Title: Unidad 2.
Course: Matemáticas Plus + 1 BGU > Section: Libro Digital

Vectores geométricos en el plano y funciones reales

Tráfico aéreo y vectores

En la actualidad, existe un mayor tráfico aéreo; las grandes metrópolis son lugares de despegue y aterrizaje de muchas aeronaves que vienen o se dirigen a diferentes partes del mundo.

Para evitar que los aviones en vuelo se aproximen demasiado, violen las distancias mínimas de seguridad o colisionen, a cada vuelo se le asigna un vector de vuelo o plan de vuelo que consta de una posición, velocidad, ángulo de dirección, tiempo, una ruta y una altura específica. Estos datos se registran en un sistema de monitoreo por radar que es verificado cada cierto tiempo por el piloto para mayor seguridad. Hoy en día los sistemas automatizados indican si dos vectores de vuelo coinciden, emitiendo una alarma para que el piloto cambie la velocidad, el rumbo o la altura. Así se evita que dos o más aviones pasen por el mismo sitio al mismo tiempo.

http://www.taringa.net/post/apuntes-y-monografias/1206600/Aeronautica-Vectorizacion-de-Empuje.html

Bloques curriculares
Geometría y medida
Álgebra y funciones​

  Objetivos

- O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
- O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
- O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
- O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación.

Observa y contesta

- ¿Serían posibles los viajes interespaciales sin el estudio de la matemática y, en particular, de los vectores? ¿Por qué?
- ¿Por qué, si actualmente circulan en el espacio aéreo una gran cantidad de aviones, estos no se chocan?
- ¿De qué manera se relacionan la matemática y  los vectores con el vuelo de los aviones?
- ¿Qué vectores fuerza actúan en el vuelo de un avión?

Vectores en el plano. Definición de vector en el plano

DCCD: M.5.2.1. Graficar vectores en el plano (coordenadas) identificando sus características: dirección, sentido y longitud o norma. M.5.2.2. Calcular la longitud o norma para establecer la igualdad entre dos vectores.

● Vectores en el plano. Definición de vector en el plano

Saberes previos

¿Qué entiendes por magnitud escalar? ¿Cuál es un ejemplo, cercano a tu entorno, de magnitud escalar?

 Desequilibrio cognitivo

¿De qué manera las fuerzas físicas aplicadas sobre un cuerpo se representan con vectores?

Recuerda que...

La línea recta en el plano es uno de los conjuntos más sencillos de estudiarse. Recordemos que los términos punto, recta y plano son conceptos primitivos, es decir que no se definen. Además, un axioma de la geometría euclídea establece que dados dos puntos A, B distintos en un plano ∏, pasa por dichos puntos una y solo una recta L.

*Dos vectores fijos ^ y ^ , no nulos, son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Se designan por ^ ~ ^ .

Simbología matemática

[A, B]: segmento de recta de extremos A y B.

[A, B[: semirrecta que tiene como punto inicial u origen A y pasa por B.

L_AB: recta que pasa por A y B.
L_AB || L_CD: rectas paralelas.
d(A, B): distancia del punto A al punto B.

Denotamos el vector geométrico PQ con ^ .

Ten presente que el vector ^ es un conjunto que tiene una infinidad de bipuntos equipolentes.

Denotamos con Π a un plano. Se llama bipunto a todo par ordenado (A, B) ∈ Π × Π. El punto A ∈ Π se llama origen y el punto B ∈ Π, el extremo. Diremos (A, B) ∈ Π × Π es el bipunto de origen A y extremo B.

Nótese que el bipunto (A, B) es, en general, distinto del bipunto (B, A). De esto se sigue que (A, B) = (B, A) si y solo si A = B. Sean A, B ∈ Π con A ≠ B, al bipunto (A, B) se lo representa geométricamente en el plano Π con una flecha que une el punto de origen A con el extremo B. La recta ^ se llama soporte del bipunto (A, B).

De la definición de igualdad de pares ordenados, se dirá que los bipuntos (A, B) y (C, D) son iguales si y solo si A = C y B = D. Escribiremos (A, B) = (C, D). Su negación se escribe (A, B) ≠ (C, D).

Dos bipuntos (A, B) y (C, D) tienen la misma dirección, si sus soportes son paralelos o coinciden. Además, estos dos bipuntos de la misma dirección pueden ser del mismo sentido o de sentidos contrarios.

La longitud de un bipunto (A, B) es la distancia d(A, B).

Nótese que los bipuntos (A, B) y (B, A) tienen la misma dirección, la misma longitud pero son de sentidos contrarios.

Los bipuntos (A, B) y (C, D) son equipolentes si y solo si los segmentos [A, B] y [C, D] tienen el mismo punto medio.

Escribiremos (A, B) ~ (C, D). En la Figura 2.1. se muestran dos bipuntos equipolentes. Obsérvese que el paralelogramo ACDB y los segmentos de recta [A D] y [B, C] (diagonales del paralelogramo) se intersectan en el punto I.

▲ Figura 2.1.

Definición de vector en el plano

Sea (P, Q) un bipunto en el plano Π. El conjunto de bipuntos (M, N) equipolentes al bipunto (P, Q) es la clase de equivalencia del bipunto (P, Q) denominado vector geométrico ^ :

El conjunto ^ tiene una infinidad de bipuntos (M, N) equipolentes con (P, Q). Además, todos los bipuntos (M, N) equipolentes con (P, Q) son aquellos que tienen la misma dirección, longitud y el mismo sentido que el bipunto (P, Q). El bipunto (P, Q) se llama representante del vector geométrico ^ .

Igualdad de vectores

Definición

Sean ^ y ^ dos vectores asociados a los bipuntos (A, B) y (C, D). Decimos que  ^ y ^ son iguales, o sea que ^ = ^ , si y solo si los segmentos de recta [A, B] y [C, D] tienen exactamente el mismo punto medio.

En la Figura 2.2. se muestran dos vectores iguales ^ = ^ y, en la Figura 2.3. se muestran los vectores ^ y ^  y los segmentos de recta [A, D] y [B, C] que se intersectan en el punto I.

Sean A, B, C, D cuatro puntos del plano tales que los bipuntos (A, B) y (C, D) son representantes de los vectores ^ y ^ .

En la Figura 2.4. la igualdad ^ = ^ significa que ABCD es un paralelogramo. Es decir que los segmentos de recta [A, B] || [C, D] y [A, C] || [B, D] y las longitudes de los segmentos de recta [A, B] y [C, D] son iguales. De modo similar [ A, C] y [B, D] son iguales y se intersectan en el punto I (Figura 2.4.).

