{ \sqrt[]{2(x+1)} } \)
A: \( \frac{1}{2 \sqrt[]{x+1} } \)

Q: Para la función cuadrática \( f(x) = x^2 - 4x - 5 \), ¿cuál es su recorrido?
- \( [-9, + \infty) \)
- \( (- \infty, 9] \)
- \( (- \infty, + \infty) \)
- \( [9, + \infty) \)
A: \( [-9, + \infty) \)

Q: Determina la solución del siguiente sistema cuadrático:
\(\left. x^2 +x + y = 1 \atop 3x- y = -1 \right\} \)
- (0, 1) y (-4, -11)
- (1, 0) y (4, -11)
- (1,40) y (4, 11)
A: (0, 1) y (-4, -11)

Q: Determina la solución del sistema cuadrático:

\( \left. x^2 + y^2 = 1 \atop x^2 + (y + 2)^2= 9 \right\} \)
- (1, 0)
- (0, 1)
- (-1, 0)
- (0, -1)
A: (0, 1)

Q: Determina la distancia entre los siguientes pares de números reales.
- d(-4, 3) = | 7
- d(-4, -3) = | 1
- d(5, -4) = | 9

Q: Sean a, b \( \in\mathbb R \), se verifica que d(a, b) = d(b, a).
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: ¿Qué expresión define los resultados de la siguiente tabla?
[Image]
- \( \lim _{h\to 0}5-10h^2=5 \)
- \( \lim _{h\to 5}5-10h^2=0 \)
- \( \lim _{x\to 0}5-10h^2=5 \)
A: \( \lim _{h\to 0}5-10h^2=5 \)

Q: Analiza la siguiente tabla:

[Image]

Para h suficientemente pequeño, ¿a qué número real se aproximan u(h), v(h) y w(h)?

Escribe con un decimal de aproximación.
A: 1.5

Q: Determina \( \lim _{x\to \infty }\frac{4x^3-2}{x^3+1} \)
- 4
- 0
- \( \infty \)
A: 4

Q: \( \lim _{x\to \ \infty}\frac{1}{x}=0 \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Encuentra el valor de cada límite dado.
- \( \lim _{x\to -1}\left(x^2-2x+4\right) \) | 7
- \( \lim _{x\to -2}\left(2x^3-4x\right) \) | - 8
- \( \lim _{x\to -2}\left(\frac{2x+3}{x+1}\right) \) | 1

Q: Halla el valor de \( \lim _{x\to 4}\left(\frac{2-\sqrt{x}}{4-x}\right) \)
A: 1/4 / 0,25 / 0.25

Q: Halla el valor de \( \lim _{x\to 2}\left(\frac{x^2-8x+15}{x^2-7x+11}\right) \)
- 0
- 5
- 3
A: 3

Q: Halla el valor de \( \lim _{x\to 2}\left(\frac{x^3-8}{x-2}\right) \) .
A: 12

Q: La derivada de la función \( y=\sqrt{x+2} \) es \( y'= \frac{1}{ \sqrt{x+2} } \) .
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Un móvil se desplaza en una trayectoria rectilínea y su función posición es \( s(t)=3t + 6t^2 \) con t en segundos y s en metros. ¿Cuál es la velocidad del móvil para t = 10 s?
- 123 m/s
- 630 m/s
- 63 m/s
A: 123 m/s

Q: Un móvil se desplaza en una trayectoria rectilínea y su función posición es \( s(t)=3t + 6t^2 \) con t en segundos y s en metros. La aceleración para t = 10 s es la misma que para t = 20.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Para cada función posición, determina el valor de la aceleración en m / s^2 .
- \( s(t)=t+2t^2 \) | 4
- \( s(t)=4t \) | 0
- \( s(t)=2t+t^2 \) | 2

Q: Un objeto se deja caer desde lo alto de un edificio de 100 m. Su función posición al cabo de t segundos es h(t) = 4,9t^2. ¿Cuál es su velocidad al cabo de 3 segundos?
- 29,4 m/s
- 14,7 m/s
- 9,8 m/s
A: 29,4 m/s

Q: Un objeto se deja caer desde lo alto de un edificio de 100 m. Su función posición al cabo de t  segundos es h(t) = 4,9t^2. ¿Con qué velocidad choca contra el suelo? (Redondea a las décimas los resultados).
A: 44,1 m/s / 44,1 / 44.1 m/s

Q: Halla la distancia de la recta \( 3x+4y+5=0 \) al punto \( P(2,2) \).
- 19/5
- 19/25
- \( \frac{ \sqrt{19}}{5} \)
A: 19/5

Q: Las bisectrices del ángulo que forman las rectas y = x  ;  x = -y  son los ejes coordenados.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Halla la distancia del punto P(-1, 3) a cada una de las rectas dadas.
- \( 2x-y=0 \) | 2,24 u
- \( 3x-4y+2=0 \) | 2,6 u
- \( x-5y+3=0 \) | 2,55 u

Q: Halla la distancia del punto \( P(0,1) \) a la recta \( (x,y)=(0,1)+t(2,1) \).
A: 0

Q: Halla la ecuación de la bisectriz S de la figura:

[Image]
A: y = x / y=x / x = y / x=y / x - y = 0 / x-y=0 / x - y=0

Q: Determina la distancia de la recta \( (x,y)=(1,1)+t(2,-1) \) al punto \( P(-1,2). \)
A: 0

Q: Las bisectrices de los ángulos de dos rectas que se cruzan forman un ángulo recto.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: La proyección del vector \( \vec{A}=(1,1) \) sobre le vector \( \vec{B}=(-3,4) \) es el vector:
- \( ( \frac{-3}{25}, \frac{4}{25} ) \)
- \( (\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ) \)
- \( (2,2) \)
A: \( ( \frac{-3}{25}, \frac{4}{25} ) \)

Q: El vector \( \vec{A} =(-3,-3) \) y el vector \( \vec{B} =(-3,0) \) forman un ángulo de 45^o.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Halla el módulo de cada uno de los vectores dados.
- \( (\sqrt{3},\:\sqrt{6}) \) | 3
- \( (\frac{1}{2},\:8) \) | 8,01
- \( (\sqrt{3},\:1) \) | 2

Q: Halla el valor de k para que los vectores \( \vec{A} =(k, 9) \) y \( \vec{B} =(-3,4) \) sean ortogonales.
A: 12

Q: Utiliza el teorema del Coseno y determina el módulo del vector resultante de la suma de los vectores dados en la gráfica:
[Image]
- 6,8
- 5,4
- 46,7
A: 6,8

Q: Calcula el ángulo entre cada par de vectores dado.
- \( \vec{a}=(2, -3); \vec{b} =(7,1) \rightarrow \theta= \) | 64,4 grados
- \( \vec{a}=(3, -2); \vec{b} =(1,7) \rightarrow \theta= \) | 115,6 grados
- \( \vec{a}=(4, 1); \vec{b} =(-5,2) \rightarrow \theta= \) | 144,2 grados

Q: Aplica la ley del Coseno y determina el módulo del vector resultante de la suma de los vectores de la gráfica:

[Image]
- \( a\sqrt{2} \)
- \( 2a^2 \)
- 2a
A: \( a\sqrt{2} \) / 2a

Q: El esquema de Hörner para el polinomio \( P(x)=2+x-4x^2-x^3+2x^4 \) es:
- \( 2+(x(1-x(4+x(1-2x)))) \)
- \( 2+(x(1-x(4-x(1-2x)))) \)
- \( 2+(x(1-x(4+x(1+2x)))) \)
A: \( 2+(x(1-x(4+x(1-2x)))) \)

Q: El polinomio \( P(x)= 4 - x^{-2} +x -6x^3+x^4 \) está ordenado en forma ascendente.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: El polinomio \( p(x)=7 \) es de grado 0.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Evalúa el polinomio \( P(x)= 5x^3 -2x^2 +10x +20 \) para cada valor indicado.
- P(-2) | - 48
- P(-1) | 3
- P(2) | 72

Q: Una raíz del polinomio \( P(x)=2x^2-7x-4 \) es -1/2.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Una raíz del polinomio \( P(x)=3x^2-10x+3 \) es -3.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Halla la suma de los polinomios: \( P(x)=\frac{3}{4}x^3-5x^2+2x-6 \) y \( Q(x)=2x^3\:-\frac{2}{3}x^2-\frac{2}{5} \).
- \( \frac{11}{4}x^3-\frac{17}{3}x^2+2x-\frac{32}{5} \)
- \( \frac{11}{4}x^3-\frac{17}{3}x^2-2x+\frac{32}{5} \)
- \( 3x^3-\frac{17}{3}x^2+2x-\frac{32}{5} \)
A: \( \frac{11}{4}x^3-\frac{17}{3}x^2+2x-\frac{32}{5} \)

Q: Sean \( P(x) = x^2 - 3x +2 \) y \( Q(x) = -x^2 -3 \), el polinomio \( P(x)-Q(x) \) es de primer grado.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Dados los polinomios \( P(x)=12x^3-x^2+24 \) y \( Q(x)=8x^3-2x^2+11 \), evalúa las siguientes operaciones.
- \( (P-Q)(-1)= \) | 9
- \( (2P+3Q)(0)= \) | 81
- \( (-P-2Q)(-2)= \) | 190

Q: Dados los polinomios    \( P(x) = -2x^3 - 5x^2 + 24 \)   y \( Q(x)=-4x^3-8x^2+11\), halla (P+3Q)(-3).
A: 174

Q: Sean los polinomios P(x) y Q(x) de cuarto grado. P(x) - Q(x) siempre será de cuarto grado.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Sean los polinomios \( P(x)=5x^4-x^2+x-10;\\Q(x)=3x^3-7x^2+12;\\R(x)=x^4-6x^3-9. \)

Halla el polinomio \( P(x)+Q(x)-R(x). \)
- \( 4x^4+9x^3-8x^2+x+11 \)
- \( 4x^4+9x^3-8x^2+x-11 \)
- \( 4x^4-3x^3-8x^2+x-7 \)
A: \( 4x^4+9x^3-8x^2+x+11 \)

Q: Sea \( P(x)= x^2-2 \). El polinomio de \( [P(x)]^3 \) es:
- \( x^6-6x^4+12x^2-8 \)
- \( x^6-8 \)
- \( x^8+6x^4+12x^2+8 \)
A: \( x^6-6x^4+12x^2-8 \)

Q: \( (x^2-2x+1) \cdot(x-1)=(x-1)^3 \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Sean los polinomios:

\( P(x)= x^3-1;\\Q(x)=x^2-4. \)

Halla el resultado de evaluar las siguientes operaciones para los valores dados.
- \( (P \cdot Q)(4) \) | 756
- \( (P \cdot P)(3) \) | 676
- \( (6P \cdot 3Q)(2) \) | 0

Q: Sean los polinomios:

\( P(x)=x^3-5;\\Q(x)=x^2+7x-3;\\R(x)=x+3. \)

Halla \( (P \cdot Q \cdot R)(-3) \)
A: 0

Q: \( (x^2-1)(x-1)=(x+1)(x-1)^2 \)
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: (x^2 - 4)(x - 2) = (x + 2)(x - 2)^2
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Halla el cociente de dividir \( P(x)=4x^3-5x^2+2x-1 \) para \( D(x)=x^2-2x \).
- \( 4x+3 \)
- \( 4x^2+3 \)
- \( 4x-3 \)
A: \( 4x+3 \)

Q: La división de \( P(x)=x^4-1 \) para \( D(x)=x-1 \) es exacta.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Sin efectuar la división, halla el residuo de dividir cada polinomio P(x) para el binomio D(x).
- \( P(x)=3x^3-2x^2+5x-3; \) \( D(x)=x+1 \) | -13
- \( P(x)=x^4-6x^3-5x+7; \) \( D(x)=x+2 \) | 81
- \( P(x)=x^3-3x^2+x-9; \) \( D(x)=x-3 \) | -6

Q: Sin efectuar la división, halla el residuo de dividir cada polinomio P(x) para el binomio D(x).
- \( P(x)=x^3-4x^2+2x-6; \) \( D(x)=x+3 \) | -75
- \( P(x)=5x^3-2x^2+x-8; \) \( D(x)=x-2 \) | 26
- \( P(x)=7x^3-5x^2+3x-10; \) \( D(x)=x+1 \) | -25

Q: El cociente de dividir un polinomio de cuarto grado para un polinomio de segundo grado, es de grado 2.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Escribe el residuo de dividir \( P(x)=6x^3-2x^2+40; \) para \( D(x)=x^2+x+1. \)
A: 2x+48 / 2x + 48 / R(x) = 2x + 48 / R(x) = 2x+48

Q: El número 2311 expresado en base binaria es:
- 100100000111
- 111000001001
- 10010000011
A: 100100000111

Q: 110_10 = 110_2
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Escribe cada número dado en base 10.
- 3333_4 | 255
- 231105 | 1655
- 678_9 | 557

Q: Escribe el número binario 1111001 en base 5.
A: 441

Q: Escribe cada número dado en base binaria.
- 1234_5 | 11000010
- 315 | 100111011
- 651_7 | 101001010

Q: Expresa cada número en base binaria.
- 442_5 | 1111010
- 3120_4 | 11011000
- 90 | 1011010

Q: El número 21030_4 expresado en base 10 es:
A: 588

Q: En un estante hay 3 libros de matemáticas, 2 de historia  y 1 de física. Si se toma un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea este no sea de matemáticas?
- 1/2
- 1/3
- 2/5
A: 1/2

Q: Si se lanza una moneda al aire dos veces, la probabilidad de obtener al menos una vez sello es de 0,75.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral si lanzo dos veces una moneda al aire?
A: 4

Q: Se lanzan dos dados al aire y se suman las puntuaciones. Determina la probabilidad de que las suma de las puntuaciones sea 1.
A: 0

Q: En una bolsa se han depositado 3 bolas amarillas, 5 rojas y 2 blancas. Si se extrae una bola al azar, determina las siguientes probabilidades:
- De que la bola sea amarilla | 3/10
- De que la bola no sea roja | 1/2
- De que la bola sea blanca | 1/5

Q: Si se lanza al aire una moneda cuatro veces seguidas, determina la probabilidad de obtener dos caras.
A: 3/4 / 15/20 / 0.75 / 0,75

Q: La siguiente tabla muestra los datos respecto de la venta en un local comercial de un nuevo producto que ha sido lanzado al mercado.

[Image]

Selecciona los dos primeros días y escribe para cada uno el polinomio de segundo grado C(t) = a_1t + a_2t^2.
- \( 7=a_1+a_2\\24=2a_1+4a_2 \)
- \( 1=7a_1+a_2\\2=24a_1+a_2 \)
- \( 7=a_1+(a_2)^2\\24=2a_1+(a_2)^2 \)
A: \( 7=a_1+a_2\\24=2a_1+4a_2 \)

Q: La siguiente tabla muestra los datos respecto de la venta en un local comercial de un nuevo producto que ha sido lanzado al mercado.

[Image]

El polinomio que permite modelar el problema planteado es:
- \( C(t)=2x+5x^2 \)
- \( C(t)=5x+2x^2 \)
- \( C(t)=4x+2x^2 \)
A: \( C(t)=2x+5x^2 \)

Q: La siguiente tabla muestra los datos respecto de la venta en un local comercial de un nuevo producto que ha sido lanzado al mercado.

