Title: Unidad 1
Course: Matemáticas Plus + 1 BGU > Section: Libro Digital

Números reales. Estructuras algebraicas

DCCD: M.4.1.1. Reconocer los elementos del conjunto de números enteros ℤ, ejemplificando situaciones reales en las que se utilizan los números enteros negativos. M.4.1.2. Establecer relaciones de orden en un conjunto de números enteros, utilizando la recta numérica y la simbología matemática. M.4.1.4. Deducir y aplicar las propiedades algebraicas (adición y multiplicación) de los números enteros en operaciones numéricas.

● Números reales. Estructuras algebraicas

Saberes previos

¿Cómo se forma el conjunto de los números enteros?

Desequilibrio cognitivo

¿Es el número –2/3 un número entero? ¿Por qué?

Antes de iniciar con el estudio de las operaciones y sus propiedades algebraicas en el conjunto de los números reales ℝ, recordemos algunos resultados fundamentales en el conjunto de los números enteros y en el de los números racionales que fueron tratados en noveno y décimo años de básica. Es preciso que se tengan claros estos resultados, pues son el soporte para el estudio de las propiedades y el cálculo con los números reales.

Operaciones en el conjunto de los enteros y orden (revisión)

En el conjunto de los números enteros ℤ se han definido dos operaciones: la adición "+" y el producto "×". Ambas satisfacen las propiedades que se resumen en las dos tablas que se muestran a continuación, donde x, y, z ∈ ℤ.

Recuerda que...

Se designa con ℕ al conjunto de los números naturales, ℕ = {0, 1, 2, ...}

Se designa con ℤ^+ al conjunto

ℤ^+ = {n ∈ ℕ|n ≥ 1}

y se lo denomina conjunto de los números enteros positivos.

Se define

ℤ^– = {–n|n ∈ ℕ ≥ 1}

y se lo llama conjunto de los números enteros negativos.

Luego,

ℤ = ℤ^– ∪ {0} ∪ ℤ^+.

Adición

Propiedad | Notación
Clausurativa | Sea x + y ∈ ℤ.
Asociativa | x + (y + z) = (x + y) + z
Conmutativa | x + y = y + x.
Existencia de elemento neutro | Existe 0 ∈ ℤ, tal que para todo x ∈ ℤ x + 0 = 0 + x = x.
Existencia de opuestos aditivos | Para cada x ∈ ℤ existe –x, tal que x + (–x) = (–x) + x = 0.

^Fuente: archivo editorial, 2017

El número entero –x se llama opuesto aditivo de x ∈ ℤ. El conjunto ℤ con la operación adición que satisface las propiedades indicadas en la tabla se denomina grupo conmutativo; se escribe (ℤ, +) y es llamado grupo aditivo de los números enteros.

Producto

Propiedad | Notación
Clausurativa | x × y ∈  ℤ
Asociativa | x × (y × z) = (x × y) × z
Conmutativa | x ×  y = y ×  x
Existencia de elemento unidad | Existe 1 ∈ ℤ, tal que para todo x ∈ ℤ x × 1 = 1 × x = x.

^Fuente: archivo editorial, 2017

En ℤ no se verifica la propiedad de existencia de opuestos multiplicativos, por lo tanto, ℤ con la operación producto no tiene estructura de grupo.

Las operaciones de adición y producto son relacionales con la propiedad distributiva.

Propiedad | Notación
Distributiva | x × (y + z) = x × y + x × z, ( y + z) × x = x × y + x × z.

^Fuente: archivo editorial, 2017

En lo sucesivo, escribiremos xy ó x • y en lugar de x × y. Al conjunto ℤ con las operaciones de adición y producto que satisfacen las propiedades descritas en las tres tablas se lo llama anillo de los números enteros. A esta estructura algebraica la escribimos (ℤ, +, ×).

Sustracción

Sean x, y ∈ ℤ. Con base en la propiedad de existencia de opuestos aditivos, la operación sustracción o resta de enteros “–“ se define como x – y = x + (–y), donde –y es el opuesto aditivo de y.

Divisibilidad

Sean x, y ∈ ℤ con y ≠ 0. Se dice que y divide a x que se escribe x ÷ y si y solo si existe k ∈ ℤ, tal que x = ky. En tal caso, se define la división y se escribe ^x⁄_y = k. La división no está definida en todo el conjunto de los números enteros, pues el resultado de  ^x⁄_y, en general, no es un número entero.

Propiedades de la divisibilidad
Propiedades | Ejemplos
Para m ∈ ℤ, con m ≠ 0; 0 ÷ m = 0 | 0 ÷ 4 = 0; 0 ÷ (–3) = 0.
Para m, n ∈ ℤ; n ÷ m y p ÷ n, entonces p ÷ m. | Sean: n = 8, m = 4 y p = 16. 8 ÷ 4 = 2 y 16 ÷ 8 = 2; entonces 16 ÷ 8 = 2
Para m, n ∈ ℤ; n ÷ m y p ÷ n, entonces (jn + kp) ÷ m; j, k ∈  ℤ. | Sean: n = 8, m = 4 y p = 16.
Para m ∈ ℤ, 1 ÷ m, entonces m = –1 o m = 1. | Sean: n = 8, m = 4 y p = 16.

^Fuente: archivo editorial, 2017

Divisor común

Sean a, b ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0. Un número d ∈ ℤ^ + tal que a ÷ d y b ÷ dse llama divisor común.

Máximo común divisor

Sean a, b ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0. El máximo común divisor de a y b es un número entero positivo c que se escribe c = mcd (a; b) y que cumple con las dos condiciones siguientes:

1. a ÷ c y b ÷ c
2. Si d ∈ ℤ^+ es un divisor común de a y b, entonces c ÷ d.

Sean a, b, d ∈ ℤ^+;

mcd(da, db) = d . mcm(a, b);

Primos entre sí

Sean a, b ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0. Se dice que a y b son primos entre sí, si mcd(a; b) = 1.

Recuerda que...

Leyes cancelativas

Sean x, y ∈ ℤ,

x + y = x + z si y solo si y = z,

x ≠ 0, xy = xz si y solo si y = z.

Leyes de los signos

Sean a, b ∈ ℤ. Se tiene

a(–b) = –(ab) = (–a)b,

(–a)(–b) = ab.

Otras propiedades

Sean a, b ∈ ℤ. Entonces

0 x a = 0,

–(a + b) = –a – b = (–a) + (–b),

–(a – b) = b – a = –a + b.

Practica

En tu cuaderno, escribe un ejemplo de cada una de las propiedades anteriores.

Recuerda que

1 ÷ m significa que 1 divide a m.

Saberes previos

¿Cómo se forma el conjunto de los números enteros?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es el mínimo común múltiplo de dos números primos?

Recuerda que...

Se dice que un número entero a es par, si y solo si existe c ∈ ℤ, tal que a = 2c. Se dice que a es impar, si y solo si existe un entero c, tal que a = 2c + 1. Se tiene también a = 2d –1 para algún entero d.

Múltiplo común

Sean a, b ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0. Un número q ∈ ℤ^+ es un múltiplo común de a y b, si cumple con la condición siguiente: a|q y b|q.

Mínimo común múltiplo

Sean a, b ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0. El mínimo común múltiplo (mcm) de a y b es un número entero positivo p que se escribe p = mcm(a; b) y que cumple con las dos condiciones siguientes:

1. p ÷ a y p ÷ b.
2. Si q ∈ ℤ^+ es un múltiplo común de a y b, entonces q ÷ p.

El máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) de a, b, d ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0, d ≠ 0 se relacionan a través de la siguiente fórmula:

mcm(da, db) = d . mcm(a, b); mcm(a, b) = a ×  b / mcd(a, b).

Máximo factor común

Sean a, b ∈ ℤ no nulos y c = mcd(a; b). Si a = kc; b = mc, entonces,
a + b = c(k + m).

Potenciación

Sean a, b ∈ ℤ con a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ ℤ^+. Se define

a^0 = 1, a^1 = a,
a^m = a × a × ... × a (m factores de a),

Si a = 0, 0^m = 0 para m = 1, 2...

Si a = 0 y m = 0, diremos que 0^0 no se define o que 0^0 no existe.

Productos notables y factorización en ℤ

Para a, b, x ∈ ℤ,

(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab,
( x – a)(x – b) = x^2 – (a + b)x + ab,
( x – a)(x + b) = x^2 + (b – a)x – ab,
( a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
( a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2,
( a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,
( a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3,
( a + b)(a – b) = a^2 – b^2,
( a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3,
( a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3,
( a – b)(a + b)(a^2 + b^2) = (a^2 – b^2)(a^2 + b^2) = a^4 – b^4,
( a^2 – a + 1)(a^2 + a + 1) = a^4 + a^2 + 1,
( a^3 – b^3)(a^3 + b^3) = a^6 – b^6.

Demostración

Probaremos la propiedad (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2. Utilizaremos la definición de cuadrado de un número entero, la ley distributiva, las leyes de los signos y la ley conmutativa. Así, tenemos:
( a – b)^2 = (a – b)(a – b) = a(a – b) + (–b)(a – b) = a^2 – ab – ab + b^2 = a^2 – 2ab + b^2.

Mediante razonamientos similares, se pueden demostrar las otras propiedades que se proponen como ejercicios.

Tarea. Aplicar las propiedades algebraicas de los números enteros en cada una de las igualdades anteriores. Partir del lado izquierdo, obtener el lado derecho y viceversa.

Orden en ℤ

Definición. Sean m, n ∈ ℤ.

1. Diremos que m es menor que n y notaremos m < n si y solo si n – m ∈ ℤ^+.
2. Diremos que m es mayor que n y notaremos m > n si y solo si n < m.
Ejemplo: –3 es menor que 5 se escribe –3 < 5. Nota que 5 > –3

Sean m, n ∈ ℤ. De la definición de la relación “<" y de ℤ^+, se sigue que m < n si y solo si existe p ∈ ℤ^+, tal que n = m + p. Además, de la definición se tiene:

1. m ∈ ℤ^+ si y solo si m > 0.
2. m ∈ ℤ^– si y solo si m < 0.
3. m > n si y solo si m – n > 0.
4. m > n si y solo si n < m.

Los números enteros se representan en una recta, como se indica a continuación:

Teorema. Sean m, n, p ∈ ℤ. Se verifican las siguientes propiedades.

i. Si m < n y n < p, entonces m < p.

ii. m < n si y solo si m + p < n + p.

iii. Si m < n y p > 0, entonces mp < np.

iv. Si m < n y p < 0, entonces mp > np.

v. Si m < 0 y n < 0, entonces mn > 0.

vi. Si m < 0 y n > 0, entonces mn < 0.

vii. Si m ≠ 0, m^2 > 0.

viii. Si m < 0 y n < 0, entonces m + n < 0

Demostración

Vamos a demostrar la propiedad: Si m ≠ 0, m^2 > 0.
Supongamos m ≠ 0. Se tienen dos casos: m > 0 y m < 0.
Si m > 0, entonces m × m > 0, pues es el producto de números positivos. Luego m^2 > 0. Por la propiedad v y haciendo n = m, tenemos
m × m > 0, que es lo mismo que m^2 > 0.

Si m < 0, entonces –m > 0. Luego (–m)(–m) > 0 y como
m^2 = (–m)(–m)> 0, resulta que m^2 > 0.

Conclusión. Si m ≠ 0, m^2 > 0.

Recuerda que...

El conjunto Z se ha definido como:

ℤ^– = {..., –3, –2, –1}

ℤ^– = {–n|n ∈ ℤ^+}

ℤ^+ = {1, 2, 3, 4...}

ℤ^+ = {n ∈ ℕ, n ≥ 1}

Para todo m ∈ ℤ se satisface una y solo una de las tres condiciones siguientes:

i. m ∈ ℤ^+,

ii. m = 0,

iii. m ∈ ℤ^–.

Esta propiedad se conoce como propiedad de tricotomía. A los elementos de ℤ^+ los hemos llamado enteros positivos y a los elementos de ℤ^– los denominamos enteros negativos. Es claro que cero no es positivo ni negativo.

Operaciones en el conjunto de números racionales y orden

DCCD: M.4.13. Reconocer el conjunto de los números racionales ℚ e identificar sus elementos. M.4.15. Establecer relaciones de orden en un conjunto de números racionales utilizando la recta numérica y la simbología matemática. M.4.1.17. Aplicar las propiedades algebraicas para la suma y la multiplicación de números racionales en la solución de ejercicios numéricos.

● Operaciones en el conjunto de números racionales y orden

Saberes previos

¿Cómo se forma el conjunto de los números racionales?

Desequilibrio cognitivo

¿Es el número –2 un número racional? ¿Por qué?

Recuerda que...

En este momento introducimos un conjunto "más grande" que ℕ, al cual lo denotamos con ℤ y lo denominamos conjunto de los números enteros. Los elementos de ℤ son todos los números naturales y los números –1, –2, –3..., a los cuales los denominamos enteros negativos. En esta sección comenzamos a trabajar con el conjunto de los números racionales.