▲ Figura 2.2.

▲ Figura 2.3.

▲ Figura 2.4.

Sean A, B, C, D cuatro puntos del plano tales que A ≠ B, C ≠ D. Denotamos con L_AB el soporte del bipunto (A, B), y con L_CD la recta que pasa por los puntos C y D que es el soporte del bipunto (C, D) (Figura 2.5.).

Se designa con [A, B[ la semirrecta que tiene como punto inicial u origen A y que pasa por B. De modo similar, [C, D[ (Figura 2.6.).

▲ Figura 2.5.

▲ Figura 2.6.

▲ Figura 2.7.

Propiedades

Para que haya igualdad de los vectores ^ y ^ , esto es, ^ = ^ , deben verificarse las tres propiedades siguientes:

1. L_AB || L_CD, y L_AB y L_CD tienen la misma dirección.
2. Las semirrectas [A, B[ y [C, D[ tienen el mismo sentido.
3. Los segmentos [A, B] y [C, D] tienen la misma longitud. Además, [A, C] || [B, D].

Sea ^ un vector del plano. Existen dos puntos A, B, tal que el bipunto (A, B) es representante del vector ^ y ^ = ^ . Sea O un punto del plano. Existe un único punto C del plano, tal que ^ = ^ = ^ .

En la Figura 2.7. se muestran el vector ^ = ^ , y los puntos O y C, tal que ^ = ^ .

Recuerda que...

Los vehículos tienen la misma dirección y sentidos opuestos.

Vector nulo

Sea A un punto del plano, el bipunto (A, A) es representante del vector ^ , denominado vector nulo, al que se lo designa con ^ , es decir, ^ = ^ .

Nótese que si B es cualquier punto del plano

^

se tiene la siguiente equivalencia: ^ = ^ ⇔ A = B.

Dirección y sentido de vectores no nulos

▲ Figura 2.8.

▲ Figura 2.9.

▲ Figura 2.10.

▲ Figura 2.11.

Sean ^ , ^ dos vectores no nulos del plano y A, B, C, D cuatro puntos del plano, tales que (A, B) ∈ ^ = ^ , ( C, D) ∈  ^ =^ , y  L_AB y L_CD los soportes de los bipuntos (A, B) y (C, D). Designamos con [A, B[ la semirrecta de origen A y que pasa por B. En forma análoga, tenemos [C, D[.

Definición

i. La dirección del vector ^ es la dirección de la recta L_AB. El sentido del vector ^ es el sentido de la semirrecta [A, B[.

ii. Diremos que los vectores ^ y ^ tienen la misma dirección y sentido si y solo si L_AB || L_CD y [A, B[ y [C, D[ tienen el mismo sentido.

iii. Diremos que los vectores ^ y ^ tienen la misma dirección y son de sentido opuestos si y solo si L_AB || L_CD y [A, B[ y [C, D[ tienen sentidos opuestos. Ver Figura 2.8.

En la Figura 2.9. se muestran dos vectores que tienen la misma dirección y sentido.

En la Figura 2.10. se muestran dos vectores con la misma longitud, dirección y sentidos opuestos. En la Figura 2.11. se muestran dos vectores con la misma dirección y sentidos opuestos.

Longitud o norma de un vector

Sea ^ un vector del plano. Existen dos puntos A, B del plano, tal que (A, B) ∈ ^ = ^ .

Definición

La longitud o norma de un vector ^ se denota con ^ y se define como ^ = d(A, B).

Se tiene que ^ = ^ = d(A, B) ≥ 0.

Como d(A, B) = 0 para todo punto A del plano, resulta que ^ = ^ = 0.

Supongamos A ≠ B. Puesto que d(A, B) = d(B, A), se sigue que ^ = ^ . Además, los vectores ^ y ^ tienen la misma dirección pero son de sentidos opuestos. En la Figura 2.10. se muestran los vectores ^ y ^ .

Operaciones con vectores en el plano

DCCD: M.5.2.3. Sumar, restar vectores de forma geométrica y de forma analítica, aplicando propiedades de los números reales y de los vectores en el plano.

● Operaciones con vectores en el plano

Saberes previos

¿A qué es igual la longitud o norma de un vector ^ del plano?

Desequilibrio cognitivo

Si un bote, en reposo, recibe el empuje de la corriente del agua y del viento, ¿cuál será su dirección en ese momento?

El conjunto de todos los vectores del plano se denota con V_2. Se definen las operaciones de adición y el producto de escalares por vectores de V_2 .

Adición en V_2

Definición

Sean ^ , ^ ∈ V_2. Existen A, B puntos del plano, tal que (A, B) ∈ ^ = ^ . A partir de B construimos un punto C del plano, tal que ^ = ^ . El vector ^ se llama suma de los vectores ^  y ^ , lo cual se denota ^ + ^ , eso es, ^ = ^ + ^ .

Debemos enfatizar que esta suma es independiente de la selección de sus representantes. Además, el bipunto (A, C) es un representante del vector ^ = ^ + ^ .

En la Figura 2.14. se muestran los vectores ^ , ^ , así como el vector ^ + ^ .

▲ Figura 2.14.

Dados los vectores ^ , ^ ∈ V_2 , existen A, B, C, D puntos del plano, tal que:

^

En la Figura 2.15. se muestran el vector ^ y tres bipuntos equipolentes con el bipunto (A, B) con ^ = ^ .

▲ Figura 2.15.

En la Figura 2.16. se muestran el vector ^ y dos puntos equipolentes (C, D) del vector ^ = ^ .

▲ Figura 2.16.

Simbología matemática

A la suma de dos vectores ^ y ^ la denotamos con ^ + ^ .

En la suma ^ + ^ , se elige un representante de ^ , por ejemplo (A_1 , B_1), y a partir del punto B_1 se construye el punto C_1 , de modo que (B_1 , C_1) ∈ ^ = ^ . El bipunto (A_1 , C_1) es un representante del vector ^ = ^ + ^ .

Propiedades de la adición de vectores

▲ Figura 2.17.

▲ Figura 2.18.

▲ Figura 2.19.

Teorema

Se verifican las siguientes propiedades:

i. Conmutativa: para todo ^ , ^ ∈ V_2 , ^ .

    En la Figura 2.17. se muestra el resultado ^ .

ii. Asociativa: para todo ^ , ^ , ^ ∈ V_2 , ^ .

iii. Existencia de elemento neutro: existe ^ ∈ V_2, tal que para todo ^ ∈ V_2, ^ .

iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada ^ ∈ V_2, existe ^  ∈ V_2, tal que ^ .

