Title: Unidad 6
Course: Física Plus + 2 BGU

Movimiento armónico simple

▲ Péndulo de Foucault.

Cuando tocamos la cuerda de una guitarra, vemos, por un corto tiempo,  que se produce un movimiento repetitivo. Lo mismo sucede en el péndulo de un reloj; continuamente se encuentra en movimiento de un lado a otro. A este fenómeno se lo conoce como movimiento armónico simple (MAS).

Su estudio es de suma importancia cuando se tratan temas como ondas, sonido, luz y ondas electromagnéticas. La base conceptual de todos estos temas es el MAS, por tanto, en esta unidad  introduciremos conocimientos básicos del movimiento circular como frecuencia y período, para poder deducir sus ecuaciones. En la ilustración vemos el reloj pendular de Foucault (1851), usado para demostrar la rotación de la Tierra.

    Objetivos

1. O.CN.F.3. Comunicar resultados de experimentaciones realizadas, relacionados con fenómenos físicos, mediante informes estructurados, detallando la metodología utilizada, con la correcta expresión de las magnitudes medidas o calculadas.
2. O.CN.F.7. Comprender la importancia de aplicar los conocimientos de las leyes físicas para satisfacer los requerimientos del ser humano a nivel local y mundial, y plantear soluciones a los problemas locales y generales a los que se enfrenta la sociedad.

    La física y las profesiones

Ingeniería de Sonido y Acústica

Es una de las profesiones más fascinantes de la actualidad, pues combina métodos antiguos con procedimientos contemporáneos para poder revolucionar el mundo musical y de sonido. Se ocupa desde producciones musicales hasta resolución de problemas medioambientales al combatir el ruido. Esta profesión fundamenta el estudio del control de vibraciones mecánicas y estructurales, para así poder diseñar espacios que sean atractivos desde lo acústico. Crea ambientes amigables con diseños electroacústicos adecuados. Para ello se requiere el conocimiento de conceptos básicos como el movimiento armónico simple.

El ingeniero o la ingeniera de sonido pueden trabajar junto con los profesionales de Ingeniería Mecánica, Civil, Ambiental o incluso con arquitectos para crear un ambiente perfecto, donde el ser humano viva en armonía.

Esta profesión se puede estudiar en la Universidad de las Américas y la Universidad San Francisco de Quito. Más información en: www.cursosycarreras.com.ec/search?q=Sonido

Movimiento periódico y movimiento armónico simple (MAS)

CN.F.5.1.35. Determinar experimentalmente que un objeto sujeto a un resorte realiza un movimiento periódico (llamado movimiento armónico simple) cuando se estira o se comprime, generando una fuerza elástica dirigida hacia la posición de equilibrio y proporcional a la deformación.

● Movimiento periódico y movimiento armónico simple (MAS)

Saberes previos

¿Qué dice la ley de Hooke con respecto a las deformaciones en resortes?

Desequilibrio cognitivo

Al aplicar y retirar una fuerza de estiramiento sobre un resorte, ¿llega a su posición original y se queda en reposo o qué sucede? ¡Haz la prueba!

Cuando tocamos la cuerda de una guitarra, o cuando sostenemos un cuerpo y lo hacemos oscilar libremente, el cuerpo se trasladará continuamente de una posición inicial a una final; a esto se lo denomina movimiento periódico. Un caso especial de movimiento periódico es el movimiento armónico simple (MAS) que se da siempre y cuando no existan fuerzas que se opongan al movimiento, como, por ejemplo, fuerzas de rozamiento. Este movimiento se encuentra bajo la acción de una fuerza elástica.

▲ Movimientos oscilatorios y periódicos.

▲ Figura 6.1. Fuerzas y elongaciones proporcionales.

En primer lugar, vamos a estudiar el comportamiento de resortes frente al MAS, en función de la ley de proporcionalidad de Hooke: como sabemos, al tener una fuerza (F), esta será proporcional (𝛼) a la elongación o contracción (x) que sufre el resorte:

F𝛼 − x

Para levantar esa proporcionalidad, se usa la constante k, que dependerá del tipo de resorte. Por lo tanto, la fuerza elástica del resorte es:

F = − kx

Recordemos que conforme aumenta la elongación, aumenta la fuerza ejercida, por lo que, si el extremo del resorte no se ha desplazado, el cuerpo no se ha desplazado. Por tanto, la fuerza elástica es 0. Asimismo, si el resorte llega a su máxima elongación, actuará la máxima fuerza elástica (Figura 6.1.).