Sean A, B dos conjuntos no vacíos. Una función ƒ de A en B es una asignación, correspondencia, asociación de cada elemento de A con un único elemento de B.

Se escribe.

y se lee función f de A en B que a cada x ∈ A le asocia el único elemento f (x) de B.

Sea A un conjunto. Una operación en A es una función de A × A en A.

Revisemos algunos resultados importantes del álgebra y del cálculo en el conjunto de los números racionales.

El conjunto de los números racionales ℚ está definido como:

En este conjunto, la igualdad de números racionales se define del modo siguiente: sean m, n, p, q ∈ ℤ con n ≠ 0, q ≠ 0, entonces  ^m⁄_n =  ^p⁄_q si y solo si mq = np. Se tiene

donde m, n ∈ ℤ, n ≠ 0.

Operaciones en ℚ

Adición. En el conjunto ℚ, la suma de números racionales se define como sigue:

donde a, b, c, d ∈ ℤ, x = ^a⁄_b ,  y = ^c⁄_d , b ≠ 0, d ≠ 0. La operación adición "+" en ℚ es la función definida de la manera siguiente:

La operación adición "+" satisface las propiedades que se resumen en la tabla siguiente, donde x, y, z ∈ ℚ:

Propiedad | Notación
Asociativa | x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z.
Conmutativa | x + y = y + z.
Existencia de elemento neutro | Existe 0 ∈ ℚ, tal que para todo x ∈ ℚ x + 0 = 0 + x = x.
Existencia de opuestos aditivos | Para cada x ∈ ℚ, existe –x ∈ ℚ, tal que x + (–x) = (–x) + x = 0.

^Fuente: archivo editorial, 2017

El elemento –x ∈ ℚ se llama opuesto aditivo de x ∈ ℚ. El grupo conmutativo (ℚ, +) consiste en el conjunto de los números racionales ℚ provisto de la operación adición "+", y satisface las propiedades indicadas en la tabla precedente. A este conjunto lo denominaremos grupo aditivo de los números racionales.

Recuerda que...

Sean x, y ∈ ℚ, el producto x × y se escribirá simplemente como xy o x · y, a menos que exista peligro de confusión.

En ℚ se define la operación división "÷" del modo siguiente:

donde a, b, c, d ∈ ℤ, x =

Leyes cancelativas

Sean x, y, z ∈ ℚ.

x + y = x + z,

si y solo si y = z,

x ≠ 0, xy = xz,

si y solo si y = z.

Leyes de los signos

Sean x, y ∈ ℚ.

x(–y) = (–x)y = –xy,

(–x)(–y) = xy.

En el conjunto ℚ, la operación sustracción "–" se define del siguiente modo:

donde a, b, c, d ∈ ℤ,

Producto. En el conjunto ℚ, la multiplicación de números racionales se define del siguiente modo:

donde a, b, c, d ∈ ℤ,

La operación producto "×" en ℚ es la función que se define de la manera siguiente:

La operación producto "×" satisface las propiedades que se resumen en la tabla, donde x, y, z ∈  ℚ.

Propiedad | Notación
Asociativa | x × (y × z) = (x × y) × z = x × y × z.
Conmutativa | xy = yx.
Existencia de elemento unidad | Existe 1 ∈ ℚ tal que para todo x ∈ ℚ x × 1 = 1 × x = x.
Existencia de opuestos multiplicativos | Para cada x ∈ ℚ, con x ≠ 0, existe x^–1 = ^1⁄_x ∈ ℚ tal que x × x^–1 = x^–1 × x = 1.

^Fuente: archivo editorial, 2017

El número racional x^–1^ se llama opuesto multiplicativo de x ∈ ℚ.

Simbología matemática

ℚ conjunto de números racionales

ℚ ⧵{0} conjunto de números racionales menos el cero.

El grupo multiplicativo de los números racionales (ℚ ⧵{0} , ×) consiste en el conjunto ℚ_* = ℚ ⧵{0} provisto de la operación producto "×" y que satisface las propiedades indicadas en la tabla precedente; lo denominaremos grupo multiplicativo de los números racionales.

Las operaciones de adición "+" y de producto "×" en ℚ están relacionadas con la propiedad distributiva, donde x, y, z, ∈ ℚ.

Propiedad | Notación
Distributiva | x × (y + z) = x × y + x × z, ( y + z) x = x × y + x × z.

^Fuente: archivo editorial, 2017

Recuerda que...

Sean x, y, z, u ∈ ℚ,

–(x + y) = –x –y,

–(x – y) = y – x = –x + y,

x(y – z) = xy – xz,

0x = 0.

Si x ≠ 0, (x^–1)^–1 = x.

Si x ≠ 0, y ≠ 0,

(xy)^–1 = x^–1y^–1.

Si y ≠ 0, u ≠ 0,

Si y ≠ 0, u ≠ 0,

Si y ≠ 0, u ≠ 0,

Si y ≠ 0, z ≠ 0, u ≠ 0,

El cuerpo de los números racionales consiste en el conjunto ℚ provisto de las operaciones adición "+" y producto "×". Así, (ℚ, +) y (ℚ⧵{0}, ×) son grupos conmutativos y dichas operaciones están ligadas con la propiedad distributiva.

Potenciación: Sean a, b ∈ ℚ con a ≠ 0, b ≠ 0, m ∈ ℤ^+. Se definen las potencias de números racionales con exponentes enteros del siguiente modo:

Se define 0^n = 0, n ∈ ℤ^+ y 0^0 no está definido.

Sean a, b ∈ ℚ con a ≠ 0, b ≠ 0, m, n ∈ ℤ. Se verifican las siguientes propiedades:

Productos notables. Para todo a, b, x ∈ ℚ .

(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab;

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;

(a + b)(a – b) = a^2 – b^2;

(a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3.
(x – a)(x – b) = x^2 – (a + b)x + ab.

(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.

(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3.

(a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3.

Simbología matemática

| símbolo que en conjuntos se lee tal que

ℚ^+ números racionales positivos

ℚ^– números negativos

> mayor que

< menor que

≠ diferente de

∈ pertenece a

Orden en el conjunto ℚ

Se denota con ℚ^+ al conjunto definido como sigue:

Tenemos la siguiente equivalencia:

r ∈  ℚ^+ ⇔ ∃ m, n ∈  ℤ con n ≠ 0, tal que r =  ^m⁄_n y mn > 0.

A un elemento de ℚ^+ lo denominamos número racional positivo r.

Se denota con ℚ^– al conjunto definido como sigue:

y se lo denomina conjunto de los números racionales negativos.

Se tiene que ℚ^– = {–r|r ∈ ℚ^+}. Además, r ∈ ℚ^– ⇔ ∃ s ∈ ℚ^+, tal que r = –s, es decir que los elementos de ℚ^– son los opuestos aditivos de los elementos de ℚ^+ y viceversa.

Conexiones con las TIC

En una calculadora científica, el símbolo √ denota la operación raíz cuadrada de un número real no negativo. Si utilizamos una calculadora científica, ingresamos el dato 12 045 y pulsamos el símbolo √. Así, obtenemos 109,658 561. Este es un valor aproximado de √12 045, con una precisión de 6 dígitos luego de la coma decimal.

▲ Calculadora científica.

Se tiene ℚ = ℚ^– ∪ {0} ∪ ℚ^+ y para r ∈ ℚ se cumple una y solo una condición:

A esta propiedad se la conoce como propiedad de tricotomía. A continuación, se definen las relaciones de orden "menor que" y "mayor que".

Definición. Sean r, s ∈ ℚ.

i. Diremos que "r es menor que s", o sea que "r < s", si y solo si s – r ∈ ℚ^+.
ii. Diremos que "r es mayor que s", o sea que "r > s", si y solo si s < r, o sea, r – s ∈ ℚ^+.

Valor absoluto

Sea r ∈ ℚ. El valor absoluto de r se denota |r| y se define como

Se tienen las siguientes propiedades, sean p, q ∈ ℚ.

i. |p| ≥ 0.
ii. |p| = 0 p = 0.
iii. p ≤ |p|, –p ≤ |p|.
iv. |p – q| = |q – p|.
v. |p + q| ≤ |p| + |q| (desigualdad triangular)

Raíz cuadrada

Propiedades

Sean r, s ∈ ℚ^+ tales que √r, √s ∈ ℚ^+. Se verifican las siguientes propiedades:

i. √rs = √r √s

ii.

iii. Si r < s, entonces √r < √s

Por otro lado, si r ∈ ℚ, entonces √r^2 = |r|.

Propiedades de las desigualdades

Sean p, q, r ∈ ℚ. Se tienen las siguientes propiedades:

i. Si p < q y q < r, entonces p < r.
ii. p < q si y solo si p + r < q + r.
iii. Si p < q y r > 0, entonces pr < qr.
iv. Si p < q y r < 0, entonces pr > qr.
v. Si p < 0 y q > 0, entonces pq < 0.
vi. Si p < 0, q < 0, entonces pq > 0.
vii. Si p ≠ 0, entonces p^2 > 0.
viii. Si p > 0, entonces p^–1 > 0.
ix. Si p < 0, entonces p^–1 < 0.
x. Si 0 < p < q, entonces 0 < q^–1 < p^–1.
xi. Si p < q, entonces
       p < ^1⁄_2 (p + q) < q.

Propiedades de los números reales y medidas de tendencia central y dispersión

Redes sociales y educación

En la actualidad, compartir un video, colocar un like en una fotografía o agregar comentarios son opciones que podemos encontrar en las redes sociales, una realidad que hoy se vive activamente en nuestro país.

¿Sabías que, hasta el año 2014, el 39,6 % de las personas poseían alguna red social como Facebook, Twitter o YouTube? De este porcentaje, el 47,4 % se ubicó en el sector urbano y el 22,1 % en el sector rural. Pichincha es la provincia con mayor acceso a redes sociales en Ecuador, con el 49,7 %, seguida de Azuay, con el 43,4 %, y El Oro, con el 43,0 %. Otras provincias con altos porcentajes de incursión en las redes sociales son Guayas, con el 42,7 %, y Pastaza, con el 40,1 %. Las redes son usadas de variadas formas, desde diversión hasta generación de empleos. Por este motivo, uno de los objetivos gubernamentales es impulsar los procesos productivos y de desarrollo personal y profesional mediante el uso de las redes sociales.

Adaptado de "¿Sabes qué provincias del país tienen acceso a redes sociales?".

http://www.telecomunicaciones.gob.ec/2015/05/page/3/

Bloques curriculares
Álgebra y funciones
Estadística y probabilidad

 Objetivos

- O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, tomar decisiones con responsabilidad social y ahorrar esfuerzos y recursos.
- O.G.M.3. Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.

Observa y contesta

- ¿Qué hacen los jóvenes de la imagen?
- ¿Qué porcentaje de tus compañeros y compañeras de aula utiliza redes sociales?
- ¿Cómo obtuviste este dato?

Números reales. Estructura algebraica y orden

DCCD: M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas.

● Números reales. Estructura algebraica y orden

Saberes previos

¿Cómo está conformado el conjunto de los números reales?

Desequilibrio cognitivo

¿Con cuántas cifras decimales puedes escribir el número π?

Buen vivir

Matemática y calidad de vida de los pueblos

Las soluciones de problemas matemáticos de la vida real han servido y sirven, en forma directa o indirecta, para mejorar las condiciones de vida de los pueblos. Una parte de esta se refleja en maquinaria, equipos, instrumentos, productos, tecnología, y otra parte se muestra en la organización, planificación y ejecución de obras y proyectos de desarrollo comunitario.

▲ Brazo robótico para embalaje.

Introducción

En el diagrama que sigue se muestran cuatro pilares con los que se edifica la matemática y que actúan en forma cooperativa e inseparable.

En el esquema se observa que el sistema de los números reales interviene e interactúa con los otros componentes. Por tanto, esta estructura es una de las más importantes en matemática y es la que nos proponemos estudiar en esta unidad. Es preciso señalar que, en décimo año de básica, ya se inició el estudio de las propiedades algebraicas y del orden de los números reales. En esta unidad, entonces, revisaremos algunos temas ya tratados en el ámbito de los números enteros y racionales, además de profundizar en su estudio.

Para comenzar, es importante establecer algunas nociones básicas. El signo ℝ designa al conjunto de los números reales; sus elementos se llaman números reales. Este conjunto es mucho más grande que el conjunto de los números enteros y que el conjunto de los números racionales. De esta forma, tenemos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Ahora bien, con relación a nuestro estudio, y tal como en los conjuntos de los números enteros ℤ y de los números racionales ℚ se definieron las dos operaciones de adición "+" y de producto "×" y se estudiaron algunas propiedades algebraicas importantes, en el conjunto de los números reales ℝ se definirán las operaciones de adición "+" y de producto "×" con las que se obtendrá una estructura algebraica de cuerpo (llamada también de campo). Por otra parte, así como en el conjunto de los números enteros ℤ y de los números racionales ℚ se definieron las relaciones de orden de "menor que <", "mayor que >", "menor o igual que ≤" y "mayor o igual que ≥", en el conjunto de los números reales ℝ se procederá de forma similar. A esta estructura resultante se la denominará cuerpo ordenado de los números reales. Entonces, en este apartado, nos proponemos estudiar propiedades básicas de esta estructura, para que podamos realizar cálculos en una variedad inconmensurable de situaciones, como, por ejemplo, construir otras estructuras algebraicas que serán tratadas más adelante.