[Image]

Determina el polinomio de segundo grado que permite modelar el problema planteado y halla la cantidad de productos que se venderían en 5 días si la venta sigue la misma tendencia.
A: 135

Q: Encuentra el polinomio de segundo grado respectivo que modela la tabla y selecciona el valor solicitado.
- [Image] P(3) | 18
- [Image] P(5) | 130
- [Image] P(4) | 8

Q: Encuentra el polinomio de segundo que permite modelar la siguiente tabla de datos y halla P(5).

[Image]
A: 100

Q: La ecuación de la distancia en función del tiempo de un móvil que se traslada con movimiento rectilíneo uniforme es \( d(t)=v_ot+ \frac{1}{2} at^2 \). La siguiente tabla muestra la distancia en metros que recorre un móvil en los 2 primeros segundos. Determina el valor de \( v_o \) .

[Image]
A: 3

Q: Considera los sucesos de lanzar un dado A = {obtener un número par} B = {obtener un múltiplo de 3}.
El suceso de obtener un número par que no sea múltiplo de 3 es el que se representa por la operación:
- \( A - B \)
- \( B-A \)
- \( AꓵB \)
A: \( A - B \)

Q: Considera los sucesos de lanzar un dado A = {obtener un número par} B = {obtener un múltiplo de 3}.
El suceso de obtener un número par que no sea múltiplo de 3 es el conjunto B - A = {3}
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: El siguiente diagrama de Venn muestra dos sucesos A y B referentes al lanzamiento de un dado. Relaciona Cada operación con el conjunto respectivo.

[Image]
- \( AUB \)' | {3, 4, 6}
- \( (AꓵB)' \) | {1, 3, 4, 5, 6}
- \( (A-B)' \) | {2, 3, 4, 5, 6}

Q: El siguiente diagrama de Venn muestra dos sucesos A y B referentes al lanzamiento de un dado.

[Image]

El suceso \( (A' ꓵ B)' \) es el conjunto:
- {1, 2, 3, 4, 6}
- {5}
- {1, 2, 3}
A: {1, 2, 3, 4, 6}

Q: Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos veces una misma moneda.  Su espacio muestral es E = {cc, cx, xc, xx}. Consideremos el suceso A = {cc, cx, xc}, el suceso contrario a A es el conjunto {xx}.
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos veces una misma moneda.  Su espacio muestral es E = {cc, cx, xc, xx}. Consideremos los sucesos A = {cc, cx}, B = {cc, xx}. El suceso contrario a A U B es el conjunto vacío.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: El tercer término en el desarrollo de \( \left(2a^2-1\right)^5 \) es:
- \( 80a^6 \)
- \( -80a^6 \)
A: \( 80a^6 \)

Q: El término de la mitad del desarrollo de \( \left(3x^2-y^3\right)^4 \) es \( 54x^4y^6 \).
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Halla el resultado de las siguientes combinatorias:
- \( \binom {13} {10} \) | 286
- \( \binom {11} {8} \) | 165
- \( \binom {10} {6} \) | 210

Q: Halla el coeficiente del quinto término del desarrollo de \( \left(4x^3-1\right)^5 \) .
A: 20

Q: El coeficiente del penúltimo término en el desarrollo de \( \left(x+y\right)^8 \) es 7.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Halla el coeficiente del tercer término en el desarrollo de \( \left(x^3+2y\right)^6 \).
A: 60

Evaluación formativa

1. Sean m, n E Z. Indica la propiedad o resultado de un teorema que justifique la igualdad que en cada caso se escribe.

a) (–30 + m) + n = –30 + (m + n).

b) Si m = 100 y n = m + 50 entonces n = 150.

c) –(–3m) = 3m.

1. Sean a, b E Z. Si en cada literal se define S E Z, simplifica la escritura de S e indica el resultado que utiliza en cada paso. Luego, calcula S con los datos a y b que se dan.

a) S = (30a)(–40b)(10a)(–20b), a = 1, b = –1.

b) S = 6(7a + 8b) + 4(3a + 7b), a = 0, b = –1.

c) S = 4(9a + 3b) – 3(4a – 8b), a = b = –10.

d) S = 17(5a + 6b) + 20(–6a – 7b) + 25(a + 2b), a = –2, b = –8.

1. Sean x, y, z E Z. Aplica las propiedades algebraicas de Z para simplificar la escritura de V que se define en cada literal. Una vez simplificado, calcula V en x, y, z.

a) V = 15(8x – 3y – 4z) + 17(2x – 3y) + 20(–3x); x = 2, y = 0, z = 1.

b) V = 17(2x + 3y) – 15(–x – y –z) + 4[18x + 3y – (–14)z]; x = –2, y = 0, z = –1.

c) V = 7(8x + 12y – 15z) – 12[–3x + 14(–y – z)] + 16(–x –4y – 5z); x = y = –3, z = –2.

1. Escribe todos los divisores positivos de los siguientes números enteros:

a) –24 _________________

b) 72   _________________

c) –120 ________________

1. Obtén el mcd y el mcm de los siguientes números enteros:

a) –18, –24 _________________________________

b) –45, –72 _________________________________

c) 17, 19, 21 ________________________________

1. Calcula las siguientes potencias:

a) (–3)2 (–1)3 25. ___________________________________________

b) (–1)6 (–2)4 43. ___________________________________________

c) (–4)3 (–5)2 (–6). __________________________________________

1. Comprueba las siguientes igualdades.

a) (a2 + b2)2 – (a2 – b2)2 = 4a2b2.

b) (a + b)3 – (a3 + b3) = 3ab(a + b).

c) (a + 1)(a2 – a + 1) – a3 = 1.

d) (a – 1)(a2 + a + 1) – a3 = –1.

1. Sean a, b, c E Z con V definido en cada literal. Factora y luego calcula el valor de V para los datos a, b, c, que se indican.

a) V = c2 + (a + b) c + ab; a = –20, b = –20, c = –5

b) V = a3b3 + 3a2b2c + 3abc2 + c3; a = 2; b = –2, c = 4.

1. Sean a, b, c, d E Z. Se tienen muchas maneras de sumar cuatro números reales. A continuación, se muestran algunas de ellas:

a) Demuestren (a + b) + (c + d) = (a + d) + (c + b) = (b + d) + (a + c) = [(c + d) + b] + a.

Al resultado común de todas estas sumas, se lo denota a + b + c + d.

b) Demuestren –(a + b + c + d) = –a – b – c – d.

1. A la suma, resta, multiplicación de números enteros se les llama operaciones elementales. Por ejemplo, si a E Z, en el cálculo de a2 = a ∙ a, se realiza una operación elemental que es la multiplicación. Sean a, b, x E Z. Indiquen el número de operaciones elementales que se requieren para calcular tanto el lado izquierdo como el lado derecho de las siguientes igualdades:

a) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.

b) (x + a)2 = x2 + 2ax + a2.

c) (x – a)2 – (x + a)2 = –4ax.

d) (x – a)(x + a) = x2 – a2.

1. Sean x, y, z, v E Z no nulos.

a) Encuentren un procedimiento que les permita obtener a = mcd(x; y; z) y exhiban tres ejemplos de aplicación.

Evaluación formativa

1. Aproxima el número real que se indica en cada ítem con 4, 6 y 8 cifras después del punto decimal.

[Image]

[Image]

[Image]

Se conocen las siguientes aproximaciones:

[Image]

Calcula aproximaciones de cada uno de los números reales indicados.

[Image]

[Image]

Se conocen las siguientes aproximaciones:    [Image]
Calcula aproximaciones de los siguientes números reales x, y, x + y, x • y, con x y, que se indican en cada literal.
[Image]

[Image]

1. Sean a, b E R. Halla el opuesto aditivo del número real x que se define en cada literal. Resuelve en tu cuaderno.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean a, b E R, con a ≠ 0, b ≠ 0. Halla el opuesto multiplicativo del número real x que se define en cada numeral.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean x, y, z E R.

a) Por la propiedad asociativa para la adición, se tiene x + (y + z) = (x + y) + z. Escribe otras maneras posibles de sumar estos tres números reales y prueba que cada una de ellas coincide con x + (y + z). Al resultado común se lo ha notado como x + y + z (existen 12 maneras).

b) Por la propiedad asociativa para el producto, se tiene x(yz) = (xy)z. Escribe otras maneras posibles de multiplicar estos tres números reales y prueba que cada una de ellas coincide con x(yz). Al resultado común se lo ha notado simplemente como xyz (existen 12 maneras).

1. Resuelve en tu cuaderno. Sean a, b, c E R. Prueba que:

a) abc = a(–b)(–c) = (–a)b(–c) = (–a)(–b)c = –(–a)(–b)(–c).

b) –abc = (–a)(–b)(–c) = –(–a)(–b)c = –a(–b) (–c) = ab(–c) = (–a)bc = a(–b)c.

1. Trabaja en tu cuaderno. Sean a, b, c E R. Prueba las siguientes igualdades.

a) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

b) (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc.

1. Sean a, b, c, d E R.

a) Indaguen y escriban cinco maneras de sumar estos cuatro números, por ejemplo, [(a + d) + c]+b (existen 96 maneras). Al resultado común se lo escribe simplemente a + b + c + d.

b) Indaguen y escriban cinco maneras de multiplicar los números reales dados. Al resultado común se lo escribe abcd.

Consideren las aproximaciones de [Image] [Image] con cuatro cifras después del punto decimal.

Calculen las aproximaciones de los números reales que se definen a continuación (usen una calculadora científica).

[Image]    [Image]

[Image]    [Image]

[Image]

1. Sean a, b, c E R  con c ≠ 0. Prueben las siguientes igualdades:

[Image]

[Image]

[Image]

Evaluación formativa

1. En cada ítem se propone un sistema de ecuaciones lineales, donde x, y E R denotan las incógnitas. Resuelve dicho sistema por el método gráfico en tu cuaderno y sube una foto.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Halla la solución del sistema de ecuaciones por el método de sustitución que se da en cada literal, en los que a, b E R son las incógnitas.

[Image]

[Image]

[Image]

1. En cada ítem se propone un sistema de ecuaciones lineales, donde x, y E R denotan las incógnitas. Resuelve dicho sistema por el método de igualación y comprueba que x y y son soluciones de dicho sistema. Trabaja en tu cuaderno.

[Image]

1. En cada ítem se propone un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución en el conjunto de los números reales; x e y denotan las incógnitas. Prueba que efectivamente es así, procediendo a su resolución por el método de eliminación.

[Image]

[Image]

[Image]

1. En cada ítem se da un sistema de ecuaciones lineales que tiene una infinidad de soluciones. Procede a resolver dicho sistema y muestra que este se reduce a una sola ecuación; x, y E R denotan las incógnitas. Obtén tres soluciones.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Resuelvan el sistema de ecuaciones que se da en cada ítem, en los que u, v E R denotan las incógnitas. Muestren que u = 0 y v = 0 son las únicas soluciones.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Resuelvan el sistema de ecuaciones que se da en cada ítem, en los que x, y E R denotan las incógnitas, donde a, b elementos de R deben precisarse para que el sistema tenga solución.

[Image]

Evaluación formativa

1. Para cada conjunto A que se da a continuación, ordena de menor a mayor y de mayor a menor.

[Image]

[Image]

1. Sean x, y E R. Estudia los signos de x y de y en cada uno de los casos siguientes:

a) El producto xy es negativo.

b) El producto xy y la suma x + y son positivos.

c) El producto xy es positivo y la suma x + y es negativa.

1. En las desigualdades que se indican en cada ítem, multiplica por p E R, donde x E R. Justifica el resultado obtenido.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sea x E R, tal que 2 ≤ x ≤ 100. Demuestra que:

[Image]

[Image]

[Image]

1. En cada ítem, utilizando la notación de intervalos, escribe cada conjunto como un intervalo y representa gráficamente. Trabaja en tu cuaderno.

[Image]

1. En la recta numérica, representa cada uno de los intervalos que se indica. Realiza el ejercicio en tu cuaderno y sube una foto.

[Image]

1. En cada ítem, utiliza la notación de conjuntos y escribe cada intervalo A como un conjunto.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sea I = ]–∞, 2], J = [–1, 1], K = [0, 2]. En cada ítem, determina el conjunto que se indica y represéntalo en la recta numérica.

[Image]

[Image]

1. Sean a, b, c E R. Indaguen y demuestren:

[Image]

1. Sean x, y E R, tales que x ≤ –2, y ≤ –5. Muestren que:

[Image]

1. Sea I = ]–∞, 2], J = [–1, 1], K = [0, 2]. En cada ítem, determinen el conjunto que se indica y represéntenlo en la recta numérica.

[Image]

1. Indaga y escribe las definiciones de los conectivos lógicos: negación, conjunción, disyunción, implicación y equivalencia.

Evaluación formativa

1. Sean x, y E R+ con x ≠ y. Demuestra:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean a, b E R no nulos. En cada caso indica las condiciones que han de verificar a y b para que x esté bien definida en el conjunto de los números reales. Justifica tu respuesta en el caso en que x no está definida.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Simplifica la escritura del número real r que se define en cada ítem.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Supón a > 0, b > 0 y a > b. Se define [Image]  Simplifica la escritura de x y muestra que x = 1.

1. En cada ítem, racionaliza x.

[Image]

[Image]

1. Sean [Image]  En cada ítem se define x. Calcula x, simplifica y racionaliza, si es necesario.

[Image]

[Image]

1. Sean [Image] ¿es x = y? Justifiquen su respuesta.

1. Simplifiquen la escritura del número real r que se define en cada ítem.

[Image]

1. Sean a, b  +, tal que b > a. Se define [Image]  En cada ítem se define w. Calculen, racionalicen y simplifiquen, si es necesario.

[Image]

Evaluación formativa

1. En cada ítem, resuelve en R la ecuación que se propone.

a) |x – 2| = 0.

b) |3 x + 5| = 0.

c) |x| + 3 = 0.

d) | 2x – 1| – 5 = 0.

1. En cada ítem se propone una ecuación sobre el conjunto que se indica. Resuelve la ecuación en dicho conjunto.

a) | 2x + 1| = 3, x E [0, ∞[.

b) ||x| – 10| = 5, x E [–10, 10].

c) ||20 – 2x| + 3x| = 100, x E ]–∞, 0].

d) |x – 2| – |2x + 2| = 1, x E [–2, 2].

1. Considera la inecuación |x| < 0,5. En cada literal se da un número real a. Indica si este cumple con la desigualdad propuesta.

[Image]

1. Considera la inecuación |x| > 1,5. En cada literal se da un número real a. Indica si este cumple con la desigualdad propuesta.

[Image]

1. En el conjunto R, resuelve las inecuaciones siguientes:

a) |x| < 0,1.

b) |x| > 0,5.

c) |x/5| ≤ 0,02.

d) |x/4| ≥ 0,1.

e) |x| > 0,1.

1. En el conjunto R, resuelve las inecuaciones siguientes:

a) |x – 2| < 1.

b) |3x + 1| > 2.

c) |1-x/5| ≤ 0.

1. Indaguen. Sean a, b, c E R. Escriban todas las condiciones que han de verificar a, b, c, para que |abc| = abc. Resuman los resultados en una tabla.

1. Resuelvan en R+ las inecuaciones siguientes:

[Image]

1. Resuelvan en el conjunto R las inecuaciones siguientes:

[Image]

Evaluación formativa

1. Para n = 0, 1, ... , 6, calcula las potencias siguientes:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Completa el proceso con los números exponentes que faltan.