El elemento ^ se llama opuesto aditivo de ^ y se lo nota con −^ .

Considera ^ , ^ , ^ ∈ V_2, que se muestra en la Figura 2.18. La suma, ^ y ^ se muestra en la Figura 2.19. En la Figura 2.20. se muestra ^ y ^ .

Se verifica la siguiente propiedad ^ , conocida como desigualdad triangular.

▲ Figura 2.20.

Conexiones con las TIC

Observa este video para conocer una aplicación de los vectores:

www.mayedu.ec/matbu1/p87

Resta de vectores

Definición

Sean ^ , ^ ∈ V_2. Se define el vector ^ − ^ de V_2, del siguiente modo: ^ .

La resta de dos vectores se define en términos de la adición de vectores y del opuesto aditivo. Esto es, ^ − ^ se expresa como la suma de ^ con el opuesto aditivo

▲ Figura 2.21.

Debido a la existencia de opuestos aditivos, para cada ^ ∈ V_2 existe tal que ^ .

Sea ^ ∈ V_2. Como ^ , − ^ ∈ V_2 se sigue que ^ ∈ V_2. A este elemento se lo ha notado ^ − ^ . En la Figura 2.21. se muestran los vectores

Esta operación no cumple con las propiedades conmutativa ni asociativa. Tampoco posee elemento neutro y no cumple con la existencia de opuestos para la operación "–".

Multiplicación de un número real por un vector de V2

DCCD: M.5.2.3. Sumar, restar vectores y multiplicar un escalar por un vector de forma geométrica y de forma analítica, aplicando propiedades de los números reales y de los vectores en el plano.

● Multiplicación de un número real por un vector de V_2

Saberes previos

¿Cómo denotas la suma de dos vectores?

Desequilibrio cognitivo

Si una fuerza actúa sobre una carga puntual y dicha fuerza es proporcional al campo eléctrico en el que se encuentra, ^ , ¿cuáles son la magnitud escalar y la magnitud vectorial que se multiplican?

Recuerda que...

La suma de vectores se puede realizar por el método del paralelogramo, es decir, trazar sobre cada vector una recta paralela al otro vector, formando un paralelogramo cuya diagonal es la suma.

Practica
Dados los vectores ^ , ^ , encuentra el vector suma ^ + ^ .

Sean ^ ∈ V_2 , α ∈ R. A continuación se define la multiplicación del escalar α por el vector ^ . Esto es, α^ . Debemos tener presente que dado ^ , existen A, B puntos del plano, tal que (A, B) ∈ ^ = ^ .

Definición

Sean ^ ∈ V_2 y α ∈ R. Fijado el punto A, se construye B, tal que ^ = ^ y a partir de B se construye un punto C, tal que ^ . El bipunto (A, C) es representante de un vector ^ ^ denominado producto de α por ^ , al que se lo denota α^ , es decir, ^ = α^ .

La norma del vector resultante α^ es ^ .

En la Figura 2.22. se muestran los vectores ^ = ^ y α^ = ^ .

▲ Figura 2.22.

Obsérvese que si α > 0, los vectores ^ y α^ tienen la misma dirección y sentido. Además, si 0 < α < 1, α^ es un vector más pequeño que ^ , mientras que si α > 1, el vector α ^ es más grande que ^ (ver Figura 2.22.).

Si α < 0, los vectores ^ y α^ tienen la misma dirección pero son de sentidos opuestos. En la gráfica de la izquierda se muestra el caso α < –1.

Simbología matemática

- Denotamos los vectores con letras latinas, como ^ , ^ , ^ , ^ . Denotamos las magnitudes escalares con letras griegas, como α, β.
- Al producto de α por ^ lo denotamos con α^ .

Definición

Sean ^ , ^ ∈ V_2 con ^ . Se dice que ^ y ^ son colineales si y solo si existe α ∈ R, tal que ^ = α ^ .

Nótese que los vectores ^^ y α ^ son paralelos; son del mismo sentido si α > 0, y son de sentidos opuestos si α < 0.

Producto escalar o producto punto de dos vectores

Recuerda que...

Podemos multiplicar un vector por un escalar (número) y el resultado será otro vector.

Practica

Dado ^ =4 y α= 5 calcula ^ .

Definición

Sean ^ , ^ ∈ de V_2 . Se define el producto escalar de ^ con ^ , que se denota ^ ∙^ como ^ , donde  θ ∈ [ 0 , π ] es el ángulo que forman los vectores ^ con ^ .

Para el caso particular ^ = ^ , se obtiene ^ .

El espacio vectorial V_2 provisto del producto escalar se llama espacio euclídeo V_2 .

Ejercicio resuelto

▲ Figura 2.23.

Simbología matemática

- Al producto escalar de dos vectores, lo representamos por el punto entre los vectores: ^ ∙ ^ .
- Al producto por un escalar, llamado también multiplicación de un vector por un escalar, lo representamos sin el punto: α^ .

Dados los vectores ^ , ^ ∈ V_2 donde ^ = 2, ^ = 1,  ^ es un vector horizontal y ^ forma un ángulo de 120° respecto de la horizontal y en el sentido antihorario (ver Figura 2.23.), calcula la norma y determina el ángulo que forma el vector resultante respecto de la horizontal y en el sentido antihorario para ^ .

^

Se tiene ^ , .

Ángulo que forman los vectores 3^ y −2 ^ : 120º.

▲ Figura 2.24.

Recuerda que...

La ley de senos para triángulos oblicuángulos establece que:

La ley de cosenos establece que:

b^2    = a^2 + c ^2 − 2ac cos(β).

a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos(α).

c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(δ).

Por la ley de los cosenos:

^

^ .

Por la ley de senos:

^

^

α = 13,89788625.

El ángulo del vector resultante es: Ω = 13,9° + 120° = 133,9°, medido en sentido antihorario.

El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su módulo al cuadrado, ya que el coseno de cero es uno.

^ ;^

Definición

Sean ^ , ^ ∈ de V_2 . Se dice que ^ y ^ son ortogonales si y solo si forman un ángulo recto. Escribiremos ^ ⊥^ .

En la Figura 2.25. se muestran dos vectores ortogonales.

▲ Figura 2.25.

El producto escalar entre dos vectores ortogonales es nulo. Se tiene ^ ⊥^ ⇔ ^ ∙^ = 0.