Para indicar que x es un número real, escribimos x ∈ ℝ, y para expresar su negación, empleamos x ∉ ℝ, que se lee "x no es un número real".

Sean x, y ∈ ℝ, para indicar la igualdad de x y de y se escribe x = y, y su negación x ≠ y.

Buen vivir

Matemática y desarrollo de un país

El aporte de la matemática en el desarrollo de un país es múltiple, pues esta ciencia proporciona soluciones matemáticas a problemas en la industria y en las empresas públicas o privadas, como, por ejemplo, en la optimización de procesos o en la resolución de problemas técnicos. Esto contribuye al desarrollo del país con autonomía e independencia científica.

Interdisciplinariedad

Matemática y otras ciencias

La matemática, junto con la física, la química o la biología (llamadas ciencias básicas) contribuyen al desarrollo científico de las otras ciencias. Esto implica un desarrollo de la humanidad, lo que, a su vez, redunda en la organización, planificación y producción de bienes como maquinaria, equipos, instrumentos, productos y tecnología que simplifican nuestras tareas y nos ahorran esfuerzos.

▲ Robot para operaciones
controladas por el cirujano.

Ejemplo

Sean A, B, C, D los vértices de un rectángulo, tal que los lados AB y CD son paralelos. De manera similar, los lados BC y AD son paralelos, como se muestra en la Figura 1.1.

▲ Figura 1.1.

Supongamos que el ángulo en el vértice A es recto, entonces la recta AB es perpendicular a la recta AD y la recta  AB es también perpendicular a la recta BC, con lo que el ángulo en el vértice B es recto. Suponemos que la medida de la base  BC es x, y que la medida de la altura AB es y. El perímetro de esta región rectangular R es la suma de las medidas de sus lados, operación que se escribe p(R) = 2(x + y). El área del rectángulo se obtiene multiplicando las longitudes de la base y de su altura, procedimiento que se representa como a(R) = xy. Si en esta región rectangular trazamos la diagonal AC, cuya medida se nota h, obtenemos dos triángulos rectángulos congruentes. Por el teorema de Pitágoras, tenemos h^2 = x^2 + y^2, o bien

 .

En este ejemplo sencillo, los datos x, y representan números reales con los que podemos realizar cálculos para obtener el perímetro y el área de una superficie o calcular raíces cuadradas, que, a su vez, son también números reales.

Ejemplo.

Una fórmula muy útil en el cálculo del flujo del agua que se infiltra en el suelo (medio poroso) es la denominada ley de Darcy, que se escribe de la siguiente manera:

\( q=k \frac{p_2-p_1}{h_2-h_1} , h_2 \neq h_1 \cdot \)

Así, en este enunciado, p_1 y p_2 representan las presiones en las alturas h_1 y h_2, donde k > 0 se llama constante de permeabilidad hidráulica del suelo. En esta fórmula observamos que se deben realizar dos restas, una división y una multiplicación de números reales. Este es otro ejemplo en el que se deben realizar cálculos con números reales.

Ejemplo.

La velocidad específica v_e de una turbina está definida como:

\( v_e= \frac{w_op ^\frac{1}{2} }{h ^\frac{5}{4} } \)

En este ejemplo, w_0 es la velocidad angular de operación de la turbina (medida en revoluciones por minuto r. p. m.), p es la potencia de salida de la turbina (medida en kilovatios kw) y h es la altura de la cabeza (medida en metros m).

Para el cálculo de v_e , debemos calcular dos potencias con exponentes racionales, y realizar una multiplicación y una división de números reales . El resultado es un número real.

Conexiones con las TIC

Por las limitaciones de las calculadoras de bolsillo, los datos mostrados se presentan hasta con 9 cifras (a veces 10 o 12 cifras) después del punto decimal.

Sin embargo, mediante el uso de programas específcos (Matlab, Matemática, etc.) se pueden obtener aproximaciones con un número grande de cifras decimales. Así, por ejemplo, √2 se aproxima con 32 cifras después del punto decimal.

√2 ≅ 1,414 213 562 373 095 048 8.

De la misma manera, al utilizar este tipo de programas especializados, podemos obtener valores aproximados de π con 32 cifras, como se muestra a continuación:

π = 3,415 926 535 897 9
32 384 626 433 832 795 0.

Ejercicio resuelto

¿Cómo se comprende el número real √2 + π?

- Una aproximación de √2 es 1,414 21 y una de π es 3,141 59.
Luego, √2 + π se aproxima como la suma de 1,414 21 + 3,141 59 = 4,555 8.
- Otra aproximación de √2 es 1,414 213 56 y la de π es 3,141 592 65.
Luego, √2 + π  se aproxima como la suma de 1,414 213 56 + 3,141 592 65 = 4,555 806 21.
Así, √2 + π  se interpreta como el único resultado de todas las aproximaciones r_m + s_m ∈ ℚ de √2 + π, siendo
r_m una de tales aproximaciones de √2, al igual que
s_m es una aproximación de π.

Operaciones y propiedades en ℝ

En el conjunto de los números reales ℝ se introducen dos operaciones: adición "+", y producto "•", que se definen a continuación.

Adición: es la función denotada "+" y definida como:

Nota que de la definición de la operación adición, se tienex, y ∈ ℝ ⇒ x + y ∈ ℝ. En este caso se dice que la suma de números reales es cerrada o conocida como propiedad clausurativa.

Producto: es la función denotada "•" y definida como:

De la definición de la operación producto, tenemos x, y ∈ ℝ ⇒ x • y ∈ ℝ. Entonces, se dice que la multiplicación de números reales es cerrada.

Recuerda la definición

i. Se define la resta de números reales x – y, que se lee x menos y, como x – y = x + (–y).

ii. Si y ≠ 0, se define la división de números reales (que se lee x dividido para y) como se indica:

El conjunto ℝ con las dos operaciones de adición y producto tiene una estructura algebraica de cuerpo, es decir que (ℝ; +) es grupo conmutativo, (ℝ \ {0}, x) es grupo conmutativo y se satisface la propiedad distributiva.

Teorema

i. El elemento neutro "0" para la adición es único.

ii. El opuesto aditivo de x ∈ ℝ es único.

iii. El elemento unidad "1" para el producto es único.

iv. El opuesto multiplicativo de x ∈ ℝ con x ≠ 0 es único.

Propiedades de las operaciones de números reales ℝ

Adición

1. Conmutativa: para todo x, y ∈ ℝ, x + y = y + x.
2. Asociativa: para todo x, y, z ∈ ℝ, x + (y + z) = (x + y) + z.
3. Existencia de elemento neutro: existe 0 ∈ ℝ, tal que para todo x ∈ ℝ, x + 0 = 0 + x = x.
4. Existencia de opuestos aditivos: para cada x ∈ ℝ, existe –x ∈ ℝ, tal que x + (–x) = –x + x = 0.

Las propiedades, de la 1 a la 4, dan la estructura algebraica que lo denominamos grupo conmutativo de la adición de números reales, que se escribe (ℝ, +).

Producto

1. Conmutativa: para todo x, y ∈ ℝ, xy = yx.
2. Asociativa: para todo x, y, z ∈ ℝ, x (y z) = (x y) z.
3. Existencia de elemento unidad: existe 1 ∈ ℝ, tal que para todo x ∈ ℝ, x · 1 = 1 · x = x.
4. Existencia de opuestos multiplicativos: para cada x ∈ ℝ con x ≠ 0, existe x^–1 = ^1⁄_x ∈ ℝ, tal que x · x^–1 = x^–1 · x = 1.

Sean a, b ∈ ℝ. Cuando dé lugar a confusión, se utilizará la notación a × b, caso contrario se escribirá ab o también a.b.

Las propiedades, de la 1 a la 4, descritas para el producto de números reales, dan la estructura algebraica del grupo conmutativo. Escribimos (ℝ\{0}, x) y lo denominamos grupo conmutativo del producto de números reales.

Las operaciones de adición y producto están relacionadas con la propiedad distributiva: para todo x, y, z ∈ ℝ; x(y + z) = xy + xz.

Propiedades algebraicas de los números reales

Ley cancelativa

Sean x, y, z ∈ ℝ. Entonces,

i. x + y = x + z , ⇔ y = z.

ii. Si x ≠ 0; xy = xz ⇔ y = z.
Sean x, y ∈ ℝ. Se verifican las igualdades.

i. x (–y) = (–x) y = –xy.

ii. (–x) (–y) = xy.

Las propiedades i y ii se conocen como leyes de los signos.
Sean x, y ∈ ℝ. Entonces, xy = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0. | Sean a, b, c, d ∈ ℝ. Se verifican: i. a (b – c) = ab – ac. ii. –(a + b) = –a – b.

Simbología matemática

∈: pertenece a

ℝ: conjunto de números reales

ℝ \ {0}: conjunto de números reales menos el cero.

Productos notables y factorización

Ejercicio resuelto

1. Consideremos tres números reales positivos a, b y c, tales que a y c son los lados del rectángulo R_1, y b y c son los lados del rectángulo R_2, como se ilustra en la Figura 1.2.

▲ Figura 1.2.

Da lugar a la región R, la unión de R_1 y R_2, que notamos R = R_1 ∪ R_2 (ver Figura 1.2).

El área de R_1 es ac y de R_2 es bc.
El área de estos tres rectángulos es:
a(R) = ac + bc = c(a + b).

Si a = 3,5 m; b = 4 m; y c = 2 m,
calcula el área de cada rectángulo y verifica que ac + bc = c(a + b).

a(R_1) = 3,5 × 2 = 7 m,
a(R_2) = 4 × 2 = 8 m,
a(R) = 7 + 8 = 15 m,
a(R) = 2(3,5 + 4) = 2(7,5) = 15 m.

▲ Figura 1.3.

(x + y)(u + v) = xu + xv + yu + yv

▲  Figura 1.4.

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

▲ Figura 1.5.

a^2 – b^2 = (a – b)^ (a + b)

▲ Figura 1.6.

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Ejercicio resuelto

1. Consideremos cuatro números reales positivos, u, v, x, y, tales que x + y y u + v son los lados del rectángulo R, que se descomponen en las cuatro subregiones rectangulares de la Figura 1.3.
El área de esta región es:
a(R) = (x + y)(u + v) = xu + xv + yu + yv.

Utiliza este resultado para calcular mentalmente:
1,8 × 2,7 + 1,8 × 1,3 + 3,2 × 2,7 + 3,2 × 1,3 =
1,8(2,7 + 1,3) + 3,2(2,7 + 1,3) =
1,8 × 4 + 3,2 × 4 = 4(1,8 + 3,2) = 4 × 5 = 20.

Ejercicio resuelto

1. Sean x, y dos números reales positivos, tal que x + y es la longitud de un lado del cuadrado de la figura 1.4, que se descomponen en las cuatro subregiones: dos cuadradas y dos rectangulares.
El área del cuadrado es la suma de cada una de las áreas de las regiones rectangulares y cuadradas.
a(C) = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.

Utiliza este resultado para calcular mentalmente.
(4,1) ^2 + 2 × 4,1 × 1,9 + (1,9)^2 = (4,1 + 1,9)^2 = (6)^2 = 36.

Si ponemos a = x + y, entonces y = a – x, luego:
a(R_2) = (a – x)^2 = a^2 – 2ax + x^2.

De manera similar x = a – y, entonces:
a(R_3) = (a – y)^2 = a^2 – 2ay + y^2.

Ejercicio

1. Sean a, b dos números reales positivos, tal que b ≤ a, considera el rectángulo de lados a y a + b, así como la descomposición que se ilustra en el la Figura 1.5.

Utiliza áreas de rectángulos para comprobar que

a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).

Formen grupos de tres compañeras y compañeros y cada grupo responda la siguiente pregunta: ¿cuántos rectángulos hay en la figura?
La respuesta es 9 rectángulos.

Ejercicio

1. Sean a, b dos números reales no negativos y un cubo de lado a + b, como el que se ilustra en la Figura 1.6.

Formen grupos de tres compañeras y compañeros. Luego, cada grupo debe descomponer este cubo en 8 paralelepípedos rectangulares. Elaboren una lista de todos estos paralelepípedos rectangulares con sus respectivos volúmenes. Discutan los resultados obtenidos.

Interdisciplinariedad

Matemática e ingeniería

Los productos notables son muy utilizados en ingeniería. Por ejemplo, para calcular la intensidad en circuitos eléctricos, para calcular la torsión en estructuras o para calcular el número de individuos en un algoritmo genético.

▲ Medición de una placa de circuito eléctrico.

Utilicen esos volúmenes para comprobar que:
( a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Con los siguientes valores, a = 1,4 cm; b = 2,6 cm, calculen los volúmenes de cada uno de los paralelepípedos rectangulares y verifiquen que su suma sea 64 cm^3.