[Image]      [Image]

1. Sean a, b E R+, m, n E Z+ . Demuestra:

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean a, b E R. Indica las condiciones que deben cumplir a, b para que el número real x esté bien definido y exista.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean [Image] En cada ítem se define un número real x. Utiliza una calculadora de bolsillo y obtén aproximaciones de a y b con 5 cifras luego del punto decimal y con estas calcula aproximaciones de x.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean a, b E R+, m, n, p, q E Z+. Demuestren:

[Image]

1. Determinen el más grande subconjunto de R en el que el número real a que se indica en cada ítem está bien definido.

[Image]

Evaluación formativa

1. Analiza, sigue los pasos y resuelve. En la figura que se muestra a continuación, se tiene una triangulación uniforme constituida por 32 triángulos congruentes y 25 vértices.

[Image]

a) ¿Cuántas aristas hay? Cuéntalas sin equivocarte.

b) La relación que existe entre el número de triángulos, vértices y aristas se obtiene a partir de la fórmula de Euler: Na = Nt + Nv – 1, en donde Na es el número de aristas, Nt es el número de triángulos y Nv es el número de vértices. Aplica la fórmula de Euler para las regiones triangulares siguientes:

[Image]

[Image]

1. Sean a, b, c, d E R con c > 0. Se supone que estos elementos están relacionados como sigue: d = [Image] En cada ítem se dan tres datos de esta fórmula. Mediante la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales, obtén el dato faltante y muestra que es el indicado.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Obtén tu masa corporal y tu talla y determina el índice de masa corporal. Calcula este índice para todos los miembros de tu familia.

1. Trabajen en equipo. Investiguen y resuelvan los siguientes problemas.

El shock eléctrico sufrido por una persona puede ser letal, si la intensidad eléctrica I > 100 mA (miliamperios). El efecto del shock eléctrico es conocido, en medicina, como fibrilación ventricular y consiste en una sobrecarga del nervio responsable de regular el funcionamiento del corazón. Por otro lado, si una persona sufre de un shock eléctrico, puede sufrir también de una parálisis respiratoria. En nuestro país, el voltaje es de 120 V; si una persona tiene contacto con la red eléctrica y esta tiene una resistencia R = 800 Ω, ¿cuál es la intensidad eléctrica que recibe? ¿Qué se puede concluir?

1. Trabajen en equipo. Investiguen y resuelvan los siguientes problemas.

En un modelo sencillo de rendimiento de la inversión en la asignación de recursos a la investigación y desarrollo, consideren los siguientes elementos: inversión total I , medida en dólares; tasa de rentabilidad R; utilidad esperada antes de invertir en la investigación; y desarrollo U. Los costes de investigación y desarrollo C están relacionados como C = U – RI . Un ejemplo hipotético de la industria del cuero requiere de innovación permanente de sus productos (similar a lo que sucede en otros sectores industriales). Supónganse que, en las condiciones actuales, una pequeña empresa del cuero tiene una utilidad anual U = $ 40 000,00, una tasa de rentabilidad R = 0,25 $/año y una inversión I = $100 000,00. Entonces, ¿cuáles son los costes de investigación y desarrollo?

Evaluación formativa

1. Considera el conjunto de datos ordenados E = {12, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19} que corresponden a las calificaciones de la prueba de estadística de 19 estudiantes. ¿Cuáles son la media aritmética, la mediana y la moda?

1. Los datos de masa corporal en kilogramos de una muestra de 30 niños de 5 y 6 años se registra en la tabla.

[Image]

Elabora una tabla de frecuencias con estos intervalos [16,35 - 18); [18,00 - 19,64); [19,64 - 21,29); [21,29 - 22,93); [22,93 - 24,58); [24,58 - 26,22). Calcula la media, mediana y moda.

1. En la siguiente tabla se muestra el conjunto de datos de una población:

[Image]

a) Ordena los datos en forma ascendente, es decir de menor a mayor.

b) Obtén las frecuencias absolutas de los datos.

c) Obtén las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda.

d) Analiza los resultados.

1. Resuelve en tu cuaderno y escribe la respuesta. En el colegio XYZ de la ciudad de Guayaquil se toma una muestra de la estatura medida en metros de 36 estudiantes del primer año de bachillerato. Los datos se muestran en la tabla siguiente:

[Image]

a) Ordena los datos de menor a mayor y elabora una tabla con las frecuencias absolutas de seis intervalos de igual longitud.

b) Obtén las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda.

c) Analiza los resultados.

1. Resuelve en tu cuaderno y escribe la respuesta. La empresa de tuercas, pernos y tornillos de la ciudad de Ambato tiene un contrato para fabricar tornillos de 20 mm de largo y 4 mm de diámetro. Luego de producir un primer lote y garantizar la producción, toma una muestra de 60 tornillos y mide sus diámetros en mm, cuyos resultados se muestran en la tabla siguiente:

[Image]

a) Ordena los datos de menor a mayor.

b) Elabora una tabla de frecuencias absoluta, relativa y relativa acumulada con diez intervalos de igual longitud.

c) Obtén las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda.

1. Consideren el conjunto de datos [Image] de una muestra que corresponde a gastos realizados en la primera semana del mes por 20 familias.

a) Ordenen los datos de menor a mayor.

b) Elaboren una tabla de frecuencias absoluta, relativa y relativa acumulada.

c) Obtengan las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda.

d) Analicen los resultados.

1. Un atleta se entrena diariamente para competir en 200 metros plano. El entrenador mide los tiempos en segundos, cuatro veces por día, y registra los datos en la siguiente tabla.

[Image]

a) Elaboren una tabla de frecuencias absoluta, relativa y relativa acumulada.

b) Obtengan las medidas de tendencia central: media aritmética, media y moda.

c) Obtengan la media aritmética de la primera y última medición, en los seis días de la semana.

d) Analicen los resultados.

Evaluación formativa

1. Resuelve en cuaderno y escribe tu respuesta en la cuadrícula. Considera la recolección de datos que consiste en una muestra de 30 valores de la masa corporal en kilogramos de niños de 5 y 6 años que ingresan a segundo año de educación básica:

[Image]

Con esta información, organiza los datos de menor a mayor, obtén las frecuencias absolutas, el rango y calcula la media aritmética y la desviación estándar.

a) Para el efecto, primeramente se ordena de menor a mayor. Resulta

16,35; 17,52; 17,92; 18,22; 18,25;

18,85; 19,30; 19,32; 19,56; 19,82;

20,01; 20,17; 20,18; 20,35; 21,09;

21,39; 21,4; 21,63; 21,75; 21,95;

22,18; 22,22; 22,83; 22,96; 23,01;

23,15; 24,11; 24,22; 25,18; 26,22.

b) El valor mínimo es xmín = 16,35; el valor máximo es xmáx = 26,22.

El rango es:

c) Muestra que la media aritmética es

[Image]

d) Calcula la desviación estándar utilizando las dos fórmulas y compara los resultados.

1. Considera el conjunto de datos ordenados [Image] que corresponden a las calificaciones de la prueba de estadística de 19 estudiantes. Analiza estos datos, esto es, obtén el rango, la media aritmética, la varianza y la desviación estándar.

a) Obtén el rango.

b) Verifica que la media aritmética es x = 15,5.

c) Calcula la varianza y la desviación estándar con las dos fórmulas y compara los resultados con los obtenidos por el resto de la clase.

1. En un colegio se toma el mismo examen de matemática a dos paralelos, con 16 estudiantes cada uno. Las calificaciones sobre diez puntos se resumen en los siguientes conjuntos:

[Image]

a) Obtén el rango de cada uno de los conjuntos de datos A, B.

b) Calcula la media aritmética de cada uno de estos conjuntos.

c) Calcula la desviación estándar de cada conjunto de datos.

1. Una empresa de la ciudad de Ambato tiene un contrato para fabricar tornillos de 20 mm de largo y 4 mm de diámetro. Luego de producir un primer lote y garantizar la producción, toma una muestra de 60 tornillos y mide sus diámetros en milímetros, cuyos resultados se muestran en la tabla siguiente:

[Image]

a) Ordenen los datos de menor a mayor.

b) Elaboren una tabla de frecuencias absoluta, relativa y relativa acumulada.

c) Obtengan las medidas de dispersión: rango, varianza, desviación estándar.

d) Analicen los resultados y obtengan conclusiones.

1. Los resultados de las evaluaciones quinquemestrales en una institución educativa en tres paralelos diferentes en la asignatura de Química son los que se muestran a continuación.

[Image]

a) Obtengan el rango de cada uno de los conjuntos de datos A, B, C.

b) Calculen la media aritmética de cada uno de estos conjuntos.

c) Calculen la desviación estándar de cada conjunto de datos.

Evaluación formativa

1. Completa el proceso. Calcula la desviación media absoluta y la varianza del conjunto de datos V = {15, 23, 25, 27, 29, 44, 45}.

a)Calcula la media aritmética.
[Image]
X=_______________________

b)El conjunto de desvíos D (desviaciones) está dado como:
[Image]
= {_______________________}

cuya desviación media absoluta es:
[Image]
Dm=______________________

c)Cálculo de la varianza:
[Image]
O2=______________________

1. En la siguiente tabla se muestra un conjunto de datos de una población:

[Image]

a) Ordena en forma ascendente, de menor a mayor.

b) Obtén las frecuencias absolutas de los datos.

c) Obtén las medidas de dispersión: rango, varianza y desviación estándar.

d) Obtén el coeficiente de variación.

e) Analiza los resultados.

1. Resuelve en tu cuaderno y escribe en la cuadrícula la respuesta. En el colegio XYZ de la ciudad de Guayaquil se toma una muestra de la estatura medida en metros de 36 estudiantes del primero de bachillerato, cuyos datos se muestran en la tabla siguiente:

[Image]

a) Ordena los datos de menor a mayor y elabora una tabla con las frecuencias absolutas.

b) Obtén las medidas de de dispersión: rango, varianza, desviación estándar.

c) Calcula el coeficiente de variación.

d) Analiza los resultados.

1. Las calificaciones sobre veinte puntos obtenidas en la evaluación de la materia de Biología se registran en la siguiente tabla:

[Image]

a) Ordenen los datos de menor a mayor.

b) Elaboren una tabla de frecuencias absoluta, relativa y relativa acumulada.

c) Obtengan las medidas de dispersión: rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

d) Analicen los resultados.

1. Demuestren que la varianza se calcula con la fórmula:

[Image]

Sugerencia: tomen en consideración que...

[Image]

y apliquen las propiedades del sumatorio y de la media aritmética.

1. Completa el desarrollo. Los siguientes datos corresponden a una muestra de 30 valores del peso en kilogramos de niños de 5-6 años que ingresan a primer año de básica en la provincia de Guayas:

[Image]

a) Ordena los datos de mayor a menor.

b) El valor mínimo es xmín = 16,35. El valor máximo es xmáx = 26,22.

Obtén seis intervalos de igual longitud.

[Image]

c) Completa la tabla.

[Image]

d) Calcula el percentil P20 .
        Tienes estos datos:
[Image]
Resuelve en tu cuaderno.
Obtén la información de la tabla y calcula el percentil.

1. Con los datos de la empresa de tuercas, trabajada en páginas anteriores y cuya información del diámetro de los tornillos es:

[Image]

realicen lo siguiente:

a) Ordenen los datos de menor a mayor.

b) Elaboren una tabla de frecuencias absoluta, relativa y relativa acumulada.

c) Obtengan los cuartiles Q1, Q2, Q3.

d) Obtengan los deciles D2, D4, D6, D8.

e) Obtengan los percentiles P25, P50, P75 y comparen con los tres cuartiles

1. Las calificaciones sobre veinte puntos en una materia son.

[Image]

a) Obtengan la varianza y la desviación estándar.
b) Obtengan los cuartiles Q1, Q2, Q3.
c) Obtengan los deciles D2, D4, D6, D8.

Evaluación formativa

1. Sea x E R. En cada literal se define S E R. Simplifica la escritura de S, justificando cada resultado. Una vez simplificado, calcula S en el dato x que se indica.

[Image]
[Image]

1. Sean a, b, c E R. Demuestra que:

a) (–a)(–b)(–c) = –abc.
b) –(a – b) = b – a.

1. Sean a, b, c E R+, m, n, p, q E Z+. Demuestra:

[Image]

1. Con los intervalos A, B que se dan en cada ítem, determina A  B. En la recta numérica, representa A, B y A  B.

[Image]

[Image]

1. Sea x E R que satisface, en cada ejercicio, la condición indicada. Obtén la desigualdad propuesta.

a) x ≤ –2, entonces –3(x – 2) ≥ 12.

b) x ≤ 0, entonces 10(x – 3) + 18 ≤ –12.

1. Halla la solución de los sistemas de ecuaciones por cualquier método.

[Image]

1. En cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales, donde a, b E R designan las incógnitas, aplica el método de eliminación gaussiana y explica el resultado obtenido.

[Image]

1. Ordena la siguiente información y determina las medidas de tendencia central.

[Image]

Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta correcta.

Q: 1. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es:

[Image]

F
- x = 1, y = 2.
- x = 2, y = 5.
- x = 0, y = 2.
- x = –2, y = –5.
A: x = 2, y = 5.

Q: 1. Sea x E R, tal que [Image] la solución de la inecuación es:
- [Image]
- [Image]
- [Image]
- [Image]
A: [Image]

Q: 1. Sean a, b E R. Entonces, (a2 + b2)2 – (a2 – b2)2 es igual a:
- –2a2b2.
- 2a2b2.
- a2b2.
- 4a2b2.
A: 4a2b2.

1. Al preguntar a un grupo de familias sobre el número de habitaciones que tienen en su casa, estos fueron los resultados.

[Image]

a) ¿Cuál es la media del conjunto de datos?

b) ¿Cuál es la moda del conjunto de datos?

c) ¿Cuál es la mediana del conjunto de datos?

Evaluación formativa

Sean A, B, C, D cuatro puntos del plano, tal que los bipuntos (A, B) y (C, D) son representantes de los vectores AB y CD. Realiza el trabajo en tu cuaderno y sube una foto.
a) Realiza la representación geométrica de AB = CD.

b) Realiza la representación geométrica de AB de la misma dirección y longitud, con sentido opuesto a CD.

c) Realiza la representación geométrica de AB de la misma dirección y sentido, con diferente longitud a CD.

Dadas las rectas Lab || Lcd y sean u , v dos vectores no nulos del plano, tal que (A, B) E AB = u , (C, D) E CD = v , ¿cómo se deben disponer los vectores para que se cumplan las siguientes condiciones? Grafica en tu cuaderno y sube una foto.
a) Sean de igual dirección y sentido y de diferente longitud. Grafica.

b) Sean de igual dirección y longitud y de diferente sentido.

En el gráfico se tiene un rectángulo de vértices A, B, C, D y varios vectores. Elaboren una tabla de los vectores que son iguales, opuestos, de igual magnitud y de magnitudes distintas.

[Image]

Sean FD y GE dos vectores asociados a los bipuntos (F, D) y (G, E), tales que (D, E) paralelo a (G, F) y (F, D) paralelo a (G, E). ¿Qué pueden decir de los vectores FD y GE ? ¿Por qué?