Aplicación de los vectores geométricos

DCCD: M.5.2.4. Resolver y plantear problemas de aplicaciones geométricas y físicas (posición, velocidad, aceleración, fuerza, entre otras) de los vectores en el plano, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.

● Aplicación de los vectores geométricos

Saberes previos

¿Cómo calculas la longitud o norma de un vector?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuáles son tres aplicaciones diferentes de los vectores en situaciones cercanas a tu entorno?

En esta sección se tratan algunos problemas de la geometría y se presentan soluciones mediante la aplicación de los vectores geométricos en el plano, junto con sus operaciones y propiedades.

Ejercicio resuelto

Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.

Demostración

Considérese el triángulo, de la Figura 2.37. de vértices A, B, C. A los lados del triángulo T los denotamos con [A, B], [A, C] y [B, C] y, con estos, asociamos los vectores ^ , ^ y ^ . En la Figura 2.37. se muestran el triángulo T, los vectores , ^ , ^ y ^ y los puntos medios de los segmentos [A, C] y [B, C].

▲ Figura 2.37.

Sea D el punto medio del segmento [A, C], y E el punto medio del segmento [B, C]. Entonces ^ , ^ . Mostremos que ^ y, en consecuencia, [D, E] || [A, B].

De la suma de vectores ^ se obtiene ^ . Además, ^ (ver la Figura 2.37.). Luego,

^ ,

Recuerda que...

El término 'colineales' hace referencia a los puntos que se encuentran en la misma recta.

El punto medio de los lados de un triángulo divide a cada lado en dos de igual medida.

y de esta igualdad se tiene ^ :

^ ,

^ .

Así, ^ prueba que los vectores son colineales y, en consecuencia, el segmento de recta [D, E] es paralelo al segmento de recta [A, B], o sea, [D, E] || [A, B]. Adicionalmente a este resultado, se obtiene el siguiente: la longitud del segmento [D, E] es la mitad de la longitud del segmento [A, B]. Es decir que

Eje transversal

Salud

La matemática y en forma particular los temas de vectores los cuales están estrechamente ligados con los temas de desplazamiento, velocidad, sirven para determinar las fuerzas que actúan en una persona cuyo desplazamiento es en una silla de ruedas. De ahí que los fabricantes de estas sillas deben utilizar implementos que sean livianos y que permitan el deslizamiento con facilidad.

▲ Figura 2.38.

Aplicación de vectores en la física

Rampa para personas con discapacidades

El ejemplo que consideramos es el de una persona que se moviliza en una silla de ruedas. En la Figura 2.38. se muestra en forma esquemática este dispositivo y se asume que está ocupado por una persona. En una superficie horizontal seca, esta persona se moviliza sin inconvenientes.

Las fuerzas que actúan en su desplazamiento con velocidad constante son el peso de la persona más el de la silla de ruedas, a los que designamos con ^, y las cuales operan desde el centro de gravedad del sistema persona más silla de ruedas hacia abajo. Por el principio de acción-reacción (segunda ley de Newton), se tiene una fuerza normal ^ que es perpendicular a la superficie, de la misma magnitud que ^ , pero de sentido opuesto. La fuerza de fricción entre las ruedas y el piso es ^ , donde 0 < μ < 1 es el coeficiente de fricción dinámico (por rodadura). Los valores de μ para superficies muy lisas son del orden 0,10 y para superficies muy ásperas son del orden 0,6. La persona ejerce con sus brazos una fuerza en las ruedas que, para simplificar el problema, es una fuerza horizontal, designada con ^ y de la misma magnitud que ^ , pero opuesta a esta. Entonces escribimos

^

Simbología matemática

Utilizamos el símbolo ≅ para indicar un valor aproximado.

▲ Figura 2.39.

En la Figura 2.39. se muestran estas cuatro fuerzas.

Para mantener un movimiento uniforme, la suma de estas fuerzas debe ser nula:

Nos interesa la fuerza ^ . Su magnitud es F = μ_rP. Por ejemplo, si una persona con su silla de ruedas tiene una masa de 75 kg y μ_r = 0,2 la fuerza de tracción que debe ejercer la persona es equivalente a mover una masa de 15 kg.

Si esta persona tiene que acceder, en silla de ruedas, al primer piso por las gradas, estaría en graves dificultades. Para evitar este inconveniente, se construye una rampa de acceso que forma un ángulo α > 0 con el nivel del suelo, lo que facilita la movilidad.

Las fuerzas sobre este sistema son el peso ^ (persona + silla de ruedas), fuerza normal ^ en el punto de contacto de la rampa con las ruedas, fuerza de fricción ^ entre la rampa y las ruedas, y fuerza de tracción sobre las ruedas ^ , ejercida por la persona. Para mantener un movimiento uniforme, la suma total de fuerzas es ^ (tercera ley de Newton). Esto es ^

En la Figura 2.40. se ilustran las fuerzas que actúan sobre este sistema. Para facilitar el estudio, se considera el sistema de referencia ortogonal de modo que el eje x coincide con la rampa, y el eje y es perpendicular a esta. En este sistema de coordenadas, se muestran las fuerzas que obran sobre el sistema (Figura 2.41.).

▲ Figura 2.40.

▲ Figura 2.41.

Funciones reales

DCCD: M.5.1.20. Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones reales (función afín a trozos, función potencia entera negativa con = –1, n = –2, función raíz cuadrada, función valor absoluto de la función afín) utilizando TIC.

● Funciones reales

Saberes previos

¿En qué casos una relación f, subconjunto del producto cartesiano A x B, es una función?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué relación tienen las funciones reales con el cálculo de la teoría lineal de las olas?

Recuerda que...

Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera, una función o aplicación f de A en B es una regla de correspondencia, de asociaciones o procedimiento que asigna a cada elemento x ∈ A un único elemento y ∈ B.

El conjunto A se llama conjunto de salida de f o dominio de f, que se nota también Dom(f); el conjunto B se llama conjunto de llegada de f. Al elemento y de B se lo llama imagen de x por f, y lo escribimos y = f(x).

Para indicar que f es una función de A en B, utilizamos la notación siguiente:

^

En lo sucesivo, por simplicidad, diremos que "la función f de A en B está definida como y = f(x), x ∈ A", en la que f(x) denota la regla de correspondencia, de asignación o de asociación entre el elemento x ∈ A y el elemento y = f(x) ∈ B.

El conjunto { f (x) | x ∈ A }. se llama recorrido de f y se nota con Rec(f).

Esto es, Rec(f) = { f (x) | x ∈ A }.