En la práctica se presentan algunos productos de números reales a los que se los desarrolla con la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales. Así, cuando se escribe el lado derecho, como el producto del lado izquierdo, decimos que se ha factorado y cuando realizamos el producto y obtenemos el lado derecho decimos que hemos aplicado la propiedad distributiva. A esos productos, de manera particular, se los conoce como productos notables.

Teorema. Para todo a, b, x ∈ ℝ, se verifican las propiedades siguientes:

i. (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab.
ii. (x – a) (x – b) = x^2 – (a + b) x + ab.
iii. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
iv. (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.
v. (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3.
vi. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Demostración. Sean a, b, x ∈ ℝ, probaremos la propiedad (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab.

Por las propiedades distributiva, conmutativa de la adición y producto, se tiene:

(x + a)(x + b) = x(x + b)+a(x + b) = x^2 + xb + xa + ab.
= x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a + b)x + ab.

Nótese que ax + bx = (a + b)x.

Conclusión: (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab.

Teorema. Para todo a, b ∈ ℝ, se verifican las propiedades siguientes:

i. (a – b) (a + b) = a^2 – b^2.
ii. a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2).
iii. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2).
iv. a^4 – b^4 = (a – b) (a + b)(a^2 + b^2) = (a^2 – b^2) (a^2 + b^2).
v. a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 – ab + b^2)(a^2 + ab + b^2).

Demostración. Sean a, b ∈ ℝ, probaremos la propiedad iv.

En primer lugar, por la parte i, tenemos (a – b)(a + b) = a^2 – b^2.

Luego, por la misma propiedad, se tiene que (a^2 – b^2)(a^2 + b^2) = a^4 – b^4, o también que (a – b)(a + b)(a^2 + b^2) = a^4 – b^4.

El resto de propiedades se propone como ejercicio.

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método gráfico

DCCD: M.5.1.5. Identificar la intersección gráfica de dos rectas como solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. M.5.1.6. Resolver analíticamente sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando diferentes métodos (igualación, sustitución, eliminación).

● Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método gráfico

Saberes previos

¿Qué entiendes por sistema de ecuaciones?

Desequilibrio cognitivo

¿Crees que un sistema de ecuaciones lineales siempre tiene solución? ¿Por qué?

Recuerda que...

Resolver en el conjunto ℝ^2 el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes y términos independientes en ℝ significa hallar, si existen, dos números reales x, y que satisfacen las dos ecuaciones del sistema propuesto. Denotamos con S al conjunto solución. Esto es:

^

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de ecuaciones siguientes:

, donde x, y ∈ ℝ denotan las incógnitas,

a_1, a_2, b_1, b_2 ∈ ℝ se denominan coeficientes y c_1, c_2 ∈ ℝ son llamados términos independientes.

En el diagrama siguiente, se resumen las tres clases de sistemas de ecuaciones lineales:

Al resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico, podemos obtener lo siguiente:

Denotamos con L_1 = ,

L_2 = , que geométricamente representan rectas en el plano.

Solución única | Infinitas soluciones | Ninguna solución
Las rectas L_1, L_2 se cortan en un único punto (x_1, y_1), es la solución del sistema de ecuaciones lineales. | Las rectas L_1, L_2 son coincidentes, es decir, L_1 = L_2 . El sistema de ecuaciones lineales se reduce a una sola ecuación a_1x + b_1y = c_1, la cual tiene infinitas soluciones. | Las rectas L_1, L_2 son paralelas. Se escribe L_1 || L_2 , en cuyo caso el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

^Fuente: archivo editorial, 2017

Interdisciplinariedad

Matemática y química

Una de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se da en el balanceo de reacciones químicas, el cual consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción, cuidando siempre  de que el número de átomos de cada sustancia se preserve.

▲ Experimento de vapor a líquido en laboratorio.

Ejercicio resuelto

Halla la solución en ℝ​^2 del sistema de ecuaciones por el método gráfico.

Graficamos las rectas L_1: 5x – 4y = 32; L_2: 7x = 28.

▲ Figura 1.7.

Las rectas L_1 y L_2 se cortan en un solo punto. La solución es:

S = {(4, –3)}.

Para la resolución de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, emplearemos los siguientes métodos: resolución por sustitución, resolución por igualación y resolución por eliminación.

Conexiones con las TIC

Para ampliar más sobre el tema de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones de dos incógnitas, puedes ingresar al siguiente enlace y mirar el video.

www.mayedu.ec/matbu1/p31

Recuerda que...

El procedimiento seguido para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución consiste en que de una ecuación se obtuvo una incógnita y esta se reemplazó en la segunda ecuación, lo que da como resultado una ecuación con una sola incógnita. Se resuelve la ecuación resultante, la solución se reemplaza en la primera ecuación y se calcula la segunda incógnita.

Teorema

El sistema de ecuaciones lineales definido por

admite una única solución

(x_0 , y_0) ∈ ℝ^2

si y solo si los coeficientes del sistema de ecuaciones satisface la condición a_1b_2 – a_2b_1 ≠ 0.

Método de resolución por sustitución

Ejercicio resuelto

Consideremos el sistema de ecuaciones definido por (x, y) ∈ ℝ^2, tal que:

Resolvamos el ejercicio por el método de sustitución. De la primera ecuación, elegimos la incógnita x y despejamos; obtenemos:

Reemplazamos x en la segunda ecuación; obtenemos:

Esta última es una ecuación de primer grado con una incógnita (la incógnita y). Resolvamos esta última. Por la propiedad distributiva, se obtiene:

Por la propiedad distributiva y cancelativa, se deduce que

Reemplazamos el valor de _ en la igualdad Obtenemos

El conjunto solución es

Si reemplazamos en el sistema de ecuaciones, tenemos:

Es decir, la primera ecuación se verifica. Comprobaremos con la segunda:

Así, hemos verificado que _ son las soluciones del sistema de ecuaciones lineales. Este ejemplo es de un sistema de ecuaciones lineales consistente.

Conexiones con las TIC

Para ampliar el tema
de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas, puedes ingresar al siguiente enlace y mirar el video.

www.mayedu.ec/matbu1/p32

Método de eliminación

Uno de los métodos más utilizados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es el denominado método de eliminación gaussiana que se describe a continuación.

Sean a_1, b_1, c_1, b_2, c_2 ∈ ℝ con a_1 ≠ 0, b_2 ≠ 0. Los sistemas de ecuaciones lineales de la forma:

, donde x, y denotan las incógnitas

son los más simples de resolver. Estos se llaman sistemas de ecuaciones triangulares superiores. Para obtener su solución, de la segunda ecuación se obtiene que se reemplaza en la primera, resulta

Nótese que para resolver este sistema de ecuaciones lineales, se han realizado cuatro operaciones elementales (una multiplicación, una resta, dos divisiones). Consideramos ahora un sistema de ecuaciones lineales escrito en la forma habitual , donde a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 ∈ ℝ son los datos y suponemos no todos nulos, x, y designan las incógnitas.

Recuerda que...

El fundamento del método de eliminación gaussiana es transformar un sistema de ecuaciones lineales a uno triangular superior. Para el efecto, asumimos que a_1 ≠ 0.

Se define , se multiplica cada término de la primera ecuación por k y se suma término a término con la segunda. Entonces obtenemos:

que es un sistema de ecuaciones lineales triangular superior. Nota que,

– a_2 + a_2 = 0. Por esta razón, el término en x no aparece en la segunda ecuación. Este sistema triangular superior se resuelve del modo antes explicado.

Cuenta todas las operaciones que realizas sin incluir el cálculo precedente. El número total de operaciones elementales para obtener la solución es 9.

En el caso en que a_1 = 0, escribimos el sistema de ecuaciones en la forma

que es un sistema de ecuaciones triangular superior.

Recuerda que una gráfica es solo una ayuda visual, con
una gráfica no se prueba
o demuestra nada.

Ejercicio resuelto

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales en el que x, y son incógnitas. Para hallar la solución de este sistema de ecuaciones lineales, aplicamos el método de eliminación gaussiana. Ponemos Multiplicamos a cada uno de los términos de la primera ecuación por k y sumamos término a término con la segunda.

Resulta el sistema de ecuaciones triangular superior cuya solución es y con este se obtiene x:

Así, la solución del sistema de ecuaciones lineales es

Ejercicio resuelto de un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales

De la primera ecuación obtenemos

Reemplacemos en la segunda ecuación. Obtenemos lo siguiente:

De esta última ecuación obtenemos –24 = –24, lo que es obvio, pero ¿qué interpretación tiene esta igualdad? Notemos que si la primera ecuación se divide por 2 y la segunda por 3, se obtiene el sistema siguiente

Es decir que se reduce a la sola ecuación x – 2y = –4. De esta ecuación, obtenemos x = 2y – 4. Para obtener diferentes soluciones x, y ∈ ℝ, asignamos un valor a y, y calculamos x. Así, y = –1, y obtenemos x = 2 × (–1) – 4 = –6. Para y = 3, se tiene x = 2 × 3 – 4 = 2; así sucesivamente.

Ejercicio resuelto de un sistema de ecuaciones que no tiene solución

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales

donde x, y ∈ ℝ son las incógnitas. Resolvamos este sistema de ecuaciones. De la primera ecuación se tiene x = 2y. Reemplazando en la segunda ecuación, obtenemos: 3 × 2y – 6y = 2. Luego, 0 = 2, lo que es un absurdo. El sistema de ecuaciones no tiene solución.

Orden en el conjunto de los números reales

DCCD: M.5.1.7. Aplicar las propiedades de orden de los números reales para realizar operaciones con intervalos (unión, intersección, diferencia y complemento), de manera gráfica (en la recta numérica) y de manera analítica.

● Orden en el conjunto de los números reales

Saberes previos

En el contexto general, ¿qué significa la palabra orden? Y en el contexto de los números reales, ¿qué significa?

Desequilibrio cognitivo

Cuando tienes expresiones como a ≥ b ≥ c, ¿cómo las interpretas? Comparte tu respuesta con la clase.

Simbología matemática

ℤ^+: enteros positivos

ℚ^+: racionales positivos

ℝ^+: reales positivos

ℤ^+ ⊂ ℚ^+ ⊂ ℝ^+

De acuerdo con las definiciones sobre las relaciones de orden "menor que" y "mayor que", establecidas en los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales, podemos definir estas relaciones en el conjunto de los números reales ℝ como se indica a continuación.

Definición. Sean x, y ∈ ℝ.

i. Diremos que "x es menor que y", que se escribe "x < y", si y solo si y – x ∈ ℝ^+.

ii. Diremos que "x es mayor que y", que se escribe "x > y", si y solo si y < x; o sea, x – y ∈ ℝ​^+.

Ejercicio resuelto

Si x = 1 + √2, y = √3 – 1, entonces x > 0, y > 0 y, en consecuencia, x + y = 1 + √2 + √3 – 1 = √2 + √3 > 0.

Asimismo, xy = (1 + √2) (√3 – 1) >0.

Teorema. Sean x, y, z ∈ ℝ.

i. Si x < y, y < z entonces x < z.

ii. x < y, si y solo si x + z < y + z.

Recuerda que...

x > 0, y > 0, entonces

x + y > 0;

x > 0, y > 0, entonces xy > 0;

x < 0, y < 0, entonces x + y < 0.

Sean x, y ∈ ℝ. El par de desigualdades x < y y y < z da lugar a la desigualdad compuesta x < y < z, que se lee "y es mayor que x y menor que z". Igualmente, la desigualdad compuesta x > y > z se lee "y es mayor que z y menor que x", que corresponde a las dos desigualdades x > y y y > z.

Practica y escribe un ejemplo.

Teorema

Sean a, b ∈ ℝ.

i. a > 0 ⇔ a^–1 > 0.

ii. a < 0 ⇔ a^–1 < 0.

iii . 0 < a < b ⇔ 0 < b^–1 < a^–1.

Ejercicio resuelto

Sea x ∈​ ℝ. Se tiene x < x + 1 y x + 1 < x + 2, entonces, x < x + 2.

Teorema. Sean a, b, c ∈​ ℝ. Se verifican las siguientes propiedades:

i. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

ii. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

iii. Si a < 0 y b > 0, entonces ab < 0.

iv. Si a < 0 y b < 0, entonces ab > 0.

v. Si a ≠ 0, entonces a^2 > 0.

Ejercicio resuelto

Sea x ∈​ ℝ. Entonces, x – 3 < x, y como –2 < 0, entonces, –2 (x – 3) > –2x, de donde 6 – 2x > –2x.

Intervalos

Los intervalos son conjuntos (subconjuntos de ℝ), por lo tanto, podemos realizar las operaciones de unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica.