[Image]

Evaluación formativa

Considera los vectores U, V E V2 que se muestran en la siguiente figura:

[Image]

Determina gráficamente cada uno de los vectores que se definen a continuación, utiliza una escala adecuada:

[Image]

[Image]

En la figura que sigue, se muestran tres vectores. Representa gráficamente el vector que se define en cada ítem.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Con los vectores que se muestran a continuación, verifica, de manera gráfica, cada una de las igualdades solicitadas.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Considera los vectores que se muestran en la siguiente figura:

[Image]

Determina gráficamente cada uno de los vectores que se definen a continuación, utiliza una escala adecuada:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Con los vectores que se muestran a continuación, verifica, de manera gráfica, cada una de las igualdades: u, v, w E V2.

[Image]

[Image]

[Image]

Los vectores u, v, w E V2 son [Image] tal que v es un vector horizontal, y u y w forman un ángulo de 120° respecto de la horizontal y en el sentido antihorario.

[Image]

Calcula la norma y determina el ángulo que forma el vector resultante respecto de la horizontal y en el sentido antihorario.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Considera los vectores u, v, w E V2, que se muestran en la figura adjunta. Supón que [Image], u es un vector horizontal, v forma un ángulo de 120° y w forma un ángulo de 315° respecto de la horizontal y en el sentido antihorario.

[Image]

En cada ítem, calcula la norma y el ángulo que forma el vector resultante respecto de la horizontal y en el sentido antihorario.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean u, v, w E V2 tal que [Image] Supón que, con una recta horizontal, estos vectores forman ángulos medidos en sentido antihorario de [Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Analiza los gráficos y determina cuándo uno de los vectores corresponde a la suma de los otros dos. Justifica tu respuesta.

[Image]

[Image]

1. ¿Qué operación está representada en cada caso?

[Image]

1. Indaguen y demuestren. Para todo [Image]

[Image]

[Image]

Evaluación formativa

Analiza la trayectoria de un tiro libre en un juego de básquetbol y responde las preguntas.

El básquetbol es un juego que mucha gente practica. En varias ocasiones hemos visto la trayectoria que toma un lanzamiento de la pelota al aro. Un jugador o jugadora, al lanzar la pelota al aro, reflexiona cómo será su tiro. En la siguiente figura, se muestran las posibles trayectorias que tomaría la pelota, las cuales dependen de la forma cómo se ejecutará el lanzamiento o, más bien dicho, de cómo el jugador o jugadora aplicará una fuerza sobre la pelota.

[Image]

a) ¿Cómo es la trayectoria de la pelota al aro?

b) ¿Qué tipo de fuerzas intervienen para que se produzca esta trayectoria?

En la figura que sigue se muestran los vectores de posición de la pelota en diferentes tiempos de un tiro exitoso. Nótese que esta trayectoria se asemeja a una curva parabólica. Esto se debe a la fuerza de fricción que ejerce el aire sobre la pelota. Otra fuerza que actúa sobre ella es su peso; esta fuerza está dirigida verticalmente hacia abajo. La tercera fuerza es la que el jugador o jugadora aplica a la pelota. Por lo tanto, la forma de la trayectoria que seguirá la pelota depende de esta fuerza, como se muestra en la gráfica siguiente.

[Image]

c) A continuación se muestran los vectores de la velocidad que tiene la pelota para un lanzamiento exitoso. Completa el dibujo de estos vectores hasta llegar al aro.

[Image]

d) En la figura que sigue se muestra la aceleración que tiene la pelota en varios puntos de su trayectoria. Completa el gráfico con los vectores aceleración que faltan.

[Image]

Describe la trayectoria que toma una pelota de fútbol debido a un saque de arquero.

Analiza la siguiente demostración y responde.

Las diagonales de un paralelogramo se bisectan. Considérese el paralelogramo P que tiene como vértices los puntos A, B, C, D, tal que los segmentos de recta [A, B], [B, C], [C, D], [A, D] son los lados de P y satisfacen las condiciones de paralelismo siguientes: [A, B] || [C, D], [A, D] || [B, C]. En la Figura 2.46. se muestra el paralelogramo P con sus vértices y el punto O intersección de las diagonales. En la Figura 2.47. se muestra el paralelogramo P y los vectores AB, BC, AD y DC.

[Image]

Se tiene AD = BC y AB = DC. Además de la adición de vectores, tenemos AB+ BC = AC . Puesto que O es el punto medio del segmento AC , entonces [Image] Por otro lado, [Image]

Lo denotamos con G al punto medio del segmento [B, D]. Entonces,

 [Image]

Sumando miembro a miembro, resulta que BC = AO+ BG y como AO = OC, se sigue que BC = BG+OC. Pero BO = CO+BC, con lo que BG+OC = BO+OC y, por la ley cancelativa, se obtiene BG = BO. Luego, G = O, es decir que O es el punto medio de las diagonales [A,C] y [B,D] .

a) ¿Cuál es la condición de paralelismo del paralelogramo que tiene como vértices los puntos A, B, C, D?

b) ¿Por qué se afirma que [Image]

Demuestren que la mediana de la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. Sea T un triángulo isósceles, denotemos con A, B, C sus vértices. La base de T es el segmento de recta [A, B] y la mediana a la base [A, B] es el segmento [P, C], donde P es el punto medio de [A, B].

En la Figura 2.48. se ilustra el triángulo isósceles T con sus vértices A, B, C y el punto medio P de [A, B], base del triángulo T. En la Figura 2.49. se muestra el triángulo T y los vectores AP, PB, PC, AB, AC y BC.
[Image]
Muestra que [A, B] ⊥ [P, C] es equivalente a AB PC 0.

Evaluación formativa

En cada ítem se define una función real. Indica el dominio y el recorrido de la función. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente la función.

[Image]

[Image]

A continuación se define una función f. Indica el dominio y el recorrido de f y traza la gráfica de la función f.

[Image]

Sea f la función de R en R, definida como:  [Image]

a) Calcula f (t) para los valores t que se indican en la siguiente tabla:

[Image]

b) Muestra que f es decreciente en ]–∞, 0[ y creciente en [0, ∞[.
c) Traza la gráfica de f.

Considera la función real definida por [Image]

a) Determina el dominio A y el recorrido de f.
b) Traza la gráfica de f.
c) Muestra que f es creciente en el conjunto [2, ∞[ .

Sea f la función real definida como [Image]

a) Determina el recorrido de f.
b) Prueba que f es decreciente en el conjunto ]–∞, 3].
c) Traza la gráfica de f.

En cada ítem se define una función real h. Determina el recorrido de h. Determina si es creciente o decreciente. Traza la gráfica de h.

[Image]

En cada ítem se define una función real f. Determina el dominio y el recorrido de f. Traza la gráfica de f e indica sobre qué conjuntos es creciente o decreciente.

[Image]

A continuación se muestra la gráfica de una función real f definida en todo R. Escribe en forma explícita la función f, e indica los intervalos en los que es creciente o decreciente. Nota. El pequeño círculo con interior blanco indica que, allí, la función no está definida.

[Image]

En el sistema de coordenadas se ha representado la variación de la temperatura de una cámara refrigerada. T, temperatura en la escala Celsius (ºC). t, tiempo transcurrido en horas (h).

[Image]

a) Indaguen y escriban a qué hora la temperatura alcanzó los 0 ºC, si a partir de las 07h00 la temperatura continuó descendiendo, según la función dada como T = –5t + 50.

b) Analicen la gráfica y expliquen el tipo de función real que se tiene. Para t E[0,11], escribe
[Image]

Evaluación formativa

Considera los conjuntos: [Image]  en B, y v la función de B en C, que en cada caso se definen. Halla v o u.
[Image]

[Image]

Sean A = {–1, 0, 1, 2} u, v, w tres funciones de A en A, definidas a continuación:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

El hospital BBBB registra las citas médicas concedidas a sus pacientes en pediatría, ginecología, urología, psiquiatría y cardiología durante el último semestre del año 2016.

[Image]

Se denota con A = {Jul., Ag., Sep., Oct., Nov., Dic.}; con B, al conjunto constituido por los datos obtenidos de citas médicas de una especialización; con C, al conjunto correspondiente de ángulos centrales; con f, a la función de A en B; y con g, a la función de B en C.

a) Representa los datos de cada columna como diagramas circulares o de pastel. Analiza cada gráfica en tu cuaderno y sube una foto.

Resuelve en tu cuaderno.
b) Utiliza los datos de cada columna para representar en abscisas el tiempo, y con
una escala apropiada representa en ordenadas el número de citas médicas en cada especialización.

c) Obtén una tabla que muestre la totalidad de citas médicas en cada mes. Representa
gráficamente en abscisas el tiempo (los meses), y en ordenadas, la totalidad de citas médicas. Une los puntos con segmentos de recta. Define una función y, con base en la gráfica, realiza un análisis de esta.

Verifica la composición de funciones. Sean las funciones [Image] Encuentra, [Image] y precisa Dom [Image]

Encuentra la composición de la función [Image]

[Image]

[Image]

A continuación, se definen las funciones f y g. Determina las funciones compuestas f o g y g o f. Calcula algunos valores de estas dos funciones compuestas y comprueba que, en general, f o g ≠ g o f.

[Image]

Dadas las funciones f, g definidas como: [Image]

Evaluación formativa

Analiza el ejemplo y encuentra las equivalencias que se piden.

Supongamos que x se mide en metros (m) y queremos expresarla en kilómetros (km). Sabemos que 1 km = 103 m o 1 m = 10–3 km. La función afín f(x) está definida como: f(x) = 10–3x; xER.
Para el cambio de unidades, restringimos x ≥ 0.
Ejemplo:
Para x = 200 m, tenemos: [Image]

a) Para x = 405,5 m, f(405,5 m) =
b) Para x = 80,6 m, f(80,6 m) =
c) Para x = 5,9 m, f(5,9 m) =

Completa la solución de esta reducción, aplicando funciones.

La longitud de la pantalla de un televisor mide 21 pulgadas. ¿Cuánto significa esta medida en centímetros? Se sabe que 1 m = 39,37 in (“in” es el símbolo de pulgada que proviene del inglés inch). Entonces, 100 cm = 39,37 in. [Image]
La función lineal T está definida como: [Image]
T(21 in) = ________________________
T(51 in) = ________________________

Resuelve el siguiente cambio de unidades. Considera que, en el Sistema Inglés de Medidas, x se mide en pies. ¿A cuánto equivale en metros, si se sabe que 1 m = 3,280 8 ft? (“ft” es el símbolo de pies).

a) Define una función L para expresar x en pies.
b) Si x = 5 ft, calcula L(5 ft) y muestra que x es 1,640 4 m.

Resuelve transformaciones de unidades de masa. En el Sistema Internacional de Medidas, la masa se mide en gramos (g) o, con su múltiplo, en kilogramos (kg), donde 1 kg = 1 000 g, Por otra parte, en el Sistema Inglés de Medidas, la unidad de medida correspondiente es la libra (lb) y su submúltiplo es la onza (oz). Estas unidades de medida están relacionadas como 1 kg = 2,204 622 6 lb y 1 oz = 28,349 5 g.

a) Define una función M1 que a cada masa p, medida en libras, la transforme en kilogramos. Comprueba su función con el siguiente resultado: p = 7,5 lb = 3,401 942 809 kg.

b) Define una función M2 que a cada masa p, medida en onzas, la transforme en gramos. Comprueba su función con el siguiente resultado: p = 5 oz = 141,747 5 g.

c) Define una función M3 que a cada masa p, medida en onzas, la transforme en libras. Verifica que M3(16 oz) = 1 lb.

Resuelvan. El consumo doméstico medio de agua medido en una ciudad ecuatoriana X, en 1970, era aproximadamente 260 litros por habitante por día. En el año 2000, se estableció un consumo doméstico medio de 360 litros por habitante por día. Se busca una función real C de la forma C (t) = a + bt t ≥ 1970, donde a,b ER a determinarse, t el tiempo y C (t) el consumo doméstico medio en litros por habitante por día.

[Image]

a) Con la información suministrada, calculen las constantes a y b.

b) Calculen C(1980), C(1990).

c) Pronostiquen el consumo medio en el año 2020.

d) Tracen la gráfica de la función C.
        [Image]

e) Si la población actual es de 15 000 habitantes, calculen el caudal diario promedio que se requiere.

Se sabe que una milla equivale a 5 280 ft y a 1,609 3 km, que una pulgada equivale a 2,54 cm y que un metro equivale a 1 096 yd. Definan las funciones que estimen pertinentes y que permitan transformar una longitud x con una unidad a otra. Presenten los resultados en una tabla.

Resuelvan. Comparación de ingresos per cápita entre la población urbana y rural De acuerdo con los datos de los que se dispone, desde 1920 hasta la fecha, para una región X del país, en la Figura 2.65. se muestra la representación gráfica de las funciones ingreso per cápita para las poblaciones urbana Iu y rural Ir , donde Iu e Ir son funciones del tiempo t.

[Image]

a) Analicen estas dos funciones.
b) Respondan. De acuerdo con datos recientes, ¿cómo estiman que se comportan las funciones Iu e Ir en el Ecuador?
c) Respondan. Si en lugar de la población urbana y rural y sus ingresos per cápita, se consideran los ingresos per cápita de Estados Unidos, Ecuador y Colombia, desde 1920, ¿cómo serían las gráficas de las funciones asociadas de ingresos per cápita Iec, Iec, Ico de esos países, respectivamente?

Evaluación Sumativa

Sean u, v, w EV2, tal que [Image] Supón que estos vectores forman, con una recta horizontal, ángulos medidos en el sentido antihorario de 0u = 0o, 0°, 0v = 90o, 0w = 135o. Verifica las siguientes propiedades:
[Image]

Sean u, v, w EV2, tal que [Image] Se supone que estos vectores forman, con una recta horizontal, ángulos que, en el sentido antihorario, miden 0u = 30o, 0v = 90o, 0w = 150o. Representa estos vectores y calcula.

[Image]

Responde la siguiente pregunta. Sean u, v ∈V2   . ¿Cómo se define u −v?

En cada ítem, se define una función afín. Obtén dos valores de la función, calcula la pendiente y traza la gráfica de esta función. Estudia si la función es creciente o decreciente. Determina la recta asociada con esta función.

[Image]

Dadas las funciones reales f, g siguientes: [Image]  Prueba que [Image]

Resuelve. Un producto se vende a C0 dólares por cada kilogramo, que se escribe [Image]  si su masa varía entre 0 kg y 50 kg , tiene un descuento de 0,01 dólares en cada kilogramo si su masa es mayor a 50 kg y menor o igual a 100 kg. Para masas mayores a 100 kg, tiene un descuento fijo de 0,15 dólares por kilogramo.
a) Define una función C que permita calcular el costo en términos de la masa del producto. Analiza la función y representa gráficamente.
b) Suponiendo que [Image] escribe explícitamente C(x) y calcula C(48), C(51), C(100), C(150), C(200).

Q: Sean P, Q, R, S E II, tal que [Image] Los vectores PQ y RS tienen:

[Image]
- Igual magnitud, dirección y sentido.
- Igual magnitud y dirección, pero diferente sentido.
- Igual magnitud, pero diferente dirección y sentido.
- Diferente magnitud, igual dirección y sentido.
A: Igual magnitud, pero diferente dirección y sentido.

Q: Los vectores AB y CDson iguales si y solo si:
- Los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen el mismo punto medio.
- Los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen la misma dirección.
- Los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen el mismo sentido.
- Los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen la misma longitud.
A: Los segmentos de recta [A, D] y [B, C] tienen el mismo sentido.