TIC

Mira el enunciado del problema planteado en el video:

www.mayedu.ec/fis2/p193

Resuelve el problema y luego compáralo con tu solución.

Ejercicio

Tenemos una masa suspendida de 2,8 kg en un resorte que se encuentra verticalmente; este se deforma 3,5 cm a partir de su posición inicial. Se requiere determinar la constante del resorte y realizar el mismo cálculo luego de aplicar 1 kg más. Hallar su nueva elongación si a partir de los 3,8 kg que se añadieron, una fuerza de 30 N estiró el resorte y lo soltó junto con la masa antes añadida:

Hallar la elongación que sufrió el resorte y su aceleración bajo la acción de esta fuerza.

En primer lugar, para resolver el ejercicio, realizamos un gráfico de las condiciones del problema. Luego hacemos el diagrama de cuerpo libre en cada condición, y aplicamos la segunda ley de Newton de la siguiente manera:

▲ Figura 6.2.

Existen tres casos que son:

1. Sometido a una fuerza igual al peso de la masa de 2,8 kg.
2. Bajo una fuerza igual al peso de la masa de 3,8 kg.
3. Al aplicar la fuerza de 30 N junto con la fuerza de peso de la masa de 3,8 kg.

Para hallar la constante del resorte, se usará la ley de Hooke:

Como sabemos, la constante del resorte es la misma para todos los casos al cumplir la ley de proporcionalidad de Hooke, es decir, sin fuerzas que se opongan al movimiento. Por lo tanto, para el segundo y tercer caso, la deformación es:

Amplitud, período y frecuencia

CN.F.5.1.34. Deducir las expresiones cinemáticas a través del análisis geométrico del movimiento armónico simple (MAS) y del uso de las funciones seno o coseno (en dependencia del eje escogido), y que se puede equiparar la amplitud A y la frecuencia angular w del MAS con el radio y la velocidad angular del MCU.

● Amplitud, período y frecuencia

Saberes previos

¿Recuerdas el significado de período y frecuencia en el movimiento circular?

Desequilibrio cognitivo

¿Qué efecto tendría en el MAS si existiesen fuerzas que contra-rrestaran al movimiento, como la fricción?

Período y frecuencia

Al hablar de movimiento armónico simple, nos referimos especialmente a un movimiento periódico, por lo que las ecuaciones de su frecuencia y período son iguales que en el movimiento circular, al tratarse de ciclos que cumple el cuerpo en acción:

^ , medida en hercios (Hz)

donde f es la frecuencia, es decir, el número de ciclos o de oscilaciones por segundo de una partícula o cuerpo; y T es el período medido en segundos, es decir, el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación o un ciclo completo.

Se debe tomar en cuenta que el comportamiento de un cuerpo en el movimiento armónico simple es ideal; es decir, se asume que no existen fuerzas que contrapongan el movimiento. Esto permite cumplir la ley de proporcionalidad de Hooke. Pero en muchos casos, podemos encontrar movimientos con fuerzas que no son necesariamente proporcionales a los desplazamientos, por lo que ya no rige un movimiento armónico simple, y se tratará como un caso diferente.

Amplitud (A)

Cuando el cuerpo realiza un ciclo, tenemos una posición inicial y una final; y de ahí continúa al siguiente ciclo de modo repetitivo, tanto en un péndulo como en un resorte. En este último, describimos a la amplitud como la distancia máxima que llega a cumplir un resorte con respecto a su posición de equilibrio o de reposo.

▲ Figura 6.3. Función seno.

▲ Figura 6.4. Movimiento periódico de un resorte: al aplicar el peso de un cuerpo, el resorte se estira y vuelve a su posición inicial.