Intervalos acotados

Definición. Sean a, b ∈​ ℝ con a <b.

i. | Se lo llama intervalo cerrado de extremos a y b al subconjunto de ℝ, designado con [a, b] y definido como:
 | [a, b] = {x ∈​ ℝ|a ≤ x ≤ b} |
ii. | Se lo llama intervalo abierto de origen a y de extremo b o simplemente de extremos a y b, al subconjunto de ℝ que se denota ]a; b[ y se define como:
 | ]a; b[ = {x ∈​ ℝ|a < x < b}. |
iii. | Se lo llama intervalo semiabierto a la derecha, de extremos a y b, al subconjunto de ℝ que se denota [a; b[ y se define como:
 | [a; b[ = {x ∈​ ℝ|a ≤ x < b}. |
iv. | Se lo llama intervalo semiabierto a la izquierda, de extremos a, b, al subconjunto ]a, b] de ℝ, definido como:
 | ]a; b] = {x ∈​ ℝ|a < x ≤ b}. |

Recuerda que...

Operaciones de conjuntos

Unión AUB
Se lo denomina AUB al subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen al conjunto A o B.

AUB = {x ∈  E|x ∈ A ∨ x ∈ B}.
v conectivo lógico disyunción

Intersección A∩B
Se lo denomina A∩B al subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen al conjunto A y a B.

A∩B = {x ∈ E|x ∈ A ^ x ∈ B}.
^ conectivo lógico conjunción

Diferencia A\B
La diferencia de A y B se denota A\B. Es el subconjunto de E, constituido por los elementos que pertenecen a A pero no a B.

A\B = {x ∈ E|x ∈ A ^ x ∉ B}.

Complementario A^c
El complemento de A, que se denota A^c, es el subconjunto de E, constituido por los elementos de E que no pertenecen a A.

A^c = {x ∈ E|x ∉ A} = E⧵A.

Diferencia simétrica A Δ B
La diferencia simétrica de A y B, que se nota A ∆ B, es el conjunto (A\B) ∪ (B\A).

A ∆ B = (A\B) ∪ (B\A).

Practica
Escribe en tu cuaderno un ejemplo de cada operación.

Intervalos infinitos

Definición. Sean a, b ∈​ ℝ.

i. | El conjunto {x ∈​ ℝ|x < a} = {x ∈​ ℝ|a > x} se llama intervalo infinito abierto a derecha, y se denota con ]–∞, a[ ; esto es,
 | ]–∞, a[ = {x ∈​ ℝ|x < a} = {x ∈​ ℝ|a > x}. |
ii. | El conjunto {x ∈​ ℝ|x ≤ a} = {x ∈​ ℝ|a ≥ x} se llama intervalo infinito cerrado a la derecha, y se denota ]–∞, a]. Así:
 | ]–∞, a] = {x ∈​ ℝ|x ≤ a} = {x ∈​ ℝ|a ≥ x}. |
iii. | Se lo llama intervalo infinito abierto a la izquierda al conjunto {x ∈​ ℝ|x > b} = {x ∈​ ℝ|b < x}, y se denota ]b, ∞[ ; esto es,
 | ]b, ∞[ = {x ∈​ ℝ|x ≥ b} = {x ∈​ ℝ|b ≤ x} |
iv. | Se lo llama intervalo cerrado a la izquierda al conjunto {x ∈​ ℝ|x ≥ b} = {x ∈​ ℝ|b ≤ x}, y se lo denota [b, ∞[ ; es decir,
 | [b, ∞[ = {x ∈​ ℝ|x ≥ b} = {x ∈​ ℝ|b ≤ x} |

Operaciones con intervalos

Las operaciones conjuntistas de unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica las haremos mediante ejemplos.

Sean I = ]–3, 4], J = [–1, 5]. Entonces

I ∪ J = {x ∈ ℝ|x ∈ I ∨ x ∈ J} = ]–3, 4] ∪ [–1, 5] = ]–3, 5].

En la figura se han representado los conjuntos I y J.

Determinamos a continuación los conjuntos I ∩ J, I \ J, J \ I, I Δ  J.

I ∩ J = {x ∈ ℝ|x ∈ I ^ x ∈ J} = ]–3, 4] ∩ [–1, 5] = [–1, 4],

I \ J = {x ∈ ℝ|x ∈ I ^ x ∉ J} = ]–3, 4] \ [–1, 5] = ]–3, –1[,

J \ I = {x ∈ ℝ|x ∈ J ^ x ∉ I} = [–1, 5] \ ]–3, 4] = ]4, 5],

I Δ J = (I \ J) ∪ (J \ I) = ]–3, –1[∪]4, 5].

La raíz cuadrada

DCCD: M.5.1.3. Transformar raíces n-ésimas de un número real en potencias con exponentes racionales para simplificar expresiones numéricas y algebraicas.

● La raíz cuadrada

Saberes previos

¿Qué tipo de raíces representan las expresiones: ?

Desequilibrio cognitivo

La igualdad

¿tiene sentido en el conjunto de los números reales?

Definición. Sea a ∈ ℝ con a ≥ 0. La raíz cuadrada de a se denota con √a , que se lee "raíz cuadrada de a", y es un número real no negativo b, tal que Este número es único.

Ejercicios resueltos

i. Si x = 9, entonces b = √9 = 3, se verifica que b^2 = 3^2 = 9 = x.

ii. Si x = 0,0625, entonces se verifica que a^2 = (0,25)^2 = 0,0625 = x.

iii. Si x = 1, entonces se verifica que a^2 = 1^2 = 1 = x.

iv. Sean Entonces es la raíz cuadrada de a, pues

Escribiremos Así, si resulta pues

Recuerda que...

Propiedades

Teorema

Sean a ≥ 0 , b ≥ 0 .

Entonces:

i:

ii: Si b > 0.

iii: Si a > 0.

iv: Si 0 < a < b, entonces √a < √b .

A continuación se demuestra el teorema i enunciado en el recuadro.

Demostración. Sean a ≥ 0, b ≥ 0, x = √a, y = √b . Entonces, x^2 = a, y^2 = b.

i. Entonces, z^2 = ab = x^2y^2 = (xy)^2. Por otro lado, xy = √a√b.

    Luego, (xy)^2 = (√a√b)^2 = (√a)^2(√b)^2 = ab = z^2.

Así, z = √a √b es tal que z^2 = ab, y como z = √ab , se sigue que √ab = √a √b .

Observación

Sean a, b ∈ ℝ. Si a < 0, b < 0, entonces ab > 0 y, en consecuencia, √ab está bien definida. Por otro lado, √a, √b no están definidas en el conjunto ℝ. En este caso, la igualdad √ab = √a √b es absurda.

Ejercicios resueltos

1. Si a = –9, b = –25, entonces ab = (–9)(–25) = 225 y √225 = 15, pero √–9 y √–25 no están definidas en el conjunto ℝ. La igualdad √(–9) × (–25) = √–9 √–25 es absurda; pues no tiene sentido.
2. Si a < 0, b < 0, entonces Por lo tanto, está bien definida.
La igualdad es absurda, ya que √a y √b no están definidas en ℝ.

Recuerda que...

* La idea principal del término racionalización es la de expresar el número real de modo que en el denominador no figuren raíces cuadradas de números reales.

* Sean a, b, c ∈ ℝ con b > 0,

a ≠ 0, c ≠ a√b y a √b + c ≠ 0.

Al número real a√b – c se lo llama conjugado de a√b + c y viceversa.

Practica

Escribe el conjugadado de

3 √2 – 5.

Ejercicios resueltos

1. Sean x = (2 – √3)(3 – √3) –4 √3. Simplifica la escritura de x. Aplicando la propiedad distributiva, se tiene:

x = (2 –√3) (3 –√3) – 4√3= 6 – 2√3 – 3√3+ (√3)^2 – 4√3
= 6 – 5√3 + 3 – 4√3 = 9 – 9√3 = 9(1 –√3).
2. Calcula:
Aplicando la propiedad para x, y, u, v ∈ ℝ con y ≠ 0, v ≠ 0, resulta
3. Sea y = 2√20 + 3√5 –2√45. Simplifica la escritura de y. Puesto que
√20 = √4 × 5 = √4 √5 = 2√5, y,
√45 = √9 × 5 = = √9 √5 = 3√5,
entonces y = 2√20 + 3√5 – 2 √45 = 2(2√5) + 3√5 – 2(3√5) = 4√5 + 3√5 – 6√5 = √5.
4. Sea Expresa z de modo que el denominador no contenga raíces cuadradas. El número real 2√2 + 3 se denomina conjugado de 2√2 – 3. Se tiene
(2√2 + 3)(2√2– 3) = (2√2)^2 – (3)^2 = 4(√2)^2 – 9 = 8 – 9 – = –1.
Entonces,

Ecuaciones e inecuaciones de primer grado con valor absoluto

DCCD: M.5.1.8. Aplicar las propiedades de orden de los números reales para resolver ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita y con valor absoluto.

● Ecuaciones e inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Saberes previos

En la vida cotidiana, ¿qué entiendes por intervalo?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué signo adquiere el valor absoluto de un número negativo? ¿Por qué?

Definición. Sea a ∈ ℝ. El valor absoluto de a se designa con |a| y se define como:

Ejercicios resueltos

1. Si a = 3 > 0; entonces |3| = 3.

2. Si a = –3 < 0; entonces |–3| = –(–3) = 3.

3. Si

4. Si a = 0; entonces |0| = 0.

Simbología matemática

|x| valor absoluto

≥ mayor o igual que

≤ menor o igual que

≠ no es igual

⇔ si solamente si

∈ pertenece a

Recuerda que...

Para comprender mejor la resolución de las ecuaciones e inecuaciones, es preciso refrescar las propiedades de orden de los números reales, los intervalos y las propiedades del valor absoluto.

Practica

Escribe una propiedad de orden de los números reales.

Propiedades del valor absoluto

Teorema. Sean a, b ∈ ℝ. Se verifican las siguientes propiedades:

i. |a| ≥ 0.

ii.

iii. |ab| = |a| |b|.

iv. Si

v. a ≤ |a|, y, –a ≤ |a|.

vi. |a + b| ≤ |a| + |b|. (desigualdad triangular)

vii. √a^2 = |a|.

En muchos cálculos, aparece el valor absoluto de productos o cocientes de números reales. En tal caso, se deba determinar las condiciones que han de verificar cada uno de los términos que figuran en el valor absoluto para precisar cuándo son positivos, y cuándo son negativos y, con esta información, decidir el signo de todo el término que se encuentra en el interior del valor absoluto.

Ejercicio resuelto

1. Para todo x ∈ ℝ , |–x| = |x|. En efecto, como –1 × x = –x, se sigue que |–x| = |–1| × |x| = |–1| |x| = |x|. Nótese que hemos utilizado la propiedad
2. Supón que x < –2. Sumando –3 en ambos miembros, obtenemos x – 3 < –5 y, en consecuencia, |x – 3| = –(x – 3) = 3 – x. Nótese que x – 3 es negativo. Si x > 10, entonces x + 1 > 11. Luego, | x + 1| = x + 1. Observa que x + 1 es positivo.

Eje transversal

La contribución de la matemática a la salud de las personas es infinita. Así, en la medicina, para que un medicamento sea efectivo, se necesita un cierto nivel del fármaco en el torrente sanguíneo. El control de la cantidad del fármaco en la sangre le permite al médico asegurarse de que sus niveles estén dentro del intervalo adecuado. Por ejemplo, la amikacina se aplica en el intervalo [15, 25] mcg/mL.

▲ Medicamentos, suplementos en una botella.

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

Ecuaciones con valor absoluto

Vamos a explicar la resolución de ecuaciones a través de ejercicios.

Ejercicios resueltos

1. Halla la solución en ℝ de la ecuación ||x| – 1| = 1.

Tenemos

- ||x| – 1| = 1 ⇔ |x| –1 = ±1.
- Es decir que |x| – 1 = –1 o |x| –1 = 1.
- En el caso |x| – 1 = –1, por la propiedad cancelativa se tiene |x| = 0, de donde x_1 = 0.
- En el caso |x| –1 = 1, se tiene |x| = 2. Tenemos x_2 = –2 o x_3 = 2.

Conclusión: se verifican que el conjunto solución de la ecuación ||x| – 1| = 1 es {–2, 0, 2}.

1. Halla la solución en ℝ de la ecuación x + |x| = 3.

Si x < 0 entonces

- |x| = –x.
- Luego x + |x| = 3, x – x = 3, 0 = 3 que es un absurdo.
- La ecuación x + |x| = 3 no tiene solución en el conjunto ]–∞; 0[.

Si x ≥ 0 entonces

|x| = x, y la ecuación se escribe como:

Conclusión: se verifica que la solución de la ecuación x + |x| = 3 es

Interdisciplinariedad

Matemática y música

Los intervalos y las inecuaciones en música miden la distancia entre dos notas musicales. Conocer los intervalos permite construir notas musicales.

▲ Notas musicales.

Inecuaciones con valor absoluto

Muchas inecuaciones con valor absoluto pueden resolverse en ℝ, aplicando el siguiente teorema.

Teorema. Sean a ∈ ℝ ^+. Entonces:

i. |x| < a ⇔ x ∈ ] –a, a[ .

ii. |x| > a ⇔ x ∈ ] –∞, –a[ ∪ ]a, ∞[ .