Q: Las funciones reales f, g están dadas como f(x) = 2x + 1, g(x) = x3, xER. La función compuesta f  g está definida como:
- (g o f) (x) = g [f(x)] = (2x + 1)2.
- (g o f) (x) = g [f(x)] = (2x + 1)3.
- (g o f) (x) = g [f(x)] = 2x2 + 1.
- (g o f) (x) = g [f(x)] = 2x3 + 1.
A: (g o f) (x) = g [f(x)] = (2x + 1)2.

Evaluación formativa

Expresa cada función cuadrática f en la forma f(x)-Y0= p(x-x_0)^2 x E R, donde x_0, y_0, pER son elegidos apropiadamente. Indica las coordenadas del vértice de la parábola, el mínimo o máximo de la función f, sobre todo R. Traza la gráfica de f.

[Image]

[Image]

[Image]

Determina el intervalo donde la función es creciente, el intervalo donde la función es decreciente, el vértice de la parábola, así como el mínimo o máximo global, donde xER. Traza la gráfica de la función cuadrática.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Con cada función cuadrática f, calcula los valores de f(x) en cada uno de los puntos x que se indican en cada literal. Además, traza la gráfica de f, escribe las coordenadas del vértice e indica si la función tiene máximo o mínimo en todo R.

[Image]

[Image]

Considera la función cuadrática f dada por [Image]

[Image]

[Image]

Dada la función cuadrática h, definida por [Image] demuestra que:

[Image]

[Image]

Sea f la función cuadrática, definida por [Image] Prueben que f es creciente en el intervalo [Image] y decreciente en el conjunto [Image] Determinen el mínimo global de f .

Consideren la función cuadrática f, definida por f (x) = x^2 + x+1, [Image] Demuestren que f es estrictamente creciente en el intervalo [Image] es decir que si [Image] entonces [Image]

Sea g la función real definida por g(x) =−x2 +4x −4, [Image] Indaguen y demuestren que la función g es decreciente en el conjunto [Image]

Sean [Image] y u la función cuadrática que se define. Determinen el vértice de la parábola, los intervalos en los que u es creciente y decreciente, y expliquen si la función u tiene máximo global o mínimo global.

[Image]

Evaluación formativa

Para cada función cuadrática P y para los números reales r que se dan a continuación, verifica si son o no raíces de P.

[Image]

[Image]

[Image]

Para cada polinomio P y para la raíz r de P que se presenta a continuación, determina si es raíz simple o de multiplicidad 2.

[Image]

[Image]

[Image]

Para cada función cuadrática P que se define en cada caso, calcula, si existen, las raíces reales de la ecuación p(x) = 0 y sea [Image] Si S ≠ 0, factoriza p(x), xER.

[Image]

[Image]

[Image]

Estudia si la función que se define en cada ítem es factorizable en R. En caso de no serlo, justifica tu respuesta.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Resuelve en R las ecuaciones siguientes. Ten presente que el producto de números reales es cero si y solo si cada factor es cero.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Determina las condiciones que ha de verificar a E R con a ≠ 0 para que la función cuadrática que se da en cada caso sea factorable en R.

[Image]

[Image]

Resuelvan en R las ecuaciones que se dan, en las que a E Z es fijo a ≠ 0. Estudien la existencia de raíces reales en función de a.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Consideren la ecuación hallar x E R solución de ax^2 + bx + c = 0, donde a, b, c E R, a ≠ 0. Supongan que b^2 – 4ac > 0. Demuestren que esta ecuación tiene exactamente dos raíces reales y distintas. Para el efecto, asuman que la ecuación tiene tres raíces reales y distintas entre sí: x_1, x_2, x_3. Obtengan una contradicción.

Los números reales r_1, r_2 que se dan en cada caso son raíces de un polinomio de la forma P(t) = t^2 + at + b, ∀tER, donde a, b ER son constantes elegidas apropiadamente. Hallen dicho polinomio. Tracen la gráfica de P e indiquen dónde es creciente y dónde decreciente.

[Image]

Evaluación formativa

Estudia la existencia de raíces reales y factoriza la función f, siempre que sea posible.

[Image]

[Image]

[Image]

Estudia la existencia de raíces reales y factoriza, siempre que sea posible, la función f.

[Image]

[Image]

[Image]

En cada ítem, se define una función f. Estudia la existencia de raíces reales y factoriza la función f, siempre que sea posible.

[Image]

[Image]

Estudia y resuelve en R las ecuaciones que se proponen en cada ítem, donde x denota la incógnita.

[Image]

[Image]

Estudia y resuelve en R^+ las ecuaciones que se proponen a continuación, siendo x la incógnita.

[Image]

[Image]

Estudia y resuelve en R las ecuaciones que se dan a continuación:

[Image]

[Image]

Estudia y resuelve en R las ecuaciones que se dan a continuación:

[Image]

[Image]

[Image]

Estudien y resuelvan en R las ecuaciones siguientes:

[Image]

[Image]

[Image]

Sean a, b, c E R con a ≠ 0 y u la función real definida por u(x)=ax^4+bx^2+c, xE R. Con base en el discriminante d = b^2 – 4 ac y la gráfica de la función v, dada por v(y) = ay^2 + by + c, indiquen las condiciones bajo las cuales la ecuación ax^4 + bx^2 + c = 0 tiene solución en R: dos raíces distintas, cuatro raíces distintas, una raíz de multiplicidad 2, una raíz de multiplicidad 4.

Sean a, b, c E R con a ≠ 0 y w la función real definida por [Image] Precisen las condiciones que se han de verificar para que la ecuación w(x) = 0 tenga solución en R y calculen las soluciones.

Evaluación formativa

Considera en R^2 el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: [Image] donde x, y ER denotan las incógnitas.

a) En el mismo sistema de referencia, representa gráficamente la recta y la parábola.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales y obtén las soluciones (–2, ¼) y (3, –1). Comprueba que estas son efectivamente soluciones del sistema no lineal de ecuaciones.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: [Image] donde a, b E R denotan las incógnitas. Comprueba que las soluciones son (–3, –3) y (5, 3). En el mismo sistema de referencia, representa gráficamente la recta y la circunferencia y precisa los puntos de intersección de estas dos gráficas.

F

Resuelve en R^2 el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: [Image] donde u, v E R denotan las incógnitas.

a) Confirma que las soluciones son (–5, 11/9) y (4, 20/9).

b) En el mismo sistema de referencia, representa gráficamente las dos parábolas y marca los puntos de intersección.

Considera en R^2 las representaciones gráficas de dos subconjuntos R, S de R^2, de modo que [Image] Observa y determina las soluciones en forma aproximada.

[Image]             [Image]

[Image]         [Image]

Resuelvan en R^2 los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales, donde x, y E R denotan las incógnitas. [Image]

Planteen un sistema de ecuaciones no lineales y resuelvan los problemas en R^2, donde x, y E R denotan las incógnitas.

a) El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 17. ¿Cuáles son los números?

b) Determinen dos números cuya suma sea 90 y su cociente sea 9.

c) ¿Cuáles son los dos números positivos cuya suma es 10 y su producto 21?

d) Se desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados linda con un río. Si el área del terreno es de 0,2 hectáreas y los tres lados por cercar miden 140 m, ¿cuáles son el largo y el ancho del terreno?

Resuelvan en R^2 los sistemas de ecuaciones no lineales donde x, y E R designa las incógnitas.

[Image]

Evaluación formativa

Resuelve en R^2 los sistemas de ecuaciones que se indican en cada ítem y verifica que la o las soluciones halladas satisfagan el sistema de ecuaciones dado.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Resuelve en R^2 los sistemas de ecuaciones propuestos, siendo x, y las incógnitas.

[Image]                [Image]

[Image]            [Image]

[Image]

Resuelve en R^2 los siguientes sistemas de ecuaciones:

[Image]           [Image]

[Image]                [Image]

Sea λ E R. Determinen, siempre que sea posible, todos los valores de λ, para los cuales los sistemas de ecuaciones no lineales propuestos no tienen solución en R^2.

[Image]              [Image]

Evaluación formativa

El consumo promedio de agua en el sector comercial en la ciudad X, en 1970, es de 80 litros por habitante por día. En 1980, es aproximadamente 95 litros por habitante por día, y en el año 2000 es de 135 litros por habitante por día. Se busca una función C de la forma C(t)= a+ b(t −1970)+ c(t −1970)^2 t >1970.

a) Calcula las constantes a, b y c.

b) Calcula C(2007) y compara, si es posible, con datos estimados actuales.

c) Traza la gráfica de la función C.

d) Si se conserva la tendencia, pronostica C(2017).

En la gráfica siguiente, se muestran tres porciones de rectas que representan las gráficas de tres tipos de funciones, D_1, D_2, D_3, definidas como [Image]

[Image]

a) Con los datos proporcionados en la gráfica, calcula las constantes αi βi i = 1, 2, 3, si [Image]
representan la distancia recorrida por un auto en un día feriado, en un día laboral que no es hora pico, y en un día laboral en horas pico.

b) Calcula D_1(1,5) ,D_2(1,5 ) y D_3(1,5). Analiza los resultados.

c) Calcula D_1(1,5) ,D_2(1,5 ) y D_3(1,5). Analiza los resultados.

Un equipo mecánico cuesta v dólares, v = 20 p + r > 500, p, r E R+, 0 ≤ r < 20. El comprador dispone solo billetes de veinte dólares. La cajera tiene únicamente billetes de cinco dólares y tres billetes de un dólar. ¿Es posible disponer de m billetes de veinte dólares para el pago y n billetes de cinco dólares para el vuelto que arregle la compra del equipo? Muestra las soluciones gráficamente.

Comentario. Se debe resolver una ecuación de la forma 20m – 5n –3 = v, con m, n E Z+, conocida como ecuación diofantina (en honor al matemático Diofante). En este problema se requieren conocimientos del espacio vectorial R^2 y subespacios de R^2, de la ecuación vectorial y cartesiana de una recta, la representación gráfica, así como de la divisibilidad en Z. Es obvio que se requieren propiedades algebraicas y de orden en el conjunto R^2.

Resuelvan. La distancia entre dos paradas de buses es 800 m. Una unidad de transporte público debe recorrer esta distancia siguiendo dos criterios: acelerar en una primera etapa y, luego, desacelerar. Se buscan dos funciones S y V de las formas siguientes:

[Image]

[Image]

a) Calculen las constantes t_0 , a, α1.

b) Calculen las constantes a_1, v_0, β_1, β_2, β_3 y t_1. Para el efecto, asuman que s_2 (t_0) = 400m y v(t_0)=v_0.

c) Escriban en forma explícita las funciones S y V.

d) Muestren que V es creciente en [0, t_0] y decreciente en [t_0, t_1]

Evaluación formativa

Escribe el opuesto aditivo de cada elemento P de R^2 que se da y verifica que P + (–P) = O.

[Image]

[Image]

[Image]

Con los vectores A, B de R^2 que en cada caso se proponen, halla A + B y A – B.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Sean [Image] Realiza las sumas que se proponen en cada caso.

a) A + B + C.

b) A – B + C.

c) –A + B – C.

Sea [Image] [Image] En tu cuaderno, verifica la igualdad que se propone en cada caso.

a) U− (V +W) = U−V −W.

b) −(U+V) = −U−V.

c) −(U+V +W) = −U−V −W.

d) U− (V −W) = U−V +W.

e) −(U− (V −W)) = −U+V −W.

f) −(−U− (V −W)) = U+V −W.

Sea UER^2. Prueba que –(–U) = U, y, –(–(–U)) = –U.

Sean U, V, WER^2. Demuestra las siguientes igualdades:

a) U− (V −W) = U−V +W = U+W−V.

b) −(U+V +W) = −U−V −W.

c) −(U− (V −W)) = −U+V −W = V − (U+W).

Sea U E R^2. Prueba que el opuesto aditivo de U es único. Para el efecto, asume que existe otro opuesto distinto al opuesto de U y obtén una contradicción.

Sean [Image] [Image] cuatro elementos de R^2. Demuestren que se tienen las siguientes igualdades:

[Image]

En vista de este resultado, se escribe simplemente [Image]

[Image]

Dados los vectores A=( -3,1); B=(2,- 2); C=(0,3), obtengan el vector [Image] que se define en cada caso.

[Image]

Evaluación formativa

Sean [Image] Representa, en el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores A B − B A+ B A B.

Sea [Image] En el sistema de coordenadas rectangulares, representa los vectores [Image]

1. Sean [Image]
2. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa los vectores [Image]

Dados [Image] representa, en el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores [Image]

Considera los vectores [Image] Representa, en el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores [Image]

Considera los vectores [Image] En el sistema de coordenadas rectangulares, representa los vectores [Image]

Dados los vectores [Image] En el sistema de coordenadas rectangulares, representa los vectores [Image]

Sea U=(2, -8).

[Image]

Sea [Image]

[Image]

Consideren los vectores...

[Image]

Sea u=(1, 2).

[Image]

Los vectores u=(1, 1), v=( 1, 1)no son colineales.

[Image]

Evaluación formativa

Sean [Image] que se dan en cada ítem, calcula A⋅B.

[Image]

Con los vectores u=(2,4), v=(-1,3), w=(-3,-2), verifica las igualdades que se indican en cada ítem. Para el efecto, desarrolla el lado izquierdo de la igualdad, luego el derecho y comprueba.
[Image]

Con los vectores A,B de R^2 que se dan en cada ítem, representa gráficamente dichos vectores y calcula [Image]

[Image]

Sean [Image] que se dan en cada ítem, verifica las desigualdades siguientes:

[Image]

[Image]

Con los vectores [Image] que se dan en cada ítem, calcula [Image]

[Image]

Sean [Image] los vértices de un triángulo, que se proponen en cada literal, calcula el perímetro de cada triángulo e indica qué tipo de triángulo es. Calcula el área de la región triangular

[Image]

Sean [Image] los vectores que se proponen en cada literal. Indica si A ⊥ B .

[Image]

[Image]

En cada ítem, se da un vector no nulo [Image] y sea [Image] representen geométricamente el conjunto L y prueben que es una recta.

[Image]

Sean [Image] Apliquen la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar lo siguiente:

[Image]

Evaluación Sumativa

Sean a, b, c, d ER con a ≠ 0 y u la función real, definida por u(x) = ax^4 +bx^2 +c, x E R. Considera la ecuación u(x) = 0 . Analiza las siguientes proposiciones y señala si son verdaderas (V) o falsas (F).

[Image]

1. En la tabla siguiente se muestran los años y el número de autos matriculados en la región DDDD. [Image]
2. Con esta información, se busca una función P del tipo P(t) = a+b(t−1950)+c(t−1950)^2 , t > 1950.

[Image]

Sean [Image] dos elementos de R^2. Demuestra la propiedad conmutativa del producto escalar: [Image]

Los vectores u=(1, 1), v=(−1, 1) no son colineales.

[Image]

Dados los vectores [Image] obtén el vector u, que se define en cada caso.

[Image]

Determina el perímetro del triángulo que se muestra en la figura.

[Image]

El recorrido de f es:

Considera la función cuadrática f definida por: [Image] y dominio [Image]

[Image]

El vértice de la parábola es:
[Image]

La función es estrictamente decreciente sobre el intervalo:

[Image]

Determina la condición que debe verificar xER para que v = (10, x) sea colineal con u.

[Image]

Determina la condición que debe verificar xER para que w=(x ,20) sea colineal con u.