A continuación, tratamos las funciones reales que son funciones cuyos conjuntos de salida y de llegada son subconjuntos de ℝ. Consideraremos la monotonía de las funciones reales. Una forma importante de visualizar la función es utilizar su representación gráfica. De esta manera, en ella podemos ver la forma que tiene en términos del crecimiento o decrecimiento en cada subconjunto del dominio, lo que a su vez nos permite emitir algunas conclusiones.

Definición

Sean A, B dos subconjuntos no vacíos de ℝ. Toda función f de A en B se llama función real.

El conjunto de salida o dominio de f es A; el conjunto de llegada es B; y el recorrido de f es el subconjunto de B, definido como:

Rec (f)= { f(x)| x ∈ A }.

Tenemos y ∈ Rec (f) ⇔ ∃x ∈ A, tal que y = f (x). Cuando el conjunto de llegada es todo ℝ, diremos simplemente función real definida en A.

Definición

Sean A, B dos subconjuntos no vacíos de ℝ y f una función real de A en B. El grafo de f se designa con G(f) y se define como el conjunto

G (f) = { ( x , f(x)) | x ∈ A }

El grafo de f es un subconjunto no vacío de ℝ^2, G(f) ⊂ ℝ^2. Este conjunto puede ser graficado en el sistema de coordenadas rectangulares. A la gráfica resultante la denominamos representación gráfica de f. De la definición del conjunto G(f), se tienen las siguientes equivalencias:

(x, y) ∈ G(f) ⇔ y = f(x),

(x, y) ∉ G(f) ⇔ y ≠​ f(x).

Monotonía de las funciones reales

Definición

Sean A, B dos subconjuntos no vacíos de ℝ y f una función de A en B, I ⊂ A:

i. Se dice que f es creciente sobre I si y solo si verifica la condición siguiente:
∀ x_1 , x_2 ∈I , x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) ≤ f(x_2)

ii. Se dice que f es estrictamente creciente sobre I si y solo si se verifica:
∀ x_1 , x_2 ∈I , x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) < f(x_2)

iii. Se dice que f es decreciente sobre I si y solo si se satisface la condición:
∀ x_1 , x_2 ∈I , x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) ≥  f(x_2)

iv. Se dice que f es estrictamente decreciente sobre I si y solo si verifica la condición siguiente:
∀ x_1 , x_2 ∈I , x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) > f(x_2)

▲ Figura 2.50.

En la Figura 2.50. se muestra la gráfica de una función creciente.

Pon atención en la forma de la gráfica de la función f, observa los puntos (x_1, c_1), (x_2, c_2) y (a_1, c_1), (a_2, c_1):

A la gráfica de una función como esta, la designamos también como curva creciente.

▲ Figura 2.51.

La Figura 2.51. muestra la gráfica de una función estrictamente creciente.

Nótese la forma de su gráfica y que para todo par de puntos x_1 , x_2 ∈ Dom(f), tal que x_1 < x_2, se tiene siempre f(x_1) < f(x_2). A la gráfica de una función como esta la llamamos también curva estrictamente creciente.

▲ Figura 2.52.

La Figura 2.52. muestra la gráfica de una función decreciente.

Pon atención a la gráfica de la Figura 2.30. y a los puntos x_1 , x_3 , a_1, a_2 ∈​ Dom(f):

A la gráfica de una función como esta la llamaremos también curva decreciente.

▲ Figura 2.53.

La Figura 2.53. muestra la gráfica de una función estrictamente decreciente.

Pon atención en la forma de la gráfica y observa que para todo par de puntos x_1 , x_2 ∈ Dom(f), tal que x_1 < x_2, se tiene siempre f(x_1) > f(x_2). A la gráfica de una función como esta la denominaremos también curva decreciente.

Función afín

Definición

▲ Figura 2.54.

Una función f de ℝ en ℝ definida como f (x) = ax + b, ∀ x ∈ ℝ, donde a, b ∈ ℝ fijos, se llama función afín.

En el caso en que b = 0, la función afín se llama función lineal.

Función nula: si a = b = 0, la función afín es la función nula a la que escribimos f_0. Esta función está definida como f_0(x) = 0, ∀x ∈ ℝ.

Función constante: si a = 0 y b ≠ 0, la función afín es la función constante no nula f(x) = b, ∀x ∈​ ℝ.

De la definición de la función afín f, se tiene que el dominio o conjunto de salida de f es todo ℝ, a lo cual lo escribimos Dom(f) = ℝ. El conjunto de llegada es ℝ. Si a = 0, el recorrido Rec (f) = {b} . Supongamos a ≠ 0. Por definición, Rec (f) = {f (x) | x ∈​ ℝ} ⊂  ℝ.

La Figura 2.54. representa una función afín.

Funciones reales a trozos

Saberes previos

¿A qué llamamos dominio y a qué llamamos recorrido de una función?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué tipo de función real se tiene al modelar la variación de temperatura en una cámara refrigerada?

Funciones reales a trozos

Definición

Una función f de ℝ en ℝ, definida como

se dice afín a trozos, donde a_1, a_2, b_1, b_2 ∈ℝ son constantes no todas nulas, x_0∈ℝ fijo.

Sea v la función real, definida como:

▲ Figura 2.55.

Esta es una función afín a trozos. En cada intervalo, v es estrictamente creciente. Para x < 2, la semirrecta tiene una pendiente ^ , para x ∈ [2,4] la porción de recta tiene una pendiente m_2 = 1 y para x ∈ ]4,∞[, la semirrecta tiene una pendiente ^ .

En la Figura 2.55. se muestra la gráfica de esta función.

Función potencia entera negativa con n = –1, n = –2

Sea v la función de ]0, ∞[ en ]0, ∞[, definida como:

^ .

Recuerda que...

En la vida, nos encontramos frecuentemente con fenómenos que se comportan todo el tiempo o por momentos de manera lineal. Estos fenómenos se pueden graficar mediante funciones definidas por tramos, que corresponden a gráficos de funciones afines, llamadas funciones reales a trozos.

▲ Figura 2.56.

En primer lugar, ^ está definido si x ≠ 0. Como x∈]0, ∞[, entonces x > 0, con lo que x^–1 existe y v(x) está bien definido.

Obviamente, Dom(v) = ]0,∞[, Rec(v) = ]0,∞[ y el grafo de la función v, G(v) es el conjunto definido como:

^

A continuación, se obtienen algunos puntos de G(v):

^ ,

^ ,

^ .