Interdisciplinariedad

Física y geología

Durante los sismos, vemos que gran parte de las estructuras vibran y se mueven de un lado a otro. Conforme se da el movimiento de la Tierra, estos movimientos periódicos provocan en las estructuras deformaciones excesivas y fallos en sus elementos, lo que implica colapso y posterior destrucción. Sin embargo, científicos e ingenieros han desarrollando numerosas tecnologías para permitir que la estructura pueda moverse de forma periódica, al igual que la Tierra, permitiendo así que no haya desplazamientos bruscos y todo sea uniforme.

▲ Ondas sísmicas: vemos que el comportamiento de un sismo empieza levemente. Con el tiempo se desarrolla y provoca daños al tener amplitudes mayores en los períodos de oscilación de la Tierra.

▲ Diferentes frecuencias de radio, y en general para medios de comunicación, tanto para antenas satelitales como para Internet y celulares.

El movimiento armónico simple es un movimiento ideal, es decir, no existe como tal, debido a que si estiramos un resorte y lo soltamos, este oscilará amortiguadamente hasta detenerse, debido al rozamiento interno entre las moléculas que lo conforman y el rozamiento con el medio. Pero este estudio ideal es fundamental para entender adecuadamente todo movimiento oscilatorio, tanto de las ondas mecánicas como de las ondas electromagnéticas.

En el movimiento ondulatorio o estudio de las ondas, encontramos los conceptos de frecuencia y de amplitud.

La señal de Wifi, GSM o 3G que recibe un celular se relaciona con una determinada frecuencia y para que la señal sea captada, es necesaria, además de la frecuencia, la amplitud de la onda. La frecuencia de las ondas electromagnéticas de una radio son constantes, y la amplitud varía dependiendo de la distancia y de los medios de interferencia que pueden existir.

Análisis del MAS

CN.F.5.1.36. Identificar las magnitudes que intervienen en el movimiento armónico simple, por medio de la observación de mecanismos que tiene este tipo de movimiento, y analizar geométricamente el movimiento armónico simple como un componente del movimiento circular uniforme, mediante la proyección del movimiento de un objeto en MAS sobre el diámetro horizontal de la circunferencia.

● Análisis del MAS

Saberes previos

¿Recuerdas cómo se definen la rapidez, la aceleración y el desplazamiento angulares?

Desequilibrio cognitivo

Cuando estudiamos  movimiento circular, no se tomaron en cuenta las fuerzas elásticas de un resorte.

¿Qué crees que sucedería si se agregaran estas fuerzas?

¿Sería un movimiento uniforme?

Interdisciplinariedad

Física y trigonometría

▲ Figura 6.5.

Se mencionó que la fuerza de restitución de un resorte es  F = −kx. Digamos que F = ma. Si reemplazamos, nos queda que:

Cuando la amplitud de oscilación de un cuerpo es igual al radio de un círculo, el comportamiento del movimiento armónico se puede considerar como una proyección del movimiento circular (Figura 6.6.).

▲ Figura 6.6.

Podemos definir geométricamente que la posición de una esfera en el punto P es: x = A cos θ

▲ Figura 6.7.

Su aceleración centrípeta, como lo estudiamos en el movimiento circular uniforme, es:

a_c = ω^2 A

Donde ω es la rapidez angular; por lo tanto, si reemplazamos la aceleración (a_c) y la posición (x), nos quedamos con la ecuación que describe la rapidez angular oscilatoria en un resorte en el extremo:

F = ma_c

−kA = mω^2 A,

donde la elongación es máxima

ω^2 =

▲ El péndulo utilizado por los hipnotistas corresponde a un movimiento armónico simple.

El desplazamiento angular θ no es una magnitud que se pueda observar en el movimiento armónico simple, sin embargo, recordamos que θ = ωt, y en función de su frecuencia, demostramos que:

θ = 2πft

Tenemos además que la posición de un cuerpo en el movimiento armónico simple es: x = A cos θ . Si reemplazamos el desplazamiento angular, tenemos que:

x = A cos (2π ft)

De la misma manera, realizamos una demostración geométrica de la velocidad lineal de un cuerpo en una trayectoria circular (Figura 6.8.) y demostramos que su rapidez tangencial es: V_t = ωr

▲ Figura 6.8.