[Image]

Evaluación formativa

1. En cada literal se da un vector no nulo a E R^2  Obtén la recta L que pasa por el origen y es paralelo a , así como la ecuación vectorial de L.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. En cada literal se dan dos vectores u y v de R^2 Obtén la recta L que pasa por u y es paralela a v, así como la ecuación vectorial de L.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean a=(3,1), b(2,5) Escribe las ecuaciones vectoriales de las rectas siguientes. Además, representa gráficamente cada recta.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos u = (–2 , 3), v =(–1, –2), w = (4, –1) y z = (3, 3).

[Image]

1. Los vértices de un triángulo T son (–2, 0), (1, –2), (3,1). Obtén las ecuaciones vectoriales de las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del triángulo. Observa la figura adjunta.

[Image]

F

1. Los vértices de un triángulo T son los puntos [Image]

a)Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del triángulo T.

b) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del triángulo.

c) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a las medianas del triángulo.

1. Los vértices de un cuadrado son los puntos [Image] [Image]

a) Expresen los lados del cuadrado como segmentos de rectas elegidos apropiadamente.

b) Expresen las diagonales del cuadrado como segmentos de rectas y como productos cartesianos apropiados.

Evaluación formativa

1. En cada literal se da un punto A ∈ R^2. Obtén la pendiente de la recta L que pasa por el origen O y por A, la ecuación cartesiana de la misma y en el sistema de coordenadas rectangulares representa gráficamente esta recta.

a) A = (3, 0).

b) A = (0, –2).

c) A = (1, 4).

1. En cada literal se dan dos puntos distintos u y v de R^2. Siempre que sea posible, calcula la pendiente de la recta L que pasa por u y por v, y obtén su ecuación cartesiana. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente esta recta.

a) u = (3, 1), v = (0, 1).

b) A = (–2, 0), v = (0, –1).

1. Los extremos de un segmento de recta son los puntos P= (2, 1) y Q= (–2, 3).

a) Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento y por el origen.

b) Obtén la ecuación de cada recta que pasa por cada extremo y el origen.

c) En el sistema de coordenadas rectangulares, representa el segmento de recta, y cada una de las rectas obtenidas en a) y b).

[Image]

1. Los vértices de un triángulo T son los puntos [Image] Obtén las ecuaciones cartesianas de las rectas que pasan por los lados del triángulo T.

1. Los vértices de un cuadrado son los puntos  A = (2, 0), B = (0, 2), C = (–2, 0) y D = (0, –2).

a) En el sistema de coordenadas rectangulares representa estos puntos y traza el cuadrado. Siempre que sea posible, determina las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del cuadrado.

b) Halla las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del cuadrado.

1. Sean A = (2, 1), B = (4, 5). La recta que pasa por A y B es L. Sea L_1 la recta que pasa por B y C = (1, –1). Demuestra que L = L_1.

1. Sean a = (–2, –5), b = (2, 3) ∈ R^2.

a) Obtén la recta L ⊂ R^2 que pasa por a y b.

b) b) Sea L1 la recta que pasa por los puntos u = (0, –1), v = (1, 1) ∈ R^2. Prueba que L = L_1.

c) Sea L_2 la recta que pasa por los puntos p = (–5, –11), q = (5, 9) ∈ R^2. Demuestra que L = L_2.

1. Los vértices de un triángulo T son: P = (–3, –1), Q = (0, 3), R = (3, 0).

a) Representen gráficamente este triángulo.

b) Hallen (siempre que sea posible) las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del triángulo T.

1. Sean L_1, L_2 las rectas definidas como:

[Image]

[Image]

1. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos u = (–2, 3), v = (1, –2), w = (4, –1) y z = (3, –3).

a) Calculen la pendiente de cada uno de los lados del cuadrilátero.

b) Determinen las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del cuadrilátero.

c) Obtengan las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del cuadrilátero.

d) Hallen el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero.

Evaluación formativa

1. Sea x_0 = –3,33. Calcula x_0 – h y x_0 + h para todos los valores de h que se dan a continuación.

a) h = –0,025.          b) h = –0,002 5.
c) h = –0,000 12.     d) h = –0,000 085.
e) h = –0,000 022.

Para |h| suficientemente pequeño, ¿hacia qué valor tiende –3,33 –h y –3,33 +h?

1. Resuelve y responde 2 los siguientes literales.

a) Completa la tabla siguiente:
[Image]

b) Para |h| suficientemente pequeño, ¿son h2 y h^2 – 1/2 h suficientemente pequeños?
Justifica tu respuesta.

1. Supón que para todo [Image] se verifican las condiciones que se indican en cada caso. ¿Qué significa cada una de estas condiciones?

[Image]

1. Para los valores de h > 0 que se dan en la tabla, calcula  u(h) = 1,5 – h, v(h) =1,5 + h, w(h) =1,5 -1/4h.

[Image]
a) Para h suficientemente pequeño, ¿a qué número real se aproxima u(h) = 1,5 – h, v(h) = 1,5 + h, w(h) = 1,5 -1/4h?

b) Calcula las distancias d (1,5; u), d (1,5; v), d (1,5; w).

c) Para los valores de h < 0 que se dan en la tabla, calcula p(h) = 2 – 2h, q(h) = 2 + 4h, r(h) = 2 + h + 10h^2.
[Image]
d) Calcula las distancias d (2, p), d (2, q), d (2, w), y muestra los resultados en una tabla. ¿Qué puedes decir acerca de los resultados?

1. Para los valores de |h| ≥ 0,3 que se dan en la tabla, calcula A(h) = 0,5 – h^2, B(h) = 0,5 + h^2.

[Image]

a) Para h suficientemente pequeño, ¿a qué número real tiende A(h) = 0,5 – h^2, B(h) = 0,5 + h^2?

b) Para los valores de |h| > 0 que se dan en la tabla, calcular p(h) = 2 –2h, q(h) = 2 +4h, r(h) = 2 + h + 10h^2.
[Image]
¿Qué puedes decir acerca de los resultados?

c)Para h < 0,2 y que tiende a cero, –2 –2|h|, –2 + 4 h^2, –2 –h +10h^2 tienden todos a –2,1. ¿Es cierta esta afirmación?

1. En cada ítem, indica el significado del límite que se da.

[Image]

1. Sea h ∈ R con h ≠ 0 y x = 5 –10h^2.

a) Calculen x para cada uno de los valores h > 0 que se indican en la tabla.
[Image]
¿Qué pueden decir acerca de los resultados?

b) Hallen lím (5 – 10h2).

c) Calculen x para cada uno de los valores h < 0 que se indican en la tabla. ¿Qué pueden decir acerca de los resultados?
[Image]
d) Hallen lím (5 – 10h2).

1. Considera la función real f que se define a continuación [Image] Calcula el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h siguientes: h = 0,01; h = –0,001; h = 0,000 1. Traza la gráfica de la función f.

a) a = –2.

b) a = 0.

c) a = –0,5.

d) a = 0,5.

Evaluación formativa

1. Considera la función real f que se define a continuación [Image] Calcula el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h siguientes: h = 0,01; h = –0,001; h = 0,000 1. Traza la gráfica de la función f.

a) a = –2.

b) a = 0.

c) a = –0,5.

d) a = 0,5.

1. Considera la función real f que se define a continuación: [Image]

a) Traza la gráfica de la función f.

b) Calcula el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h siguientes: h = 0,05; –0,005; 0,000 5; 0,000 05
a) a = –5.
b) a = –2,5.
c) a = 0.
d) a = 2,5.

1. Considera la función real f que se define a continuación: [Image] x ∈ R. Calcula el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h: h = 0,1; h = 0,001; h = 0,000 1; h = –0,001; h = –0,000 1. Traza la gráfica de la función f.

a) a = –1,5.
b) a = 0.
c) a = –0,25.
d) a = 1,5.

1. Sea 0 < h < 1. Calcula el cociente incremental [Image] para cada función f y a ∈ R que en cada literal se indica.

[Image]

[Image]

[Image]

1. En cada ítem se define una función real. Calcula el cociente incremental Q(h)en el punto a que se indica. Además, calcula dicho cociente en cada uno de los puntos h: h = 0,05; h = –0,002; h = 0,000 1; h = –0,000 04; h = 0,000 001. ¿Hacia qué valor m se aproxima cuando h es no nulo y suficientemente pequeño?

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sea 0 < h < 1. Calcula el cociente incremental [Image] para cada función cuadrática f y a ∈  que en cada literal se indica. Determina en forma intuitiva si existe [Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Consideren la función real f que se define a continuación: [Image]

a) Determinen el cociente incremental en x = 0.

b) Determinen en forma intuitiva
      [Image]

c) Justifiquen este resultado.

Consideren la función real f que se define a continuación [Image]

a) Calculen el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h siguientes: h = 0,02; h = 0,002; h = –0,000 02; h = 0,000 002
[Image]

Evaluación formativa

1. Verifica cada paso del siguiente ejercicio. A la distancia recorrida por un cuerpo que cae libremente, al que se le ha dado una velocidad inicial v0, y cuyo rozamiento con el aire se desprecia, la calculamos mediante la siguiente función: [Image] donde g es la aceleración debida a la gravedad, que tiene un valor constante de 9,8 m/s2.

Si [Image] calculemos la velocidad y la aceleración a los 2 segundos de iniciada la caída. Se tiene [Image]

Primeramente, la velocidad viene dada por [Image]  [Image] Luego, la aceleración a (t) se calcula como [Image] Para [Image]

En conclusión, el cuerpo ha caído en 2 segundos una altura de Y (2) = 20,6 m; tiene una velocidad de [Image] y una aceleración constante de [Image]

En la Figura 4.22. se muestra la gráfica de la función Y, y a la derecha se muestra la gráfica de la función V.

Los sistemas de referencia, como por ejemplo, el sistema de coordenadas rectangulares, se utilizan para facilitar la comprensión de lo que ocurre en la caída libre de los cuerpos. La parte positiva apunta hacia abajo, como se indica en la gráfica.

[Image]

1. Un corredor de 100 metros planos establece en sus registros la siguiente función de desplazamiento medida en metros: S(t) = 8t + 0,09t2, t ≥ 0.

a) Calcula t > 0, tal que S(t) = 100 m.

b) Calcula el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en los tiempos que se indican en la tabla:
[Image]
¿Podrías correr más rápido que este atleta?

1. Supón que S(t) = 0,2 t2, t > 0 medida en metros, t1 =10 s y t2 = 20 s. Indica cuáles de las proposiciones siguientes son ciertas.

a) S(t_2) es el doble de S(t_1). __________

b) S(t_2) es cuatro veces S(t_1). ________

c) V(t_2) es cuatro veces V(t_1)._________

d) V(t_2) es la mitad de V(t_1). _________

e) a(t_2) es el doble de a(t_1). _________

1. Los registros de un atleta lo conducen a establecer la siguiente función de posición medida en metros: S(t) = 3,9t; t ≥ 0.

a) Determina t, tal que S(t) = 20 000 m.

b) Calcula la velocidad media para los tiempos t = 1 000 y t = 1 500.

1. Un automóvil parte del reposo y recorre la distancia medida en metros S(t) = 0,4t^2 en los 10 primeros segundos. Luego mantiene la velocidad constante durante los 100 segundos siguientes.

a) Calcula la velocidad y la aceleración a los 10 segundos.

b) Calcula la distancia total recorrida.

1. En una pista larga y recta, un automóvil parte del reposo. Su velocidad, en m/s, está dada por: [Image]

a) Calcula la velocidad y la aceleración en t = 5 s.
¿Existe aceleración al instante t = 10 s?

1. La pista de un aeropuerto tiene una longitud de 3 000 m. Para despegar, debe alcanzar una velocidad de al menos 280 km/h en los primeros segundos. La función de posición viene dada por S (t) = 2t + 0,95t^2 + 0,11t^3, t ∈ [0, 60] medida en metros.

a) Analicen si en 30 segundos alcanza el avión la velocidad mínima requerida.

b) Calculen la distancia recorrida en 30 segundos.

c) Calculen la aceleración que alcanza el avión en 30 segundos.

d) Encuentren qué distancia ha recorrido y qué velocidad tiene el avión en 40 segundos.

e) Investiguen a qué distancia del extremo del aeropuerto se encuentra el avión al minuto de haber iniciado el despegue.

Evaluación Sumativa

1. Sea L ⊂ R^2 que se define en cada ítem: escribe las ecuaciones vectorial, paramétrica y cartesiana de la recta. Representadas por L. Traza gráficamente esta recta.

[Image]

1. Demuestra que el subconjunto L de R^2 que se define en cada caso es una recta. Representa gráficamente el conjunto L. Obtén la ecuación cartesiana de dicha recta.

[Image]

1. En cada literal se dan dos puntos distintos y u y v de R^2. Siempre que sea posible, calcula la pendiente de la recta L que pasa por u y por v, y obtén su ecuación cartesiana. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente esta recta.

a) u = (1, 1), v = (5, 1).
b) u = (3, 3), v = (–2, –2).

1. Sea x_0 ∈ R fijo. Mediante un dibujo en la recta real, explica cada uno de los siguientes límites.

[Image]

1. En cada ítem se define una función real. Calcula el cociente incremental Q (h) en el punto a que se indica. Además, calcula dicho cociente en cada uno de los puntos h: h = 0,05; h = 0,002; |h| = 0,000 1; h = 0,000 04; h = 0,000 001. ¿Hacia qué valor m se aproxima cuando h es no nulo y suficientemente pequeño? Determina m en forma intuitiva y luego obtén d (m, Q (h)) = | Q (h) – m| y juzga si es suficientemente pequeño cuando |h| lo es.

[Image]

1. La recta que pasa por dos puntos de la gráfica de la función es:

[Image]

a) Tangente
b) Secante
c) Paralela
d) Ninguna de las mencionadas

1. El subconjunto L de R^2 definido como [Image] representa una recta que pasa por el punto (2, –1) y es paralela al veLctor V=(-1,3). Sea (x, y) ∈ L. De la definición del conjunto L, existe t ∈ R tal que la ecuación cartesiana de L es:

[Image]

1. En t∈R, el par de ecuaciones paramétricas de L son las indicadas en cada item:

[Image]

Verifica que la ecuación vectorial es la indicada.

[Image]

Considera la función real definida como [Image]

[Image]

Evaluación formativa

1. Trabaja en tu cuaderno y sube una foto. Para la recta [Image] y el punto [Image] que se dan en cada literal, calcula la distancia de [Image] Luego, halla una recta [Image] otorgonal a [Image] Finalmente, determina [Image] calcula [Image] y compara con [Image]

[Image]

1. Sean a > 0, O=(0,0), A=(3a,0), [Image] los vértices de un paralelogramo que se muestra en la figura adjunta junto con sus bisectrices.

[Image]

a) Determina las ecuaciones cartesianas de las rectas S_1 y S_2.
b) Determina las ecuaciones cartesianas de las bisectrices S_1 y S_2, mediante el procedimiento descrito en esta sección, y compara con los resultados obtenidos en el literal a anterior.

1. Los puntos 0 =(0,0), [Image] son vértices del triángulo de la figura adjunta.

[Image]

Halla la ecuación de la bisectriz S.

1. Sean [Image] los vértices del triángulo isósceles que se muestra en la figura adjunta.

[Image]

Halla las ecuaciones de las bisectrices de sus ángulos internos y prueba que se cortan en un punto.