Obsérvese que para valores de x > 0 muy cercanos de 0, v(x) toma valores muy grandes. Por ejemplo:

^

Interdisciplinariedad

Matemática y física

La función raíz cuadrada se encuentra vinculada a la teoría lineal de las olas. Esta teoría indica que la raíz cuadrada del producto de la profundidad del agua por la aceleración de la gravedad es la celeridad o velocidad de la onda que se acerca a la costa, en aguas poco profundas.

^ .

El estudio de las condiciones del oleaje reviste gran importancia por su aplicación en las plataformas marinas, petroleras y los rompeolas, entre otras utilidades.

Fuente: http://matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/temas_11no/03_Funcion_raiz_cuadrada_y_raiz_cubica/co/03_Funcion_raiz_cuadrada_y_raiz_cubica_4.html

Simbología matemática

- ^ se lee: "para todo equis uno, equis dos que pertenecen al intervalo semiabierto a la derecha, desde cero al infinito".
- ^ se lee: "la raíz cuadrada de equis uno es mayor o igual a cero".

Y así sucesivamente. Mientras que para valores x muy grandes, v(x) > 0 es muy cercano de cero. Por ejemplo:

^

(la función v es estrictamente decreciente).

En la Figura 2.56. se muestra la gráfica de la función v.

Función raíz cuadrada

La función real f de [0, ∞[ en [0, ∞[, definida como

f(x) = √x ; Ɐx ∈ [0,∞[ ,

se llama función raíz cuadrada. Usando la notación habitual de función, se tiene:

^

La definición de raíz cuadrada involucra tres argumentos:

^ . De estos argumentos y de la definición de la función raíz cuadrada, se tiene: Dom(f) = [0, ∞[, Rec(f) = [0, ∞[.

La función f es estrictamente creciente; es decir que f satisface la siguiente propiedad:

^

En efecto, sean x_1, x_2 ∈ [0, ∞[, tal que x_1 < x_2.

Entonces: ^ y

^ ,

de donde ^ , que implica ^ , o sea, f(x_2) > f(x_1) o lo que es lo mismo, f(x_1) < f(x_2).

Así, ∀ x_1 _ , ___ x_2 ∈ [ 0 , ∞ [ , x_1 < x_2 ⇒ f (x_1 ) < f (x_2), que prueba que la función raíz cuadrada es estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞[.

▲ Figura 2.57.

Calculamos algunos valores de esta función:

^

Además, considerando que la función raíz cuadrada es estrictamente creciente, podemos construir su gráfica, que se muestra en la Figura 2.57.

Observemos que, por ser la función raíz cuadrada estrictamente creciente, esta se inicia en el origen y se extiende a la derecha y hacia arriba. Además, para x, tan grande como se quiera, √ x es igualmente grande.

Composición de funciones reales

DCCD: M.5.1.21. Realizar la composición de funciones reales analizando las características de la función resultante (dominio, recorrido, monotonía, máximos, mínimos, paridad).

● Composición de funciones reales

Saberes previos

¿Cómo identificas una función afín a trozos?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué es la composición de dos funciones?

Definición

Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos cualesquiera, f una función de A en B, y g una función de B en C. La composición de la función g con la de f, que se nota g ο f, es la función de A en C definida como:

(g ∘ f) (x) = g (f (x)), ∀x ∈  A.

De la definición se tiene:

▲ Figura 2.60.

▲ Figura 2.61.

Por ejemplo:

Sean A = {–30, –25, –20, –15}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {10, 20, 30, 40, 50}, f y g son las funciones que se muestran en los diagramas de Venn-Euler de la Figura 2.60.

La función g ∘ f está definida del modo que a continuación se indica:

(g ∘ f) (–30) = g (f (–30)) = g(4) = 20,

(g ∘ f) (–25) = g (f (–25)) = g(2) = 60,

(g ∘ f) (–20) = g (f (–20)) = g(0) = 40,

(g ∘ f) (–15) = g (f (–15)) = g(3) = 30.

En el diagrama de Venn-Euler se muestran todos estos resultados de la función g ∘ f (Figura 2.61.).

Ejercicio resuelto

Este es el caso de la familia Quiñónez. El grupo familiar está constituido por cinco miembros: papá, mamá y tres hijos (en educación básica y bachillerato). La familia posee un departamento propio. Los gastos que deben realizar en el primer mes del inicio de clases se muestran en la Tabla 2.1.

Rubro | Gasto (USD)
Alimentación | 900
Salud | 400
Educación | 650
Transporte | 450
Vestimenta | 800
Total | 3 200

▲ Tabla 2.1.

^Fuente: Dr. H. Benalcázar, 2017

Primero, transformamos estos datos a porcentajes. Para ello, dividimos miembro a miembro por el total y obtenemos los siguientes resultados:

Luego, multiplicamos por 100 ambos miembros de la última igualdad. Así: 28,125 + 12,5 + 20,312 5 + 14,062 5 + 25 = 100.

Una forma de representar los datos obtenidos por medio de una gráfica en pastel, una gráfica sectorial o una gráfica circular. Con este fin, al círculo lo dividimos en sectores angulares, de modo que el ángulo central de cada dato sea proporcional al porcentaje del dato. Así, si A representa la medida del ángulo central y p el porcentaje del dato, mediante una regla de tres simple obtenemos A = 3,6 p.

Rubro | Gasto (USD) | Porcentaje (%) | Ángulo
Alimentación | 900 | 28,125 | 101,25^o
Salud | 400 | 12,5 | 45^o
Educación | 650 | 20,312 5 | 73,125^o
Transporte | 450 | 25,062 5 | 50,625^o
Vestimenta | 800 | 25,00 | 90,0^o
Total | 3 200 | 100 | 360^o

▲ Tabla 2.2.

^Fuente: Dr. H. Benalcázar, 2017

La Tabla 2.2. muestra los porcentajes y la medida de cada ángulo central.

Así: ^ ,

donde G es el gasto de cada ítem o categoría nominal.

▲ Figura 2.62.

Representamos los datos en una gráfica circular. En la Figura 2.62. se muestra cada categoría nominal y su ángulo central.

Visiblemente, las categorías de alimentación y vestimenta tienen los mayores gastos, mientras que la de salud es la más pequeña.

Denotamos con X a los elementos de la categoría nominal; con Y, al conjunto de gastos previstos; y con Z, al conjunto de los respectivos ángulos.

X = {alimentación, salud, educación, transporte, vestimenta},

Y = {900, 400, 650, 450, 800},

Z = {101,25^o, 45^o, 73,125^o, 50,625^o, 90,0}.