Ejercicios resueltos

1. Consideremos la inecuación |x| < 5. Al aplicar el teorema precedente, tenemos:
| x| < 5 ⇔ x ∈ ]–5, 5[ ⇔ –5 < x < 5.
2. Halla el conjunto solución de la inecuación |3x – 8| < 2. Por el teorema precedente, obtenemos:
3. Consideremos la ecuación |x| > 2. Por el teorema precedente, tenemos:
| x| > 2 ⇔ x < – 2 o x > 2
x ∈ ]–∞, –2[ ∪ ]2, ∞[ .

Potenciación con exponentes enteros. Propiedades

DCCD: M.5.1.2. Deducir propiedades algebraicas de la potenciación de números reales con exponentes enteros y fraccionarios en la simplificación de expresiones numéricas y algebraicas.

● Potenciación con exponentes enteros. Propiedades

Saberes previos

¿Cuáles son los elementos de la potenciación?

Desequilibrio cognitivo

¿De qué forma calcularías rápidamente la expresión 6^3 y sin hacer uso de calculadora?

Interdisciplinariedad

Matemática y el triángulo de Sierpinski

El triangulo de Sierpinski consiste en partir de un triángulo equilátero, unir los puntos medios de los lados consecutivos y remover la región triangular localizada en la parte interior. Al realizar consecutivamente el proceso anterior, se logra construir los siguientes triángulos y, con procesos matemáticos, se determina el área removida en cada paso.

▲ Figura 1.8.

Definición. Sean a ∈ ℝ y n ∈ ℕ. Las potencias de a^n se definen como sigue:

i. Si a ≠ 0,

ii. Si a = 0, 0^n = 0, para n = 1, 2,...

iii. Si a = 0 y n = 0, 0^0 no está definido.

El número real a se llama base de la potencia y el número natural n se denomina exponente. El número real a^n se lee "a a la potencia n".

Ejercicio resuelto

Tomando en consideración que (√3)^2 = 3, las primeras potencias de √3 son:

Definición. Sea a ∈ ℝ con a ≠ 0. Se define con con n ∈ ℕ.

De la definición anterior de potenciación de números reales con exponentes naturales y con exponentes enteros negativos, podemos definir la potenciación de números reales con exponentes enteros. Tenemos así la siguiente definición.

Definición. Sea a ∈ ℝ con a ≠ 0 y m ∈ ℤ. Se define

Nótese que si m < 0, entonces –m > 0. Además, si m < 0, existe un n ∈ ℕ con n ≥ 1, tales que m = –n y –m = n. Luego:

Propiedades

Teorema. Sean a, b ∈ ℝ no nulos, m, n ∈ ℤ. Se verifican las siguientes propiedades:

i. ii. iii. | vi. v. vi.

Recuerda la definición

i. Sea a ∈ ℝ^+, n ∈ ℤ^+. Se define

ii. Sea a ∈ ℝ^+, n ∈ ℤ^+. Se define

iii. Sea a ∈ ℝ^+, n ∈ ℤ^+. Se define

iv. Sea a ∈ ℝ^+, n ∈ ℤ^+. Se define

Definición. Sean a ∈ ℝ+, n ∈ ℤ+. La raíz n-ésima de a se denota con o también y es un número real no negativo x, tal que

Definición. Sean a ∈ ℝ+, m, n ∈ ℤ+. Se define

Teorema. Sean a, b ∈ ℝ+, m, n ∈ ℤ+. Se verifican las siguientes propiedades:

i.

ii.

iii.

iv.

Potenciación de números reales con exponentes racionales

Sea a ≥ 0, la notación significa la raíz cuadrada de a. Esto es, entonces x^2 = a ; si a ∈ ℝ, la notación significa la raíz cúbica de a, es decir, entonces x^3 = a. En estos dos casos particulares, tenemos potencias con exponentes racionales:    con a ≥ 0.

Teorema. Sean a ∈ ℝ^+, n ∈ ℤ^+. Entonces,

Definición. Sea a ∈ ℝ. La raíz cúbica de a se denota que se lee "raíz cúbica de a" y es un número real b, tal que

Ejercicios resueltos

1. Sea m ∈ ℤ^ . Entonces o también

2. Sean m, n ∈ ℤ^ con n ≠ 0. Se tiene o también

Teorema. Sean a, b ∈ ℝ. Entonces:

i. ii. iii. | vi. v.

Demostración. Sean De la definición de raíz cúbica se tiene x^3 = a; y^3 = b.

i. Sea Entonces, z^3 = ab. Como a = x^3, b = y^3, se sigue que z^3 = ab = x^3y^3.

     Por otro lado, Luego,

Así, ^ es tal que z^3 = ab, y como resulta que

Fórmulas y ecuaciones

DCCD: M.5.1.4. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales para resolver fórmulas (Física, Química, Biología) y ecuaciones que se deriven de dichas fórmulas.

● Fórmulas y ecuaciones

Saberes previos

¿Qué fórmula matemática es la que más has utilizado?

Desequilibrio cognitivo

¿Crees que existe alguna diferencia entre los términos identidad y fórmula? Explica.

Recuerda que...

Desde el punto de vista matemático, la palabra identidad se comprende como una igualdad definida en un conjunto, la cual se verifica en cada uno de los puntos del conjunto.

La palabra fórmula se comprende como una igualdad
o desigualdad notable que
define una identidad, una
relación o un algoritmo.

La palabra ecuación se comprende como una igualdad condicional propuesta en un conjunto, la cual es verificada
por la especificación de parámetros indeterminados
o incógnitas del conjunto.

Fórmulas y ecuaciones

En esta sección, se tratan las fórmulas y ecuaciones que están relacionadas entre sí. Una vez asignada una fórmula matemática, en muchas situaciones es posible proponer una ecuación. En los ejemplos que siguen, presentamos algunas de estas situaciones.

1. Sean a, b, c, d ∈ ℝ con 0 < b < a; c > 0. Se supone que estos elementos están relacionados como:

A esta igualdad la llamamos fórmula. Nótese que esta fórmula tiene cuatro datos. Para calcular uno de ellos, es preciso conocer los otros tres. En cada ítem se dan tres datos. Mediante la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales, se obtiene el dato faltante.

i. Si se conocen los datos a, b, c ∈ ℝ, d se calcula directamente. Por ejemplo, si a = 4, b = 1,5 y c = 3, resulta

ii. Se conocen a, c, d, y se desea obtener b. En primer lugar, por la hipótesis c > 0, se tiene 1 + c > 0. Multiplicando miembro a miembro por 1/(1 + c) que es el opuesto multiplicativo de 1 + c, se obtiene

A continuación, se suma –1 en cada lado de esta última igualdad (pues 1 + (–1) = 0). Resulta Como a > 0, multiplicando por a se obtiene Finalmente, multiplicando por –1 en ambos miembros de esta última igualdad, resulta Estos últimos cuatro pasos son una aplicación de la propiedad cancelativa con las operaciones de adición y producto en el conjunto ℝ. Todos estos pasos se resumen en:

Si a = 4, d = 2,5, c = 3, obtenemos

Eje transversal

Salud

Por precaución y seguridad de nuestra familia, debemos revisar constantemente las instalaciones eléctricas para evitar el denominado “efecto del shock eléctrico” que, en medicina, es conocido como fibrilación ventricular y que consiste en una sobrecarga del nervio responsable de regular el funcionamiento del corazón.

▲ Accidente al realizar conexiones eléctricas inadecuadas.

1. En el ámbito de la electricidad, comenzamos con algunos conceptos: la corriente eléctrica I se define como la tasa de movimiento de cargas eléctricas o flujo de cargas eléctricas. Esto es, siendo q la carga eléctrica medida en Columbios C y t el tiempo medido en segundos s; I se mide en amperios A = C/s.

La diferencia del potencial eléctrico V entre dos puntos, en un campo eléctrico, se define como el trabajo realizado W para mover una carga eléctrica q de un punto a otro, es decir, cuya unidad de medida es el voltio V. La resistencia eléctrica R es una propiedad que caracteriza a cada material; se define como la resistencia al paso de una corriente eléctrica I en el material al que se le ha suministrado una diferencia potencial V, así, conocida como Ley de Ohm. La resistencia eléctrica se mide en ohms, cuyo símbolo es Ω.

En un circuito eléctrico constituido por m resistencias en paralelo R_1, ..., R_m, la resistencia equivalente R puede ser calculada así:

Por ejemplo, si tenemos dos resistencias en paralelo R_1, R_2, entonces Para calcular uno de los datos, se requiere conocer los dos restantes. Así, supón que se conocen R y R_1, R_2, se obtienen de esta fórmula:

Nótese que en la última igualdad R_1 – R ≠ 0. Si fuese lo contrario, R_2 no existiría; el circuito de resistencias en paralelo no existe.

Interdisciplinariedad

Matemática y medicina

¿Eres tú gorda(o) o flaca(o)? ¿Tienes problemas de desnutrición? La respuesta se puede obtener mediante la aplicación de una fórmula muy conocida por los médicos y nutricionistas, que se denomina Índice de masa corporal (Imc).

▲ Control de masa corporal.

1. La fórmula de masa corporal que se representa con Imc. Se define como donde h > 0 es la estatura de la persona medida en metros, y su masa m es medida en kg. El Imc se mide en kg/m^2. Si:

Una persona tiene una estatura o talla de h = 1,6 m y una masa corporal de m = 70 kg. ¿Qué sucede con el índice de masa corporal?

Esto significa que esta persona tiene sobrepeso. Conclusión: debe hacer mucho ejercicio.

Medidas de tendencia central

DCCD: M.5.3.1 Calcular e interpretar la mediana, media, moda, para datos no agrupados y agrupados con apoyo de las TIC.

● Medidas de tendencia central

Saberes previos

¿Cuáles son las medidas de tendencia central y para qué sirven?

Desequilibrio cognitivo

¿Existe alguna diferencia entre media poblacional y media muestral? ¿Cuál?

Con el afán de mejorar el servicio de matriculación vehicular, se realizó una encuesta a un grupo de personas sobre el tiempo que se demoraron en matricular su vehículo.

Los datos se registraron en una tabla de frecuencias.

Tiempo empleado en matricular un vehículo
Tiempo variable (min) (x) | Núm. de personas Frecuencia absoluta ( f_i) | Frecuencia absoluta acumulada ( F_i) | Producto de la variable por la frecuencia x · f_i
20 | 2 | 2 | 40
25 | 3 | 5 | 75
30 | 1 | 6 | 30
35 | 2 | 8 | 70
40 | 1 | 9 | 40
45 | 1 | 10 | 45
∑ | 10 |  | 300

Con los datos anteriores vamos a calcular la media, la mediana y la moda.

La media o promedio (x): corresponde al cociente entre la suma total de datos y el número de ellos (N).

La mediana: es el valor central de un conjunto de datos dispuestos en orden. Si el número de datos es impar, es el valor central. Si el número de datos es par, es la semisuma de dos valores centrales.

La moda: es el valor que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Media aritmética o promedio (x). Para calcular la media, procedemos de la siguiente forma:

- Construimos una nueva columna en la tabla donde anotamos el producto de la variable por la frecuencia
- Encontramos la suma de x_i . f_i , luego dividimos esta suma entre el número de casos N.

El tiempo promedio para matricular un vehículo es de 30 minutos.

Mediana (Me). Para determinar la mediana (Me), procedemos así:

- Calculamos la mitad de los datos.

^

- Buscamos en la columna de frecuencias acumuladas este número y el siguiente. Verificamos qué valores corresponden a la variable. Como se trata de un número par de datos, tomamos los dos datos centrales, los sumamos y los dividimos entre dos.

^

Moda (Mo). Para encontrar la moda, vemos el valor de la variable con mayor frecuencia.
En nuestro ejemplo, la moda es: Mo = 25.

Medidas de tendencia central para datos agrupados

Los siguientes datos representados en la tabla, corresponden a los minutos de teléfono celular que ocupan mensualmente un grupo de personas. Calcula la media, mediana y moda.

Minutos utilizados en llamadas telefónicas
Minutos Intervalos (x) | Núm. de personas Frecuencia absoluta (f_i) | Marca de clase (x_i) | Producto de la marca de la clase por la frecuencia (x_i · f_i) | Frecuencia absoluta acumulada (F_i)
[45‒55) | 4 | 50 | 200 | 4
[55‒65) | 10 | 60 | 600 | 14
[65‒75) | 18 | 70 | 1 260 | 32
[75‒85) | 7 | 80 | 560 | 39
[85‒95) | 1 | 90 | 90 | 40
∑ | 40 |  | 2 710 |

Cálculo de la media (x). La media aritmética de un grupo de datos agrupados, se calcula así:

- Determinamos la marca de clase.
- Multiplicamos la marca de clase por la frecuencia y sumamos los resultados.
- Dividimos el resultado anterior entre el número de datos.

Simbología matemática

- L_i: límite inferior del intervalo en el que se encuentra la mediana o la moda, según el caso.
- A: ancho del intervalo donde se encuentra la mediana o la moda, según el caso.
- N/2: mitad de los datos.
- Fai: frecuencia acumulada menor a N/2.
- f_i: frecuencia absoluta donde se encuentra la mediana.
- f_i_+1: frecuencia absoluta superior en el que se encuentra la moda.
- f_i_–1: frecuencia inferior al intervalo donde se encuentra la moda.