Evaluación formativa

1. Para todo [Image] demuestra:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean [Image] Prueba que [Image] Esta igualdad se conoce como identidad de polarización.

1. En cada ítem se da un vector no nulo [Image] Determina las condiciones que han de verificar los componentes de un vector [Image] para que se tenga [Image] y sea [Image] Representa geométricamente el conjunto L y prueba que es una recta.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean [Image]

a) Muestra que [Image] Con respecto de la desigualdad triangular, ¿qué conclusión obtienes?

b) Si t < 0, ¿es cierta la igualdad [Image]? Concluye.

1. Con los vectores [Image] que se dan en cada ítem, representa gráficamente dichos vectores y verifica la ley del paralelogramo.

[Image]

[Image]

1. Sean [Image]

[Image]

1. En cada ítem se dan dos vectores [Image]

[Image]

Evaluación formativa

1. Sean P, Q, R polinomios que se definen en cada caso. Halla los opuestos aditivos de P, Q, R y los polinomios siguientes: P + Q , P – Q , P + Q + R, P + Q – R, – P + Q – R.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean u, v, w los polinomios siguientes:

[Image]

a) Aplica el esquema de Hörner y calcula u(–5), v(3), w(–2).

b) Utiliza el esquema de Hörner y calcula
     (u + v)(–2);
     (u + w)(–3);
     (u + v + w)(–5); (v + w)(4).

1. Sean P, Q, R polinomios que se definen en cada caso. Verifica que –(P + Q) = – P – Q y P – (Q + R) = P – Q – R. Calcula (– P – Q)(–6) y (P – Q – R)(5).

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sean los siguientes polinomios, efectúa la operación indicada

[Image]

[Image]

[Image]

1. Realiza las siguientes operaciones P + Q – R.

[Image]

1. Demuestren 6 que para todo P, Q, R.

a) –(P + Q) = – P – Q.

b) P –(Q + R) = P – Q – R.

1. Indaguen y respondan las siguientes preguntas.

a) ¿Qué es un polinomio?

b) ¿Cuál es la estructura de un término?

c) ¿Cuáles son los elementos de un polinomio?

d) ¿Cómo se clasifican los polinomios?

e) ¿Cuáles son las dos formas de sumar y restar polinomios?

f) ¿Describa cada proceso para sumar y restar polinomios?

1. Dados los polinomios:

[Image]

a) P(x) + Q(x).

b) P(x) – Q(x).

c) R(x) + P(x) – Q(x).

d) P(x) – Q(x) – R(x).

e) P(x) + Q(x) + R(x).

f) P(x) – R(x) + Q(x).

Evaluación formativa

1. Indica el grado del polinomio y utiliza el esquema de Hörner (cuando grad(p) ≥ 2) para calcular P(a), donde P y a se dan a continuación.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Ordena en forma creciente y decreciente con relación a las potencias de t , e indica el grado del polinomio.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

1. Calcula (P + Q)(a) y (PQ)(a) para a E N.

[Image]

[Image]

1. Calcula P^2(t), P^3(t), P^4(t), si P(t) es el polinomio que se define a continuación.

[Image]

[Image]

1. Calcula [Image] para a, hER con h ≠ 0. Este cociente se llama cociente incremental y está bien definido en R.

[Image]

[Image]

[Image]

1. Halla los polinomio siguientes: PQ, PR, PQR, P(Q + R), P(Q – R), P(– Q – R).

[Image]

[Image]

[Image]

1. Sea el polinomio de k[R] dado en cada caso. Calculen P^2, P^3 y P^4.

a) P(t) = –3.     b) P(t) = 2t.

c) P(t) = 5t^3.     d) P(t) = 8 – 2t.

e) P(t) = 3t^2 – 8t.    f) P(t) = 2t^5 – 11.

g) P(t) = –3t^4 + t3.

1. Demuestren las siguientes propiedades. Para todo P, Q, REk[R] .

a) PQ = QP.

b) 1P = P.

c) P(–Q) = (–P)Q = –PQ.

d) P(Q – R) = PQ – PR.

1. Sean P, Q los polinomios definidos por

[Image]

[Image]

Evaluación Sumativa

1. Sean [Image] los vértices de un cuadrado que se muestra en la figura

[Image]

obtén las ecuaciones correspondientes de S_1 y S_2 y el ángulo que forma.

f

1. Sean [Image] los vértices de un trapecio que se muestra en la figura adjunta.

[Image]

a) Obtén la ecuación cartesiana de la bisectriz S_1 del ángulo RAOC.

b) De manera similar, obtén la ecuación cartesiana de la bisectriz S_2 del ángulo OAB.

[Image]

a) A= (3,0).      b) A= a(3,1) con a ≠ 0.

1. Sean P, Q los polinomios siguientes:

[Image]

Halla los opuestos aditivos de P(t) y Q(t).

Define los polinomios siguientes:

a) P + Q.

b) P – Q .

c) Q – P.

1. Sea el polinomio P(t) = 5t – 8t2, ∀t E R.

a) ¿Qué grado tiene el polinomio P(t)?

b) ¿Cuáles son los coeficientes del polinomio?

c) Usa el esquema de Hörner para calcular el siguiente valor: P(3,5).

1. Sean P, Q los polinomios siguientes: [Image] Calcula (2P – 3Q)(1).

1. Calcula [Image] para a, h E R con h ≠ 0. Este cociente se llama cociente incremental y está bien definido en R.

[Image]

1. Sean P, Q los polinomios definidos por [Image]

[Image]

1. Observa el triángulo de la figura y determina las coordenadas. ¿Qué medida tiene la longitud de la hipotenusa del triángulo?

[Image]

a) 4 cm    b) 5 cm

c) 6 cm    d) 7 cm

1. El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 5x + 4y + 20 = 0 es:

a) 10 u^2     b) 20 u^2
^
c) 15 u^2     d) 8 u^2

1. ¿Cuál es el grado del polinomio? [Image]

a) Grado 2    b) Grado 3

c) Grado 1    d) Grado 6

1. Sean P, Q los polinomios siguientes:

[Image]

El opuesto aditivo de P(t) es:

[Image]

Evaluación formativa

1. Considera los polinomios p, q definidos como [Image] Aplica el proceso de la división y prueba que el cociente c y el residuo r son los polinomios indicados: c(x) = 3x + 1, r(x) = 2.

1. Sean p, q los polinomios [Image]

a) Divide el polinomio p para el polinomio q y obtén el cociente c y el residuo r definidos como: c(x) = 12x^2 + 17x + 6, r(x) = 0.

b) Calcula p(– 1/2).

c) Divide el polinomio c para q_1(x) = 3x + 2.

d) Calcula p(– 2/3) ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0?

1. Sean p, q, los polinomios [Image]

a) Aplica el proceso de la división y obtén que el cociente c y el residuo r están definidos como: c(x) = 4x + 1, r(x) = 0.

b) Calcula p(– 1/4). ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0?

1. Sean p, q, los polinomios [Image] Aplica el proceso de la división y muestra que el cociente c y el residuo r están definidos como: c(x) = x2 – 4, r(x) = 3.

F

1. Sean p, q los polinomios [Image]

a) Aplica el proceso de la división y muestra que el cociente c y el residuo r están definidos como: c(x) = x2 – 3x – 4, r(x) = 0.

b) Factoriza p. ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0?

1. Considera los polinomios p, q, r, definidos como

[Image]

Indica, sin hacer la división, cuáles son divisibles para el polinomio s dado como: s(x) = x – 2, ∀x E R. Luego, comprueba mediante la división.

1. Consideren el polinomio [Image] En cada ítem se da un polinomio q. Hallen el cociente c y el residuo r de la división de p para q. Verifiquen que sean correctos.

[Image]

1. Consideren el polinomio [Image] En cada ítem se da un polinomio q. Hallen el cociente c y el residuo r de la división de p para q. Verifiquen que sean correctos.

[Image]

Con los resultados obtenidos en a) y b), ¿cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0?

1. Consideren el polinomio [Image] En cada ítem se da un polinomio q. Hallen el cociente c y el residuo r de la división de p para q. Verifiquen que sean correctos.

[Image]

Con los resultados obtenidos, ¿cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0?

F

Evaluación formativa

1. Completa la solución de este ejercicio.

[Image]
[Image]
En la siguiente tabla se ilustra todo el procedimiento descrito para determinar las cifras binarias. Complétala.
[Image]

1. Completa la solución de este ejercicio.

[Image]

Luego, 2 380 = (_________)_5.

1. Representa en base 10 los siguientes números:

a) (4 746)_8.

b) (74 128)_9.

c) (864 568)_16.

d) (10 000)_3.

e) (14 142)_5.

f) (111 100 011)_2.

g) (3 120 132)_4.

h) (6 543 210)_7.

1. En cada caso, representa, en la base N que se indica, el número M = 280 en base 10.

a) N = 2.        b) N = 3.

c) N = 4.        d) N = 8.

e) N = 16.

1. En los siguientes ejercicios, representa en la base N los números en base 10.

a) 314, N = 2.            b) 27 182, N = 4.

c) 5 234, N = 7.         d) 1 786, N = 8.

e) 1 955, N = 5.         f) 13 526, N = 6.

g) 1354, N = 2.          h) 48 357, N = 2.

1. Sea m = 35 y N = 3.

[Image]

Evaluación formativa

1. La empresa de publicidad ABCD (nombre ficticio) promociona un nuevo producto en la radio local. Inicia la promoción a las 08h00 y ofrece un descuento del 25 % a quienes llamen en las 10 horas siguientes. El secretario de la empresa registra en su computador los nombres y números de cédulas de los participantes interesados en la promoción. La cantidad total de llamadas en las primeras 4 horas se muestran en la Tabla 6.

[Image]

Con esta información, interesa estimar posibles ventas del producto y la cobertura de la demanda. La jefa de ventas estima que deben disponer de 500 productos. ¿Acaso tiene razón?

a) Elabora un modelo con polinomios v de grado ≤ 4 de la forma [Image] siendo [Image]
constantes reales que deben obtenerse de la información suministrada en la tabla. Estas son las incógnitas.

Resuelve el sistema de ecuaciones y muestra que esta función está definida como: [Image]

b) Calcula v(8), v(10).

c) El balance obtenido al día siguiente muestra que en las primeras 8 horas se obtuvieron 265 llamadas, y 451 llamadas en 10 horas. Propón conclusiones sobre los resultados obtenidos.

1. En un cantón ABCD (nombre ficticio), en los barrios céntricos, se obtienen registros de recolección de basura por persona y por día de los últimos 12 meses que inquietan a las autoridades. Para investigar este hecho, deciden utilizar la siguiente información:

[Image]

Estos datos son útiles para elaborar un modelo con una función polinomial B de grado ≤ 4 de la forma [Image] siendo [Image] las incógnitas que deben obtenerse de la información suministrada con los cuatro primeros datos de la tabla. Como T representa el número de meses, se introduce la restricción T ≥ 0. El dato 0,601 1 del mes 12 es utilizado para validar el modelo.

a) En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente este conjunto de datos.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones y muestra que esta función está definida como:
[Image]

c) Calcula B(12), B(18).

1. Obtén un registro del número de autos matriculados en los últimos 5 años. Construye funciones polinomiales de grados 2 con los primeros 3 datos y de grado 3 con los primeros 4 datos. Los datos del quinto año se utilizan para verificar la tendencia o bondad de la función construida, de modo que pueda servir para pronosticar el crecimiento de autos en los 5 años siguientes. Esta información es útil con fines de planificación y regulación del transporte.

Para obtener los datos investiga en la página web:

http://www.ecuadorencifras.gob.ec/documentos/ webinec/Estadisticas_Economicas/ Estadistica%20de%20Transporte/Publicaciones/Anuario_de_Estad_de_Transporte_2013.pdf

1. Busca en Internet datos de nuestro país sobre el índice HDI. Recuerda que el HDI es el Indice de Desarrollo Humano. Utiliza en forma apropiada la información para construir un polinomio de grado menor o igual que 4, que permita analizar la evolución del HDI:

1. Una avioneta brinda servicios de transporte de personas. Dispone de una pista de 500 metros. Para despegar, requiere que en los 300 metros se alcance una velocidad mínima de 180 km/h. La velocidad máxima que alcanza en el aire es de 360 km/h. En el despegue, en su máxima potencia, se obtienen los siguientes datos:

[Image]

La función velocidad V, en términos de la distancia recorrida x y con viento a favor, se expresa como: [Image]

a) Calculen los valores de esta función para las distancias dadas y verifiquen sus resultados con las velocidades de la tabla.

b) Muestren que, a los 300 metros, la avioneta supera la velocidad requerida mínima y despega.

c) Prueben que la función V es creciente en el intervalo [0,300].

a) Escribe el espacio muestral y verifica que

se tienen 16 elementos.

b) Escribe los elementos del suceso A, en el

que se tenga una sola cara. Verifica que

son 4 elementos.

c) Escribe los elementos del suceso B, en el

que se tengan dos caras. Verifica que son

6 elementos.

d) Escribe los elementos del suceso C, en el

que se tienen tres caras. El conjunto tiene 4

elementos.Evaluación formativa

1. Se lanza una moneda cuatro veces.

a) Escribe el espacio muestral y verifica que se tienen 16 elementos.

b) Escribe los elementos del suceso A, en el que se tenga una sola cara. Verifica que son 4 elementos.

c) Escribe los elementos del suceso B, en el que se tengan dos caras. Verifica que son 6 elementos.

d) Escribe los elementos del suceso C, en el que se tienen tres caras. El conjunto tiene 4 elementos.

1. Se lanza un dado dos veces y se registran los números de sus caras. S es el espacio muestral de un dado, definido como:

[Image]

a) Comprueba que S tiene 36 elementos.

1. Considera el suceso [Image] Exprésalo en forma tabular.

1. Sean [Image] [Image]

1. El almacén XYZ (nombre ficticio) tiene 6 empleados: dos hombres {H1, H2} y cuatro mujeres {M1, M2, M3, M4}. Se seleccionan dos empleados.

a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? Tabula estos elementos.

b) Escribe los elementos del evento: un hombre y dos mujeres viven en el centro de la ciudad.

c) Tabula los elementos del suceso: un hombre y una mujer viven en la periferia de la ciudad.

1. Analiza cada enunciado y escribe verdadero (V) o falso (F).

a) La intersección de dos sucesos se puede efectuar solo cuando los dos eventos
ocurren. ______________________________

b) La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.
_______________________________________

c) La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número par es de 0,5.
_______________________________________

1. Analiza cada enunciado y responde verdadero o falso. Sea S un espacio muestral, las operaciones con sucesos son las operaciones conjuntistas precedentes. Así, sea A, B ∈ S.

a) A ∪ B es un suceso si y solo si A y B ocurren.

b) A ∩ B es un suceso si y solo si A y B ocurren.

d) A \ B es un suceso si y solo si el suceso A ocurre pero no B.

e) E \ A = A^c es un suceso que ocurre si y solo si el suceso A no ocurre.

1. Un experimento aleatorio tiene como espacio muestral el conjunto [Image] Considera los sucesos A, B, C, D, E, que se definen a continuación. Exprésalos en forma tabular.

a) A = {(i; j) ∈ S | i < 5; j > 15},

b) B = {(i; j) ∈ S | 2 < i < 5; 8 < j <12},

c) C = {(i; j) ∈ S | i + j = 12},

d) D = {(i; j) ∈ S | i + j < 10},

e) E = {(i; j) ∈ S | 2i + j > 10}.

f) Determina los eventos A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, A ∩ E.

g) Determina los eventos A ∪ B, B ∪ C, C ∩ D, A ∩ E.

h) Determina los eventos D^c = S'D, E^c = S'E.