Recuerda que...

La composición de funciones es una operación que no es conmutativa.

Se comprueba con el siguiente ejemplo:

Sean las funciones reales f, g:

^
^
^
^

La correspondencia entre cada categoría nominal y su gasto define una función que notamos con f. Esto es,

Es decir que a cada elemento del conjunto X se lo asocia con un único elemento del conjunto Y, que escribimos

f (categoría nominal) = gasto. Así:

f (alimentación) = 900, f (salud) = 400, f (educación) = 650,

f (transporte) = 450, f (vestimenta) = 800.

En forma similar, la correspondencia entre cada gasto y su respectivo ángulo define una función g como sigue:

A la correspondencia entre cada categoría nominal y su medida del ángulo central, la designamos con H:

de modo que a cada elemento de X se lo asocia con una única medida de un ángulo central.

H (alimentación) = 101,25^o, H (salud) = 45^o, H (educación) = 73,125^o,

H (transporte) = 50,625^o, H (vestimenta) = 90,0^o.

La función H es la función compuesta g ∘ f:

H (categoría) = (g ∘ f) (categoría) = g (f (categoría)) = g (gasto) = ángulo.

Modelos matemáticos con funciones reales simples

DCCD: M.5.1.22. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, con el empleo de la modelización con funciones reales (función afín a trozos, función potencia entera negativa con n = –1, –2, función raíz cuadrada, función valor absoluto de la función afín), identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos.

● Modelos matemáticos con funciones reales simples

Saberes previos

¿Cómo identificas la función real raíz cuadrada?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es la representación gráfica de la función área de un terreno de forma rectangular de largo 3x y ancho x?

Modelización con funciones reales

Ejercicio resuelto

Supongamos que, por simplicidad, la trayectoria de la ciudad AAA a la ciudad BBB es considerada una recta horizontal. Una ciclista parte de la ciudad AAA a las 09h00 hacia la ciudad BBB. Recorre 30 km en cada hora. Esto es, su velocidad media es

La función de desplazamiento de la ciclista es s(t) = 30t, t ≥ 09h00. Dos horas más tarde, parte un automóvil con una velocidad media de La función de desplazamiento del automóvil es s_2(t) = 70t, t ≥ 11h00. Durante las dos primeras horas, la ciclista recorre s(2) = 30 × 2 km = 60 km, lo que nos permite definir una nueva función s_1(t) = 60 + 30t, t ≥11h00. En la Figura 2.63. en el sistema de coordenadas rectangulares, representamos gráficamente estas dos funciones.

▲ Figura 2.63.

A cada instante, las distancias recorridas por la ciclista y el automóvil siempre aumentan, es decir que las funciones s_1 y s_2 son estrictamente crecientes. En las gráficas de estas funciones observamos que la de la ciclista es más inclinada que la del automóvil o que la gráfica de la función de desplazamiento del automóvil es más empinada que la de la ciclista. Esta observación se traduce en el hecho de que la gráfica que corresponde al automóvil tiene una pendiente mayor que la que le corresponde a la ciclista. Además, observamos que las dos gráficas se cortan en un punto t_1. Así, una estimación visual de t_1, basada en las gráficas, no resulta muy apropiada. Ahora, calculemos analíticamente este punto. Tenemos s_1(t_1) = 60 + 30t_1  y  s_2(t_1) = 70t_1 , luego,

es decir que después de hora y media de recorrido, el automóvil alcanza a la ciclista.

Eje transversal

Valores

El respeto hacia todas las personas y todo aquello que nos rodea es el principio de una relación armónica.

Ejercicio resuelto

Uso de escalas

La unidad de medida de longitud en el Sistema Internacional es el metro (m) con sus múltiplos y submúltiplos. Sin embargo, en algunos países se utiliza la pulgada (in), el pie (ft), la yarda (yd) y la milla (mi). Dada una medida m > 0 en un sistema, nos interesa el valor de esta medida en otro sistema.

Recuerda que...

Consideremos el conjunto

De la definición de este conjunto, se tiene la siguiente equivalencia:

El número real a se llama tanto por ciento, el número real p se llama porcentaje y el conjunto A se llama conjunto de porcentajes. Escribimos a %, que se lee "a de 100". Nótese que p ∈ [0, 1]. Además, p es adimensional.

La palabra porcentaje proviene del latín per centum que significa 'tanto por ciento'. Por ejemplo:

5% significa 5 de

11,2% significa 11,2 de 100,

Dada la cantidad C ≥ 0 y el tanto por ciento a % o

entonces V = pC es la cantidad que corresponde al porcentaje p de la cantidad C. Esta fórmula nos permite definir la función V_p del siguiente modo:

Tanto el dominio como el recorrido de V_p es ℝ. Claramente V_p es una función lineal estrictamente creciente; el grafo de V_p es el conjunto

Este conjunto representa una recta con pendiente p, que se muestra en la Figura 2.64.

▲ Figura 2.64.

Muchas magnitudes físicas (como la masa, temperatura, presión y otras) o de origen económico (como la cotización de una moneda frente a otra) se expresan en dos o más sistemas de medida y tienen un comportamiento lineal.

Hay magnitudes que en dos o más sistemas de medida no tienen un comportamiento lineal y pueden ser, por ejemplo, del tipo logarítmico o exponencial, que será tratado en cursos superiores.

Sean L_0, L valores de la magnitud x en un sistema de medida, tal que L_0 < L, a lo que denominamos primer sistema, donde M_0 corresponde a L_0 y M corresponde a L en el otro sistema de medida, al que lo denominamos segundo sistema, con M_0 < M; nos interesa calcular x en el segundo sistema.

El problema es el siguiente: buscar una función afín f de la forma f(x) = ax + b x∈ℝ, con a, b constantes reales a determinar de las condiciones f (L_0) = M_0 ; f (L) = M y f estrictamente creciente. Esto es, a > 0.

De la definición de f tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

De este sistema de ecuaciones, obtenemos las constantes a y b:

Por lo tanto, para x∈ℝ se tiene:

Así, la función afín está definida como:

Particularmente, si M_0 = 0; L_0 = 0, se tiene:

Es decir que f es la función lineal. Para M > 0, L > 0, ponemos de donde M = CL. Es este caso, C > 0 es la constante de conversión de una unidad a otra y la función lineal queda definida como f(x) = Cx; x∈ℝ.