Si recordamos, trigonométricamente sabemos que el seno de un ángulo θ es complemento del coseno de (90 − θ), por lo que concluimos que:

v = −ω · A sen θ

v = −2 π f · A sen (2π f t)

Observamos que tenemos un signo negativo. Esto significa que la velocidad será contraria a la dirección en la que se deformará el cuerpo.

Es importante mencionar que el signo de la elongación depende del sistema de referencia escogido con respecto a la posición inicial, o de la convención usada. Por ejemplo, en ciertos casos se usan la compresión negativa y la tensión positiva; todo dependerá de la convención que se imponga antes de realizar cualquier análisis.

Elongación, velocidad y aceleración en el MAS

CN.F.5.1.35. Determinar experimentalmente que un objeto sujeto a un resorte realiza un movimiento periódico (llamado movimiento armónico simple) cuando se estira o se comprime, generando una fuerza elástica dirigida hacia la posición de equilibrio y proporcional a la deformación.

● Elongación, velocidad y aceleración en el MAS

Saberes previos

▲ Figura 6.9.

El gráfico describe el comportamiento de un resorte que oscila con MAS. Teniendo únicamente el gráfico, ¿podríamos determinar si el movimiento es variable o tiene velocidad constante?

Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es la diferencia que existe entre amplitud y elongación en el movimiento armónico simple?

El MAS se puede considerar como el movimiento de la sombra que proyecta un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme sobre un plano transversal al movimiento circular. El radio es igual a la amplitud A del MAS. Tomemos, por ejemplo, el siguiente caso: un resorte está en reposo, sosteniendo un objeto de masa m. Si lo comprimimos y lo soltamos (Figura 6.10a.), tendremos que:

- Cuando recorra un cuadrante de la circunferencia, el resorte llegará hasta el punto 0 (Figura 6.10b.).
- Cuando complete una semicircunferencia, habrá completado
media oscilación; el objeto habrá recorrido desde A hasta –A
(Figura 6.10c.).

Cualquiera de los puntos en el que el objeto con MAS no se encuentra en equilibrio se denomina elongación; esta distancia es medida respecto del punto de equilibrio.

▲ Figura 6.10a. | ▲ Figura 6.10b.
▲ Figura 6.10c. | ▲ Figura 6.10d.

En este caso análogo, estamos realizando la condición contraria, es decir, del movimiento del resorte extrapolamos al circular.

Pero si vemos el movimiento circular desde una posición transversal a su movimiento, veremos un movimiento rectilíneo correspondiente al movimiento armónico simple.

Interdisciplinariedad

Física y psicoacústica

El espectro audible, también denominado campo tonal, está conformado por una gama de frecuencias  (20 Hz – 20 KHz).

El espectro son las frecuencias que nuestro oído es capaz de percibir. Un oído sano debería ser capaz de percibir la mayor parte del espectro.

Mira este video sobre el espectro audible:

www.mayedu.ec/fis2/p205

Posición en el MAS: x = A cosθ

▲ Figura 6.11.

En el movimiento circular, θ = 2πft, donde f es la frecuencia y t es el tiempo. Entonces, la posición en cualquier instante de tiempo viene dada por la ecuación:

x = A cos (2π ft).

Ejercicio

Si un resorte (k = 500 N/m) sostiene verticalmente una masa de 2 kg, determinar su frecuencia y elongación a los 5 segundos.

Por la ley de Hooke:

Entonces, en nuestro caso: x = 0,04 cos 2π ft

Sustituyendo x = 0,04 m cos (2π  · 2,51 Hz · 5 s)

x = – 0,038 m

TIC

Mira el video:

www.mayedu.ec/fis2/p206

Coméntalo con la clase.

Velocidad en el MAS

▲ Figura 6.12.

La velocidad en cualquier instante de tiempo viene dada por la ecuación:
v = −2πf · A sen θ (2πft).