Cálculo de la mediana (Me). Para datos agrupados se determina el intervalo en el que se encuentra dicho parámetro, de la siguiente manera: (datos verdes y amarillos de la tabla)

- Determinamos las frecuencias acumuladas F_i.
- Dividimos el total de casos para dos, así se conoce el valor medio de la ordenación N/2.
- Si N/2 está entre dos valores de la columna de frecuencias acumuladas, el valor de la mediana se encuentra en el intervalo igual al mayor de ellas.
- Si N/2 es igual a la frecuencia acumulada, entonces el límite superior de dicho intervalo corresponde a la mediana.

Luego utilizamos la siguiente fórmula:

Datos: N ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20; N/2 = 20

L_i = 65; A = 10; F_ai = 14; f_i =18

Cálculo de la moda (Mo). La moda se encuentra en el intervalo que tiene mayor frecuencia y se determina de la siguiente manera: (Datos con amarillo de la tabla)

- Buscamos el intervalo que tiene la mayor frecuencia f_i = 18, intervalo [65, 75).
- Luego utilizamos la siguiente fórmula:
L_i = 65; A = 10; f_i_+1 = 7; f_i_–1 = 10

Medidas de dispersión

DCCD: M.5.3.1 Calcular e interpretar el rango, varianza y desviación estándar, para datos no agrupados y agrupados con apoyo de las TIC.

● Medidas de dispersión

Saberes previos

¿Pueden dos conjuntos de datos tener la misma media aritmética aunque los datos sean totalmente diferentes? Da un ejemplo.

Desequilibrio cognitivo

¿Cuáles son las medidas de variación o de variabilidad? ¿Qué indican?

En estadística es muy importante el análisis de la variabilidad de los datos. En esta sección nos enfocamos en las medidas de dispersión. Algunas de estas medidas son el rango (amplitud), la varianza y la desviación estándar.

Rango

Esta medida de dispersión se conoce también como amplitud.

Definición. Sea X = {x_1 , ..., x_n} un conjunto de n datos reales. El mínimo valor del conjunto de datos X se denota x_mín = mín {x_i | i = 1, 2, ..., n}.

El máximo del conjunto de datos X se denota con x_máx = máx {x_i | i = 1, 2, ..., n}.

El rango R se define como R = x_máx – x_mín.

Recuerda que...

- El rango es una medida muy sensible de variabilidad que no permite una buena interpretación de los datos.
- La media aritmética del conjunto x está definida como
entonces, Por otro lado, tomando en consideración las propiedades del sumatorio, se tiene
- razón por la cual no se toma la media aritmética de las desviaciones como medida de variabilidad.

Ejercicio resuelto

1. Para el conjunto de datos A = {7,5; 7,9; 7,5; 8,2; 8,1; 8,2; 8,3; 7,5; 8,0; 8,0} se tiene x_mín = 7,5; x_máx = 8,3. Luego, el rango del conjunto A es R = 8,3 – 7,5 = 0,8.

Desviación media

Definición. Sea X = {x_1, ..., x_n} un conjunto de n datos reales, y x la media aritmética de X, la diferencia de se llama desviación (o también desvío) de x_i de x.

La desviación |x_i – x|, i = 1, ..., n se llama desviación absoluta de x_i de x (o también desvío absoluto). Sirve para definir la desviación media.

Definición. La desviación media absoluta D_m de un conjunto de datos

X = {x_1, ..., x_n} se define como

La desviación media absoluta para datos agrupados se calcula así:

Recuerda que...

La varianza de una muestra tiene una desventaja,
pues se deben calcular los desvíos x_i – , i = 1, ... n. Se demuestra que la varianza puede calcularse con la fórmula

Varianza

Se llama también desviación cuadrada media de la población.

Definición. Sea X = {x_1, ..., x_n} un conjunto de n datos reales (n > 2).

i) La varianza de la población X se denota σ^2 (que se lee sigma al cuadrado) y se define como: donde μ es la media de la población.

ii) La varianza de la muestra X se denota σ^2 (que se lee sigma al cuadrado) y se define como donde x es la media aritmética de la muestra.

Varianza para datos agrupados

Para datos agrupados, la varianza de una muestra se calcula así

Simbología matemática

∑ : sumatoria.

 x : media aritmética.

σ : letra griega sigma designada para la varianza.

Ejercicios resueltos

1. Consideremos el conjunto de datos X = {15, 20, 25, 30, 35, 40, 45}. En primer lugar, calculamos la media aritmética:

^

A continuación, obtenemos el conjunto de desviaciones:

y calculamos la desviación media absoluta. Se tiene

donde el símbolo ≃ significa aproximado. Con el conjunto de desviaciones, calculamos la varianza:

Desviación estándar

Definición. Sea X = {x_1, ..., x_n} un conjunto de n datos reales (n > 2).

i) La desviación estándar de la población X se denota σ (que se lee sigma) y se define como

 donde μ es la media de la población.

ii) La desviación estándar de la muestra X se denota σ, y se define como

donde x denota la media aritmética de la muestra.

Coeficiente de variación

DCCD: M.5.3.2. Resolver y plantear problemas de aplicación de las medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados, con apoyo de las TIC. M.5.3.3. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas de aplicación de las medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados dentro del contexto del problema, con apoyo de las TIC. M.5.3.4. Calcular e interpretar el coeficiente de variación de un conjunto de datos (agrupados y no agrupados).

● Coeficiente de variación

Saberes previos

¿En qué se aplican las medidas de tendencia central y dispersión?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué es el coeficiente de variación y para qué se usa?

FAVOR CAMBIAR a Interdisciplinariedad

Cuando se realiza un estudio estadístico, es importante determinar las medidas de dispersión porque proporcionan información que permite juzgar la confiabilidad de los resultados obtenidos.

Por ejemplo cuando en una empresa de servicios deciden dar un incentivo económico al mejor vendedor del mes, es necesario utilizar el coeficiente de variación en las ventas realizadas para determinar al ganador.

▲ Vendedor.

Proporciona una medida de dispersión que es independiente de la unidad de medida. Generalmente se usa para comparar dos desviaciones estándar.

Definición. El coeficiente de variación V se define como:

Con frecuencia, el coeficiente de variación se expresa como porcentaje:

Ejercicios resueltos

1. La masa en kilogramos de cinco estudiantes del colegio, de 14 años de edad, se muestran en el conjunto C = {54, 49, 49, 52, 56}.
La media aritmética es
La desviación estándar es
El coeficiente de variación expresado en porcentaje es:

^

La masa en kilogramos de estas cinco estudiantes, a la edad de 10 años fue: C = {44, 42, 45, 39, 46}. Se tiene

De estos resultados se concluye que la dispersión de las masas de las estudiantes a la edad de 10 años es ligeramente mayor que a los 14 años.

Conexiones con las TIC

Existen programas y software educativo gratuito que nos permite analizar de forma rápida y efectiva los resultados de un estudio estadístico. Así por ejemplo, R es un entorno de lenguaje de programación con enfoque estadístico.

R es una implementación de un software libre del lenguaje S y es un programa muy utilizado en investigación.

1. Considera el conjunto de datos
A = {46, 45, 35, 37, 38, 44, 35, 46, 47, 40, 37, 47, 46, 36, 44}, que corresponden a los tiempos medidos en minutos de un ciclista que recorre cierta distancia en estos últimos quince días.

Calculemos el rango, la media aritmética, la varianza y la desviación estándar.

Para el efecto, ordenamos a este conjunto de menor a mayor. Tenemos E = {35, 35, 36, 37, 37, 38, 40, 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 47}, y luego obtenemos el conjunto con datos agrupados:

a_i | 35 | 36 | 37 | 38 | 40 | 44 | 45 | 46 | 47
f_i | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 2

Cálculamos el rango: de la tabla se tiene t_mín = 35 minutos, t_máx = 47 minutos. Luego, el rango es: R = 47 – 35 = 12.

Cálculamos la varianza. Para el efecto, calculamos la media aritmética de los datos agrupados en la tabla de frecuencias:

Calculamos la varianza de los datos agrupados. Para ello obtenemos el siguiente conjunto de desvíos:

(a_i – x) | –6,53 | –5,53 | –4,53 | –3,53 | –1,53 | 2,47 | 3,47 | 4,47 | 5,47
f_i | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 2

Con esta información, pasamos al cálculo de la varianza:

Con este dato se calcula la desviación estándar:

Medidas de posición

DCCD: M.5.3.5. Determinar los cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles) para datos no agrupados y para datos agrupados. M.5.3.6. Representar en diagramas de caja los cuartiles, mediana, valor máximo y valor mínimo de un conjunto de datos.

● Medidas de posición

Saberes previos

¿Qué son y para qué sirven las medidas de posición?

Desequilibrio cognitivo

¿Con qué cuartil, decil y percentil está relacionada la mediana?

Recuerda que...

El cuartil Q_1, este es un valor numérico tal que bajo este o coincidente está ubicado el 25 % de todos los valores del conjunto A, los cuales se recogen en el conjunto A_1. El cuartil Q_2 coincide con la mediana. Debajo del cuartil Q_3, o coincidente con Q_3, está el 75 % de los datos de A. A este conjunto lo notamos

Ã_3 = {x_i ∈ A|x_i ≤ Q_3}.

El rango intercuatil se denota con RIC y se define como

RIC = Q_3 – Q_1.

Este número mide la dispersión de los datos comprendidos entre el primer y tercer cuartil.

Entre las medidas de posición, tenemos los cuartiles, los deciles y percentiles.

Sea A = {x_1, . . . , x_n} un conjunto de n datos reales de una población o de una muestra, de los que suponemos que están ordenados en forma ascendente, esto es, x_i < x_i+1 , ∀i = 1, . . . , n – 1; y que están agrupados así:

x_1 | x_2 | ... | x_m
ƒ_1 | ƒ_2 | ... | ƒ_m

A la frecuencia acumulada de cualquier medida o clase la denotamos con F_j y la definimos como F_j = ƒ_1 + . . . + ƒ_j, para j = 1, . . ., m.

Cuartiles

Definición. Los cuartiles son números que dividen al conjunto A en cuatro partes porcentualmente iguales.

Para la obtención de los cuartiles, se calculan los números reales 0,25n, 0,5n, 0,75n. Se tienen tres cuartiles denotados Q_1, Q_2, Q_3, que guardan la relación Q_1 < Q_2 < Q_3. Estos cuartiles dividen al conjunto A en cuatro subconjuntos designados A_1, A_2, A_3, A_4, de modo que

donde

A_1 = {x_i ∈ A|x_i ≤ Q_1}, A_2 = {x_i ∈ A|x_i ≤ Q_2},
A _3 = {x_i ∈ A|x_i ≤ Q_3}, A_4 = {x_i ∈ A|Q_3 ≤ X_i}.

El número de elementos de cada uno de estos conjuntos se denota con N(A_1), N(A_2), N(A_3), N(A_4).
Se tiene: N(A_1) ≤ 0,25n; N(A_2) ≤ 0,5n, N(A3) ≤ 0,75n, N(A4) ≥ 0,25n.

Ejercicio resuelto

Considera el conjunto de 10 datos dados en el conjunto:

A = {7,5; 7,9; 7,5; 8,2; 8,1; 8,2; 8,3; 7,5; 8,0; 8,0}.

Ordenamos este conjunto en forma ascendente, se tiene

Ã = {7,5; 7,5; 7,5; 7,9; 8,0; 8,0; 8,1; 8,2; 8,2; 8,3}.

Como el número de elementos n del conjunto A es par, n =10, la mediana Este coincide con el cuartil Q_2 , _ luego Q_2 = 8,0. El 50 % de los datos se ubica bajo el cuartil Q_2, esto es, {7,5; 7,5; 7,5; 7,9; 8,0}. La mediana de este conjunto es Q_1 = 7,5. El 25 % de los datos está ubicado bajo o coincidente con el cuartil Q_1. En consecuencia, A_1 = {7,5; 7,5}, N(A_1) = 2.

Recuerda que...

Para datos agrupados, los cuartiles Q_1, Q_2, Q_3 se calculan con la siguiente fórmula:

Simbología matemática

De la fórmula anterior se tiene:

L_j es el límite inferior de la clase del cuartil j, F_j es la frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil j, ƒ_j es la frecuencia de la clase del cuartil j, y L es la longitud del intervalo de la case del cuartil j.

El conjunto:

A_2 = {x_i ∈ Ã|x_i ≤ Q_2} = {7,5; 7,5; 7,5; 7,9; 8,0}, N(A_2) =5.

La mediana del conjunto {8,0; 8,1; 8,2; 8,2; 8,3} es Q_3 = 8,2. Entonces

De la definición del rango intercuatil, se tiene

RIC = Q_3 – Q_1 = 8,2 – 7,5 = 0,7.