Consideremos, como ejemplo, la temperatura T y las escalas Celsius y Fahrenheit. A 0 ºC se tiene 32 ºF y los 25 ºC corresponden a 77 ºF. Determinemos una función afín f que permita calcular temperaturas en grados centígrados (ºC) a temperaturas en grados Fahrenheit (ºF).

Ponemos C_0 = 0, F_0 = 32, C = 25 y F = 77. Entonces,

Desafíos científicos

Desafíos científicos

La matemática y los juegos de computadora

Los juegos de computadora son impensables sin el uso de la matemática, pues para la creación se conjugan contenidos matemáticos como espacios vectoriales, transformaciones lineales, leyes físicas y estrategias en 2D y 3D, entre otros.

Con solo mirar un vector, pensamos: ¿para qué se pueden utilizar los vectores en los juegos de video? En efecto, surgen muchas respuestas. Por ejemplo, se los utiliza para posicionar elementos que se usan en el juego, es decir, para indicar la posición de un objeto utilizando dos coordenadas: una en x y la otra en y. Luego nos preguntamos: ¿podríamos usar vectores para almacenar las posiciones de las entidades? ¡Claro que sí! Los vectores se representan mediante una flecha que indica la dirección, la longitud y el sentido; conociendo estos elementos, se pueden rotar los vectores.

Tomado de http://profe-alexz.blogspot.com/2012/06/el-uso-de-las-matematicas-en-los-juegos.html

▲  Video juegos.

Desafíos científicos

Desafíos científicos

Ingeniería en Sistemas

Esta carrera forma profesionales idóneos en el área, con criterio científico, técnico, empresarial y humanista. Son capaces de diseñar, implementar, soportar y gestionar soluciones en el campo de las tecnologías de información, comunicación y computación.

Un aspirante a ingeniería en sistemas debe haber desarrollado varias destrezas en el bachillerato, como por ejemplo:

- Conocimiento de fundamentos matemáticos, cálculo diferencial e integral, elementos de álgebra lineal y física, además del desarrollo de habilidades de razonamiento lógico, abstracción y modelamiento matemático.
- Uso de la herramientas tecnológicas, navegación en Internet y manejo de sistemas operativos.

Este profesional está en la capacidad de:

- Definir técnicamente los requerimientos de software de una empresa.
- Realizar el diseño y construcción de productos de software siguiendo estándares de calidad.

​Duración de la carrera

La carrera tiene una duración de entre nueve y diez semestres, más el proyecto de titulación o proyecto de graduación.

▲  Ingeniero en sistemas.

TIC

TIC

GeoGebra para graficar adición de vectores

GeoGebra es un software dinámico de uso libre. Para aprender a utilizar GeoGebra, puedes consultar en Internet temas como "Uso básico de GeoGebra".

1. Ubicación de puntos en el plano

2. Graficación de vectores desde el origen

Dibuja los vectores, uno a continuación del otro. Para dibujar el vector u desde el origen hasta A, en la barra de entrada, coloca la opción Vector y, entre los corchetes, coloca el punto A y, luego, presiona la tecla Enter.

Para dibujar el vector v, desde el extremo de A hasta el punto B, en la barra de entrada, selecciona la opción Vector y, entre los corchetes, ingresa el punto A coma B y presiona la tecla Enter.

Observa que, en la Vista Algebraica, ya se registraron los dos vectores que graficaste: u y v.

Para graficar el vector resultante, en la barra de entrada, escribe u + v. Finalmente, presiona la tecla Enter para obtener el vector suma.

Uso de detalles en la gráfica de vectores

Si quieres nombrar los vectores y otros detalles, usa estas opciones.

Para que sobre cada vector aparezca su nombre, u, v, w, haz clic derecho o doble clic sobre el vector y selecciona Muestra Rótulo.

Para cambiar la apariencia del vector, como color u otros detalles de estilo, haz clic derecho o doble clic sobre el vector y selecciona Propiedades de Objetos.

Entonces, se desplegará un cuadro de diálogo, donde aparecerán todas las opciones.

Norma o longitud de un vector

Para determinar la norma o longitud de un vector, selecciona la opción Distancia o Longitud.

Ubica el cursor en el punto inicial y final del vector y aparecerá la norma.

Desafíos y proyectos matemáticos

Desafíos y proyectos matemáticos

Tema: Escalas, Google Maps y vectores

Recursos

- Mapa del Ecuador a escala
- Regla graduada
- Calculadora
- Computadora
- Internet
- Aplicación Google Maps

Justificación

El estudio de vectores es de gran importancia por las múltiples aplicaciones que estos tienen. Por ejemplo, cuando se trata de ubicar diferentes puntos, además de conocer la distancia, es necesario conocer la dirección y el sentido; es ahí donde se recurre al uso de los vectores.

Hoy, con el avance de la tecnología, hay una aplicación de mapas en la web que se denomina Google Maps. Este programa permite ver imágenes de mapas desplazables, así como fotografías satelitales e, incluso, rutas entre diferentes ubicaciones.

Objetivos

- Trazar vectores sobre el mapa político del Ecuador, luego, encontrar la longitud o norma del vector y, con el uso adecuado de la escala, determinar la distancia de un lugar a otro.
- Comparar las distancias obtenidas al trazar los vectores sobre el mapa político del Ecuador con la distancia que se puede obtener mediante la aplicación Google Maps.

Actividades

- Formen equipos de trabajo, con no más de tres estudiantes por grupo.
- Tomen el mapa del Ecuador e identifiquen su escala.
- Localicen un punto, por ejemplo Quito, y dibujen los ejes del plano cartesiano, orientados de acuerdo con los puntos cardinales.
- Tracen los vectores en línea recta que unen los puntos Quito-Tulcán, Quito-Riobamba, Quito-Loja.
- Midan, con una regla, la longitud del vector trazado desde Quito hacia los diferentes puntos. Luego, utilicen la escala y determinen la magnitud del vector en kilómetros.
- Ingresen a Google Maps y, en la casilla Buscar en Google Maps, seleccionen la opción Cómo llegar. Luego, en los espacios correspondientes, escriban el lugar de destino y el lugar de llegada.
Observen cómo automáticamente se traza la ruta y aparece la distancia de recorrido, expresada en kilómetros.
- Comparen las longitudes encontradas sobre el mapa del Ecuador y las obtenidas en Google Maps.
Estimen el error.

Conclusiones

Los procesos de medición con regla, por lo general, no son exactos. Sin embargo, con el avance de la tecnología, se pueden dar soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad y de nuestro entorno.

▲ Recorrido con Google Maps.

En síntesis

En síntesis