Entonces, en nuestro ejercicio la velocidad será:
v = −2π ·  2,51 Hz · 0,04 m sen (2π  · 2,51 Hz · 5 s)

Simplificando,

v = 0,19 m/s

Aceleración en el MAS

▲ Figura 6.13.

a = a_c cos θ

a_c = ω^2 r

Como el radio r constituye la amplitud A,

a_c = ω^2 A

y reemplazando en a tenemos:

a = ω^2 A cos θ

θ = 2πf

La aceleración en cualquier instante de tiempo viene dada por la ecuación

a = ω^2 A cos cos (2πf)

Como la velocidad angular o frecuencia angular ω no tiene mucho sentido en el movimiento armónico simple:

a = ( 2πf )^2 A cos cos (2πf)

a = 4 π ^2f ^2 A cos cos (2πf)

Entonces, en nuestro caso:

a = · 0,04 m cos ( 2πf · 2,51 Hz · 5s) =

Como vemos, por la expresión de la ecuación de la aceleración podemos relacionar la aceleración con la posición, quedando la ecuación de la siguiente manera:

𝛼 = −ω^2 x

Este es nuestro caso si en el tiempo t = 0,  x = 0, pero qué tal si consideramos que el mismo resorte se encontraba en otra posición inicial que no fuera el reposo.

Cuando el movimiento no parte desde el extremo, el movimiento tiene desfase. Un ángulo de desfase se mide en radianes. Esta medida determina su posición de partida:

x = A cos (2 π f + 𝝓)

v = −2 π f A sen (2 π f  + 𝝓)

𝛼 = A cos (2 π f  + 𝝓)

Energía en el movimiento armónico simple

CN.F.5.1.35. Determinar experimentalmente que un objeto sujeto a un resorte realiza un movimiento periódico (llamado movimiento armónico simple) cuando se estira o se comprime, generando una fuerza elástica dirigida hacia la posición de equilibrio y proporcional a la deformación.

● Energía en el movimiento armónico simple

Saberes previos

¿Cómo se la denomina a la fuerza que hace que un resorte vuelva a su posición de equilibrio? ¿Por qué se la denomina así?

Desequilibrio cognitivo

En el instante en el que el cuerpo con MAS alcanza su máxima amplitud, su velocidad de movimiento es 0. ¿En qué punto consideramos que existe la velocidad máxima del movimiento?

Dato curioso

Las pistolas de juguete son accionadas mediante resortes. El gatillo que activa el lanzamiento de las esferas de plástico lo único que hace es liberar el resorte que se comprime para lanzar las bolitas con velocidad. Este principio es tan sencillo que se pueden construir juguetes en casa, tal como lo muestra el siguiente video:

Nerf casera

www.mayedu.ec/fis2/p208

Tenemos una masa sujeta a un resorte (Figura 6.14.) de constante k, en el reposo x_0 = 0 en t_0 = 0.

▲ Figura 6.14.

Si lo comprimimos una distancia A hacia la izquierda y lo soltamos, el conjunto empezará a oscilar con MAS (Figura 6.15.).

▲ Figura 6.15.

Tomando el desplazamiento hacia la derecha como positivo, cuando comprimimos el resorte, la fuerza de restitución (F) actúa en dirección opuesta al movimiento, por lo que tomando una posición x intermedia entre la amplitud máxima y el punto de equilibrio, encontramos que el trabajo realizado por esta fuerza F equivale al producto de F · x (Figura 6.16.).

▲ Figura 6.16.

La ley de conservación de la energía nos dice:

Em_0 = Em_1 = Em_2

Para manejar este ejemplo de manera sencilla, se va a despreciar la fricción que existe entre el piso y el cuerpo.

Humor

La energía potencial en el caso del MAS se considera igual a:

Si realizamos una gráfica de la fuerza de restitución en función de x, tenemos que la energía almacenada en el resorte se determina con la siguiente ecuación.

La energía tanto en el punto 1 como en el 0 será:

Al despejar la velocidad de esta última ecuación, tendremos finalmente la expresión que nos permite calcular la velocidad en el punto de equilibrio:

Esta velocidad en el punto de equilibrio corresponde a la máxima velocidad.