1. En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para ojos castaños como para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante, obtengan la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.

1. Se lanzan dos dados equilibrados con 6 caras marcadas con números del 1 al 6. Se pide resolver los siguientes enunciados:

a) Hallen la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea un múltiplo de tres.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

1. En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que salga un as o una carta de diamante?

Evaluación formativa

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1. Sea E el conjunto referencial formado por las capitales de provincias del Ecuador. Consideremos las cuatro siguientes funciones proposicionales sobre E:

 p(x): x ∈ E es capital de provincia de la Costa,

q(x): x ∈ E es capital de provincia de la Sierra,

r(x): x ∈ E es capital de provincia del Oriente,

s(x): x ∈ E es capital de provincia de las isla Galapagos.

Con las proposiciones p, q, r, s, consideramos los conjuntos A, B, C, D, definidos como se indica a continuación:

 A = {x ∈ E | p (x)},  B = {x ∈ E | q (x)},

C = {x ∈ E | r (x)},   D = {x ∈ E | s (x)}.

a) Escribe en forma tabular estos conjuntos e indica el número de sus elementos en cada uno de ellos.

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a) Escribe en forma tabular los conjuntos A, B y C.

b) Halla A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C y A ∪ B ∪ C.

1. En cada ítem se definen tres subconjuntos A, B, C del conjunto referencial E = {j ∈ Z | |j| ≤ 500}. Indica en palabras qué representa cada conjunto dado. Demuestra que A ∩ B = C y determina el número de elementos de A, B y C.

a) A = {2m | m ∈ E}, B = {3n | n ∈ E}, C = {6p | p ∈ E}.

b) A = {5m | m ∈ E}, B = {3n | n ∈ E}, C = {15p | p ∈ E}.

c) A = {4m | m ∈ E}, B = {8n | n ∈ E}, C = {8p | p ∈ E}.

1. En cada ítem se definen tres subconjuntos A, B, C del conjunto referencial E = {j ∈ Z ⎮ |j| ≤ 51}. Determina los siguientes conjuntos: (A ∩ B) \ C, (B \ A) ∩ C, C \ (A ∩ B), (C \ A)\ B, al igual que el número de elementos de cada uno de ellos.

a) A = {2m | m ∈ E}, B={3n | n ∈ E}, C = {5p | p ∈ E}.

b) A = {2m | m ∈ E}, B = {6n | n ∈ E}, C = {4p | p ∈ E}.

1. El Departamento de Transportes del cantón XYZ es el encargado de la planificación de su red de transportes. Entre uno de los estudios que realiza, está la identificación del tipo de transporte utilizado: autos particulares, taxis y buses, entre las regiones R_1 y R_2 de la ciudad. Para ello, se recoge una muestra de las personas en el lugar de destino y se designa con A al conjunto de personas que usa autos particulares, con T al conjunto de usuarios de taxis, con B al conjunto de usuarios de buses y con E al conjunto referencial. Se obtienen los siguientes resultados:

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a) Tomando en consideración que n (A ∩ T) = 46 y n (A ∩ T ∩ B) = 32, entonces, A ∩ T = [A ∩ T\B] ∪ [A ∩ T∩ B], n(BC ∩ A ∩ T) = n( A ∩ T) – n( A ∩ T ∩ B) = 46 – 32 = 14, que significa que de las 46 personas que usan autos particulares y taxis, 14 no utilizan buses. Mediante un razonamiento similar, muestren que de 55 personas que utilizan autos particulares y buses, 23 no utilizan taxis y que de las 85 personas que utilizan buses y taxis, 53 no utilizan autos particulares.

b) Puesto que n (A) = 120, n (A∩T)= 46, n(A ∩ B)= 55 y del hecho que los conjuntos A ∩ B\ (A ∩ B ∩ T), A ∩ T \(A ∩ B ∩ T), A ∩ B ∩ T, A ∩ (B ∪ T)C son disjuntos, tal que A = [A ∩ B \ (A ∩ B ∩ T)] ∪ [A ∩ T \ (A ∩ B ∩ T)] ∪ [A ∩ B ∩ T] ∪ [A ∩ (B ∩ T]C Sugerencia: mediante diagramas de Venn–Euler, identifiquen estos conjuntos. Tenemos n([A ∩ B \ (A ∩ B ∩ T)]) = n(A ∩ B) – n(A ∩ B ∩ T) = 55 – 32 = 23, n([A ∩ T \ (A ∩ B ∩ T)]) = n(A ∩ T) – n(A ∩ B ∩ T) = 46 – 32 = 14. Se sigue que n(A ∩ (B ∪ T)C) = n(A) – n([A ∩ B\(A ∩ B ∩ T)]) – n([A ∩ T\ (A ∩ B ∩ T)]) – n([A ∩ B ∩ T). Continúa el proceso.

Evaluación formativa

1. Verifica que los ejercicios estén bien resueltos.

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1. Verifica su solución. Sea x ∈ R con x ≠ 0.

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1. Calcula.

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1. Sea a ∈ R. Escribe el desarrollo del binomio de Newton.

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1. En cada ítem se da a ∈ R. Sea n ∈ N con n ≥ 1. Aplica el desarrollo del binomio de Newton para expresar a^n como una suma apropiada de coeficientes binomiales y potencias.

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1. Sea a ∈ R con a ≠ –1, 0, 1.

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Evaluación formativa

1. Dados los polinomios:

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a) P(x) + Q(x).
b) P(x) + R(x).
c) Q(x) · R(x).
d) P(x) · Q(x).
e) P(x) : R(x).
f) Q(x) : R(x).
g) El resto de la división de P(x) por x – 1.
h) P(–1).
i) P(–2) + [Q(–2)]².

1. Completa el término que se pide en cada división, en donde el polinomio D(x) es el dividendo, d(x) es el divisor, C(x) es el cociente y r(x) es el residuo.

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1. Determina el resto sin necesidad de hacer la división:

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1. En cada ítem se definen tres subconjuntos A, B, C del conjunto referencial E = {j ∈ Z ⎮ |j| ≤ 500}. En palabras, indica qué representa cada conjunto dado. Demuestra que A ∩ B = C y determina el número de elementos de A, B y C.

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1. Sea a E R. Escribe el desarrollo del binomio de Newton.

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1. Aplica el proceso de la división y determina el cociente c de dividir p(x) para q(x).

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1. Utilizando el teorema del resto, determina el residuo sin efectuar la división de p(x) para q(x).

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a) 1         b) 2

c) 3         d) 5

e) 9

1. El coeficiente binomial de (6/3) , si tenemos k = 3 y n = 6 , y k ≤ n es:

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1. El siguiente binomio (1 + x)^5 para x ∈ R con x ≠ 0, aplicando el binomio de Newton, se expresa de la siguiente manera:

[Image]

Q: Si se sabe que: \( a = 1, b= 2 y c = 0,5 \), selecciona la respuesta correcta para el siguiente caso:
\( 3a + 2b - 5(a - c) \)
- -3,5
- 4,5
- -4,28
- 1
A: 4,5

Q: Evaluación formativa

Clasifica las siguientes expresiones decimales en números racionales o irracionales.
- \( 3, 2727... \) | Número racional
- 1,234567890789234... | Número irracional
- \( \pi \) | Número irracional

Q: Evaluación formativa

Escoge una opción  de tal manera que completes una afirmación verdadera:
Dadas dos rectas r_ 1 y r _2 en el plano coordenado cuyas ecuaciones son:
 a_1x +  b_1y  + c_1 = 0  y
 a_2 x +  b_2 y  + c_2 = 0
respectivamente, puede suceder que:
- Completa con el mejor enunciado. Según estas condiciones si: r_1 y r_2 _ no son paralelas entonces: | se intersecan
- Completa con el mejor enunciado. Si r_1 || r_2 entonces r_1 y r_2 | son paralelas
- Completa con el mejor enunciado. Si r_1 = r_2 entonces r_1 y r_2 | son coincidentes

Q: Resuelve y marca la solución del sistema de ecuaciones.
 [Image: open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus y equals 4 end cell row cell 2 x mi]
- x = 0, y = 1
- x = 2, y = 2
- x = -2, y = - 2
A: x = 2, y = 2

Q: Resuelve y selecciona la solución del sistema de ecuaciones.
[Image: open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 x plus 2 y plus 26 equals 0 end cell row]
- x = 0, y = 0
- x = 2, y = 5
- x = -2, y = -10
A: x = -2, y = -10

Q: Determina la solución del sistema de ecuaciones lineales.
[Image: open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 5 y plus x equals 0 end cell row cell 2 x]
- \( x= \frac{5}{13} , y = \frac{25}{13} \)
- \( x= \frac{25}{13} , y= \frac{-5}{13} \)
- [Image: open parentheses negative 1 semicolon 0 close parentheses] x= -1, y = 0
A: \( x= \frac{25}{13} , y= \frac{-5}{13} \)

Q: Evaluación formativa

Clasifica las proposiciones siguientes en verdaderas (V) o falsas (F).
Los números racionales straight rational numbers cubren toda la recta numérica.
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona la respuesta correcta. Para los conjuntos:  [Image: A equals open curly brackets x element of straight real numbers colon x less or equal than 3 close curly brackets] y [Image: B equals open parentheses negative 2 semicolon 4 close parentheses]  se puede afirmar que es  [Image: A intersection B] :
- [Image: left square bracket negative 2 semicolon 3 right parenthesis]
- [Image: open curly brackets x element of straight real numbers colon less or equal than 3 comma x not equal to negative 2 close]
- [Image: open parentheses negative infinity semicolon 4 close parentheses]
- [Image: open curly brackets x element of straight real numbers colon negative 2 less than x less or equal than 3 close curly bra]
A: [Image: open curly brackets x element of straight real numbers colon negative 2 less than x less or equal than 3 close curly bra]

Q: Escoge una opción para completar las afirmaciones verdaderas siguientes. Dado el intervalo real definido como P=[-2,78; 6,937]:
- Todos los números enteros que están en P son: | -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5
- Todos los números naturales que están en P son: | 0; 1; 2; 3; 4; 5
- Números racionales que no están en el conjunto P son: | hay infinitos números

Q: Evaluación formativa

Completa las oraciones siguientes con una afirmación verdadera:

Al multiplicar [...]  de igual base se obtiene una potencia de la [...] , cuyo [...]  es la suma de los exponentes. Al calcular la [...]  de una potencia, se obtiene otra [...] de la misma base, cuyo exponente es el producto de los [...] .

 Al dividir potencias de [...] , se obtiene [...] de la misma base, cuyo exponente es [...]  de los exponentes.
A: potencias; misma base; exponente; potencia; potencia; exponente; igual base; una potencia; la diferencia

Q: Completa las oraciones siguientes con una afirmación verdadera:
Todo [...] , diferente de cero, elevado al [...] , es igual a uno.

 Todo [...] , diferente de cero, [...]  a un exponente negativo, es igual a [...]  cuyo numerador es 1 y [...]  es el mismo número racional con el [...] .
A: número racional; exponente cero; número racional; elevado; una fracción; su denominador; exponente positivo

Q: Calcula aplicando las propiedades de las potencias y señala la respuesta correcta para el siguiente caso:
a) [Image: m to the power of 7 times m cubed]
- [Image: m to the power of 5]
- [Image: m to the power of 10]
- [Image: m squared]
- [Image: m to the power of 4]
A: [Image: m to the power of 10]

Q: Calcula aplicando las propiedades de las potencias y señala la respuesta correcta para el siguiente caso:
b)  [Image: open parentheses a squared close parentheses cubed times a to the power of 5]
- [Image: a to the power of 11]
- [Image: a]
- [Image: a to the power of 10]
- [Image: a cubed]
A: [Image: a to the power of 11]

Enlaza según corresponda para cada uno de los sistemas representados gráficamente:

Q: Calcula aplicando las propiedades de las potencias y señala la respuesta correcta para el siguiente caso: c) [Image: fraction numerator 7 squared times 7 to the power of 6 over denominator 7 to the power of 10 end fraction]
- [Image: 1 over 7]
- [Image: 7 squared]
- [Image: 1 over 7 squared]
- [Image: 7 cubed]
A: [Image: 1 over 7 squared]

Q: Calcula aplicando las propiedades de las potencias y señala la respuesta correcta para el siguiente caso: d) [Image: open parentheses x to the power of 4 close parentheses to the power of begin display style 1 half end style end exponent]
- [Image: x]
- [Image: x squared]
- [Image: x to the power of 5]
- [Image: 1]
A: [Image: 1]

Q: Evaluación formativa

Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: 5 squared times 5 cubed equals 5 to the power of 6]
- Verdadero
- Falso
A: Falso
Feedback: [Image: 5 squared times 5 cubed equals 5 to the power of 6]

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: x cubed colon x to the power of 4 equals x squared]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: open square brackets a squared over 4 close square brackets cubed equals a to the power of 6 over 4]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: open parentheses 3 a cubed close parentheses squared equals 9 a to the power of 6]
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: open parentheses x to the power of n close parentheses squared equals x to the power of n plus 2 end exponent]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: 2 squared times 3 squared equals 6 squared]
- Verdadero
- Falso
A: Verdadero

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: x to the power of 5 times x cubed equals x squared]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: x squared times y squared equals open parentheses x y close parentheses to the power of 4]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Selecciona cuáles de las siguientes expresiones son correctas o incorrectas.
[Image: 4 to the power of 5 over 4 squared equals 4 to the power of 7]
- Verdadero
- Falso
A: Falso

Q: Analiza y resuelve.

En un torneo se repartió un premio de $ 4 800 entre cuatro finalistas. Cada uno recibió la mitad de lo que recibió su antecesor. ¿Cuánto recibió el ganador?
- El ganador recibió $ 2 560.
- El ganador recibió $ 2 500.
- El ganador recibió $ 2 060.
- El ganador recibió $ 2 000.
A: El ganador recibió $ 2 560.

Q: Analiza la siguiente situación y responde.

De los miembros de un club, 273 son varones y 1/4 de las mujeres son casadas. Si hay 18 mujeres solteras. ¿Cuántos varones hay en el club?
- En el club hay 48 varones.
- En el club hay 45 varones.
- En el club hay 40 varones.
- En el club hay 28 varones.
A: En el club hay 48 varones.

Q: Resuelve cada una de las operaciones y luego determina a qué conjunto de números pertenece la solución del ejercicio.
- \( (3,24 - 1,8) \div 0,24 \) | = 6, es un número entero
- \( \sqrt[]{12} + 2 \sqrt[]{3} \) | = 5,196152423..., es un número irracional
- \( \frac{-3}{2} -8 + 2 \) | = -15/2, es un número racional

Q: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales y selecciona la respuesta correcta.

\( {2x-3y=-2 \brace 5x-7y=-3} \)
- x = 5 y = 4
- x = -5, y = 4
- x = -5, y = -4
- x = 5 y = -4
A: x = 5 y = 4

Q: Observa la representación en la recta numérica y determina el intervalo que esta representado.

[Image: recta]
- \( -4 < x < 4 \)
- \( -4 \leq x \leq -4 \)
- \( -4 \leq x < 4 \)
- \( -4 \leq x \leq 4 \)
A: \( -4 < x < 4 \)