Con datos agrupados, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla:

Valores | 7,5 | 7,9 | 8,0 | 8,1 | 8,2 | 8,3
Frecuencia ƒ_i | 3 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1
Frecuencia absoluta F_i | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10

^Fuente: archivo editorial, 2017

Así, para el cuartil Q_1 , se tiene L_1 = 7,5, F_1 = 3, ƒ_1 = 3, j = 1,
L = 7,5 – 7,5 = 0. Luego

Para el cálculo del cuartil Q_2 , se tiene L_2 = 7,5, F_2 = 3, ƒ_2 = 1, j = 2,
L = 8,0 – 7,5 = 0,5. Entonces,

Se propone como ejercicio el cálculo del cuartil Q_3.

Recuerda que...

Para la obtención de los deciles, el conjunto A debe contener al menos diez elementos. Se calculan los números reales 0,1n , 0,2n , . . ., 0,9n que corresponden al máximo número de elementos que puede contener cada decil.

En la Figura 1.9. que sigue, se muestra un diagrama de caja y bigotes asimétrico, con mayor concentración al lado derecho.

▲ Figura 1.9.

En la Figura 1.10. que sigue, se muestra un diagrama de caja y bigotes asimétrico, con mayor concentración al lado izquierdo.

▲ Figura 1.10.

Deciles

Definición. Los deciles son números reales que dividen al conjunto A en diez partes porcentualmente iguales. Estos valores se denotan con D_1, . . ., D_9.

Para datos agrupados, los deciles D_1, D_2,. . ., D_9 se calculan con la siguiente fórmula

donde L_j es el límite inferior de la clase del decil j, F_j es la frecuencia acumulada de la clase y que antecede a la clase del decil j, ƒ_j es la frecuencia de la clase del decil j, L es la longitud del intervalo de la clase del decil j.

Percentiles

Definición. Los percentiles son números reales que dividen al conjunto A en cien partes porcentualmente iguales. Estos valores se denotan con P_1, . . ., P_99.

Para datos agrupados, los percentiles P_j, j = 1, . . ., 99 se calculan con las fórmulas similares a las de los cuartiles y deciles. Así,

donde L_j es el límite inferior de la clase del percentil j, F_j es la frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del percentil j, ƒ_j lo frecuencia de la clase del percentil j, y L es la longitud del intervalo de la clase del percentil j.

Diagrama de caja y bigotes

Para dibujar el diagrama de caja y bigotes se procede así:

i) Obtén la mediana que coincide con el cuartil Q_2, la media aritmética x y los dos cuartiles Q_1, Q_3.

ii) En la recta numérica, marca los tres cuartiles. Dibuja un rectángulo con base en los extremos de los cuartiles Q_1 y Q_3 ; y longitud del rango intercuartílico RIC . La altura de este rectángulo debe ser razonable para detectar simetrías. Los bigotes también se conocen como extensión. Son segmentos de recta que se extienden desde la caja hasta el valor mínimo de los datos y de la caja al valor máximo de los datos.

iii) Una vez lista la caja, traza la altura en el punto Q_2.

iv) Traza dos segmentos de recta: el primero que va de x_mín a Q_1, el segundo que va de Q_3 a x_máx (ligeramente sobre la recta numérica).

En la Figura 1.11. se muestra el diagrama de caja y bigotes construido (en este caso, simétrico).

▲ Figura 1.11.

El interés es detectar si el 50 % de la población está en los límites de la caja. Cuando la media no está en el centro del rectángulo, la distribución no es simétrica.

Solución de problemas para el buen vivir

Solución de problemas para el buen vivir

Aplicaciones en economía
1. En un modelo sencillo de rendimiento de la inversión en la asignación de recursos a la investigación y desarrollo, considera los siguientes elementos: inversión total I, medida en dólares; tasa de rentabilidad R; utilidad esperada antes de invertir en la investigación y desarrollo U. Los costes de investigación y desarrollo C están relacionados como:

C = U – RI.

Un ejemplo hipotético de la industria textil requiere de innovación permanente de sus productos. Supón que en las condiciones actuales una pequeña empresa textil tiene una utilidad anual U = $ 50 000,00, una tasa
de rentabilidad R = 0,30 $/año y una inversión
I = $ 150 000,00. ¿Cuáles son los costes de investigación y desarrollo de esta empresa?

Analiza los datos y calcula.
C = U – RI = 50 000 – 0,3 × 1 500 000 = 50 000 – 45 000 = 5 000.

▲ Piezas de cuero.

        Responde la pregunta. Los costes de investigación y desarrollo de esta empresa no deben superar los $ 5 000,00 en el año.

Aplicaciones en economía, en el sector de la construcción
1. El costo de pegado de cerámica de cada metro cuadrado es ofertado en el mercado como C en $/m^2; el costo de cada metro cuadrado de cerámica exhibido en un almacén es Mc en $/m^2. Se debe pegar cerámica en una escalinata que consta de n gradas y se debe estimar el costo total de la realización de esta obra. Elabora un modelo matemático.

Considera, en primer lugar, que cada grada está caracterizada por su altura z, el ancho del peldaño a; la longitud de la grada b. Entonces, la altura de la escalinata es nz; su longitud es L = an (forman un triángulo rectángulo). ¿Cuál es el área de la región superior de cada grada? ¿Cuál es el área total?

1. Problema de la vida real. Un tanque tiene la forma de un paralelepípedo, con las siguientes dimensiones internas: largo l, ancho a y altura z. Este tanque está firme en su base, tiene paredes de espesor e y está abierto en su parte superior.

Su superficie interna y externa se debe cubrir con piezas de cerámica de forma cuadrada de lado x. Cada pieza de cerámica cuesta c dólares y el costo de mano de obra es de $ 3,00 por metro cuadrado. Entre cada pieza de cerámica y las paredes, se deja un espacio de 2 mm, de modo que:

l = N_1x, a = N_2x, z = N_3x, e = N_4x. Siendo N_i ∈ ℤ^+, i = 1, 2, 3, 4. Obtén una fórmula que permita calcular el costo de recubrimiento de cerámica de este tanque. Sigue los siguientes pasos.
1. El área de la base A_b es A_b = la. Muestra que el área lateral interna es Ai = 2z(a + l) y el área total interna del tanque es A_I = A_b + Ai = la + 2z(a + l). Prueba que el número de piezas de cerámica para el revestimiento interno es N_I = N_1N_2 + 2N_3(N_1 + N_2) y su costo es C_I = cN_I.
2. Prueba que el volumen total de las paredes del tanque es V_T = ez(a + 2e + 2l).
3. Prueba que el área lateral externa (no incluye la base) es A_E = 2z(a + l + 2e) + 2e(a + 2l + 2e), que el número de piezas de cerámica es N_E = 2N_3(N_1 + N_2 + 2N_4) + 2N_4(2N_1 + N_2 + 2N_4) y que, por lo tanto, su costo es C_E = cN_E.
4. Muestra que el costo total de mano de obra y de las piezas de cerámica es:
C_T = c(N_I + N_E) + 3(A_T + A_E).
5. Si N_1 = 16, N_2 = 12, N_3 = 10, N_4 = 2, prueba que se deben comprar 1 584 piezas de cerámica.

Prueba que el área total de la superficie interna y externa del tanque es 1 584 x^2 en m^2.
Si c = 0,2 dólares y x = 0,08 m, explica que lo que debe pagar es $ 1 077,12.

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática, la economía y las finanzas

¿Qué tiene que ver la matemática con la economía y las finanzas? Pues, en realidad, mucho. ¿Te has puesto a pensar en los problemas de finanzas como, por ejemplo, los de compra de autos, casas, créditos o de seguros de vida? En todos ellos y en otros más necesitamos recurrir a conocimientos matemáticos para su eficaz solución.

Algunos premios nóbeles de economía ganaron el premio por sus nuevas teorías matemáticas que explican argumentos económicos complejos.

La mercadotecnia recurre a numerosos tipos de modelos, como los siguientes: comportamiento del consumidor, segmentación del mercado, proyección de la demanda, diseño del producto, modelos de precios, promoción de ventas, decisión sobre la publicidad, planeación de mercado y respuesta de la competencia, entre otros.

Tomado de Benalcázar Gómez, H. (2014). Fundamentos de Matemática. Quito.

▲ Negocios de la banca.

La matemática y las profesiones

La matemática y las profesiones

Economía en finanzas

La carrera de Economía en finanzas forma profesionales con competencias en el análisis e interpretación de estados financieros, en la formulación de estrategias innovadoras de inversión y operación en el sistema financiero nacional, en los mercados de valores
y de precios justos. De esta manera, es posible la optimización y toma de decisiones en la gestión organizacional de empresas públicas, privadas y solidarias.

Para ser un economista en finanzas, se requiere principalmente haber desarrollado algunas competencias como:

- Estudio y afinidad por las ciencias exactas (el cálculo integral, la matemática y la estadística).
- Conocimiento y dominio de la informática, navegación en Internet
y su aplicación en la administración.

El economista en finanzas puede dedicarse al análisis e interpretación de sistemas de información gerencial, gestionar proyectos de inversión, financiación y riesgos. Puede trabajar en empresas públicas o privadas locales o a nivel internacional.

Adaptado de: http://www.ucentraleco.edu.ec/fce/images/stories/academico/reforma/
fundamentacion_carreras.pdf

▲ Finanzas.

TIC

TIC

¿Qué es GeoGebra?

GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo puedes descargar gratuitamente desde:
http://geogebra.softonic.com/descargar

Vista múltiple de objetos matemáticos

GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático, tal como puedes observar: Vista algebraica, Gráfica y Hoja de cálculo.

Solución de sistemas lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas

Vamos a resolver con GeoGebra el sistema:

Solución de un sistema cuadrático con GeoGebra

Vamos a resolver con GeoGebra el sistema:

Consejo útil

- Al dar clic derecho, aparece un cuadro que te permite renombrar, borrar o copiar la función a la que estás ingresando.
- Recuerda mirar la Vista algebraica. Ahí aparecen las funciones que se grafican y los puntos de intersección.

Uso de la calculadora gráfica

Uso de la calculadora gráfica

Uso de software libre

Uso de la calculadora graficadora f(x) 9860 G SD

Una de las calculadoras graficadoras es la f(x) 9860 G SD. La puedes descargar gratis desde el siguiente enlace:

http://www.fiuxy.net/programas-gratis/1505317-calculadora-graficadora-casio-fx-9860g-sd-portable.html

Esta calculadora consta de varios menús, con uno de los cuales vamos a trabajar para resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

Solución de una inecuación con dos variables

Vamos a encontrar la región solución de la inecuación y > 2x – 3.

Solución de un sistema de inecuaciones con dos variables

Vamos a encontrar la región solución del sistema:

Consejo útil

- Si no puedes apreciar correctamente la gráfica, presiona en este orden:

La escala del gráfico se estandarizará.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Platos típicos de nuestro país

Recursos

- Estudiantes de educación básica superior y bachillerato
- Acceso a Internet
- Hojas
- Computadora

Justificación

En la actualidad, la comida típica de nuestro país es muy diversa. Sin embargo, nuestros jóvenes desconocen de ella, pues no han degustado la gastronomía típica de nuestro país.

A través de una investigación, y luego de una encuesta aplicada a varios estudiantes de educación básica superior y bachillerato, los aprendices determinarán los platos típicos que conocen y establecerán cuál de ellos tiene mayor preferencia entre las personas encuestadas.

Objetivos

- Investigar los platos típicos de la Sierra y la Costa de nuestro país para plantear una encuesta en la institución educativa de los estudiantes y determinar cuál de los platos tiene mayor frecuencia.
- Analizar la edad de los estudiantes que optaron por un plato típico con mayor frecuencia.
- Aplicar los conocimientos de medidas de tendencia central y estadígrafos de dispersión para realizar el análisis de la información.
- Presentar la información en Prezi, utilizando diagramas estadísticos.

▲ Variedad de platos típicos de todas las regiones de Ecuador: ceviche, cuy, dulce de higos.

Actividades

- Formen equipos de trabajo, de tres estudiantes por grupo.
- Planteen una encuesta para determinar los platos típicos que conocen las personas encuestadas y para establecer cuál es el de mayor frecuencia. En la encuesta, deben solicitar la edad de la persona que participa.
- Supongan que 50 estudiantes prefieren el ceviche y que sus edades, en años, son las siguientes:
13, 12, 13, 14, 11, 12, 18, 14, 18, 18, 13, 15, 16, 16, 15, 13, 14 11, 12, 13, 12, 15, 17, 17, 17, 13, 12, 14, 11, 12, 12, 13, 13, 15, 15, 16, 13, 14, 14, 11, 12, 14, 13, 10, 10, 17, 10, 16, 15, 13.
- Organicen la información en una tabla de frecuencias con datos agrupados, y luego determinen las medidas de tendencia central, media, mediana y moda.
- Determinen la desviación media y la desviación típica.
- Representen la información en un histograma y un polígono de frecuencias. Luego, preparen el informe con una presentación en Prezi.

Conclusiones

Luego de terminar el proyecto, expongan dos conclusiones en donde expresen claramente para qué y cómo aportó la matemática en la y realización de este proyecto.

En síntesis

En síntesis