Si observamos el fenómeno periódico del movimiento armónico simple, notaremos que su aceleración es máxima en los extremos, lo que hace que la fuerza de restitución dirija su movimiento al punto de equilibrio. En el punto de equilibrio la aceleración es nula y la velocidad es máxima, lo cual hace que, por inercia, el movimiento continúe.

▲ Figura 6.17.

Péndulo simple

CN.F.5.1.36. Identificar las magnitudes que intervienen en el movimiento armónico simple, por medio de la observación de mecanismos que tiene este tipo de movimiento, y analizar geométricamente el movimiento armónico simple como un componente del movimiento circular uniforme, mediante la proyección del movimiento de un objeto en MAS sobre el diámetro horizontal de la circunferencia.

● Péndulo simple

Saberes previos

En el movimiento armónico simple, ¿el movimiento depende de la gravedad?

Desequilibrio cognitivo

Si hacemos funcionar un péndulo simple en la punta del nevado Chimborazo, ¿tendría el mismo período que si lo hiciéramos funcionar a nivel del mar?

Al ejemplo más común de un péndulo lo encontramos en los parques: un columpio es una atracción para pasar un buen momento,
y tiene las características principales del péndulo simple:

- Se mueve en un solo plano.
- Se mueve con movimiento armónico simple.
- El movimiento describe una semicircunferencia.

El péndulo es un artefacto que sostiene una masa mediante un hilo; bajo la acción de la gravedad, esta masa se mueve con MAS. Lo denominamos al péndulo simple como tal, ya que se considera que la masa del cuerpo que sostiene está concentrada en un solo punto.

Galileo investigó a fondo el movimiento del péndulo. Su curiosidad empezó cuando al escuchar una misa en la catedral de Pisa (Italia), notó que los candelabros se movían de adelante hacia atrás. Como en la época no existían los relojes de bolsillo, Galileo notó que a pesar de que la amplitud del movimiento disminuía, el periodo del movimiento era el mismo. Logró determinar esto utilizando únicamente su pulso para medir.

▲ Galileo Galilei y el péndulo.

Determinaremos la ecuación del período aplicando la segunda ley de Newton.

Tenemos un péndulo (Figura 6.18.) de masa m, longitud L, y con una amplitud determinada por el ángulo θ. Determinaremos el período T del movimiento.

▲ Figura 6.18.

Diagrama de cuerpo libre

▲ Figura 6.19.

Debemos tomar en cuenta que para que el período no dependa de la amplitud del movimiento, el ángulo θ entre la vertical y la posición actual no debe ser muy grande (menor a 15°).

En el diagrama de cuerpo libre (Figura 6.19.) vemos que la posición de equilibrio se encuentra hacia la derecha, por lo que la fuerza restauradora sería:

F = mg senθ = mgθ     (1)

Consideramos que sen θ ≈ θ​. Cuando el ángulo es pequeño, la función seno da un valor similar al ángulo (medido en radianes). Además, la trayectoria que hay entre la posición actual y la de reposo se puede tomar como rectilínea al ser una amplitud pequeña (Figura 6.20.). Entonces:

▲ Figura 6.20.

    (2)

Dato Curioso

El físico francés Léon Foucault (1819-1868) descubrió que empleando un péndulo esférico, que puede oscilar libremente, se puede comprobar que la Tierra no es un marco de referencia inercial por la rotación que tiene en torno a su eje. El péndulo de Foucault es un instrumento capaz de oscilar en varios planos, moviéndose con la rotación de la Tierra.

Reemplazando (1) en (2),

    (3)

Como

F = m · a      (4) segunda ley de Newton.

Reemplazando (3) en (4),

    (5)

Ecuación de MAS

a = ω^2 · x    (6)

Reemplazando (5) en (6),

    (7)

Como

    (8)

Reemplazando (7) en (8),

Esta ecuación nos permite conocer el período de oscilación de un péndulo simple.

▲ Figura 6.21.

El péndulo simple se caracteriza porque su peso se encuentra en el extremo inferior y su ángulo es pequeño. Esto hace que el movimiento de la esfera o de la lenteja ocurra de modo rectilíneo y cumpla las condiciones del movimiento armónico simple.

Es diferente al péndulo físico, en el que la distribución de la masa no se encuentra en el extremo.

Ciencia, tecnología y sociedad

Ciencia, tecnología y sociedad

El péndulo de Foucault

¿Cómo se investiga en física?

¿Cómo se investiga en física?

Modelos matemáticos en la física

El propósito de un modelo matemático es entender un fenómeno o una realidad compleja. Se trata de un esquema teórico que permite establecer ecuaciones mediante variables dependientes o independientes del fenómeno a fin de interpretarlo de una manera más general.

Las matemáticas son el lenguaje real de la física. Partiendo de unos postulados determinados, es posible deducir resultados de forma rigurosa. De esta manera, se puede obtener un conocimiento más profundo de los fenómenos. Asimismo, si las predicciones se contradicen con los resultados de los experimentos, hay que cambiar los postulados.

Los conocimientos de modelos matemáticos en física se pueden ampliar con las formulaciones teóricas propias de la física matemática clásica, utilizando las herramientas matemáticas (básicamente, el “cálculo multivariable”).

Un modelo matemático funciona de la siguiente manera:

1. Transforma a lenguaje matemático el fenómeno: interpretando las variables (comportamiento, resultados, entre otros) y transformándolas en valores.
2. Analiza el modelo elaborado: generando gráficos, podremos obtener resultados futuros con los datos actuales, siguiendo tendencias.

▲ Modelo trigonométrico.

▲ Modelo exponencial.

▲ Modelo polinomial.

1. Interpreta los resultados: obtenemos la tendencia de la gráfica según el modelo usado que permita ajustar de mejor manera los resultados obtenidos.

Los resultados obtenidos mediante modelos matemáticos deben ser comprobados en la realidad para que no queden como burdas teorías. Si el modelo matemático no se ajusta a la realidad, quiere decir que deben ser planteados nuevos modelos, tomando en consideración nueva información o corrigiendo aquella que nos dio resultados erróneos.

Laboratorio

Laboratorio

Vela con movimiento armónico simple

Datos informativos

Institución educativa:

Nombre de los estudiantes: ​

Curso y paralelo: ​                                                           Fecha: ​

Materiales

- Vela de 20 cm de largo con mecha a ambos lados
- Estilete
- Regla
- Marcadores azul y rojo
- Dos copas
- Palillos
- Cuaderno
- Lápiz
- Cronómetro

Objetivos

1. Poner a prueba el movimiento armónico simple, aplicándolo a casos reales.
2. Determinar de qué depende el período de oscilación en el MAS.

Procedimiento

1. Con la regla, medimos 5 cm en la vela desde cada extremo, y marcamos con color rojo ambas señales. Luego marcamos con azul desde cada extremo a los 7 cm.

1. En la parte media de la vela, insertamos un palillo, atravesándola como se muestra.

1. Ubicamos los extremos de los palillos sobre dos copas, de manera que la vela pueda moverse libremente entre el espacio que existe entre ambos objetos.
2. Encendemos las mechas al mismo tiempo y dejamos libre a la vela. Pronto veremos que mientras más se consume la vela, empieza a oscilar. Cuando la vela se consuma hasta la marca en rojo, contamos en cuánto tiempo da 10 oscilaciones completas y anotamos el dato. Con la regla medimos la distancia desde el punto de equilibrio hasta el punto más alto del movimiento. Esta será la amplitud.
3. Repetimos el paso 4 para la marca en azul.

Cálculos

Registramos los datos en la siguiente tabla:

Intento | Número de oscilaciones​ | Tiempo [s] | Período [s] | Distancia desde el extremo (cm)
1 | 10 |  |  | 5
2 | 10 |  |  | 8

Período de oscilación

Frecuencia angular

ω = 2 f

Determinamos la ecuación de la posición del MAS, conociendo la amplitud y velocidad angular:

x = A cos (ωt)

Encontramos la posición con el tiempo registrado en el cronómetro, durante las 10 oscilaciones.

▲ Vela en movimiento armónico simple.

Conclusiones

¿En qué caso el movimiento tiene mayor período? ¿Por qué?

¿En qué caso la amplitud fue mayor? ¿Por qué?